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  • 对数和差公式
    2021-12-24 13:46:42

    n log ⁡ 2 m = m log ⁡ 2 n (1) n^{\log_2m} = m^{\log_2n} \tag{1} nlog2m=mlog2n(1)

    证明:
    n log ⁡ 2 m = m log ⁡ m n log ⁡ 2 m = m log ⁡ 2 m × log ⁡ m n n^{\log_2m} = m^{\log_m{n^{\log_2m}}} \\ =m^{\log_2m\times \log_mn} nlog2m=mlogmnlog2m=mlog2m×logmn

    换底公式 log ⁡ m b = log ⁡ n b log ⁡ n m \log_mb=\frac{\log_nb}{\log_nm} logmb=lognmlognb
    带入换底公式
    m log ⁡ 2 m × log ⁡ m n = m log ⁡ 2 m × log ⁡ 2 n log ⁡ 2 m = m log ⁡ 2 n m^{\log_2m\times \log_mn} =m^{\log_2m\times \frac{\log_2n}{\log_2m}} \\ =m^{\log_2n} mlog2m×logmn=mlog2m×log2mlog2n=mlog2n

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  • 对数换底公式及推导证明

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    对数换底公式及推导证明

    一、基本概念

    在数学中,对数是对求幂的逆运算,正如除法是乘法的逆运算,反之亦然。如果ax次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作 x = l o g a N x=log_a N x=logaN 。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。 x = l o g a N x=log_a N x=logaN 等价于 a x = N a^x=N ax=N

    • 特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lgN
    • 称以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为lnN
    • 零没有对数,因为任何数的幂都不可能为0。
    • 在实数范围内,负数无对数。在虚数范围内,负数是有对数的。

    对数的图像如下:

    对数的常用性质:

    二、换底公式

    展开全文
  • 对数公式推导过程

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    【转载理由:对等式两边求对数,可以将复杂的连乘公式转变为加法公式,求极大似然有用到】 积、商、幂的对数推导过程

    【转载理由:对等式两边求对数,可以将复杂的连乘公式转变为加法公式,求极大似然有用到】
    摘自:https://blog.csdn.net/jaune161/article/details/80702696

    积、商、幂的对数

    l o g a M N = l o g a M + l o g a N log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N logaMN=logaM+logaN 的推导过程如下:

    证 明 : 设 l o g a M = p , l o g a N = q 则 a p = M , a q = N , 代 入 l o g a M N , 得 l o g a M N = l o g a ( a p ⋅ a q ) = l o g a a p + q = p + q = l o g a M + l o g a N 所 以 : l o g a M N = l o g a M + l o g a N \begin{array}{ll} 证明:设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\ 则\quad a^p=M,\quad a^q=N ,\quad 代入log_{a}MN,\\ 得 \quad log_{a}MN=log_{a}(a^p\cdot a^q) = log_{a}a^{p+q} = p+q = log_{a}M + log_{a}N \\ 所以:log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N \end{array} logaM=p,logaN=qap=M,aq=NlogaMNlogaMN=loga(apaq)=logaap+q=p+q=logaM+logaNlogaMN=logaM+logaN

    l o g a M N = l o g a M − l o g a N log_{a}{\Large\frac{M}{N}}= log_{a}M - log_{a}N logaNM=logaMlogaN 的推导过程如下:
    证 明 : 设 l o g a M = p , l o g a N = q 则 a p = M , a q = N , 代 入 l o g a M N , 得 l o g a M N = l o g a ( a p a q ) = l o g a a p − q = p − q = l o g a M − l o g a N 所 以 : l o g a M N = l o g a M − l o g a N \begin{array}{ll} 证明:设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\ 则\quad a^p=M,\quad a^q=N ,\quad 代入log_{a}{\frac{M}{N}},\\ 得 \quad log_{a}{\frac{M}{N}}=log_{a}(\frac{a^p}{a^q}) = log_{a}a^{p-q} = p-q = log_{a}M - log_{a}N \\ 所以:log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M - log_{a}N \end{array} logaM=p,logaN=qap=M,aq=NlogaNMlogaNM=loga(aqap)=logaapq=pq=logaMlogaNlogaNM=logaMlogaN

    l o g a M b = b ⋅ l o g a M log_aM^b=b\cdot log_aM logaMb=blogaM 的推导过程如下:
    证 明 : 设 l o g a M = p 则 a p = M , 代 入 l o g a M b 得 l o g a M b = l o g a ( a p ) b = l o g a a p b = p b = b ⋅ l o g a M \begin{array}{ll} 证明:设log_aM=p \\ 则a^p=M ,\quad 代入log_aM^b \\ 得log_aM^b=log_a(a^p)^b = log_aa^{pb} = pb = b \cdot log_aM \end{array} logaM=pap=MlogaMblogaMb=loga(ap)b=logaapb=pb=blogaM

    a l o g a M = M a^{log_aM} = M alogaM=M 的推导过程如下:
    证 明 : 设 l o g a M = p 则 a p = M , 代 入 a l o g a M 得 a l o g a M = a l o g a a p = a p = M \begin{array}{ll} 证明:设log_aM=p \\ 则a^p=M ,\quad 代入a^{log_aM} \\ 得a^{log_aM} = a^{log_aa^p} = a^p = M \end{array} logaM=pap=MalogaMalogaM=alogaap=ap=M

    换底公式

    l o g b N = l o g a N l o g a b log_bN=\Large\frac{log_aN}{log_ab} logbN=logablogaN 的推导过程如下:
    证 明 : 设 l o g b N = x , 则 b x = N 两 边 同 时 取 以 a 为 底 的 对 数 l o g a b x = l o g a N x ⋅ l o g a b = l o g a N x = l o g a N l o g a b 所 以 l o g b N = l o g a N l o g a b \begin{array}{ll} 证明:设log_bN=x,则b^x = N \\ 两边同时取以a为底的对数\\ log_a{b^x} = log_aN \\ x\cdot log_ab = log_aN \\ x = \frac{log_aN}{log_ab} \\ 所以log_bN=\frac{log_aN}{log_ab} \end{array} logbN=xbx=Nalogabx=logaNxlogab=logaNx=logablogaNlogbN=logablogaN

    其他公式

    log ⁡ a n a = 1 n \displaystyle \log_{a^n}a = \frac{1}{n} logana=n1 的推导过程如下:
    证 明 : 设 l o g a n a = p 则 ( a n ) p = a 即 a n p = a 两 边 同 时 取 常 数 对 数 , l g a n p = l g a n p ⋅ l g a = l g a , n p = 1 , p = 1 n 所 以 l o g a n a = 1 n \begin{array}{ll} 证明:设 log_{a^n}a = p \\ 则\quad (a^n)^p = a 即 a^{np} = a \\ 两边同时取常数对数,\quad lg{a^{np}}=lg{a} \\ np\cdot lga = lga, \quad np = 1,\quad p = \frac{1}{n} \\ 所以log_{a^n}a = \frac{1}{n} \end{array} logana=p(an)p=aanp=a,lganp=lganplga=lga,np=1,p=n1logana=n1

    1 l o g a b = l o g b a {\Large \frac{1}{log_ab}} = log_ba logab1=logba 的推导过程,这里用换底公式,过程比较简单,如下:
    1 l o g a b = 1 l g b l g a = l g a l g b = l o g b a \frac{1}{log_ab} = \frac{1}{\frac{lgb}{lga}}=\frac{lga}{lgb}=log_ba logab1=lgalgb1=lgblga=logba

    l o g a n M = 1 n ⋅ l o g a M log_{a^n}M = {\Large \frac{1}{n}} \cdot log_aM loganM=n1logaM 的推导过程如下:
    证 明 : 设 l o g a M = p 则 a p = M , 代 入 l o g a n M l o g a n a p = p ⋅ l o g a n a = 1 n ⋅ p = 1 n ⋅ l o g a M 证明:设log_aM = p \\ 则a^p = M,代入log_{a^n}M \\ log_{a^n}a^p=p \cdot log_{a^n}a = \frac{1}{n} \cdot p = \frac{1}{n} \cdot log_aM logaM=pap=MloganMloganap=plogana=n1p=n1logaM

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  • 对数公式和对数函数的总结.doc
  • 对数换底公式证明

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    则根据对数的基本公式 及 , 可得 则有 证毕。 法二:若有对数 ,则 ,且 于是 两边取以c为底的对数得 , ,即 。 证毕。 法三:若有对数 ,则 ,且 ...

    简单介绍

    公式

    对于

    ,有

    推导过程

    法一:若有对数

    ,设

    则根据对数的基本公式

    ,

    可得

    则有

    证毕。

    法二:若有对数

    ,则

    ,且

    于是

    两边取以c为底的对数得

    ,即

    证毕。

    法三:若有对数

    ,则

    ,且

    ,于是

    从而

    证毕。

    推论

    下面给出若干推论。由换底公式,易知

    指数函数换底公式

    编辑

    在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法,其原理就是指数函数的换底,把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统统都变形为以e为底的复合函数形式。

    这些都可以很容易地由对数换底公式及推论得到。

    应用

    编辑

    对数计算

    通常在处理数学运算中,将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数,方便运算;有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题;

    在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如,大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮,但却没有[log2]的。要计算

    ,你只有计算

    (或

    ,两者结果一样);

    工程技术

    在工程技术中,换底公式也是经常用到的公式。

    例如,在编程语言中,有些编程语言(例如C语言)没有以a为底b为真数的对数函数,只有以常用对数(即以10为底的对数)或自然对数(即e为底的对数)。此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数,表示出以a为底b为真数的对数表达式,从而处理某些实际问题。

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