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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

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    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

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    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

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    2.对数的性质

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    3.对数的运算性质

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    4.对数的换底公式

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    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

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    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

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    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

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    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

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    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

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    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

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    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

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    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

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    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 一、数值运算 1、 二、数值运算 2、 三、常用的数学公式对应函数





    一、数值运算 1



    使用 matlab 计算如下公式 :

    cos((1+2+3+4)35)\cos \bigg(\sqrt{ \cfrac{(1 + 2 + 3 + 4) ^3}{5} }\bigg)

    在 matlab 中代码如下 :

    // 方式一 : 
    cos(sqrt((1 + 2 + 3 + 4)^3/5))
    
    // 方式二 : 
    cos(((1 + 2 + 3 + 4)^3/5)^0.5)
    

    执行结果 :

    >> Untitled
    
    ans =
    
       -0.0050
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述





    二、数值运算 2



    计算如下公式 :

    sin(π)+ln(tan(1))\sin(\sqrt{\pi}) + \ln (\tan (1))

    lnx\ln xlogex\log_ex 函数 , 求 xx 的自然对数 , 是 exe^x 的反函数 ;


    涉及到的函数 :


    其它 log\log 函数 : 在 matlab 中 , log 函数表示以 ee 为底的对数计算 ;


    指数和对数运算参考 https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/exponents-and-logarithms.html 页面 ;
    在这里插入图片描述


    上述公式对应的 matlab 代码如下 :

    sin( sqrt(pi) ) + log( tan(1) )
    

    执行结果 :

    >> Untitled
    
    ans =
    
        1.4228
    

    在这里插入图片描述





    三、常用的数学公式对应函数



    常用的数学公式对应函数 :

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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 与对数函数 互为反函数 .知识点讲解一、对数...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

    (4)了解指数函数

    与对数函数
    互为反函数 .

    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

    (1)对数:一般地,如果

    ,那么数
    x叫做以a为底 N的对数,记作
    ,其中
    a叫做对数的底数,N叫做真数.

    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

    (3)对数式与指数式的互化

    .

    2.对数的性质

    根据对数的概念,知对数

    具有以下性质:

    (1)负数和零没有对数,即N>0 ;

    (2)1的对数等于0,即

    (3)底数的对数等于1,即

    (4)对数恒等式

    .

    3.对数的运算性质

    如果a>0且a≠1,M>0,N>0那么:

    (1)

    ;

    (2)

    (3)

    .

    4.对数的换底公式

    对数的换底公式:

    .

    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

    换底公式的变形及推广:

    (1)

    (2)

    (3)

    (其中
    abc均大于0且不等于1,d>0).

    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

    一般地,我们把函数

    (a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中
    x是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .

    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

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    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1 时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

    指数函数

    (a>0且a≠1)与对数函数
    互为反函数,其图象关于直线y=x对称.

    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

    (1)在利用对数的运算性质

    进行化简与求值时,要特别注意题目的前提条件,保证转化关系的等价性.

    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

    1.对数函数

    的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题,只需令真数为1,解出相应的 x,y ,即可得到定点的坐标.

    2.当底数a>1 时,对数函数

    是(0,+∞) 上的增函数,当x>1时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,其函数值增长得越快;当底数0<a<1 时,对数函数
    是(0,+∞) 上的减函数,当0<x<1 时,底数a 的值越大,函数图象越“陡”,其函数值减小得越快.也可作直线
    y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.

    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0<a<1 的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

    ①形如

    的不等式,借助
    的单调性求解,如果
    a的取值不确定,需分 a>1与0<a<1 两种情况讨论;

    ②形如

    的不等式,需先将
    b化为以a为底的对数式的形式,再借助
    的单调性求解.

    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

    求形如

    的复合函数的单调区间,其一般步骤为:

    ①求定义域,即满足f(x)>0 的x的取值集合;

    ②将复合函数分解成基本初等函数

    及u=f(x) ;

    ③分别确定这两个函数的单调区间;

    ④若这两个函数同增或同减,则

    为增函数,若一增一减,则
    为减函数,即“同增异减”.

    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;【规律方法】 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除...

    【考试要求】

    1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;

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    【规律方法】 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

    2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

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    【规律方法】 1.确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.

    2.如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.

    3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.

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    2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.

    3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性.

    4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.

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    【规律方法】 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.

    2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

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空空如也

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对数函数的常用公式