【摘要】对数函数，特别是对数复合函数的定义域以及值域，由于它牵涉的知识点比较多，在中学数学教学中占有相当重要的地位，笔者根据平时教学经验的积累，总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题，与同行切磋。

【关键词】定义域；值域；对数函数

一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则

设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数，则有如下判别法则：

(1)当a>1，函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加，没有最大值，也没有最小值，函数值域为(-∞,+∞)；在定义域［x1,x2］(00,a≠1)是对数复合函数，其中中间变量u=g(x)叫内函数，y=logag(x)叫外函数，则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0}，在这个定义域内，先确定内函数u=g(x)的值域，然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值，从而得到对数复合函数的值域。

(1)当a>1，如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞)，没有最大值，也没有最小值，则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加，没有最值，值域为(-∞,+∞)；如果u=g(x)在取值［u1,u2］单调增加，则对数复合函数在［u1,u2］也单调增加，有最小值y1=logau1=logag(x1)，有最大值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y1,y2］；如果u=g(x)在［u1,u2］单调减少，则对数复合函数在［u1,u2］也单调减少，有最大值y1=logau1=logag(x1)，有最小值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y2,y1］。

(2)当0　　例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。

解 要使函数有意义，则需x2+2x+5>0。

∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-160，

故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。

∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞)，y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4，

∴函数u=x2+2x+5，当x=-1时，有最小值y0=4。

即函数u=x2+2x+5的值域是［4,+∞)。

∴函数y=log2u在［4,+∞)是单调增函数，且当u=4时，y=log24=2，故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是［2,+∞)。

例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。

解 设u=-x2+4x-3是内函数，

要使函数有意义，则需-x2+4x-3>0，

解之得1　　故函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域是［1,3］。

x0=-42×(-1)=2∈［1,3］，

y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。

∴内函数u=-x2+4x-3在x0=2时，有最大值u=1，当x=1或者x=3时，有最小值u=0。

∴内函数u=-x2+4x-3的值域是［0,1］,函数值单调增加，

∴对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少，但当u=1时，y=log12u=0，当u=0时，y→-∞。

故对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0］。

例3 求函数y=lgx+1x-1的定义域与值域。

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对数函数的一般形式是y=loga x，定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431353432数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1。

如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

对数函数y=logax，如果x是一个函数，还需要考虑：

(1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。

(3)指数、对数的底数大于0，且不等于1。

(4)y=tanx中x≠kπ+π/2。

对数函数的值域是函数y=f(x)中y的取值范围。例如：

求y=log2(4-x²)的值域。

对数是递增的，真数4-x²≦4，所以：y=log2(4-x²)≦log2(4)=2，即值域为(-∞,2]。求值域要先考虑真数的取值范围。

扩展资料：

对数的历史来源：

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列(叫原

Q 提问： 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里？

A 回答： 问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.

先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R，说明当x取任意值时，g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g(x)不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点，g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-，即 f(x)存在最大值，这说明它的值域不为R.

Q 提问： 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里？

A 回答： 问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.

先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R，说明当x取任意值时，g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g(x)不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点，g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-，即 f(x)存在最大值，这说明它的值域不为R.

Q 提问： 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里？

A 回答： 问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.

先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R，说明当x取任意值时，g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g(x)不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点，g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-，即 f(x)存在最大值，这说明它的值域不为R.