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  • 第二节 函数求导法则

    1. 函数的和、差、积、商的求导法则

    • 四则运算
      如果函数 u = u ( x ) u=u(x) u=u(x) v = v ( x ) v=v(x) v=v(x)都在点 x x x具有导数
      那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 x x x具有导数,且
      ( 1 ) [ u ( x ) ± v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) ; (1)[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x); (1)[u(x)±v(x)]=u(x)±v(x);
      ( 2 ) [ u ( x ) ⋅ v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ; (2)[u(x)·v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x); (2)[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x);
      ( 3 ) [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) ( v ( x ) ≠ 0 ) (3)[\dfrac{u(x)}{v(x)}]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0) (3)[v(x)u(x)]=v2(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(v(x)=0)

    2. 反函数的求导法则

    • 反函数
      如果函数 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y)在区间 I y I_y Iy内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)\ne 0 f(y)=0
      那么反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f1(x)在区间 I x = { x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y } I_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\} Ix={xx=f(y),yIy}内也可导,且 [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) 或 d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx}=\cfrac{1}{\cfrac{dx}{dy}} [f1(x)]=f(y)1dxdy=dydx1
    • 反函数的导数等于直接函数导数的倒数

    3. 复合函数的求导法则

    • 复合函数
      如果 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)在点 x x x可导,而 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)在点 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)可导
      那么复合函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]在点 x x x可导,且其导数为 d y d x = f ′ ( u ) g ′ ( x ) 或 d y d x = d y d u ⋅ d u d x \frac{dy}{dx}=f'(u)g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx} dxdy=f(u)g(x)dxdy=dudydxdu

    4. 常数和基本初等函数求导公式总结

    • 常数
      ( C ) ′ = 0 (C)'=0 (C)=0
    • 幂函数
      ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 (x^\mu)'=\mu x^{\mu-1} (xμ)=μxμ1
    • 三角函数
      • ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x (\sin x)'=\cos x (sinx)=cosx
      • ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x (\cos x)'=-\sin x (cosx)=sinx
      • ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)'=\sec^2x (tanx)=sec2x
      • ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (\cot x)'=-\csc^2 x (cotx)=csc2x
      • ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (\sec x)'=\sec x\tan x (secx)=secxtanx
      • ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (\csc x)'=-\csc x\cot x (cscx)=cscxcotx
    • 指数函数
      ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (a^x)'=a^x\ln a(a>0,a\ne1) (ax)=axlna(a>0,a=1)
      ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x (ex)=ex
    • 对数函数
      ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (\log_ax)'=\cfrac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne1) (logax)=xlna1(a>0,a=1)
      ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\cfrac{1}{x} (lnx)=x1
    • 反三角函数
      • ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1
      • ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1
      • ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\cfrac{1}{1+x^2} (arctanx)=1+x21
      • ( a r c c o t   ) ′ = − 1 1 + x 2 \newcommand{\arccot}{\mathrm{arccot}\,}(\arccot)'=-\cfrac{1}{1+x^2} (arccot)=1+x21
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  • 求导公式 导数运输法则 复合函数求导法则 幂指函数求导 取对数后按照符合函数求导法则

    求导公式

    在这里插入图片描述

    导数运输法则

    在这里插入图片描述

    复合函数求导法则

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    幂指函数求导

    取对数后按照符合函数求导法则

    在这里插入图片描述

    二阶导求导方法

    二阶导等于对一阶导再次求导

    复合隐函数求导

    直接法

    直接对方程两边求导

    公式法

    用到偏导数

    偏导数

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  • 函数在高等数学中经常用于求导,一个函数f(x)求导...(8)反函数求导法则 定理2要证明,你看一看标红的地方,已经证明了, 小学的玩意。下面是课本证明,看看就行了。重点是划红线的地方。 (9)y...

    反函数在高等数学中经常用于求导,一个函数f(x)求导不是很好求的情况下或者它的反函数f(x)^{-1}更好求导,非常实用。包括在对数求导的过程中非常好用。

    要看对数求导可以看自然数学-导数运算法则和洛必达法则其中就有。

    涉及内容多,抓重点就行。

    反函数与直接函数的关系,别太看文字,看图就行。

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  • 数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则 三角函数相关运算 指数和对数函数相关运算 对数函数的强大之处在于可以变积为和,变商为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式的函数的导数时,将原来的函数...

    数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则



    三角函数相关运算


    指数和对数函数相关运算

    对数函数的强大之处在于可以变积为和,变商为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式的函数的导数时,将原来的函数转化为对数函数后可方便求导。

     


    隐函数求导

    “如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。一般情况下无法写成y=f(x)这种格式,任何的显函数都可以转化为隐函数,但隐函数不一定能转化为显函数。隐函数求导规则是分别将等式两边对x求导,再解出dy/dx。

    例: x2 + y2 = 1,求dy/dx


    参数方程求导

     


    幂指函数求导

    幂指函数不能直接用初等函数公式求导,一般做法是两边同时取对数,再对x求导。


    某些复杂表达式函数求导

    对于某些复杂表达式函数的求导,同样先取对数后再求导。


    Maple求导

    初等函数求导

                   

                            

    隐函数求导

    参数方程函数求导

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  • 复杂函数求导/对数指数幂公式

    千次阅读 2018-11-05 11:22:03
    指数、对数公式https://wenku.baidu.com/view/69653d53f01dc281e53af0ba.html 求导公式... 复合函数求导法则https://baike.baidu.com/item/复合函数求导法则/15792114 复...
  • 求导法则: 三角函数运算 指数和对数函数相关运算 隐函数求导 参数方程求导 幂指函数求导 复杂表达式函数求导
  • 1.1、分部积分法 关键是选择正确的u,v, 是的后部分积分好算 1.1、选幂函数作为u, du会将被积函数降幂,而v不会改变次数...1.2、选取对数函数或三角函数作为u 1.3、特殊 1.4、兼顾换元法和分部积分法
  • 行列式函数求导法则

    千次阅读 2012-12-15 01:48:00
    函数$f_{ij}(x)(i,j=1,2,\cdots,n)$在区间$I$内可导,则行列式函数 \begin{equation} f(x)=\begin{vmatrix} f_{11}(x)&f_{12}(x)&\cdots&f_{1n}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)&\cdots&f_{2n}(x...
  • 深度学习:Sigmoid函数与损失函数求导

    万次阅读 多人点赞 2017-07-18 14:22:22
    2 对数函数与sigmoid 2sigmoid函数求导 3神经网络损失函数求导 1、sigmoid函数​ sigmoid函数,也就是s型曲线函数,如下: 函数:f(z)=11+e−z 函数:f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} 导数:f′(z)=f(z)(1−f(z)) 导数:f'...
  • 2sigmoid函数求导3神经网络损失函数求导 1、sigmoid函数 ​ sigmoid函数,也就是s型曲线函数,如下:  函数:f(z)=11+e−z 导数:f′(z)=f(z)(1−f(z)) ​ 上面是我们常见的...
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  • 链式求导法则

    万次阅读 2018-05-30 13:46:16
    链式法则是微积分中的求导法则,用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数,是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如f(x)=3x,g(x)=x+3,g(f(x))就是一个复合函数,并且g(f(x))=3x+3链式法则(chain rule):若h(x)...
  • §2.1 导数的概念 一、从两个例子来谈导数的概念 ...设动点于时刻在直线上所处的位置为,于是,称此函数为位置函数。该如何定义动点在某一时刻的瞬时速度呢? 考虑从到这一时间间隔,质点从位置移动到,其质
  • 相关函数求导公式 先复习回顾下一些数学基础,帮助推导过程可以更好的理解。下面列举的公式都是,接下来的推导中会用到的,没有涉及到的公式,此处不再列举。 常数项求导 以 e 为底的指数求导公式 ...
  • 函数:1.1 从指数函数到sigmoid​ 首先我们来画出指数函数的基本图形:​ 从上图,我们得到了这样的几个信息,指数函数过(0,1)点,单调递增/递减,定义域为(−∞,+∞),值域为(0,+∞),再来我们看一下sigmoid函数的...
  • 本章主要回顾指数函数和对数函数,指数函数和对数函数求导 回顾指数函数和对数函数的基础知识 eee 的定义和性质 如何对指数函数和对数函数求导 指数函数和对数函数的极限求解 对数函数的微分 指数增长和指数...
  • 指数函数求导的代数理解;有关自然常数e的理解!!
  • 指数函数对数函数导数定义推导

    千次阅读 2019-02-19 20:28:51
    令 , 所以 ,俩边求导, 根据复合函数求导法则为: 或者记住 的导数,用复合函数求导推 的导数。但是个人觉得这种做法太讨巧了,而且我也不是总能记住其中一个的导数是什么,一般是一忘就都忘了。理解一个...
  • 机器学习和深度学习中比较重要的内容便是计算图,主流的框架如tensorflow,pytorch都是以计算图为主要框架。...我们先定义表达式(由初等函数构造而成),在表达式构造完成之前不进行计算。完成后,传入自变...
  • 函数求导——对等式方程两边同时求导具有怎样的实际意义呢?
  • 链式求导法则-微积分高数解答版

    千次阅读 2020-08-13 17:06:30
    链式求导法则-微积分高数解答版 看了深度学习的反向计算的链式法则是不是一脸懵,不怕,本文从大学老师的讲解方法让你从根本上理解链式法则 注:本文适合学过高数,但又把知识还给老师的小伙伴。能让你立马回忆...
  • 我们在高考数学中学过指数函数求导公式 f(x)=axf′(x)=axln⁡a(a>0,a≠1)f(x) = a^x\\ f'(x) = a^x\ln{a}(a&amp...
  • 宜城教育资源网www.ychedu.comx的a次方的导数图像-导数的求导法则-x的a次方求导公式用定义推导导数的求导法则1.求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。2.两个函数的乘积的导...
  • 指数函数与对数函数4.1 指数函数回顾4.2 对数函数回顾4.3 指数函数与对数函数互为反函数4.4 对数法则 4.指数函数与对数函数 4.1 指数函数回顾 底数指数底数^{指数}底数指数 4.2 对数函数回顾 y=2x=8y=2^x=8y=2x=8...
  • 第五章Neural Networks由网神主讲,精彩内容有:神经网络做回归和分类的训练目标函数、BP误差后向传播的链式求导法则、正则化、卷积网络等。
  • 法则5(反函数求导法则)如果函数在区间内单调连续,且在该区间内处处有不等于0的导数,那么它的反函数在相应区间内也处处可导,即存在,并且   也可写为  或  这个等式还可以简单地说成反函数的导数等于原

空空如也

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对数函数求导法则