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  • 对数函数

    万次阅读 2019-11-10 22:27:37
    一般地,对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。 对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义: 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为...

    简介

    一般地,对数函数是以真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。

    对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义:

    如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数

    一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

    其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

    实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。

    对数函数对数函数

    对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】

    通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:

    当a>0,a≠1时,aX=N

     X=logaN。(N>0)

    指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:

    实数范围内,负数没有对数;

      ,log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。

    有理和无理指数

    如果  是正整数,   表示等于  的

     个因子的加减:

    加减加减

    但是,如果是   不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数  (参见)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数   ,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。

    对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法幂运算乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

    复对数

    复对数计算公式

    复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。

    产生历史

    编辑

    16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]  。

    德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。

    欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。

    纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳

    对数的图像对数的图像

    皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:

    Nap.㏒x=10㏑(107/x)

    由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。

    瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。

    英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

    1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。

    对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

    最早传入我国的对数著作是《比例对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫真数,0.3010叫做假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用假数对数」。

    我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的捷法,著有《对数》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905)看到这些著作后,大为叹服。

    当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。

    函数性质

    编辑

    定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1

    和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

    值域实数集R,显然对数函数无界;

    定点对数函数的函数图像恒过定点(1,0);

    单调性a>1时,在定义域上为单调增函数;

    0<a<1时,在定义域上为单调减函数;

    奇偶性非奇非偶函数

    周期性不是周期函数

    对称性:无

    最值:无

    零点:x=1

    注意:负数和0没有对数

    两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

    也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

    当0<a<1, 0<b<1时,y=logab>0;

    当a>1, b>1时,y=logab>0;

    当0<a<1, b>1时,y=logab<0;

    当a>1, 0<b<1时,y=logab<0。

    公式推导

    编辑

    e的定义:

    设a>0,a≠1

    方法一: 

    指数函数指数函数

    特殊地,当   时,

        。

    方法二:

      ,两边取对数ln y=xln a

     

    两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a

    特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

    eº=1

    运算性质

    编辑

    性质

    一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数

    底数则要>0且≠1 真数>0

    并且,在比较两个函数值时:

    如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

    如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0<a<1时)

    当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

    对数函数化简问题对数函数化简问题

    和差

    和差和差

    换底公式

    换底公式换底公式

    推导:设

    换底公式换底公式

    所以

    换底公式换底公式

    两边取对数,则有

    换底公式换底公式

    换底公式换底公式

    又因为

    换底公式换底公式

    所以

    换底公式换底公式

    指系

    指系指系

    互换

    互换互换

    倒数

    倒数倒数

    链式

    链式链式 [2]

    表达方式

    编辑

    (1)常用对数:lg(b)=log10b(10为底数)。

    (2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)。

    e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828。

    与指数的关系

    编辑

    同底的对数函数与指数函数互为反函数。

    当a>0且a≠1时,ax=N

     x=㏒aN。

    关于y=x对称

    对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴、当0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴。

    可以看到,对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为

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  • 对数函数与幂函数

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    对数函数

    1. 金字塔

    1.1 横线思考

    • 对数函数与指数函数的关系,互为反函数的关系;
    • 专业术语:底数、对数、真数(幂)、
    • 特殊对数函数:常数对数函数、自然对数函数;
    • 底数的取值范围:大于0,但是不等于1;
    • 对数函数的定义域 :(0&lt;x&lt;)(0&lt;x&lt;\infty)
    • 对数函数的值域:(&lt;y&lt;)(-\infty &lt; y &lt; \infty)

    1.2 纵向思考

    • 对数函数的定义
    • 对数函数的性质
    • 对数函数的运算
    • 对数函数的图像

    2.麦笔记

    2.1 对数函数的定义

    对数函数是指数函数的反函数,从定义的角度,可以从指数函数的反函数的角度进行考虑,对数函数与指数函数的图像关于 y=xy=x对称,负数和零没有对数;

    2.3 对数函数的运算

    • 如果 a&gt;0,a0,M&gt;0,N&gt;0a&gt;0, 且a \neq 0, M &gt; 0, N &gt;0

    (1)loga(MN)=logaM+logaN;(1) \log_a{(M*N)}=\log_aM + \log_aN;
    (2)loga(MN)=logaMlogaN(2) \log_a{(\frac{M}{N} )} = \log_aM- \log_aN
    (3)logaMN=NlogaM(NϵR)(3) \log_a{M^N}=N\log_aM (N \epsilon R)

    • 可以查询常数对数表、自然对数表。所以 下面介绍换底公式。

    logab=logcblogca换底公式:\log_ab = {\frac{\log_cb}{\log_ca}}

    2.4 对数函数的性质与图像

    enter image description here

    • 定义域:(0,+)(0, +\infty)
    • 值域:RR
    • 性质:
      • (1)过定点(1,0);
      • (2)当 a&gt;1a&gt;1时,是增函数;
      • (3)当 0&lt;a&lt;10&lt;a&lt;1时,是减函数;

    幂函数

    enter image description here

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  • 指数函数,幂函数,对数函数

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    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数

    指数函数

    指数函数公式为y=a^{x},其函数增长性如下:

     指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 

    在x>0部分,a>b其y值也是随着f_{a}(x)>f_{b}(x)

    在x<0部分 当a>b是,其f_{a}(x)<f_{b}(x)<1

    对数函数

    对数函数表达式为:y=log_{a}x,其函数图像为如下:

    当x等于1时 y为0,

    当x<1时,其y值小于0

    当x >1时,其值大于0

    对数函数为单调递增的,当a>1时,随着地鼠a越小,其函数增长值越快

    当x> 1时, a<b,f_{a}(x)>f_{b}(x)

    当x<1时, a<b ,f_{a}(x)<f_{b}(x)

     幂函数

    幂函数表达式为y=x^{n},其图像如图:

    对数函数为单调递增的,当n大于1时且x大于1时, n越大其函数值越大

    比较三个函数y=2^{x},y=x^{2},y=log_{2}x增长快慢

     

     y=log_{2}x增长最慢,幂函数y=x^{2}和指数函数y=2^{x}快慢交替进行

    在x(0.2)区间,幂函数比指函数增长较快

    在(4,+\propto)指数函数比幂函数增长较快

    展开全文
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对数函数是多值函数吗