指数方程和对数方程的解法(一)
【教学目标】
1.
理解指数方程、
对数方程的概念，
掌握简单的指数方程及对数方程的解法，
能应用所学
知识解决简单的实际问题。
2.
通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法，
从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成
解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式
.
3
．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法
.
【教学重点】
指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法
.
【教学难点】
感悟等价转化、
数形结合、
观察论证、
函数与方程等数学思想与方法，
学会研究问题的方法
.
【知识整理】
1
．简单的指对数方程
指数方程、
对数方程的概念：
指数里含有未知数的方程叫指数方程；
在对数符号后面含有未
知数的方程叫做对数方程。
2
．常见的四种指数方程的一般解法
指数
对数
函数
幂函数、指数函数、
对数函数
…
初等函数
复合
应
用
方
程
不等式
解析式
图
象
性
质
反函数

第三章
幂函数、指数函数和对数函数
【教材解读】
幂函数是中学教材中的一个基本内容，
即是对正比例函数、
反比例函数、
二次函数的系
统总结，也是对这些函数的概况和一般化
.
指数函数是中学教材中的一个基本内容，
是最重要的初等函数之一；
它在反函数概念及
对数函数概念的引入和学习中起关键作用；
对培养学生的数学能力、
特别是形成正确的数学
观念有非常积极的作用
.
为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”
，引入了对数。对数这一内容本身就是
学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要
.
一方面，对数的运算要为后面学习对数函
数以及对数方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别
.
这一
部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫
.
当然在这个内容中
运算法则的熟练运用尤为重要。
为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式
.
“反函数”是
《高中代数》
第一册的重要内容
.
这一节课与函数的基本概念有着紧密的联
系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，
又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备
,
起到承上启
下的重要作用
.
“对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、
对数概念及其运算、
反函数的概念等知识之后的一节重要内容，
是基本初等函数研究的继续，
是数形结合的典型
课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实
际问题的重要工具，
更是高考的热点之一．
在本节课的学习中，
涉及到数形结合、
类比归纳、
分类讨论等数学思想，
对培养学生的辨证思维能力，
培养学生的创新意识有很大的帮助．
是
幂函数、
指数函数等基本初等函数研究的继续；
它是解指数方程、
对数方程及其不等式的基
础．在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的
综合思维能力，提高学生的思辩能力有很大的帮助．
指数方程是一种超越方程，
以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的
指数方程
.
因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换
元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用
指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察
论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习
.
在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函
数性质的应用安排了对数方程
.
由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方
程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法
.
教材从实例引入对数方程；
说明对数方程来自于实践的需要，
本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；
难点是掌
握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大(缩小)
字母的允许值范围
.

考研数学
极限与连续
求极限的方法
间断点的分类
渐近线
一元函数微分学
导数定义
导数的四则运算法则 反函数求导 复合函数求导
隐函数求导 参数方程求导 对数求导法则
微分
中值定理 闭区间连续函数性质
单调性 极值 最值 凹凸 拐点
一元函数积分学
不定积分
反常积分
定积分应用
微分方程
一阶微分方程的解法
可降阶的微分方程
二阶线性微分方程的解法
多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分
多元复合函数求导法则 隐函数求导公式
多元函数极值及其求法
二重积分
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
无穷级数
常数项级数的审敛法
幂级数
函数展开成幂级数
曲线曲面积分
三重积分计算
曲线积分计算 格林公式
曲面积分 高斯公式

极限与连续
求极限的方法
间断点的分类
渐近线
一元函数微分学
导数定义
导数的四则运算法则 反函数求导 复合函数求导
隐函数求导 参数方程求导 对数求导法则
微分
中值定理 闭区间连续函数性质
单调性 极值 最值 凹凸 拐点
一元函数积分学
不定积分
反常积分
定积分应用
微分方程
一阶微分方程的解法
可降阶的微分方程
二阶线性微分方程的解法
多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分
多元复合函数求导法则 隐函数求导公式
多元函数极值及其求法
二重积分
利用直角坐标计算二重积分
利用极坐标计算二重积分
无穷级数
常数项级数的审敛法
幂级数
函数展开成幂级数
曲线曲面积分
三重积分计算
曲线积分计算 格林公式
曲面积分 高斯公式

基础知识
什么是算法？
如何评判一个算法的好坏？
大O表示法（Big O）
对数阶的细节
常见的复杂度
多个数据规模的情况
LeetCode刷题指南
斐波那契数列复杂度分析
斐波那契数列-递归
斐波那契数列-循环
fib函数的时间复杂度分析
斐波那契的线性代数解法-特征方程
算法的优化方向
后序


感谢小码哥的恋上数据结构，记录课程笔记。


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想加深 Java 基础推荐看这个： Java 强化笔记目录

什么是算法？
算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤。
以下算法是为了解决两数相加的问题。
// 计算a和b的和
public static int plue(int a, int b){
	return a + b;
}

以下算法是为了解决 n个数字的和 的问题。
// 1+2+3+...+n
public static int sum(int n){
	int result = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		result += i;
	}
	return result;
}

使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。

比如：求第 n 个斐波那契数（fibonacci number）
如何评判一个算法的好坏？
如果单从执行效率上进行评估，可能会想到这么一种方案：

比较不同算法对同一组输入的执行处理时间
这种方案也叫做：事后统计法

上述方案有比较明显的缺点：

执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素
必须编写相应的测算代码
测试数据的选择比较难保证公正性

一般从以下维度来评估算法的优劣：

正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）
时间复杂度（time complexity）

估算程序指令的执行次数（执行时间）
空间复杂度（space complexity）

估算所需占用的存储空间

由于现在硬件发展的较好，一般情况下我们更侧重于时间复杂度。
大O表示法（Big O）
一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度。
忽略常数、系数、低阶：

9 >> O(1)
2n + 3 >> O(n)
n2 + 2n + 6 >>  O(n2)
4n3 + 3n2 + 22n + 100 >> O(n3)
写法上，n3 等价于 n^3

注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率。
对数阶的细节
对数阶一般省略底数

log29 ∗ log9n   >>  log2n
所以 O(log2n) 、O(log9n) 统称为 O(logn)

常见的复杂度






多个数据规模的情况
时间复杂度：O(n + k)
public static void test(int n, int k){
	for(int i = 0; i < n; i++){
		System.out.println("test");
	}
	for (int i = 0; i < k; i++){
		System.out.println("test");
	}
}

LeetCode刷题指南
首先去 https://leetcode-cn.com/ 注册一个力扣账号。
我们以力扣上一道斐波那契的题目为例，顺便分析算法的时间复杂度。

题目网址：LeetCode: 509.斐波那契数


以执行 斐波那契数列(递归) 为例，必须写成这样：


斐波那契数列复杂度分析
斐波那契数列-递归
很简单的代码，相信来学数据结构的同学都能看懂。
// O(2^n)
public static int fib1(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

复杂度分析：



我们放到力扣上去执行一下：效率奇差无比！


斐波那契数列-循环
不开辟任何空间，只使用循环完成。
// O(n)
public static int fib2(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	
	int first = 0;
	int second = 1;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int sum = first + second;
		first = second;
		second = sum;
	}
	/*
	// 也可以使用while循环
	while (n-- > 1) {
		second += first;
		first = second - first;
	}
	*/
	return second;
}

力扣上执行：速度变快了，内存消耗还是很多…


开辟新的数组空间，用空间换时间。
public static int fib3(int n){
	if(n <= 1) return n;
	
	int[] fib = new int[n+1];
	fib[0] = 0;
	fib[1] = 1;
	for(int i = 2; i < fib.length; i++){
		fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
	}
	return fib[n];
}

力扣上执行：呃，和上面好像没啥区别。。	


fib函数的时间复杂度分析
上面两种 fib 函数的差别有多大？

如果有一台 1GHz 的普通计算机，运算速度 109 次每秒，n为64
O(n) 大约耗时 6.4 $*$ 10-8秒
O(2n) 大约耗时 584.94年
有时候算法之间的差距，往往比硬件方面的差距还要大

斐波那契的线性代数解法-特征方程

算法的优化方向

用尽量少的存储空间
用尽量少的执行步骤（执行时间）
根据情况，可以

空间换时间
时间换空间



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