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  • 对数函数解法
    2020-12-23 18:16:37

    第三章

    幂函数、指数函数和对数函数

    【教材解读】

    幂函数是中学教材中的一个基本内容,

    即是对正比例函数、

    反比例函数、

    二次函数的系

    统总结,也是对这些函数的概况和一般化

    .

    指数函数是中学教材中的一个基本内容,

    是最重要的初等函数之一;

    它在反函数概念及

    对数函数概念的引入和学习中起关键作用;

    对培养学生的数学能力、

    特别是形成正确的数学

    观念有非常积极的作用

    .

    为了解决“已知底数和幂的值,求指数的问题”

    ,引入了对数。对数这一内容本身就是

    学生第一次学习,因而掌握对数的运算非常重要

    .

    一方面,对数的运算要为后面学习对数函

    数以及对数方程起到铺垫的作用;另一方面,对数的运算和实数的运算有很大的区别

    .

    这一

    部分里证明性质时强调了与指数运算的结合,为后面讲解反函数作铺垫

    .

    当然在这个内容中

    运算法则的熟练运用尤为重要。

    为了解决不同底数的对数式之间的运算,引入了换底公式

    .

    “反函数”是

    《高中代数》

    第一册的重要内容

    .

    这一节课与函数的基本概念有着紧密的联

    系,通过对这一节课的学习,既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法,

    又可使学生加深对函数基本概念的理解,还为今后反三角函数的教学做好准备

    ,

    起到承上启

    下的重要作用

    .

    “对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、

    对数概念及其运算、

    反函数的概念等知识之后的一节重要内容,

    是基本初等函数研究的继续,

    是数形结合的典型

    课例;它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础,是解决一些物理、化学、经济学等实

    际问题的重要工具,

    更是高考的热点之一.

    在本节课的学习中,

    涉及到数形结合、

    类比归纳、

    分类讨论等数学思想,

    对培养学生的辨证思维能力,

    培养学生的创新意识有很大的帮助.

    幂函数、

    指数函数等基本初等函数研究的继续;

    它是解指数方程、

    对数方程及其不等式的基

    础.在本节课的学习中,涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想,对培养学生的

    综合思维能力,提高学生的思辩能力有很大的帮助.

    指数方程是一种超越方程,

    以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的

    指数方程

    .

    因此这部分内容的学习,一是要求学生掌握简单的指数方程的解法,主要有换

    元法和取对数法,将指数方程转化为代数方程,利用已有的知识来解决问题,还有是利用

    指数函数的图像与性质来解决问题,二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察

    论证、函数与方程等重要的数学思想,使学生学会研究问题的方法,学会学习

    .

    在学生了解了对数、对数的运算性质,指数函数与对数函数性质的基础上,为对数函

    数性质的应用安排了对数方程

    .

    由于对数方程属于超越方程,在一般情况下不可以用初等方

    程求解,所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法

    .

    教材从实例引入对数方程;

    说明对数方程来自于实践的需要,

    本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法;

    难点是掌

    握检验对数方程的增失根,关键是理解将对数方程转化为代数方程时,有时会扩大(缩小)

    字母的允许值范围

    .

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    A 回答: 问题要求的是“对数函数的值域为R时,a的取值范围”,而你求的是“对数函数的定义域为R时,a的取值范围”,这是两码事,所以你的解法当然有错.

    先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

    因为在对数函数中要求真数恒大于0,函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R,说明当x取任意值时,g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,即真数ax2+2x+1恒大于0.

    要强调的是,真数ax2+2x+1恒大于0时,意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交,g(x)不可能取到所有正数,所以此时真数必定不能取到所有正数值.

    下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

    若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

    若a>0,Δ=4-4a<0,则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点,g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞,-上为增函数,在-,+∞上为减函数,所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-,即 f(x)存在最大值,这说明它的值域不为R.

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    高考数学复习,这6道题全懂了,求对数函数的定义域和值域再不作难了。求对数函数的定义域,相对来说比较简单,主要考虑的是真数必须大于0。

    求对数函数的值域要难不少,对数函数的最大特点是:要么是增函数,要么是减函数,也就是说,对数函数是单调函数,求值域的一般步骤是先确定真数的取值范围,然后根据单调性或者图像求出函数值的取值范围,即值域。

    第1题

    首先,x是真数,所有x必须大于0,见①;其次1/3为底的对数也是真数,所以它也必须大于0,见②;然后解这两个不等式,并求交集。其中不等式②的解法一定要熟悉,下面列出了两种解法,解法一,就是把0用真数为1的同底对数来表示,然后根据1/3为底的对数单调递减来求x的范围,这种解法是常规解法;我更愿意使用解法二,即最后一行给出的推荐解法。

    第2题

    首先x+1是真数,故应令其大于0,见①;对数在根号内,又是分母,所以对数必须大于0,解对数不等式即可求出x的范围。从本题的计算过程可以看出,如果对数计算熟练的话,第一步即①是可以省去的。

    第3题

    求对数函数的值域,一般分两步。第一步:求出真数的取值范围,如下①;第二步:根据对数函数的图像或者单调性求出值域,现在是把整个真数部分u看成自变量来求值域,容易得出当真数u∈[1,+∞)时,函数值f(u)∈(-∞,0],这就是要求的值域。

    第4题

    解:和上题一样分两步。第一步:求真数x+1的取值范围为(0,+∞),这里解释一下,有学生可能会有疑问,x+1不是可以取任意实数吗?本来确实如此,但它正好位于对数的真数部分,所以它只能取大于0的实数;第二步:根据对数的图像或者单调性求值域,容易得到值域为(-∞, +∞)。

    更快的解法:f(x)的图像是由1/3为底,x为真数的对数函数图像沿x轴平移得到的,平移前后值域是不会变化的,所以值域为(-∞, +∞)。

    第5题

    因为x-2可以取大于0的一切实数,所以本来①式可以取任意实数,但它处于对数的真数部分,所有和x-2一样,取值范围应为(0,+∞),得出了真数的取值范围,根据图像即可求出值域。

    第6题

    请认真体会本题和上题的不同之处。从这几道题可以看出,求对数的值域,最主要的工作是确定出真数的取值范围,理解了这一点,求对数的值域问题再也难不住你。

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    解对数方程的一般方法.对数方程只有在特殊情况下才能用普通初等方法求解.在实数范围内求解一些特殊类型的对数方程的常见方法有:

    1.同底法.主要用于求解形如logaf(x)=logag(x)的对数方程.对此只要求在条件f(x)>0,g(x)>0下方程f(x)=g(x)的解即可.

    2.换元法.可用于下述几种类型的对数方程的求解:

    1) 对于形如F(logaf(x))=0的对数方程,可令y=logaf(x),化为代数方程F(y)=0去解.

    2) 对于形如

    ailogafi(x)=b

    的对数方程,令yi=logafi(x),使原方程转化为关于yi(i=1,2,…,n)的n元一次方程

    aiyi=b.

    3) 对于形如f(x)logaf(x)=bfα(x)的对数方程,两边取对数化为

    log2af(x)=αlogaf(x)+logab,

    令y=logaf(x),再转化为解方程y2-αy-logab=0.

    3.转换法.可利用对数的定义,把对数方程中的对数式转换为指数式,从而去掉对数符号,然后求解.转换法主要用于下述几种类型的对数方程的求解:

    1) 对于形如logaf(x)=b的对数方程,可在f(x)>0的条件下解f(x)=ab.

    2) 对于形如logf(x)g(x)=c的对数方程,可在f(x)>0且f(x)≠1,g(x)>0的条件下解方程

    [f(x)]c=g(x).

    3) 对于形如

    dilogafi(x)=b

    的对数方程,可先化为

    loga[fi(x)]αi=b,

    然后在fi(x)>0(i=1,2,…,n)条件下解方程

    [fi(x)]αi=ab.

    4.图象法.对于在方程中除含有未知数的对数式外,还含有其他代数式的对数方程,例如2log2x+x-8=0,可用图象法求出它的解或解的近似值(参见“对数方程的图象解法”).

    解对数方程时,由于去掉对数符号后要扩大方程未知数允许值范围及在解转化后的一些代数方程可能进行非同解变形等原因,所以最后要验根.

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