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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

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    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

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    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

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    2.对数的性质

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    3.对数的运算性质

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    4.对数的换底公式

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    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

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    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

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    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

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    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

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    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

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    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

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    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

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    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

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    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 与对数函数 互为反函数 .知识点讲解一、对数...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

    (4)了解指数函数

    与对数函数
    互为反函数 .

    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

    (1)对数:一般地,如果

    ,那么数
    x叫做以a为底 N的对数,记作
    ,其中
    a叫做对数的底数,N叫做真数.

    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

    (3)对数式与指数式的互化

    .

    2.对数的性质

    根据对数的概念,知对数

    具有以下性质:

    (1)负数和零没有对数,即N>0 ;

    (2)1的对数等于0,即

    (3)底数的对数等于1,即

    (4)对数恒等式

    .

    3.对数的运算性质

    如果a>0且a≠1,M>0,N>0那么:

    (1)

    ;

    (2)

    (3)

    .

    4.对数的换底公式

    对数的换底公式:

    .

    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

    换底公式的变形及推广:

    (1)

    (2)

    (3)

    (其中
    abc均大于0且不等于1,d>0).

    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

    一般地,我们把函数

    (a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中
    x是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .

    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

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    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1 时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

    指数函数

    (a>0且a≠1)与对数函数
    互为反函数,其图象关于直线y=x对称.

    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

    (1)在利用对数的运算性质

    进行化简与求值时,要特别注意题目的前提条件,保证转化关系的等价性.

    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

    1.对数函数

    的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题,只需令真数为1,解出相应的 x,y ,即可得到定点的坐标.

    2.当底数a>1 时,对数函数

    是(0,+∞) 上的增函数,当x>1时,底数a的值越小,函数图象越“陡”,其函数值增长得越快;当底数0<a<1 时,对数函数
    是(0,+∞) 上的减函数,当0<x<1 时,底数a 的值越大,函数图象越“陡”,其函数值减小得越快.也可作直线
    y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.

    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0<a<1 的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

    ①形如

    的不等式,借助
    的单调性求解,如果
    a的取值不确定,需分 a>1与0<a<1 两种情况讨论;

    ②形如

    的不等式,需先将
    b化为以a为底的对数式的形式,再借助
    的单调性求解.

    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

    求形如

    的复合函数的单调区间,其一般步骤为:

    ①求定义域,即满足f(x)>0 的x的取值集合;

    ②将复合函数分解成基本初等函数

    及u=f(x) ;

    ③分别确定这两个函数的单调区间;

    ④若这两个函数同增或同减,则

    为增函数,若一增一减,则
    为减函数,即“同增异减”.

    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...

    考纲原文

    (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

    (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

    (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

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    知识点讲解

    一、对数与对数运算

    1.对数的概念

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    (2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

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    2.对数的性质

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    3.对数的运算性质

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    4.对数的换底公式

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    换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

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    二、对数函数及其性质

    1.对数函数的概念

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    2.对数函数的图象和性质

    一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

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    在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0x轴,即“底大图低”.

    3.对数函数与指数函数的关系

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    考向分析

    考向一 对数式的化简与求值

    对数运算的一般思路:

    (1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

    (2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

    注意:

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    (2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

    考向二 对数函数的图象

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    3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0

    4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

    考向三 对数函数性质的应用

    对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

    (1)比较对数式的大小:

    ①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

    ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

    ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    (2)解对数不等式:

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    考向四 对数函数的复合函数问题

    与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

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    【名师点睛】

    1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

    判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

    2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

    3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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  • 数学看上去枯燥无味,其实不然,掌握正确的学习方法,我们就能做到快乐学数学。学好数学大致能分为三个步骤:第一,梳理好知识点;第二,学好各种题型;第三:针对所学知识训练巩固。...题型一 对数函数的概念...

    数学看上去枯燥无味,其实不然,掌握正确的学习方法,我们就能做到快乐学数学。学好数学大致能分为三个步骤:第一,梳理好知识点;第二,学好各种题型;第三:针对所学知识训练巩固。

    现在我们来看今天要学的内容,先看下边对数函数及其性质的应用的思维导图:

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    接着我们针对着对数函数及其性质的应用展开来讲,首先是知识梳理:

    知识点一 对数型复合函数的单调性

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    知识点二 对数型函数的奇偶性

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    接着是题型分类:

    题型一 对数函数的概念

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    反思与感悟 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性.

    (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.

    (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.

    (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象,再进行比较.

    (4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

    题型二 对数型函数的单调性

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    题型三 对数型复合函数的值域或最值

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    反思与感悟 1.这类问题一般通过换元法转化为一次函数或二次函数的最值问题.

    2.注意换元时新元的范围.

    题型四 对数型函数的综合应用

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    反思与感悟 1.判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看是否关于原点对称.

    2.求函数的单调区间有两种思路:(1)易得到单调区间的,可用定义法来求证;(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.

    最后是试题训练,并附上答案及解析:

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  • 函数的概念及函数性质

    千次阅读 2018-10-29 08:42:31
    基本定义:  一般地,设函数y=f(x)(x∈A)值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样函数x= g(y)...最具有代表性反函数就是对数函数与指数函数。 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对...
  • 函数的概念02关键点前言函数的概念与特性函数反函数关于反函数复合函数复合函数例题提炼函数的四种特性[^3]1.有界性2.单调性3.奇偶性4.周期性5.重要结论函数的图像常用基础知识数列三角函数指数运算法则对数运算法则...
  • 根据函数的概念,我们可以知道,所有的函数都有定义域,就是A集合。可是我们常常发现,很多题目给出的函数,只有解析式,没见定义域。这是何道理呢?其实,不写的,我们认为它的定义域为“默认定义域”!所谓默认...
  • 函数与映射(1) 函数的概念设 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 ,对于集合 A 中任何一个数 , 在集合 中都有唯一确定的数 和它对应,那么这样的对应(包括集合 以及 到 的对应法则 )叫做集合 A 到 B 的一...
  • 高一数学第一次月考内容之三大函数的定义域和值域求解技巧Hello,大家好,这里是摆渡学涯。值域的基本概念定义域表示的是自变量的取值范围,值域表示的是应变量的取值范围。如:函数y=x+4x的取值范围就是定义域,y的...
  • 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》(人教A版)第五章《三角函数》,本节课是第3课时,这是节关于任意角的三角函数的概念课。三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是...
  • 对数运算对数,作为高中一个新的概念,对数运算也是新的运算内容,许多刚进高中的同学,常会受到对数概念的模糊与不清晰困扰,也为后续的指数函数与对数函数学习上,带上一定的影响,从而造成对高中函数理解的困难。...
  • lodash 是一个纯函数的功能库,提供了对数组、数字、对象、字符串、函数等操作的一些方法 数组的 slice 和 splice 分别是:纯函数和不纯的函数 slice 返回数组中的指定部分,不会改变原数组 splice 对数组进行操作...
  • 已经消失一段时间了~最近...隐函数求导是高等数学里面的东西,是一个挺有意思的概念,做一下了解也会有点帮助~一、隐函数求导先来看看什么是隐函数:如果方程 能确定 是 的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数...
  • 理解导数的概念及其几何意义,了解左导数与右导数的定义,理解函数的可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟记导数的基本公式,会运用函数的四则运算...
  • 第十八章 直面配分函数 Confronting the Partition Function 中文 英文 在16.2中,我们看到许多概率... 我们必须通过除以配分函数 Z(θ)Z(\theta)Z(θ)来归一化p~\tilde{p}p~​,以获得一个有效概率分布: p(x;θ...
  • 贝叶斯网络参数学习1 导语1.2 相关概念1.2.1 贝叶斯网络参数学习问题分类1.2.2 不完整数据1.2.3 隐变量1.3 本期涉及2 频率学派做法:MLE2.1 概念2.2 小例子2.3 充分统计量2.4 结合PGM2.5 小结[2]3 贝叶斯学派...
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  • 在javascript中,对象和数组是两种不同类型,这和php中数组概念不同。在javascript中,也有一些精妙算法,用来对一些对象进行排序。我在面试迅雷时候,也拿到一道题,当时做题时候考虑到时间,没有去仔细...
  • 迁移学习我们经常可以看到边缘概率密度的概念,有点遗忘了,故总结一下。全概率(由“因”导“果”,所以为什么不会是A和A补) 全概率的意义在于,直接求 十分困难,所以我们把事件 划分成小事件进行计算。这里注意并...

空空如也

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对数函数的概念