解对数方程的一般方法.对数方程只有在特殊情况下才能用普通初等方法求解.在实数范围内求解一些特殊类型的对数方程的常见方法有：

1.同底法.主要用于求解形如logaf(x)=logag(x)的对数方程.对此只要求在条件f(x)>0，g(x)>0下方程f(x)=g(x)的解即可.

2.换元法.可用于下述几种类型的对数方程的求解：

1) 对于形如F(logaf(x))=0的对数方程，可令y=logaf(x)，化为代数方程F(y)=0去解.

2) 对于形如

ailogafi(x)=b

的对数方程，令yi＝logafi(x)，使原方程转化为关于yi(i=1，2，…，n)的n元一次方程

aiyi＝b.

3) 对于形如f(x)logaf(x)＝bfα(x)的对数方程，两边取对数化为

log2af(x)=αlogaf(x)+logab，

令y=logaf(x)，再转化为解方程y2-αy-logab=0.

3.转换法.可利用对数的定义，把对数方程中的对数式转换为指数式，从而去掉对数符号，然后求解.转换法主要用于下述几种类型的对数方程的求解：

1) 对于形如logaf(x)=b的对数方程，可在f(x)>0的条件下解f(x)=ab.

2) 对于形如logf(x)g(x)=c的对数方程，可在f(x)>0且f(x)≠1，g(x)>0的条件下解方程

[f(x)]c＝g(x).

3) 对于形如

dilogafi(x)=b

的对数方程，可先化为

loga[fi(x)]αi＝b，

然后在fi(x)>0(i=1，2，…，n)条件下解方程

[fi(x)]αi＝ab.

4.图象法.对于在方程中除含有未知数的对数式外，还含有其他代数式的对数方程，例如2log2x+x-8=0，可用图象法求出它的解或解的近似值(参见“对数方程的图象解法”).

解对数方程时，由于去掉对数符号后要扩大方程未知数允许值范围及在解转化后的一些代数方程可能进行非同解变形等原因，所以最后要验根.

第三章

幂函数、指数函数和对数函数

【教材解读】

幂函数是中学教材中的一个基本内容，

即是对正比例函数、

反比例函数、

二次函数的系

统总结，也是对这些函数的概况和一般化

.

指数函数是中学教材中的一个基本内容，

是最重要的初等函数之一；

它在反函数概念及

对数函数概念的引入和学习中起关键作用；

对培养学生的数学能力、

特别是形成正确的数学

观念有非常积极的作用

.

为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”

，引入了对数。对数这一内容本身就是

学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要

.

一方面，对数的运算要为后面学习对数函

数以及对数方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别

.

这一

部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫

.

当然在这个内容中

运算法则的熟练运用尤为重要。

为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式

.

“反函数”是

《高中代数》

第一册的重要内容

.

这一节课与函数的基本概念有着紧密的联

系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，

又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备

,

起到承上启

下的重要作用

.

“对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、

对数概念及其运算、

反函数的概念等知识之后的一节重要内容，

是基本初等函数研究的继续，

是数形结合的典型

课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实

际问题的重要工具，

更是高考的热点之一．

在本节课的学习中，

涉及到数形结合、

类比归纳、

分类讨论等数学思想，

对培养学生的辨证思维能力，

培养学生的创新意识有很大的帮助．

是

幂函数、

指数函数等基本初等函数研究的继续；

它是解指数方程、

对数方程及其不等式的基

础．在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的

综合思维能力，提高学生的思辩能力有很大的帮助．

指数方程是一种超越方程，

以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的

指数方程

.

因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换

元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用

指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察

论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习

.

在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函

数性质的应用安排了对数方程

.

由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方

程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法

.

教材从实例引入对数方程；

说明对数方程来自于实践的需要，

本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；

难点是掌

握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大(缩小)

字母的允许值范围

.