【摘要】对数函数，特别是对数复合函数的定义域以及值域，由于它牵涉的知识点比较多，在中学数学教学中占有相当重要的地位，笔者根据平时教学经验的积累，总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题，与同行切磋。
【关键词】定义域；值域；对数函数
一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则
设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数，则有如下判别法则：
(1)当a>1，函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加，没有最大值，也没有最小值，函数值域为(-∞,+∞)；在定义域［x1,x2］(00,a≠1)是对数复合函数，其中中间变量u=g(x)叫内函数，y=logag(x)叫外函数，则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0}，在这个定义域内，先确定内函数u=g(x)的值域，然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值，从而得到对数复合函数的值域。
(1)当a>1，如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞)，没有最大值，也没有最小值，则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加，没有最值，值域为(-∞,+∞)；如果u=g(x)在取值［u1,u2］单调增加，则对数复合函数在［u1,u2］也单调增加，有最小值y1=logau1=logag(x1)，有最大值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y1,y2］；如果u=g(x)在［u1,u2］单调减少，则对数复合函数在［u1,u2］也单调减少，有最大值y1=logau1=logag(x1)，有最小值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y2,y1］。
(2)当0　　例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。
解 要使函数有意义，则需x2+2x+5>0。
∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-160，
故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。
∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞)，y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4，
∴函数u=x2+2x+5，当x=-1时，有最小值y0=4。
即函数u=x2+2x+5的值域是［4,+∞)。
∴函数y=log2u在［4,+∞)是单调增函数，且当u=4时，y=log24=2，故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是［2,+∞)。
例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。
解 设u=-x2+4x-3是内函数，
要使函数有意义，则需-x2+4x-3>0，
解之得1　　故函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域是［1,3］。
x0=-42×(-1)=2∈［1,3］，
y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。
∴内函数u=-x2+4x-3在x0=2时，有最大值u=1，当x=1或者x=3时，有最小值u=0。
∴内函数u=-x2+4x-3的值域是［0,1］,函数值单调增加，
∴对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少，但当u=1时，y=log12u=0，当u=0时，y→-∞。
故对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0］。
例3 求函数y=lgx+1x-1的定义域与值域。

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1、对数函数的定义域、值域与定点,4)当 时， (4)当 时， 当 时， 当 时,4)当 时， (4) 当 时 当 时， 当 时,5)单调递增,5) 单调递减,5) 单调递增,5) 单调递减,底数互为倒数的两指数函数图像关于y轴对称,底数互为倒数的两对数函数图像关于x轴对称,在第一象限内，越靠近x轴底数越大,在第一象限内，越靠近y轴底数越小,探究一：定义域问题,例一：求下列函数的定义域， 1) 2) 3) 4) 5) 6,归纳总结：求函数定义域时应注意几点问题,1)若函数解析式中含有分母，则分母不能为0,2)若函数解析式中含有偶次根式，要注意偶次根式下非负,3)0的0次幂和0的负指数次幂没有意义,。
2、4)若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0且不等于1,求函数的定义域其实质就是解不等式或者不等式组的过程,探究二：对数类函数的值域问题,例1：求 定义在 上的值域,例2：已知 ， 在区间 上的最大值比 最小值大 1，求a值,例3：求 函数的值域,例4：求 定义在 的值域,探究3：函数过定点的问题,例1：函数 的图像过定点___________________,例2：函数 的图像过定点_____________， 过定 点____________? 的呢,归纳总结,1.求函数的定义域的实质就是解不等式或不等式组,2.求对数类函数的值域问题要注意真数位置大于0,3.函数过定点，即无论参数的值如何变化，函数图像均过其点,作业,设函数 1) 求a，b的值； 2) 求f(x)在1，2上的最大值。

高考数学复习，这6道题全懂了，求对数函数的定义域和值域再不作难了。求对数函数的定义域，相对来说比较简单，主要考虑的是真数必须大于0。
求对数函数的值域要难不少，对数函数的最大特点是：要么是增函数，要么是减函数，也就是说，对数函数是单调函数，求值域的一般步骤是先确定真数的取值范围，然后根据单调性或者图像求出函数值的取值范围，即值域。
第1题
首先，x是真数，所有x必须大于0，见①；其次1/3为底的对数也是真数，所以它也必须大于0，见②；然后解这两个不等式，并求交集。其中不等式②的解法一定要熟悉，下面列出了两种解法，解法一，就是把0用真数为1的同底对数来表示，然后根据1/3为底的对数单调递减来求x的范围，这种解法是常规解法；我更愿意使用解法二，即最后一行给出的推荐解法。
第2题
首先x＋1是真数，故应令其大于0，见①；对数在根号内，又是分母，所以对数必须大于0，解对数不等式即可求出x的范围。从本题的计算过程可以看出，如果对数计算熟练的话，第一步即①是可以省去的。
第3题
求对数函数的值域，一般分两步。第一步：求出真数的取值范围，如下①；第二步：根据对数函数的图像或者单调性求出值域，现在是把整个真数部分u看成自变量来求值域，容易得出当真数u∈[1,＋∞)时，函数值f(u)∈(－∞,0]，这就是要求的值域。
第4题
解：和上题一样分两步。第一步：求真数x＋1的取值范围为(0,＋∞)，这里解释一下，有学生可能会有疑问，x＋1不是可以取任意实数吗？本来确实如此，但它正好位于对数的真数部分，所以它只能取大于0的实数；第二步：根据对数的图像或者单调性求值域，容易得到值域为(－∞, ＋∞)。
更快的解法：f(x)的图像是由1/3为底，x为真数的对数函数图像沿x轴平移得到的，平移前后值域是不会变化的，所以值域为(－∞, ＋∞)。
第5题
因为x－2可以取大于0的一切实数，所以本来①式可以取任意实数，但它处于对数的真数部分，所有和x－2一样，取值范围应为(0,＋∞)，得出了真数的取值范围，根据图像即可求出值域。
第6题
请认真体会本题和上题的不同之处。从这几道题可以看出，求对数的值域，最主要的工作是确定出真数的取值范围，理解了这一点，求对数的值域问题再也难不住你。
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对数函数的一般形式是y=loga x，定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431353432数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1。
如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
对数函数y=logax，如果x是一个函数，还需要考虑：
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)指数、对数的底数大于0，且不等于1。
(4)y=tanx中x≠kπ+π/2。
对数函数的值域是函数y=f(x)中y的取值范围。例如：
求y=log2(4-x²)的值域。
对数是递增的，真数4-x²≦4，所以：y=log2(4-x²)≦log2(4)=2，即值域为(-∞,2]。求值域要先考虑真数的取值范围。
扩展资料：
对数的历史来源：
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列(叫原数)，右边是一个等差数列(叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意)。
欲求左边任两数的积(商)，只要先求出其代表(指数)的和(差)，然后再把这个和(差)对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积(商)，可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的纳皮尔算筹，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。
他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理。