精华内容
下载资源
问答
  • 对数函数求导法则
    千次阅读
    2020-12-20 10:50:23

    宜城教育资源网www.ychedu.com复合函数求导公式大全_复合函数求导法则_复合函数求导经典例题_复合函数求导导学案复合函数求导导学案定义编辑设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。如等都是复合函数。而就不是复合函数,因为任何x都不能使y有意义。由此可见,不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数,有时可能有两个以上,如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数,u、v都是中间变量。[2]定义域编辑若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点:⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。[3]周期性编辑设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).单调(增减)性编辑决定因素依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即"增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减",可以简化为"同增异减"。基本步骤判断复合函数的单调性的步骤如下:⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。例题例如:讨论函数y=的单调性。解:函数定义域为R;令u=x2-4x+3,y=0.8u;指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数;u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数;∴函数y=在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。复合函数求导编辑规则复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);复合函数的导数应用举例1、求:函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。解:设u=g(x)=3x+2;f(u)=u3+3;f'(u)=3u2=3(3x+2)2;g'(x)=3;f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2;2、求f(x)=的导数。解:设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=;f'(a)==;p'(u)=2u=2(x-4);g'(x)=1;f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)==.复合函数求导法则链式法则(英文chainrule)是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x,g(x)=3x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g′(f(x))=3链式法则(chainrule)若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f'(g(x))g'(x)链式法则用文字描述,就是"由两个函数凑起来的复合函数,其导数等于里函数代入外函数的值之导数,乘以里边函数的导数。"证明证法一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)引理证毕。设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0则lim(Δx->0)α=0最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 宜城教育资源网www.ychedu.com

    更多相关内容
  • 反函数求导法 以 a x 的 导 函 数 推 导 为 例 , 利 用 反 函 数 求 导 法 则 以a^x的导函数推导为例,利用反函数求导法则 以ax的导函数推导为例,利用反函数求导法则 直接函数 x = x ( y ) = l o g a y x , y 取 值 ...

    微分&导数&微商

    image-20220701152103455

    函数在 x = x 0 x=x_0 x=x0导数的定义

    • 定义两点

    A x 0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) ; ( 指 定 x = x 0 处 的 极 限 ) B x = ( x , f ( x ) ) = ( x 0 + Δ x , f ( x 0 + Δ x ) ) { Δ x = x − x 0 Δ y = { f ( x ) − f ( x 0 ) f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) x → x 0 ⟺ Δ x → 0 有 时 , 也 记 h = Δ x A_{x_0}(x_0,f(x_0));(指定x=x_0处的极限) \\ B_x=(x,f(x))=(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)) \\ \begin{cases} \Delta x=x-x_0 \\ \Delta y= \begin{cases} f(x)-f(x_0) \\ f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \end{cases} \end{cases} \\ x\rightarrow x_0 \Longleftrightarrow \Delta x\rightarrow 0 \\有时,也记h=\Delta x Ax0(x0,f(x0));(x=x0)Bx=(x,f(x))=(x0+Δx,f(x0+Δx))Δx=xx0Δy={f(x)f(x0)f(x0+Δx)f(x0)xx0Δx0,h=Δx

    lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = { lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =\begin{cases} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} \\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} } \end{cases} Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)xx0limxx0f(x)f(x0)h0limhf(x0+h)f(x0)

    通常,为了方便书写,经常采用第三中形式进行推导:
    f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'(x_0)=\lim\limits_{ h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} } f(x0)=h0limhf(x0+h)f(x0)

    导函数的定义

    • 和导数的定义类似,我们将导数定义中的 x 0 x_0 x0替换为x

    • f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} f(x)=Δx0limΔxf(x+Δx)f(x)=h0limhf(x+h)f(x)


      g ( h ) = f ( x + h ) − f ( x ) h g(h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} g(h)=hf(x+h)f(x)


      f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 g ( Δ x ) = lim ⁡ h → 0 g ( h ) 这 里 这 么 写 , 是 为 了 强 调 , 利 用 导 数 定 义 求 导 数 ( 导 函 数 ) 的 时 候 , 被 求 极 限 的 函 数 g ( h ) 的 自 变 量 h ( 即 f ( x ) 自 变 量 x 的 增 量 Δ x ) 与 被 求 导 数 的 f ( x ) 的 自 变 量 x 不 同 f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)} =\lim_{h \rightarrow 0}{g(h)} \\这里这么写,是为了强调,利用导数定义求导数(导函数)的时候, \\被求极限的函数g(h)的自变量h(即f(x)自变量x的增量\Delta x)与被求导数的f(x)的自变量x不同 f(x)=Δx0limg(Δx)=h0limg(h),,(),g(h)h(f(x)xΔx)f(x)x

    • 显然, f ( x ) 在 x 0 处 的 导 数 f ′ ( x 0 ) 就 是 导 函 数 f ′ ( x ) 在 x = x 0 处 的 函 数 值 f(x)在x_0处的导数f'(x_0)就是导函数f'(x)在x=x_0处的函数值 f(x)x0f(x0)f(x)x=x0

      • f ′ ( x 0 ) = f ′ ( x ) ∣ x = x 0 = d y d x f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0}=\frac{dy}{dx} f(x0)=f(x)x=x0=dxdy

    对数函数的导数推导(导数定义极限法)

    f ( x ) = l o g a x f ′ ( x ) = ( l o g a x ) ′ = lim ⁡ h → 0 l o g a ( x + h ) − l o g a ( x ) h = lim ⁡ h → 0 l o g a ( x + h x ) h = lim ⁡ h → 0 1 h l o g a ( x + h x ) = lim ⁡ h → 0 l o g a ( 1 + h x ) 1 h 记 g ( h ) = l o g a ( 1 + h x ) 1 h ( l o g a x ) ′ = lim ⁡ h → 0 g ( h ) ; g ( h ) 的 自 变 量 是 h ( g ( h ) 将 x 看 作 常 量 ) 该 极 限 是 1 ∞ 类 型 ; 由 第 二 重 要 极 限 的 推 广 公 式 得 到 : A = lim ⁡ h → 0 h x 1 h = 1 x 所 以 对 于 u = ϕ ( h ) = ( 1 + h x ) 1 h ; u 0 = lim ⁡ h → 0 u = e 1 x 又 由 复 合 函 数 的 极 限 运 算 法 则 : lim ⁡ h → 0 g ( h ) = lim ⁡ u → u 0 l o g a u = l o g a u 0 = l o g a e 1 x 根 据 换 底 公 式 得 到 ( l o g a x ) ′ = l o g a e 1 x = ln ⁡ e 1 x ln ⁡ a = 1 x 1 ln ⁡ a f(x)=log_a x \\ f'(x)=(log_a x)'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_a{(x+h)}-log_a(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_a(\frac{x+h}{x})}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}{log_a({x+h}{x})} \\=\lim_{h\rightarrow 0}{log_a{(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}}} \\记g(h)={log_a{(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}}} \\(log_a x)'=\lim_{h\rightarrow 0}g(h);g(h)的自变量是h(g(h)将x看作常量) \\ 该极限是1^\infin类型; 由第二重要极限的推广公式得到:A=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{x}\frac{1}{h}=\frac{1}{x} \\所以对于u=\phi(h)=(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}; \\ u_0=\lim_{h\rightarrow 0}{u}=e^{\frac{1}{x}} \\又由复合函数的极限运算法则: \lim_{h\rightarrow 0}g(h)=\lim_{u\rightarrow u_0}log_a{u}=log_a u_0=log_a e^\frac{1}{x} \\根据换底公式得到(log_a x)'=log_ae^{\frac{1}{x}}=\frac{\ln e^{\frac{1}{x}}}{\ln a}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a} f(x)=logaxf(x)=(logax)=h0limhloga(x+h)loga(x)=h0limhloga(xx+h)=h0limh1loga(x+hx)=h0limloga(1+xh)h1g(h)=loga(1+xh)h1(logax)=h0limg(h);g(h)h(g(h)x)1;广:A=h0limxhh1=x1u=ϕ(h)=(1+xh)h1;u0=h0limu=ex1:h0limg(h)=uu0limlogau=logau0=logaex1(logax)=logaex1=lnalnex1=x1lna1

    导数与微分

    • 微分是导数的另一种描述形式
    • 导数 y ′ = d y d x y'=\frac{dy}{dx} y=dxdy,(函数的微分dy除以自变量x的微分dx,因而导数也叫做微商)

    对数函数的导函数

    ( l o g a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a (log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} (logax)=xlna1

    • 对数函数的导函数可以通过第二重要极限计算得到

    反函数求导法

    以 a x 的 导 函 数 推 导 为 例 , 利 用 反 函 数 求 导 法 则 以a^x的导函数推导为例,利用反函数求导法则 ax,

    • 直接函数

      • x = x ( y ) = l o g a y x , y 取 值 范 围 : y ∈ ( 0 , + ∞ ) x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ( 自 变 量 y 的 ) 函 数 x 的 导 数 : x ′ ( y ) = 1 y 1 ln ⁡ a x=x(y)=log_ay \\x,y取值范围: \\ y\in (0,+\infin) \\x \in (-\infin,+\infin) \\(自变量y的)函数x的导数: \\x'(y)=\frac{1}{y}\frac{1}{\ln a} \\ x=x(y)=logayx,y:y(0,+)x(,+)(y)x:x(y)=y1lna1
    • 反函数

      • y = y ( x ) = a x ★ 函 数 x ( y ) 和 函 数 y ( x ) 互 为 反 函 数 y=y(x)=a^x \\ \bigstar函数x(y)和函数y(x)互为反函数 \\ y=y(x)=axx(y)y(x)
    • 反函数的导数

      • 则 : y ′ ( x ) = 1 x ′ ( y ) = 1 1 x ln ⁡ a = x ln ⁡ a 即 , y ′ ( x ) = ( a x ) ′ = x ln ⁡ a ∴ ( a x ) ′ = x ln ⁡ a 则: y'(x)=\frac{1}{x'(y)}=\frac{1}{\frac{1}{x\ln a}}=x\ln a \\即,y'(x)=(a^x)'=x\ln a \\ \therefore (a^x)'=x\ln a :y(x)=x(y)1=xlna11=xlna,y(x)=(ax)=xlna(ax)=xlna

    对数求导法

    以 求 a x 的 导 函 数 为 例 , 使 用 对 数 求 导 法 ( 伯 努 利 求 导 法 ) 以求a^x的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法) ax,使()

    y = a x ln ⁡ y = ln ⁡ a x = x ln ⁡ a 两 边 同 时 求 导 1 y y ′ = ln ⁡ a y ′ = y ln ⁡ a = a x ln ⁡ a 即 , ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a y=a^x \\ \ln y=\ln a^x=x \ln a \\ 两边同时求导 \\ \frac{1}{y}y'=\ln a \\ y'=y\ln a=a^x \ln a \\ 即,(a^x)'=a^x \ln a y=axlny=lnax=xlnay1y=lnay=ylna=axlna,(ax)=axlna

    导数表示法&导数记号系统

    莱布尼兹记号法

    导数

    在这里插入图片描述

    反微分(积分)

    在这里插入图片描述

    拉格朗日记号法

    导数

    在这里插入图片描述

    反微分

    在这里插入图片描述

    欧拉记号法

    在这里插入图片描述

    反微分

    在这里插入图片描述

    牛顿记号

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 本文介绍了利用隐函数对数、以及参数方程求导的概念和方法。

    一、隐函数概念

    用y=f(x)这种方式定义的函数叫显函数,而隐函数是指没有使用这种方式定义,而是用类似F(x,y)=0这种方程方式来定义x和y关系的方式。

    一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。

    把一隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。例如从方程x+y-1=0解出y=1-x,就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的,但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。

    二、隐函数求导

    隐函数实际上是一个方程,对于方程F(x,y)=0,可以对该方程两边对x求导,求导的结果还是一个方程。但求导中要注意,该方程隐含了y=f(x),因此y不能看做常数处理。例如,针对方程:
    xy=0
    两边对x求导,可以得到的方程是:(xy)’=x’y+y’x=y+xy’=0
    这样就能得到一个关于x、y、y’的方程,如果能将y’用x和y的方式表达出来,就得到了隐函数y的导数公式,当点(x0,y0)的坐标值确定时,在该点的导数值就能确定。

    为了清楚说明,下面贴一个书中的例子:
    在这里插入图片描述

    三、对数求导法求导

    求函数y=f(x)的导数在某些情况下,将函数两边先同时进行取对数运算再求导有助于化复杂为简单。老猿认为这是应为对数可以把指数或求根运算转换为乘积运算,可以把乘积运算转换为加减运算,实现了运算的降维。

    指数运算转换为乘积运算的案例请见《y=x^sinx(y=x的sinx次方)为什么不能用复合函数直接求导数?》。

    乘积、方根运算转换请见书中如下案例:
    在这里插入图片描述

    四、参数方程求导法

    前面第二部分介绍的隐函数是对F(x,y)=0的方程求导,但有时x和y不是建立直接关系,而是各自与第三个参数建立方程关系,此时的方程就是参数方程。

    一般地,方程组:
    x=g(t)
    y=h(t)
    确定了y与x之间的函数关系,上述方程组就是参数方程,由该参数方程确定的y与x的关系函数y=f(x)就称为参数方程确定的函数。

    针对参数方程确定的函数y=f(x)求导,由于二者之间都是通过t关联,要将其表达为y=f(x)方式需要去除参数t,但有些情况t不容易去掉,这时可能可以通过参数方程计算出y=f(x)的导数。

    上述参数方程所确定的y关于x的函数的求导公式如下:
    在这里插入图片描述
    如果h(t)、g(t)是二阶可导的,那么从上述一阶导数可以得到函数对应的二阶导求导公式如下:
    在这里插入图片描述

    参数方程求导的一个应用案例

    在这里插入图片描述

    五、小结

    本文介绍了利用隐函数、对数、以及参数方程求导的概念和方法。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

    更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

    写博不易,敬请支持:

    如果阅读本文于您有所获,敬请点赞、评论、收藏,谢谢大家的支持!

    关于老猿的付费专栏

    1. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程,对应文章目录为《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》;
    2. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理,对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》;
    3. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏,是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合,相关资料基本上都是老猿反复研究的成果,有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV,对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录
    4. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容,包括爬虫入门的基础知识,以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。

    前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习,第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。

    对于缺乏Python基础的同仁,可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏:Python基础教程目录)从零开始学习Python。

    如果有兴趣也愿意支持老猿的读者,欢迎购买付费专栏。

    老猿Python,跟老猿学Python!

    ☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython

    展开全文
  • 对数与指数函数求导

    千次阅读 2017-11-27 08:53:48
    Derivative of Logarithm and Exponential Function ...本文的根源来自对指数函数求导的困难.指数求导遇到的困难(ax)′=limdx→0ax+dx−axdx=limdx→0ax(adx−1dx) (a^x)' = \lim_{dx\to 0}\frac{a^{x+dx}-a^x}{dx} =

    Derivative of Logarithm and Exponential Function

    背景

    在了解自然常数e与对数的历史背景之后,对其相关的问题有了兴趣。本文的根源来自对指数函数求导的困难.

    指数求导遇到的困难

    (ax)=limdx0ax+dxaxdx=limdx0ax(adx1dx)

    对于 limdx0adx1dx
    无法转化成e的形式,通过表达式的可见,这也是指数函数在x=0处的导数.

    指数函数的直接求导不成功,从它的反函数对数入手,让对数函数的变量为指数函数,于是有了对复合函数的求导。
    所以顺带推导复合函数求导公式

    后经过查阅,发现有网友已经化解了这个表达式。见 化解x=0导数

    在对对数函数求导之前,先明确几个对数规律。

    规律1

    logBA=lnAlnB

    规律1证明

    A=eaB=eb

    A=BlogBA

    ea=eblogBA

    a=blogBA

    logBA=ab=lnAlnB

    规律2

    logAB=1logBA

    规律2证明

    logBA=lnAlnB=1lnBlnA=1logAB

    规律3(复合函数求导)

    (f(g(x)))=f(g(x))g(x)

    (f(g(x))) 表示对复合函数求导, f(g(x)) 表示f在 g(x) 处的导数

    规律3证明

    (f(g(x)))=limdx0f(g(x+dx))f(g(x))dx

    =limdx0f(g(x+dx))f(g(x))dxg(x+dx)g(x)g(x+dx)g(x)

    =limdx0f(g(x+dx))f(g(x))g(x+dx)g(x)g(x+dx)g(x)dx

    =f(g(x))g(x)

    复合函数求导应用

    (f(f1(x)))=f(f1(x))f1(x)=(x)=1

    f1(x)=1f(f1(x))

    对数函数求导

    (lnx)=limdx0ln(x+dx)ln(x)dx=limdx0lnx+dxxdx

    =limdx0ln(x+dxx)1dx

    =limdx0ln(1+dxx)1dx

    =limdx0xxln(1+dxx)1dx

    =limdx01xln(1+dxx)xdx

    t=xdx 则上述表达式写成:

    1xlimtln(1+1t)t

    =1xlne=1x

    (logax)=(lnxlna)=1xlna

    指数函数求导

    因为有了对数函数导数与复合函数求导规律,所以容易推导指数函数导数:

    (ax)=11axlna=axlna

    化解x=0导数

    下面方法参考于网络:

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_49fa93c101000doh.html

    得到的启示是,对于趋于0或趋于无穷的表示式,是可以变换的,变换的运算过程可以得到很难直观发现的结果.

    limt0(at1t)

    u=at1 t=loga(u+1)

    因为t趋于0,所以u趋于0.

    上式可以写成:

    limu0uloga(u+1)=limu011uloga(u+1)=limu01loga(u+1)1u=1logae=lna

    展开全文
  • 复合函数求导是高考中必须掌握的东西,内容如下:设 ,对 求导得:而用复合函数求导法可以推导出隐函数求导的方法。隐函数求导是高等数学里面的东西,是一个挺有意思的概念,做一下了解也会有点帮助~一、隐函数求导...
  • 数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则

    万次阅读 多人点赞 2018-10-18 11:36:13
    数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则 三角函数相关运算 指数和对数函数相关运算 对数函数的强大之处在于可以变积为和,变商为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式的函数的导数时,将原来的函数...
  • 对数求导法的例题 取对数求导

    千次阅读 2021-02-05 03:20:40
    首先 自然对数 就是对e求对数 即ln 对数运算有几个规律 ln(x*y)=lnx lny ln(x/y)=lnx-lny ln(x^y)=y*lnx 这样一来 你应该就明白了吧 lny=ln{[(x^2)/(x^2-1)]*[(x 2)/(x-2)^2]^(1/3)} =ln(x^2)-ln(x^2-1) ln(x 2)^(1/...
  • 函数在高等数学中经常用于求导,一个函数f(x)求导...(8)反函数求导法则 定理2要证明,你看一看标红的地方,已经证明了, 小学的玩意。下面是课本证明,看看就行了。重点是划红线的地方。 (9)y...
  •  对f(x) = ax求导:  ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):  函数在某一点导数的几何...
  • 求导公式 导数运输法则 复合函数求导法则 幂指函数求导 取对数后按照符合函数求导法则
  • 求导法则列表

    2022-05-13 16:05:20
    1 16个基本初等函数的求导公式: ...3 反函数求导法则: 若严格单调连续函数在点可导,且,则其反函数在对应点处也可导。且, ​​​​​​​ (4) ...
  • 指数函数求导的代数理解;有关自然常数e的理解!!
  • 复杂函数求导/对数指数幂公式

    千次阅读 2018-11-05 11:22:03
    指数、对数公式https://wenku.baidu.com/view/69653d53f01dc281e53af0ba.html 求导公式... 复合函数求导法则https://baike.baidu.com/item/复合函数求导法则/15792114 复...
  • 第二节 函数求导法则
  • 矩阵求导计算法则

    千次阅读 2018-10-29 10:44:23
    转自:... 求导公式(撇号为转置): Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'...
  • 正态分布函数的反函数求导 matlab

    千次阅读 2021-04-18 06:23:14
    求反函数,另求导函数函数相关知识答案是不是x?f反函数(4^x)=f反函数(f(x))=x,本题主要是通过两次反函数变成了原函数,至于导函数函数好像没什么太大的区别吧,主要是先把y=f(x)换成x=f反函数(y)matlab中如何求标准...
  • 抽象函数求导方法怎么?

    千次阅读 2021-01-17 15:26:15
    2005-10-31什么是洛必达法则,用它求极限就是求导吗?我们知道,在求极限时,常会遇到两个无穷小之比的极限或两个无穷大之比的极限。这些极限有的存在,有的不存在。通常称这类极限为"未定式"。利用第一章的方法求未定式...
  • 法则5(反函数求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,并且   也可写为  或  这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原
  • 深度学习:Sigmoid函数与损失函数求导

    万次阅读 多人点赞 2017-07-18 14:22:22
    2 对数函数与sigmoid 2sigmoid函数求导 3神经网络损失函数求导 1、sigmoid函数​ sigmoid函数,也就是s型曲线函数,如下: 函数:f(z)=11+e−z 函数:f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} 导数:f′(z)=f(z)(1−f(z)) 导数:f'...
  • 1. sigmoid函数 sigmoid函数,也就是s型曲线函数,如下: 函数:f(z)=11+e−zf(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}f(z)=1+e−z1​ 导数:f′(z)=f(z)(1−f(z))f'(z)=f(z)(1-f(z))f′(z)=f(z)(1−f(z)) 上面是我们常见的形式,...
  • 行列式函数求导法则

    千次阅读 2012-12-15 01:48:00
    函数$f_{ij}(x)(i,j=1,2,\cdots,n)$在区间$I$内可导,则行列式函数 \begin{equation} f(x)=\begin{vmatrix} f_{11}(x)&f_{12}(x)&\cdots&f_{1n}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)&\cdots&f_{2n}(x...
  • 求导法则: 三角函数运算 指数和对数函数相关运算 隐函数求导 参数方程求导 幂指函数求导 复杂表达式函数求导
  • e2x求导(复合函数求导例题大全)

    千次阅读 2021-02-05 03:20:42
    y'= 6x+(e^2x)*2+1/x(中间那个用复合函数求导法则,后面的是常见的函数求导lnx的导数=1/x) y''=6+(e^2x)*2*2-1/x2 (1/x的导数是-1/x2) =4*e^2x-1/x2+6 记y=(lnx)^x 两边取对数,得lny=xln(lnx) 两边同时对x求导...
  • 相关函数求导公式 先复习回顾下一些数学基础,帮助推导过程可以更好的理解。下面列举的公式都是,接下来的推导中会用到的,没有涉及到的公式,此处不再列举。 常数项求导 以 e 为底的指数求导公式 ...
  • 指数函数对数函数导数定义推导

    千次阅读 2019-02-19 20:28:51
    令 , 所以 ,俩边求导, 根据复合函数求导法则为: 或者记住 的导数,用复合函数求导推 的导数。但是个人觉得这种做法太讨巧了,而且我也不是总能记住其中一个的导数是什么,一般是一忘就都忘了。理解一个...
  • 微分1、导数1.1 例题—导数定义求导(important)1.2 单侧导数1.3 例题—判断是否可导2、函数的求导法则2.1 定理一 线性组合求导的传递性2.2 定理二 反函数的求导法则2.2.1 例题—利用反函数求导法则求导2.3 定理三 ...
  • 指数函数与对数函数4.1 指数函数回顾4.2 对数函数回顾4.3 指数函数与对数函数互为反函数4.4 对数法则 4.指数函数与对数函数 4.1 指数函数回顾 底数指数底数^{指数}底数指数 4.2 对数函数回顾 y=2x=8y=2^x=8y=2x=8...
  • 数学之求导链式法则

    2022-03-05 01:00:25
    1.幂函数求导:x的a次求导就等于a乘x的a-1次在乘以x的导数,这里的x可以是任何东西 2.三角函数的sin求导:sinx求导就等于cosx在乘以x的导数,这里的x可以是任何东西 3.三角函数的cosx求导:cosx求导就等于-的sinx在...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,174
精华内容 869
关键字:

对数函数求导法则