我们都知道对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数是6类基本初等函数之一。对数的定义是：
 
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
 但是这并没有告知学习者对数出现的历史渊源，为何要引入对数这一概念，我私以为学习一个东西必然要学习其历史以及其存在的意义才能让我们对其掌握的更加透彻。经过一系列的查询后有了些个人理解因此记录下来以便作为一个参考给有其他有相同问题的朋友。
 首先我众所周知的坐标系是以1为单位的如图：
 
 但是当我们将加法轴换为乘法轴后坐标系想要继续画下去就会很难，因为指数的增长太快了。
 
 
 但是当我们将对数当做坐标轴的横坐标并将数值等距离摆放将解决这个问题：
 
 另外对数运算中的og(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)运算将大大降低天文数字的计算时间，通过对数尺的例子就能很好体现：
 

简介
 
一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
 
对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：
 
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
 
一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
 
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
 
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。
 
对数函数
 
对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】
 
通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
 
当a>0，a≠1时，aX=N
 
 
 X=logaN。（N>0）
 
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
 
在实数范围内，负数和零没有对数；
 
  ，log以a为底1的对数为0（a为常数） 恒过点（1，0）。
 
有理和无理指数
 
如果  是正整数，   表示等于  的
 
 个因子的加减:
 
加减
 
但是，如果是   不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数  （参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数   ，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。
 
对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
 
复对数
 
复对数计算公式
 
复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。
 
 
 
产生历史
 
编辑
 
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]  。
 
德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
 
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
 
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳
 
对数的图像
 
皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：
 
Nap．㏒x=10㏑（107/x）
 
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
 
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
 
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
 
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
 
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
 
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。
 
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。
 
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。
 
 
函数性质
 
编辑
 
定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
 
和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
 
值域：实数集R，显然对数函数无界；
 
定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
 
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；
 
0<a<1时，在定义域上为单调减函数；
 
奇偶性：非奇非偶函数
 
周期性：不是周期函数
 
对称性：无
 
最值：无
 
零点：x=1
 
注意：负数和0没有对数。
 
两句经典话：底真同对数正，底真异对数负。解释如下：
 
也就是说：若y=logab （其中a>0，a≠1，b>0）
 
当0<a<1， 0<b<1时，y=logab>0;
 
当a>1， b>1时，y=logab>0;
 
当0<a<1， b>1时，y=logab<0;
 
当a>1， 0<b<1时，y=logab<0。
 
 
公式推导
 
编辑
 
e的定义：
 
 
设a>0，a≠1
 
方法一： 
 
指数函数
 
 
 
 
 
 
 
特殊地，当   时，
 
    。
 
方法二：
 
设  ，两边取对数ln y=xln a
 
 
 
两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
 
特殊地，当a=e时，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xln e=e^x。
 
eº=1
 
 
运算性质
 
编辑
 
 
性质
 
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
 
底数则要>0且≠1 真数>0
 
并且，在比较两个函数值时：
 
如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）
 
如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）
 
当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：
 
对数函数化简问题
 
 
和差
 
和差
 
 
换底公式
 
换底公式
 
推导：设
 
换底公式
 
所以
 
换底公式
 
两边取对数，则有
 
换底公式
 
即
 
换底公式
 
又因为
 
换底公式
 
所以
 
换底公式
 
 
指系
 
指系
 
 
互换
 
互换
 
 
倒数
 
倒数
 
 
链式
 
链式 [2]
 
 
表达方式
 
编辑
 
（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。
 
（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。
 
e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828。
 
 
与指数的关系
 
编辑
 
同底的对数函数与指数函数互为反函数。
 
当a>0且a≠1时，ax=N
 
 
 x=㏒aN。
 
关于y=x对称。
 
对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
 
可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反

  一般地，对数函数以
 幂（
 真数）为
 自变量，指数为
 因变量，底数为
 常量的函数。
 

  对数函数是6类
 基本初等函数之一。其中
 对数的定义：
 

  如果a
 x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log
 aN，读作以a为底N的
 对数，其中a叫做对数的
 底数，N叫做
 真数。
 

  一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以
 幂（
 真数）为
 自变量，指数为
 因变量，底数为
 常量的函数，叫对数函数。
 

  其中x是自变量，函数的
 定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是
 指数函数的
 反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
 

  “
 log”是
 拉丁文logarithm（对数）的缩写。
 
 
 
 
 
 
 
 实际应用
 
 
 在
 实数
 域中，真数式子没
 根号
 那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），
 底数
 则要大于0且不为1。
 
 
 
 
  
 

   对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：
  log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切
  实数（比如log
  11也可以等于2，3，4，5，等等）】
 
 
 

   通常我们将以10为底的对数叫
  常用对数（common logarithm),并把log
  10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以
  无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的
  对数称为
  自然对数
  （natural logarithm)，并且把
  logeN 记为
  In N。根据对数的定义，可以得到对数与
  指数间的关系：
 
 
 

   当a>0，a≠1时，a
  X=N 
  

    
    
  
 X=
  logaN。（N>0）
 
 
 

   由
  指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
 
 
 

   在
  实数范围内，
  负数和
  零没有对数；
 
 
 
 
  

    
  
 ，log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点（1，0）。
 
 
 
 
  有理和无理指数
 
 
 

   如果 
  

    
    
  
 是正整数, 
  

    
    
  
 表示等于 
  

    
    
  
 的 
  

    
    
  
 个因子的加减:
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 

   但是，如果是 
  

    
    
  
 不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 
  

    
    
  
 （参见
  幂）。类似的，对数函数可以定义于任何
  正实数。对于不等于1的每个正
  底数 
  

    
    
  
 ，有一个对数函数和一个
  指数函数，它们互为反函数。
 
 
 

   对数可以简化
  乘法运算为
  加法，除法为
  减法，
  幂运算为
  乘法，根运算为
  除法。所以，在发明
  电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
 
 
 
 
  复对数
 
 
 

   复对数计算公式
 
 
 

   复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。
 
 
 
 
  

   
  
 
 
 
 历史
 
 
  
 

   16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数
  [1]
    。
 
 
 

   德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《
  整数算术》中，写出了两个
  数列，左边是
  等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
 
 
 

   欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之
  积（
  商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
 
 
 
 
  纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，
  化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求
  球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的
  对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳 
  
 
   
   对数的图像
  
 皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：
 
 
 

   Nap．㏒x=10㏑(107/x)
 
 
 

   由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
 
 
 
 
  瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了
  对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
 
 
 

   英国的
  布里格斯在1624年创造了常用对数。
 
 
 

   1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
 
 
 

   对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家
  伽利略（1564-1642）说：「给我时间，
  空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家
  拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
 
 
 

   最早传入我国的对数著作是《比例
  与对数》，它是由波兰的
  穆尼斯（1611-1656）和我国的
  薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫
  真数，0.3010叫做
  假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用
  假数为
  对数」。
 
 
 

   当今中学数学教科书是先讲「
  指数」，后以
  反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《
  对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《
  无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是
  指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。
 
 
 
 
  
 函数性质
 
  编辑
 
 
 
 
  定义域
  求解：对数函数y=log
  ax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型
  复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意
  底数大于0且不等于1，如求函数y=log
  x（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
 
 
 

   和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
 
 
 
 
  值域
  ：
  实数集R，显然对数函数无界；
 
 
 
 
  定点
  ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
 
 
 
 
  单调性
  ：a>1时，在定义域上为单调增函数；
 
 
 

   0<a<1时，在
  定义域上为单调减函数；
 
 
 
 
  奇偶性
  ：
  非奇非偶函数
 
 
 
 
  周期性
  ：不是
  周期函数
 
 
 

   对称性：无
 
 
 

   最值：无
 
 
 
 
  零点：x=1
 
 
 
 
  注意：
  负数和0没有对数。
 
 
 

   两句经典话：
  底真同对数正,底真异对数负。解释如下：
 
 
 

   也就是说：若y=log
  ab （其中a>0,a≠1，b>0）
 
 
 

   当0<a<1, 0<b<1时，y=log
  ab>0;
 
 
 

   当a>1, b>1时，y=log
  ab>0;
 
 
 

   当0<a<1, b>1时，y=log
  ab<0;
 
 
 

   当a>1, 0<b<1时，y=log
  ab<0。
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
  
 公式推导
 
  编辑
 
 
 

   e的定义：
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 

   设a>0,a≠1
 
 
 

   方法一：
 
 
 
 
  

   
  
 
  
 
   
   指数函数
  
 
 
 
 
 
  

   
  
 
 
 
 
 
  

   
  
 
 
 
 
 
  

   
  
 
 
 
 
 
  

   
  
 
 
 
 
 
  

   
  
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 

   特殊地，当 
  

    
    
  
 时， 
  

    
    
  
 。
 
 
 

   方法二：
 
 
 

   设 
  

    
    
  
 ，两边取对数ln y=xln a
 
 
 

   两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
 
 
 

   特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
 
 
 

   eº=1
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
  
 运算性质
 
  编辑
 
 
 

   一般地，如果a（a>0 
  
 
   
   对数函数化简问题
  
 ，且a≠1）的b次
  幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log
  aN=b，其中a叫做对数的
  底数，N叫做
  真数
  。
 
 
 

   底数则要>0且≠1 真数>0
 
 
 

   并且，在比较两个函数值时：
 
 
 

   如果
  底数一样，
  真数越大，
  函数值越大。（a>1时）
 
 
 

   如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）
 
 
 

   当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 和差
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 换底公式
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 

   推导：设 
  
 
   
  
 
 
 
 

   所以 
  
 
   
  
 
 
 
 

   两边取对数，则有 
  
 
   
  
 
 
 
 

   即 
  
 
   
  
 
 
 
 

   又因为 
  
 
   
  
 
 
 
 

   所以 
  
 
   
  
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 指系
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 还原
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 互换
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 倒数
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
  
 链式
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
  
 表达方式
 
  编辑
 
 
 

   （1）常用对数：lg(b)=log
  10b（10为底数）
 
 
 

   （2）自然对数：ln(b)=log
  eb（e为底数）
 
 
 

   e为
  无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
  
 与指数的关系
 
  编辑
 
 
 

   同底的对数函数与
  指数函数互为反函数。
 
 
 

   当a>0且a≠1时，a
  x=N 
  

    
    
  
 x=㏒
  aN。
 
 
 

   关于y=x
  对称。
 
 
 

   对数函数的一般形式为 y=㏒
  ax，它实际上就是指数函数的
  反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a
  y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
 
 
 

   可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于
  直线y=x的
  对称图形，因为它们互为
  反函数
  。
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
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