背景

数学模型就像是真实世界的写照，它就像一个虚拟的世界，我们可以通过建模的方式了解这个真实世界的运作规律。

这一点很像强化学习，强化学习需要一个供智能体探索、学习的环境，于是，我们通常会事先建立一个虚拟的仿真环境。举个例子，对于人类来说，可能需要经过不断地尝试，甚至是生命的代价，才知道遇到熊时，比起逃跑，装死才是明智的选择。而有了一个虚拟环境以后，我们可以让智能体在环境中随意尝试，因为在虚拟环境中发生的事并不会影响现实世界。

如果说的大一点，就好像火箭发射。火箭的制造成本是很高的，如果每次做实验都用真火箭发射，那么这个实验的成本是相当高的，因此，我们首先需要建立一个数学模型，先在数学模型上分析，再应用到实际中去。

建模方法

数学模型有两种建模方法：

• 分析法——根据物理规律和化学规律列出方程式
• 实验法（系统辨识）——施加信号，记录响应，用适当的数学模型进行逼近

在电学、力学等传统科学中，一般都有很多前人留下的理论，比如基尔霍夫定律、牛顿定律等，因此一般都采用分析法来建立数学模型

而在一些比较新兴的领域，比如深度学习里用到的神经网络，探究某一神经网络的输入与输出关系时，可以用到实验法。比如输入一个数，输出它的相反数，我们需要不断地记录网络实际输出与我们的期望输出，并对网络的权重做出调整，最后达到我们想要的效果。

常用的数学模型

• 时域模型——微分、差分、状态方程
• 复数域模型——传递函数、结构图
• 频域模型——频率特性

时域数学模型的建立

微分方程是描述控制系统最基本的数学工具，他是对物理系统输入/输出的描述。

当系统的输入量和输出量都是时间t的函数，如果微分方程是线性的，并且各项系数都为常数，则称之为线性定常系统的数学模型。

比如一个RLC电路：

根据基尔霍夫定律，可以得到：

质量-弹簧-阻尼系统：

又牛顿定律可以得到：

这一步是非常关键的，我们需要知道这个系统是怎么工作的，才能更好的研究它。

方程左边是输出，右边是输入，我们需要研究输入与输出之间的关系。

这在神经网络上也是类似的，如果要求一个数的相反数，我们知道解决它的方程应该是$y=kx$,然后我们再通过训练学习这个参数k。如果一开始的时候，我们就把方程列错了，加入列了一个二次方程，那不管再怎么训练，最后得到的系统都是不稳定的。

建立微分方程的步骤

微分方程关注输入与输出之间的关系，这一点非常重要。

总的来说，建立系统的微分方程需要全面了解系统的工作原理、结构和运动规律，一般步骤如下：

1. 根据系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，理顺各变量之间的关系
2. 从系统的输入端开始，根据信号的传递顺序和各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写他们的微分方程
3. 将所得的各元件或环节的微分方程联立起来，消除中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程
4. 将微分方程整理成标准形式，即将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的放在方程的左边，各导数项按降幂排序，各项系数化成有物理意义的形式

复数域模型的建立

利用拉普拉斯变换可以简化微分方程的求解，除此之外，它还可以将用线性定常微分方程描述的数学模型转换为复数域内的数学模型——传递函数。

• 传递函数：
  在线性系统中，零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

需要注意的是传递函数一定要是有理真分式即多项式系数均为实数。

在现实生活中，有输入才有输出，而传递函数的分母是输出，因此分母的阶次应该比分子大

系统微分方程的一般形式是：

等式两端逐项取拉普拉斯变换，并设初始条件为0，有：

最后整理成传递函数：

传递函数的性质

首先，传递函数具有复数零、极点，因此传递函数可以用来做定性分析。

当$s=0$时的值决定了对应系统的稳态性能（系统最终稳定后与期望值的偏差），$s=0$即时间趋于无穷，此时系统应该处于稳态。

换句话说，$G(0)$的值与期望值越接近，则该系统的稳态性能越好。

系统的典型环节及传递函数

任何系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。这些典型环节包括：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节。

比例环节

它的特点是既无极点又无零点，该环节的传递函数为一常数：

惯性环节

它的特点是具有一个负实数极点。该环节的传递函数为：

积分环节

它的特点是具有一个位于坐标原点处的极点。该环节的传递函数为：

微分环节

微分环节起主要作用的不是极点而是零点，于是在暂态过程中环节的输出量将含有与输入微分成比例的分量。

理想微分环节

它的特点是具有一个位于坐标原点上的零点，该环节的传递函数为：

一阶微分环节

其传递函数为：

二阶微分环节

其传递函数为：

振荡环节

它的特点是具有一对共轭复数极点，该环节传递函数的规范表示形式为：

延时环节（时滞环节）

时滞环节的特点是，输出量的变化在时间上滞后于输入量的变化， 时滞环节的传递函数为：

数学模型（Mathematical Model）是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。 

数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质评价，对教师的工作业绩的评定以及诸如访友，采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。建模要求：真实完整、简明实用、适应变化。

数学模型介绍

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

数学模型所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来。因此，数学模型法的操作方式偏向于定量形式。

建模要求

真实完整

1）真实的、系统的、完整的，形象的反映客观现象；

2）必须具有代表性；

3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；

4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。

简明实用

在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。

适应变化

随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。

模型种类

用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。

静态和动态模型

静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。

分布参数和集中参数模型

分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。

连续时间和离散时间模型

模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。

随机性和确定性模型

随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。

参数与非参数模型

用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。

线性和非线性模型

线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。

基本原则

1、简化原则

现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统，对原型进行一定的简化即抓住主要矛盾，数学模型应比原型简化，数学模型自身也应是“最简单”的。

2、可推导原则

由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果，如果建立的数学模型在数学上是不可推导的，得不到确定的可以应用于原型的结果，这个数学模型就是无意义的。

3、反映性原则

数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式，因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。

方法步骤

模型准备

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

建模步骤示意图

模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

模型求解

可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

模型分析

对模型解答进行数学上的分析。”横看成岭侧成峰，远近高低各不同"。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

模型检验

把数学上分析的结果翻译回到现实问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。

模型应用

取决于问题的性质和建模的目的。

数学模型分类

按应用领域分类：

生物学数学模型

医学数学模型

地质学数学模型

气象学数学模型

经济学数学模型

社会学数学模型

物理学数学模型

化学数学模型

天文学数学模型

工程学数学模型

管理学数学模型

按是否考虑随机因素分类：

确定性模型

随机性模型

按是否考虑模型的变化分类：

静态模型

动态模型

按应用离散方法或连续方法分类：

离散模型

连续模型

按建立模型的数学方法分类：

几何模型

微分方程模型

图论模型

规划论模型

马氏链模型

按人们对事物发展过程的了解程度分类：

白箱模型：

指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。

灰箱模型：

指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。

黑箱模型：

指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。

数学模型例子

马尔萨斯的人口理论：一个简单（但粗略）的人口成长模型为马尔萨斯成长模型（英语：Malthusian growth model）；另一个较理想且被大量使用的人口成长模型为逻辑函数和其延伸。

势能场中的粒子模型：在此模型中，粒子被视为一个质量为m的点，其轨迹为一将时间映射至其空间坐标的函数x : R → R3，势能场由一函数V:R3 → R给定，则其轨迹为如下微分方程的解：

需注意此模型假定粒子为一质点，但这在许多情形之下是错误的，如行星运动的模型之类。

1.1 从现实对象到数学模型

现实世界被人们认识、建造、控制的对象，以它们的各种形式的模型——实物模型、照片、图表、公式、程序……汇集在人们面前。

原型和模型

原型

人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

科技领域中通常使用系统(System)、过程(Process)等词汇，如机械系统、电力系统、钢铁冶炼过程、化学反应过程等。

模型

为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。

模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。

物质模型

物理模型

科技工作者为了一丁目的根据相似原理构造的模型，不仅可以现实原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。

思维模型

通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，从而可以根据思维或直觉做出相应的决策。

符号模型

是一些在约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来的描述原型。

数学模型

是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

建立数学模型的基本内容

1.根据建立数学模型的目的和问题的北京做出必要的简化假设。

2.用字母表示待求的未知量。

3.利用相应的物理或其他规律。

4.列出数学式子。

5.求出数学上的解答。

6.用这个答案解释原问题。

7.用实际现象来验证上述结果。

一般来说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1.6 数学建模的基本方法和步骤

基本方法

一般说来，建模方法大体上可以分为机理分析和测试分析两种。

机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。（用计算方法求模型）

测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统（内部机理不明），通过对系统的输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。（用实验方法拟模型）

步骤

 1.7 数学模型的特点和分类

数学模型的特点

①逼真性和可行性 ②渐进性 ③强健性 ④可转移性 ⑤非预制性 ⑥条理性 ⑦技艺性 ⑧局限性

数学模型的分类

按照模型的应用领域分。如人口模型、交通模型、环境模型等。

按照建立模型的数学方法分。如初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型等。

按照模型的表现特性分：

确定性模型、随机性模型

取决于是否考虑随机因素的影响。近年来随着数学的发展，又有所谓的突变型模型和模糊性模型。

静态模型、动态模型

取决于是否考虑时间因素引起的变化。

线性模型、非线性模型

取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的。

离散模型、连续模型

指模型中的变量（主要是时间变量）取为离散还是连续的。

按照建模目的分。如描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。

按照对模型结构的了解程度分。如白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。

白箱主要包括力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题。这方面模型大多已经基本确定。

灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。

黑箱主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理（数量关系方面）很不清楚的现象。