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  • 应知应会(1)实数指数幂①指数幂与根式②实数指数幂及运算法则am×an=am+n(am)n=am×n(ab)m =am×bm(2)指数函数指数函数y=ax②指数函数的图像值域:(0, ∞ )特殊点:图像过(0,1)点函数增减性:当a>1为增函数;...

    1.大纲要求

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    2.应知应会

    (1)实数指数幂

    ①指数幂与根式

    2dc5572a65564af27611dc4b3d29c707.png

     ②实数指数幂及运算法则

            am×an=am+n

            (am)n=am×n

            (ab)m =am×bm

    (2)指数函数

    ①指数函数

            y=ax

    ②指数函数的图像

            值域:(0, ∞ )

            特殊点:图像过(0,1)点

            函数增减性:当a>1为增函数;0

    (3)对数

    ①对数及性质

            ab = N 与 b=logaN 的对应关系。

            b=logaN  

            特殊情况:loga1=0;logaa=1;N>0(0和负数没有对数)

    ②常用对数(底为10)和自然对数(底为e)

            log10N记为lgN

            logeN记为lnN

    ③积、商、幂的对数

            lg(M×N)=lgM+lgN

            lg(M/N)=lgM-lgN

            lgMn =nlgM

    (4)对数函数

    ①对数函数

            y=logax

    ②对数函数的性质

            ◆函数的定义域为(0,+ ∞ ),值域为R;

            ◆当x=1时,y=0 ;

            ◆当a>1,函数为增函数;当0

    3.历届统考真题

    (1)客观题

    序号

    题干

    参考答案

    1

    计算4-1=()

      A.4 

      B.3 

      C.-4 

      D.1/4 

    D

    2

    右图是指数函数y=ax的图像,则a的取值范围是()。

      A.(1,+∞)

      B.(0,1)

      C.(-∞,0)

      D.  R

    d633ab90361ad0bf7ac44be2ead47604.png

    B

    3

    将32=9写成对数式是()

      A.log32=9

      B. log39=2

      C. log23=9

      D. log29=3

    B

    4

    函数y=log3x的图像必过点()。

      A. (0,0)

      B. (0,1)

      C. (1,0)

      D. (1,1)

    C

    5

    “以a为底x的对数等于y”记作()

      A. y=logax

      B. x=logay

      C. x=logya

      D. y=logxa

    A

    6

    下列运算中,正确的是()

    edb83dacf825a59889b16b3c6ff80574.png

    9a1360bd69b291c2be51667aec04412b.png

    C

    7

    函数y=log3x的大致图像为(  )

    60f8b9e48ca83714ec7c74b84c044bdb.png

    D

    8

    loga2=1,则a的值是(   )

    2

    (2)观题

    序号

    题干

    参考答案

    1

    计算81/3×(√2)2-(√13 -1)0+(lg5+lg2)

    原式=2×2 - 1 + lg10

    =4 - 1 + 1

    =4

    2

    计算:log22 + (π-1)0 + 3×3-1 

    原式=1+1+1

        =3

    3

    求值:1/9 × (-3)2 + 2÷(√5 - 1)0 - log39

    原式=(1/9)× 9 +2/1 – log332

        =1+2-2log33

        =3-2

        =1

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    凉山州职业技术学校北2校区

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  • 在学习过一次函数和二次函数(修改版)后,我们知道, 一次函数y=kx+b当一次项系数k大于零时是增函数, 小于零时是减函数.二次函数y=ax2+bx+c当二次项系数a大于零时图象沿x轴从左向右先减后增, a小于零时先增后减.可以...

    本文大约4800字, 建议学习时间1个小时.

    在学习过一次函数和二次函数(修改版)后, 我们知道, 一次函数y=kx+b当一次项系数k大于零时是增函数, 小于零时是减函数. 二次函数y=ax2+bx+c当二次项系数a大于零时图象沿x轴从左向右先减后增, a小于零时先增后减. 

    可以想象, 次数更高的函数, 在定义域上的性质更复杂. 为了精确刻画函数的性质, 数学家引入了区间的概念. 

    设a, b是两个实数, 并且a

    (1) 满足不等式 a ≤ x ≤ b 的实数的集合叫做闭区间, 记作[a, b], 用数轴表示就是

    f2afa46727b236596e4779620d04c3b7.png

    实心圆点表示区间包含该端点.

    (2) 满足不等式 a < x < b 的实数的集合叫做开区间, 记作(a, b), 用数轴表示就是

    e8fc1b0d363fa08129974b40034a7b43.png

    空心圆点表示区间不包含该端点.

    (3) 满足不等式 a ≤ x < b 或 a < x ≤ b的实数x的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[a, b)或(a, b]. 左闭右开区间[a, b)在数轴上的表示是

    b0006c4a2aa2d0e02b2d6c9757f242f6.png

    (请尝试画出左开右闭区间(a, b]在数轴上的表示.)

    a, b叫做区间的端点. 方括号 “[” 或 “]” 表示区间包含该端点, 圆括号 “(” 或 “)” 表示区间不包含该端点. 

    实数集R用区间(-∞, +∞)表示. 符号∞叫做无穷大, -∞, +∞ 分别叫做负无穷大和正无穷大. 负实数集用区间(-∞, 0)表示, 正实数集用区间(0, +∞)表示.

    单调函数. 现在我们使用区间来描述单调函数的定义. 如果函数

    55b8e6878f1aac87af849e52a1e31e68.png

    在定义域内的某个区间D上对任意的

    952b8415dfedc4aad41901ed70a6231d.png

    都有

    4bdbe81617563da836c80303e7852cb3.png

    则称它是区间D上的增函数. 如果对任意的

    952b8415dfedc4aad41901ed70a6231d.png

    都有

    e47b180b9aedaf7597ad6c8a7162c514.png

    则称它是区间D上的减函数增函数和减函数统称为单调函数.

    二次函数y=ax2(a>0)在区间(-∞, 0]上是减函数, 在区间(0, +∞)上是增函数, 并且图象关于y轴对称. 关于y轴对称的函数叫做偶函数. 它的定义如下.

    偶函数. 如果函数

    55b8e6878f1aac87af849e52a1e31e68.png

    对定义域内的任意一个x值, 都满足

    3a09ee4d87b5c023e200d337f602b25e.png

    就称它是偶函数(even function). 上面的等式关系表明偶函数的图象关于y轴对称. 二次函数y=ax2满足条件 a(-x)2=ax2, 所以是偶函数. 

    奇函数. 如果函数

    55b8e6878f1aac87af849e52a1e31e68.png

    对定义域内的任意一个x值, 都满足

    c184449d6b756673c554ebc05960eac8.png就称它是奇函数(odd function). 上面的等式表明奇函数的图象关于原点对称. 三次函数y=x3奇函数, 因为(-x)3=-x3

    函数有自变量、对应法则和函数值, 函数值也叫因变量.  自变量的取值范围叫做定义域, 全部函数值的集合叫做值域. 定义域、对应法则和值域构成函数的三要素. 

    下面, 我们来认识三个常用的基本初等函数: 指数函数、对数函数和幂函数, 并考察它们的定义域、对应法则、值域以及单调性和奇偶性. 

    指数函数. 函数

    1a3d659a34bd6bb2bce23988cd75c8ff.png

    叫做指数函数(exponential function), 定义域是R, a是常数. 要求a≠1是为了排除y=1的平凡情况. 规定a>0的原因在下面给出.

    指数函数就是指数是自变量的函数. ax叫做a的x次幂. a叫做幂的底数, x叫做幂的指数. x的取值范围是R, 因此ax是实数指数幂. 要使指数函数有意义, 需要定义实数指数幂和它的运算法则.

    在初中数学中我们学过正整数指数幂an(aR, nN*)和它的运算法则(m, n都是正整数):

    18a42847e1b9836349b1a4c5d3502578.png一个自然的想法是把正整指数幂an的运算法则推广到实数指数幂.

    首先推广到整数指数幂an(a≠0, nZZ代表整数集). 这要求取消第(3)条法则中m>n的限制. 如果m=n, 要使第(3)条法则 

    2c44f2356e407d16956f25da328f1801.png

    成立, 由于an/an=1, 只需要令零指数幂a0=1即可. 如果m, 要使第(3)条法则

    402466bf17f5c1e608fbf115ee0ef690.png

    成立, 由于am/an=1/an-m, 只需要令am-n=1/an-m即可, 这就得到负整数指数幂的定义a-p=1/ap(因为mp=n-m, p<0). 有了零指数幂和负整数指数幂的定义, 容易验证正整数指数幂的运算法则对整数指数幂an(a≠0, n∈Z)也成立.

    接着将整数指数幂运算法则推广到有理数指数幂aα(a≠0, αQ, Q是有理数集). 令m=1/n, 由上面的第(2)条法则得到 (a1/n)n=a. 如何使 (a1/n)n=a成立呢?(因为上述法则现在只对整数指数幂成立)

    我们知道满足x2=2的x叫做2的平方根, 记作

    caebad9310f54d3f82099df9e4570693.png

    在实数范围内, 满足x2=a(a≥0)的x叫做a的平方根(或二次方根、二次根式), 记作

    c2d243b8be4fc67a71e4e730dee4652f.png

    满足x3=a(aR)的x叫做a的立方根(或三次方根、三次根式), 记作

    007b81d9e3310114be5bd8ed128539c3.png

    一般地, 满足xn=a(aR, n>1, nN*)的实数x叫做a的n次方根. 当n是偶数时, a必须是非负实数, 把a开n次方得到

    2e3c1493911f2927bae3bb41c4118670.png当n是奇数时, a是任意实数, 把a开n次方得到

    602e21e9f62ef6f8d498c76afc0a377b.png

    为了避免对指数n的奇偶性进行讨论, 从现在开始令a>0(这就是指数函数中要求a>0的原因). 这样对任意的 n>1且nN*, 由xn=a(a>0 )得到

    a4615756ec3cad0a211034f27f3a7d68.png再代入xn=a得到

    4fd09f0ae81890916eedbf789ef9990c.png

    因此要使法则(a1/n)n=a成立, 只需令

    1d44ac472ff4c0001e4bc6f9a02424c3.png

    类似地, 如果存在实数x, 使得xn=am(a>0, n>1, n, mN*, 且m/n是既约分数), 那么, 把am开n次方得到

    b8c7282dff21c8de8498f3e00a2bd3a8.png

    要使第(2)条法则(am/n)n=a(m/n)n=am对正分数成立, 只需令

    3dec4cf6ba6df3ffabefe0cb072e9f2e.png

    从而得到正有理数指数幂am/n(a>0, n>1, n, mN*, 且m/n是既约分数)的定义. 再利用负整数指数幂的定义, 要使第(2)条法则对负有理数指数幂成立, 需要规定

    d721f677319b0d85f0e13802ac31036e.png

    从而得到负有理数指数幂的定义. 至此我们就完成了有理数指数幂的定义. 使用这个定义容易验证整数指数幂an(a≠0, nZ)的运算法则对有理数指数幂aα (a>0, αQ)也成立.

    最后将有理数指数幂aα(a>0, αQ)的法则推广到无理数指数幂. 由于无理数指数幂的定义需要用到极限的概念, 这里暂不讨论, 只需要知道结论是可以推广就行了. 

    最终得到实数指数幂aα (a>0, α∈R)的运算法则是 (a>0, b>0, α, β∈R)

    902f597621f0edb6d803de6983a69b7b.png

    练习: 计算或化简.

    32720e0c5dbeba7ff72a2365f823c7fa.png

    指数函数的图象和性质. 有了实数指数幂的定义和运算法则, 就可以考察指数函数

    1a3d659a34bd6bb2bce23988cd75c8ff.png

    的图象和性质了. 指数函数y=ax的图象和性质与a的取值有关, 我们取a=2, 3, 1/2, 1/3, 画出这四个函数的图象, 然后归纳出指数函数的性质.

    例: 画出函数y=2xy=3xy=(1/2)x和y=(1/3)x的图象. 

    通过描点和连线, 得到这四个指数函数的图象, 见下图.

    a1904ae96e4bf3972987e65c6271a2db.png

    观察这四个图象, 我们归纳出指数函数y=ax(a>0且a≠1)性质是:

    (1) 指数函数的定义域R, 值域是区间(0, +∞).

    (2) 指数函数都经过点(0, 1), 这是因为当x=0时, y=a0=1.

    (3) 当a>1时, y=axR上的增函数, 并且当x>0时, y>1; 当x<0时 0

    (4) 当0axR上的减函数, 并且当x>0时, 01.

    (5)指数函数的图象无限靠近x轴.

    练习: 利用指数函数的性质, 比较下列各题中两个值的大小.

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    对数函数. 要定义对数函数, 首先要定义对数. 

    如果令p=ax(a>0且a≠1), 由x的值就可以得到对应的p值. 例如当x=2时, p=a2

    反过来, 知道p的值, 由p=ax计算x的值, 这时x就叫做以a为底p的对数, 用符号log(log是logarithm的缩写)记作

    b18088a018307c426378f5b0660b592b.png其中a叫做对数的底数, p叫做真数. 因为a>0, 所以p=ax>0. 所以真数大于零.

    有了对数的定义后, 由p=ax, 可以得到

    459f716f39afdf7d4ece13b8ef6de9bc.png

    反过来, 由x=logap, 可以得到

    d7a12e792d5a15ab55e011811815cfe6.png

    例如, 16=42, 那么2=log416. 2就是以4为底16的对数. 反过来, 如果2=log416, 那么16= 42.  

    x=logap代入p=ax, 得到恒等式

    797e752bdb44f7825731733d99024ee1.png

    由1=a0, 得到0=loga1. 由a=a1, 得到1=logaa. 因此得到对数logap的三个重要性质: 

    (1) 真数p>0;

    (2) 1的对数是0, 即loga1=0

    (3) 底数的对数是1, 即logaa=1

    利用对数x=logap和p=ax的关系可以推导出对数的运算法则(a>0且a≠1, p>0, q>0):

    4b8cf07de10193dd7d22216b3ae8bbee.png第一条法则就是积的对数等于对数的和, 第二条就是商的对数等于对数的差. 第一条法则对两个以上正数的乘积也成立, 仍然等于每个正数对数的和.

    log10p是以10为底p的对数, 叫做常用对数. 用一个简单的符号

    284653ad0f42fb0a741c84bb49e72cdc.png

    来表示. logep是以无理数e=2.71828...为底p的对数, 叫做自然对数, 用一个简单的符号

    b5ede4f244a3cd385835725adafac31e.png

    来表示. 

    常用对数和自然对数可以使用对数表或科学计算器得到. 在计算其它底数的对数时, 如果无法直接得到结果, 可以使用下面的换底公式, 转换成常用对数或自然对数的商, 就可以通过对数表或计算器计算了.

    acf890ea5e2449239135af6cc75e76e6.png

    (设logbp=x, 那么p=bx, 两边同时取以a为底的对数, 得到logap=logabx=xlogab, 整理后就得到的换底公式)

    练习: 计算下列对数的值.

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    对数函数的图象和性质. 有了对数的概念后, 就可以定义对数函数了. 函数

    e6aff3dc4011a232321afa4b7aa32156.png叫做对数函数(logarithmic function), 定义域是(0, +∞),  也就是x>0. y=logax的图象和性质与常数a的取值有关, 我们取两个不同的a值, 画出函数的图象, 并归纳出它的性质.

    例:  分别取a=2和0.5,使用描点连线法画出函数y=log2x和y=log0.5x的图象, 见下图.

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    观察这两个函数的图象, 归纳出对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质:

    (1) 对数函数定义域是区间(0, +∞), 值域R.

    (2) 对数函数的图象都过点(1, 0), 这是因为当x=1时, y=loga1=0. 

    (3) 当 a>1时, y=logax是定义域上的增函数. 并且当01时, y>0.

    (4) 当 0ax是定义域上的减函数. 并且当00; 当x>1时, y<0.

    (5) 对数函数的图象无限靠近y轴.

    练习: 

    (1). 求函数y=loga(3+x)(a>0且a≠1)的定义域.  

    (2). 比较log33.8与log37的大小.

    指数函数与对数函数的关系. 我们知道在函数的定义中, 对于自变量x的每一个取值, 根据对应法则都有唯一一个y值和它对应. 反过来, 每一个y值可能对应自变量x的多个取值. 比如二次函数y=x2, y=4对应x=2和-2. 因此y到x的对应不是函数.

    但是对于指数函数y=ax(a>0且a≠1), 每一个y值也都唯一对应一个x值, 也就是从y到x的对应也是一个函数, 这个函数就是对数函数x=logay(a>0且a≠1) 它叫做指数函数y=ax反函数. 函数x=logay(a>0且a≠1)的定义域是(0, +∞), 值域是R, 函数y=ax的定义域是R,值域是(0, +∞).

    一般地, 设函数

    e8b3224547c9f60f795982191b262ecf.png

    的定义域是集合A, 值域是集合B. 并且对B中任意一个y值, 都有A中唯一一个x值和它对应, 即有唯一的x满足

    bdbc45e30adc3e6d8defd53720b2e4f7.png

    那么称这个函数是A到B的一一对应. 此时由y到x的对应也是一个函数, 记作

    36168cff186dbdbbe637b0cbe1f7fd2d.png叫做原函数的反函数, 定义域是B, 值域是A.

    对数函数x=logay是指数函数y=ax的反函数, 指数函数y=ax也是对数函数x=logay的反函数, 因此对数函数和指数函数互为反函数. 

    使用函数习惯的表示方法, 将反函数x=logay写成形式y=logax. 注意y=logax的定义域是y=ax的值域, y=logax的值域是y=ax的定义域. 设(u, v)是y=ax象上的任意一点, 那么(v, u)就是y=logax图象上的点. 这两个点关于直线y=x对称, 并且可以证明这两个函数图象关于直线y=x对称. 

    幂函数. 一般地, 称函数

    c41659a34b37471ac9f968126e5bc66c.png叫做幂函数(power function), 其中x是自变量, a是常数. 幂函数的定义域与a的取值有关.

    幂函数的图象和性质. a=1时的幂函数就是一次函数y=x. a=2时的幂函数就是二次函数y=x2. 常数a取不同的值, 会得到不同图象和性质的幂函数. 

     例:  分别取a=3, 2, 1/2, -1, 画出幂函数y=x3y=x2y=x1/2和y=x-1图象, 见下图. 

    bc822e5a9b5dfd2e8cbdbece88f236d4.png

    y=x2是偶函数, 定义域是R, 值域是[0, +∞), 图象关于y轴对称. y=x3是奇函数, 定义域是R, 值域也是R, 图象关于原点对称.

    1671d0ff0526f1fc2b8151c2a2991cf2.png

    y=x1/2的定义域是[0, +∞), 值域也是[0, +∞), 在区间[0, +∞)上是增函数. y=x-1的定义域是(-∞, 0)U(0, +∞), 不包含0. 值域是(-∞, 0)U(0, +∞), 也不包含0.

    通过观察上面的图象, 我们发现这四个函数的图象差别较大, 定义域、值域、单调性和奇偶性各有不同, 因此只能归纳出幂函数y=xa(a∈R)最基本的性质:

    (1) 幂函数y=xa(a∈R)的图象都经过点(1, 1), 这是因为当x=1时, y=1a=1.

    (1) 当 a>0时, 函数的图象经过原点, 在区间[0, +∞)上是增函数. 

    (3)  当 a<0时, 函数在区间(0, +∞)上是减函数, 且在第一象限内无限逼近x轴和y轴.

    练习:

    (1). 比较21.531.5的大小.   

    (2). 讨论函数 y=x2/3的定义域、奇偶性,并作出它的图象.

    最后, 请熟记这三个基本初等函数: 指数函数、对数函数和幂函数的解析式、文中所画图象的形状和性质.


    高中数学知识讲解系列

    十分钟学会复数

    集合论知识初步

    一次函数和二次函数(修改版)

    初等数列知识

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  • 对数函数与幂函数

    千次阅读 2018-11-05 11:42:52
    对数函数指数函数的关系,互为反函数的关系; 专业术语:底数、对数、真数(幂)、 特殊对数函数:常数对数函数、自然对数函数; 底数的取值范围:大于0,但是不等于1; 对数函数的定义域 :(0&amp;amp;lt;x&...

    对数函数

    1. 金字塔

    1.1 横线思考

    • 对数函数与指数函数的关系,互为反函数的关系;
    • 专业术语:底数、对数、真数(幂)、
    • 特殊对数函数:常数对数函数、自然对数函数;
    • 底数的取值范围:大于0,但是不等于1;
    • 对数函数的定义域 :(0&lt;x&lt;)(0&lt;x&lt;\infty)
    • 对数函数的值域:(&lt;y&lt;)(-\infty &lt; y &lt; \infty)

    1.2 纵向思考

    • 对数函数的定义
    • 对数函数的性质
    • 对数函数的运算
    • 对数函数的图像

    2.麦笔记

    2.1 对数函数的定义

    对数函数是指数函数的反函数,从定义的角度,可以从指数函数的反函数的角度进行考虑,对数函数与指数函数的图像关于 y=xy=x对称,负数和零没有对数;

    2.3 对数函数的运算

    • 如果 a&gt;0,a0,M&gt;0,N&gt;0a&gt;0, 且a \neq 0, M &gt; 0, N &gt;0

    (1)loga(MN)=logaM+logaN;(1) \log_a{(M*N)}=\log_aM + \log_aN;
    (2)loga(MN)=logaMlogaN(2) \log_a{(\frac{M}{N} )} = \log_aM- \log_aN
    (3)logaMN=NlogaM(NϵR)(3) \log_a{M^N}=N\log_aM (N \epsilon R)

    • 可以查询常数对数表、自然对数表。所以 下面介绍换底公式。

    logab=logcblogca换底公式:\log_ab = {\frac{\log_cb}{\log_ca}}

    2.4 对数函数的性质与图像

    enter image description here

    • 定义域:(0,+)(0, +\infty)
    • 值域:RR
    • 性质:
      • (1)过定点(1,0);
      • (2)当 a&gt;1a&gt;1时,是增函数;
      • (3)当 0&lt;a&lt;10&lt;a&lt;1时,是减函数;

    幂函数

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  • qq学习群:1030749192轻风帮你轻松搞定数学函数大章节的终级boss之二——对数函数第二弹继续进行。你们老帮的心中应该全是痛苦吧,毕竟每次给她文章后,她需要先把...指数函数与对数函数1.指数函数的概念:一般地,...
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    轻风

    帮你轻松搞定数学

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    函数大章节的终级boss之二——对数函数第二弹继续进行。7884e11d9ab0b84fa6c08e6419727370.png

    你们老帮的心中应该全是痛苦吧,毕竟每次给她文章后,她需要先把题目先做一遍。快看看对你来说第二弹的知识点掌握了吗

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    a2e228201174b619fd70001b090e0e74.png指数函数与对数函数1503748a33e75aa6aa7d3099b6cb5281.png1.指数函数的概念:

    一般地,形如3acdea351f5b5db4257a920067d16675.png(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。

    2.对数的函数的概念:

    一般地,形如01739bb1750f4400daedf5ee1a9b4e3f.png(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数。

    3.指数函数、对数函数的图像和性质:

    270972c0b595f2435a20919be26ccd48.png37129f2a59b8ba49d0095cb4a3b7cf8f.png

    4.利用幂函数、指示函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。习题时间

    1、函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a=_____。

    答案:2

    2、函数6bf31baec31aeaf7913832f602e5d232.png的定义域是_______。

    答案:[0,+∞)

    3、设0

    A.b56587459f4a8e4c060a1ae1c307faa0.png

    B.fa0b9fa98eb42b8cd96d6e9564b0bdb1.png

    C.d3c26ce918a5c59848cc015241646184.png

    D.7107817cc657e286df0c021a52dda895.png

    答案:C

    4、

    函数2633e27e7c3c18ef7612ba356c5392e4.png的定义域为______。

    答案:(-1,1)

    5、在同一坐标系中,当a>1时函数1810f4ddd7a75c9cc83876299e9a276b.png 与0278412e476b89a1843591b5674d8495.png的图像是

    6、在同一坐标系中,当01810f4ddd7a75c9cc83876299e9a276b.png0278412e476b89a1843591b5674d8495.png的图像是

    7、对于实数m,n定义一种运算:4bd8f92d4b93b898ad403e690cebc197.png.已知函数91d0e08abb9a755184e576b3ae1a6fbb.png,其中0f(4t),则t的取值范围是________。

    答案:a7443dc72e85224d0b6c873e8c39c91c.png

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对数函数指数取值