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  • 对数函数

    2020-10-31 11:41:36
    对数函数的格式: y=loga(底数)x (a>0且a≠1) a为底数,x为真数 对数函数也有两种情况: 1.a>1 如果指数函数的a>1是爆炸性增长,那么对数函数的a>...对数函数公式 同底的指数和对数互为逆运算,可

    对数函数的格式:
    y=loga(底数)x (a>0且a≠1)
    a为底数,x为真数

    对数函数也有两种情况:
    1.a>1
    如果指数函数的a>1是爆炸性增长,那么对数函数的a>1就是缓慢性增长
    如果指数函数和对数函数的底数一致,那么两个图像是1.3象限对称,对数函数总是拉指数函数的后腿在这里插入图片描述
    性质:
    定义域:(0,正无穷)
    值域:y∈R
    单调递增函数

    2.1>a>0
    图像
    在这里插入图片描述
    缓慢递减,该底数函数和对数函数底数一致的时候,1.3象限对称

    对数函数的公式
    同底的指数和对数互为逆运算,可以相消。

    公式1
    	简化写法:
    		lgn=log10(底数)n
    公式2
    	简化写法:
    		lnx=loge(底数)x     e≈2.71828...
    公式3
    	loga(底数)1==0,真数为1的对数函数==0
    	loga(底数)a==1,底数和真数相等情况下==1
    公式4
    	a^b=N和b=loga(底数)N,指数和对数同底互为逆运算(就是可以相互抵消)
    公式5   e抬高
    	u^v = e^vlnu
    		该函数是幂指函数,并不是初等基本函数,我们要把它化解成以e为底的指数函数
    		(e为底的指数函数是最标准的指数函数)
    		e^u^v 是不成立的,我们要先给u^v加个对数,然后在变成以e为底的对数函数就相等了
    		e^lnu^v ,根据公式,v可以加到前面,就变成了了e^vlnu
    公式6
    	loga(底数)M+loga(底数)N==loga(底数)^M+N,反之相减
    公式7:
    	loga(底数)M^n = nloga(底数)M,最后的指数可以放在最前面
    	
    
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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 与对数函数 互为反函数 .知识点讲解一、对数...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

    (4)了解指数函数

    与对数函数
    互为反函数 .

    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

    (1)对数:一般地,如果

    ,那么数
    x叫做以a为底 N的对数,记作
    ,其中
    a叫做对数的底数,N叫做真数.

    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

    (3)对数式与指数式的互化

    .

    2.对数的性质

    根据对数的概念,知对数

    具有以下性质:

    (1)负数和零没有对数,即N>0 ;

    (2)1的对数等于0,即

    (3)底数的对数等于1,即

    (4)对数恒等式

    .

    3.对数的运算性质

    如果a>0且a≠1,M>0,N>0那么:

    (1)

    ;

    (2)

    (3)

    .

    4.对数的换底公式

    对数的换底公式:

    .

    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

    换底公式的变形及推广:

    (1)

    (2)

    (3)

    (其中
    abc均大于0且不等于1,d>0).

    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

    一般地,我们把函数

    (a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中
    x是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .

    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

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    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1 时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

    指数函数

    (a>0且a≠1)与对数函数
    互为反函数,其图象关于直线y=x对称.

    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

    (1)在利用对数的运算性质

    进行化简与求值时,要特别注意题目的前提条件,保证转化关系的等价性.

    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

    1.对数函数

    的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题,只需令真数为1,解出相应的 x,y ,即可得到定点的坐标.

    2.当底数a>1 时,对数函数

    是(0,+∞) 上的增函数,当x>1时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,其函数值增长得越快;当底数0<a<1 时,对数函数
    是(0,+∞) 上的减函数,当0<x<1 时,底数a 的值越大,函数图象越“陡”,其函数值减小得越快.也可作直线
    y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.

    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0<a<1 的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

    ①形如

    的不等式,借助
    的单调性求解,如果
    a的取值不确定,需分 a>1与0<a<1 两种情况讨论;

    ②形如

    的不等式,需先将
    b化为以a为底的对数式的形式,再借助
    的单调性求解.

    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

    求形如

    的复合函数的单调区间,其一般步骤为:

    ①求定义域,即满足f(x)>0 的x的取值集合;

    ②将复合函数分解成基本初等函数

    及u=f(x) ;

    ③分别确定这两个函数的单调区间;

    ④若这两个函数同增或同减,则

    为增函数,若一增一减,则
    为减函数,即“同增异减”.

    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

    1077eee6e8cc989ebd2cac5c70490e02.png

    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

    e8a547e0336f86f0bcc267ebc32cd316.png

    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

    e78b514cf3e7e4bc95e55b1ff39ffbd7.png

    2.对数的性质

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    3.对数的运算性质

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    4.对数的换底公式

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    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

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    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

    ebc72371143ec7d4345c83f25cbb652a.png

    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

    a0a59f8548fd5d80844dc3da39cdcfb7.png

    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

    5c93ef7269b98d1f4b6a33afc4230d5c.png

    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

    d5168123a0067707373499543061672c.png

    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

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    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

    c936e10c90b68429e9e5b4f71d98c201.png

    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

    f3d9e7d7f7fc066ed2e78e130bd9570e.png

    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

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    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

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    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

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    2.对数的性质

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    3.对数的运算性质

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    4.对数的换底公式

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    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

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    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

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    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

    b4b630290b0f406e52330cb42345b2cd.png

    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

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    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

    dca1ff338390c486b10ee92ebd5f9e72.png

    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

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    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

    b7c49e722a8814a970cdff80fdbd172a.png

    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

    a1a7e8edd3c7ab7eaa4eac2675903090.png

    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 高考对数函数

    2013-12-25 00:04:10
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  • 指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反...
  • 通过运用基本的积分技巧和Bergman空间的再生核公式,研究了对数-Bloch空间的若干性质。获得了解析函数属于对数-Bloch空间的一个高阶导数特征;获得了解析函数属于对数-Bloch空间的一个无导数刻画。这两个特点是对数-...
  • 指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反...
  • 无论你是理科生还是文科生,数学公式,你必须掌握。小简老师提醒广大考生,基础知识在高考中占到80%呢。数学公式就是基础知识的重中之重。数学公式怎么记呢,小简老师给大家分享一个...指数与对数函数,两者互为反...
  •  指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数; 正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。 两个...
  • 微积分-01-函数

    2020-07-03 01:44:29
    文章目录一、有界函数1、定义2、例题二、复合函数三、反函数1、定义2、反函数的性质四、单调函数1、定义2、严格单调函数的作用(定理)五、基本初等函数(6类)1、常值函数2、幂函数3、指数函数4、对数函数5、三角...
  • 1 函数的单调性 2 函数的奇偶性 3 函数在某处的导数的几何意义 4 几种常见函数的导数 5 导数的运算法则 6 求函数的极值 7 分数指数幂 8 根式的性质 9 有理数指数幂的运算性质 10 对数公式 11 常见的函数图像 12 同角...
  • 对数公式11.常见的函数图像12.同角三角函数的基本关系式13.正弦、余弦的诱导公式14.和角与差角公式15.二倍角公式16.三角函数的周期17.正弦定理18.余弦定理19.面积定理20.三角形内角和定理21....
  • 离散对数的部分理解

    2020-06-30 22:08:11
    离散对数中原根的部分理解 ... 在以上公式中,例如:m=7,有欧拉函数Φ(7)=6,因为从1-6中与7互素的余数集合有{1,2,3,4,5,6},长度是6。 根据性质1,如果a可能是m的原根。d可以被Φ(7)整除,d有1,2,3,6。用
  • 高中数学公式大全

    万次阅读 热门讨论 2008-10-08 21:54:00
    由于此网站不能支持复杂的数学公式,只能上传一个高中数学顺口溜下载网站 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html一、《集合与函数》 内容... 指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。
  • 我们从数学文献中研究了迭代积分的性质以及它们与多个椭圆多对数的关系。 一方面,我们发现我们的迭代积分与多个椭圆形多对数基本上具有相同的函数空间。 另一方面,我们的公式可以更直接地用于解决高能物理中的...
  •  椭圆总结1 ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:...
  • 6.对数函数 7.幂函数 8.三角函数 习题二 第三章 复变函数的积分 1.柯西定理 1.复变函数的积分 2.几个引理 3.柯西定理 2.柯西公式 4.柯西公式 5.莫雷拉定理 习题三 第四章 级数 1.级数和序列的基本...
  • 解题思路:如果此题不是大数的话可以用对数函数性质:log10(1*2*3*4*5...)=log10(1)+log10(2)... 附上代码,注意sum是double int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin>>T; ...
  • 原文:... 1 函数的单调性 2 函数的奇偶性 ...3 函数在某处的导数的几何意义 ...4 几种常见函数的导数 ...6 求函数的极值 ...8 根式的性质 ...9 有理数指数幂的运算性质 ...10 对数公式 11 常见的函数图像 ...

空空如也

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