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  • 对矢量求导
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    2019-12-21 18:10:36

    矢量求导的微分法则: 链式法则

    介绍

    这篇博文推导了矢量情形下, 标量函数对矢量进行求导的微分法则,从定义出发推导了链式法则的形式。

    核心原理

    核心原理:
    标量情形下, 由中学的标量求导知识可知,忽略泰勒展开高次项,有: Δ f ( x ) = f ′ ( x ) Δ x \Delta f(x) = {f^{'}}(x) \Delta x Δf(x)=f(x)Δx
    即, 函数变化量 = 导数 * 变量变化量。

    拓展到多变量情形下,显然有类似的: Δ f ( x , y ) = f ′ ( x ) Δ x + f ′ ( y ) Δ y \Delta f(x,y) = {f^{'}}(x)\Delta x + {f^{'}}(y)\Delta y Δf(x,y)=f(x)Δx+f(y)Δy

    矢量求导

    而一个矢量,可以看做多个标量的组合,如有矢量 x = [ x 1 x 2 ] \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}}\end{array}\right] x=[x1x2]
    f ( x ) f(\mathbf{x}) f(x)是以矢量 x \mathbf{x} x为变量的标量函数, 那么根据上面的知识,有:

    Δ f ( x ) = f ′ ( x 1 ) Δ x 1 + f ′ ( x 2 ) Δ x 2 \Delta f(\mathbf{x}) = {f^{'}}(x_1)\Delta x_1 + {f^{'}}(x_2)\Delta x_2 Δf(x)=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2

    利用线性代数知识,可以将其写为矩阵形式:
    Δ f ( x ) = [ f ′ ( x 1 ) f ′ ( x 2 ) ] × [ Δ x 1 Δ x 2 ] \Delta f(\mathbf{x}) = \left[\begin{array}{ll}{{f^{'}}(x_1)} & {{f^{'}}(x_2)}\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{l}{\Delta x_{1}} \\ {\Delta x_{2}}\end{array}\right] Δf(x)=[f(x1)f(x2)]×[Δx1Δx2]

    其中, f ′ ( x 1 ) {f^{'}}(x_1) f(x1)一个多变量函数对单变量求导的结果,也被称为偏微分, 可写为:
    f ′ ( x 1 ) = ∂ f ( x ) ∂ x 1 {{f^{'}}(x_1)}=\frac{{\partial f({\bf{x}})}}{{\partial {x_1}}} f(x1)=x1f(x)
    同理, f ′ ( x 2 ) = ∂ f ( x ) ∂ x 2 {{f^{'}}(x_2)}=\frac{{\partial f({\bf{x}})}}{{\partial {x_2}}} f(x2)=x2f(x)
    变化量的 Δ \Delta Δ符号往往用 d \mathbf{d} d代替,利用这些表示,式子可以改写为:

    d f ( x ) = [ ∂ f ( x ) ∂ x 1 ∂ f ( x ) ∂ x 2 ] × [ d x 1 d x 2 ] \mathbf{d} f(\mathbf{x}) = \left[\begin{array}{ll}{\frac{{\partial f({\bf{x}})}}{{\partial {x_1}}}} & {\frac{{\partial f({\bf{x}})}}{{\partial {x_2}}}}\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{l}{\mathbf{d}x_{1}} \\ {\mathbf{d} x_{2}}\end{array}\right] df(x)=[x1f(x)x2f(x)]×[dx1dx2].

    注意到,根据矢量微分的定义,标量函数对一个矢量求导的结果可表示为:
    ∇ x f ( x ) = [ ∂ f ( x ) ∂ x 1 ∂ f ( x ) ∂ x 2 ] \nabla_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})= \left[\begin{array}{l}{\frac{{\partial f({\bf{x}})}}{{\partial {x_1}}}} \\ {\frac{{\partial f({\bf{x}})}}{{\partial {x_2}}}}\end{array}\right] xf(x)=[x1f(x)x2f(x)]

    上式也被称为函数 f ( x ) f(\mathbf{x}) f(x)对于 x \mathbf{x} x梯度
    利用这一定义,可以进一步的:
    d f ( x ) = ∇ x f ( x ) T d x \mathbf{d} f(\mathbf{x}) =\nabla_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})^T\mathbf{d} \mathbf{x} df(x)=xf(x)Tdx.
    其中, d x = [ d x 1 d x 2 ] \mathbf{d} \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{\mathbf{d}x_{1}} \\ {\mathbf{d} x_{2}}\end{array}\right] dx=[dx1dx2], 上式也被称为对矢量 x \mathbf{x} x全微分

    注意,为了便于理解,笔者以一个 2 × 1 2\times1 2×1的矢量举例,但无疑,类似的过程可以推导出N维矢量的结论,从而统一为上式的表示。

    矩阵求导

    严格来说,矩阵也是矢量的一种。在许多时候,对于一个变量为 x × y x\times y x×y的矩阵的求导问题,我们常用的处理方式是可以将其列化为 x y ∗ 1 xy*1 xy1的向量,再对其进行求导。为了便于理解,笔者同样以一个最简单的 2 × 2 2\times2 2×2矩阵 X \mathbf{X} X举例了:
    X = [ x 1 x 3 x 2 x 4 ] \mathbf{X}=\left[\begin{array}{ll}{x_1} & {x_3} \\ {x_2} & {x_4}\end{array}\right] X=[x1x2x3x4]
    根据定义(可以搜索维基百科),矩阵的求导(梯度)可以表示为:
    ∇ X f ( X ) = [ ∂ f ∂ x 1 ∂ f ∂ x 3 ∂ f ∂ x 2 ∂ f ∂ x 4 ] \nabla_{\mathbf{X}}f(\mathbf{X})=\left[\begin{array}{ll}{\frac{\partial f}{\partial x_{1}}} & {\frac{\partial f}{\partial x_{3}}} \\ {\frac{\partial f}{\partial x_{2}}} & {\frac{\partial f}{\partial x_{4}}}\end{array}\right] Xf(X)=[x1fx2fx3fx4f].
    而如果对 X \mathbf{X} X进行列化的话,求得的向量梯度中包含的元素,刚好对应了矩阵梯度的元素。 也就是说,一种解决的思路是:

    • 将矩阵变量列化为向量
    • 利用向量求导的结论,求出梯度
    • 将向量梯度矩阵化,就是所求的矩阵梯度。

    这个方法非常有效,但有些时候,矩阵变量不容易向量化,如目标函数是矩阵的逆的时候。那么,我们可以按照上节的写法,推广到矩阵的形式,有:

    d f ( X ) = t r ( ∇ X f ( X ) T d X ) \mathbf{d} f(\mathbf{X}) =\mathrm{tr}(\nabla_{\mathbf{X}}f(\mathbf{X})^T\mathbf{d} \mathbf{X}) df(X)=tr(Xf(X)TdX).
    这个读者可以自己推导一下,和上节的原理一致,由于线性代数的原因,在矩阵情况下会多一个tr(trace)。

    链式法则

    先讨论实数的情况:
    标量情形下,我们知道,若 f ( x ) = f ( g ( x ) ) f(x) =f(g(x)) f(x)=f(g(x)), 那么 f ′ ( x ) = f ′ ( g ) × g ′ ( x ) f^{'}(x)=f^{'}(g)\times g^{'}(x) f(x)=f(g)×g(x).
    多维情况下,根据之前的类似思想,也可以推导结果,但这里我们使用上面讲述的方法

    假设标量函数 f ( x ) f(x) f(x), 中间变量矢量 g \mathbf{g} g, 变量 x \mathbf{x} x.
    根据上面推导:

    d f ( g ) = ∇ g f ( g ) T d g \mathbf{d} f(\mathbf{g}) =\nabla_{\mathbf{g}}f(\mathbf{g})^T\mathbf{d} \mathbf{g} df(g)=gf(g)Tdg.
    d g = ∇ x T g ( x ) d x \mathbf{d} \mathbf{g} = \nabla_{\mathbf{x^T}}\mathbf{g}(\mathbf{x})\mathbf{d} \mathbf{x} dg=xTg(x)dx
    (之前没有讨论矢量对矢量微分的情形,但显然很容易从标量函数情形推广)
    因此有:
    d f ( g ) = ∇ g f ( g ) T ∇ x T g ( x ) d x \mathbf{d} f(\mathbf{g}) =\nabla_{\mathbf{g}}f(\mathbf{g})^T \nabla_{\mathbf{x^T}}\mathbf{g}(\mathbf{x})\mathbf{d} \mathbf{x} df(g)=gf(g)TxTg(x)dx.

    可得:

    ∇ x f ( x ) = ( ∇ g f ( g ) T ∇ x T g ( x ) ) T = ∇ x g T × ∇ g f ( g ) \nabla_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x}) = (\nabla_{\mathbf{g}}f(\mathbf{g})^T \nabla_{\mathbf{x^T}}\mathbf{g}(\mathbf{x}))^T= \nabla_{\mathbf{x}}\mathbf{g}^T\times \nabla_{\mathbf{g}}f(\mathbf{g}) xf(x)=(gf(g)TxTg(x))T=xgT×gf(g).

    最后,总结下多种情形链式法则的结论,推导过程均可由上面过程拓展:

    • 标量 f f f, 矢量 g \mathbf{g} g, 标量 x x x
      ∇ x f ( x ) = ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ g T × ∂ g ∂ x \nabla_{x}f(x) =\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=\frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{g}^T}}} \times \frac{{\partial \mathbf{g}}}{{\partial x}} xf(x)=xf=gTf×xg
      *标量 f f f, 矢量 g g g, 矢量 x x x
      ∂ f ∂ x = ∂ g T ∂ x × ∂ f ∂ g \frac{{\partial f}}{{\partial \mathbf{x}}}=\frac{{\partial \mathbf{g}^T}}{{\partial \mathbf{x}}}\times \frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{g}}}} xf=xgT×gf
      *矢量 f f f, 矢量 g g g, 矢量 x x x
      ∂ f ∂ x = ∂ g T ∂ x × ∂ f ∂ g \frac{{\partial \mathbf{f}}}{{\partial \mathbf{x}}}=\frac{{\partial \mathbf{g}^T}}{{\partial \mathbf{x}}}\times \frac{{\partial \mathbf{f}}}{{\partial {\mathbf{g}}}} xf=xgT×gf
      *标量 f f f, 矩阵 g g g, 标量 x x x
      ∂ f ∂ x = t r ( ∂ f ∂ g T ∂ g ∂ x ) \frac{{\partial f}}{{\partial x}}= \mathrm{tr}(\frac{{\partial f}}{{\partial {\mathbf{g}^T}}} \frac{{\partial \mathbf{g}}}{{\partial x}}) xf=tr(gTfxg)
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    前言

    矩阵求导的学习记录


    一、标量对向量求导

    标量对向量求导,实际上是标量对向量中的每个元素求偏导,然后再组成一个和向量形状相同的向量。也就是:
    ∂ y ∂ x ⃗ = ( ∂ y ∂ x 1 , ∂ y ∂ x 2 … ∂ y ∂ x n ) T \frac{\partial y}{\partial \vec{x}} = (\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2}\dots \frac{\partial y}{\partial x_n})^T x y=(x1y,x2yxny)T
    式中 y y y是一个标量, x = ( x 1 , x 2 … x n ) T x = (x_1,x_2\dots x_n)^T x=(x1,x2xn)T为一个n维向量;

    二、例子

    1. y = w T ∗ x y = w^T*x y=wTx

    这是在信号处理中比较常见的一种加权求和形式。
    实际上我们将其乘积结果展开可以得到:
    y = w 1 x 1 + w 2 x 2 + … w n x n y = w_1x_1 + w_2x_2 + \dots w_nx_n y=w1x1+w2x2+wnxn
    那么根据我们以上理论
    ∂ y ∂ x ⃗ = ( ∂ w 1 x 1 + w 2 x 2 + … w n x n ∂ x 1 , ∂ w 1 x 1 + w 2 x 2 + … w n x n ∂ x 2 … ∂ w 1 x 1 + w 2 x 2 + … w n x n ∂ x n ) T \frac{\partial y}{\partial \vec{x}} = (\frac{\partial w_1x_1 + w_2x_2 + \dots w_nx_n}{\partial x_1},\frac{\partial w_1x_1 + w_2x_2 + \dots w_nx_n}{\partial x_2}\dots \frac{\partial w_1x_1 + w_2x_2 + \dots w_nx_n}{\partial x_n})^T x y=(x1w1x1+w2x2+wnxn,x2w1x1+w2x2+wnxnxnw1x1+w2x2+wnxn)T
    显然
    ∂ y ∂ x ⃗ = ( w 1 , w 2 , … , w n ) T = w ⃗ \frac{\partial y}{\partial \vec{x}} = (w_1,w_2,\dots,w_n)^T=\vec{w} x y=(w1,w2,,wn)T=w
    这样我们得到了第一种形式的导数求法。

    2. y = x T ∗ w y = x^T * w y=xTw

    同理 y = w 1 x 1 + w 2 x 2 + … w n x n y = w_1x_1 + w_2x_2 + \dots w_nx_n y=w1x1+w2x2+wnxn
    实际上这个与上一种情况结果一样
    ∂ y ∂ x ⃗ = ( w 1 , w 2 , … , w n ) T = w ⃗ \frac{\partial y}{\partial \vec{x}} = (w_1,w_2,\dots,w_n)^T=\vec{w} x y=(w1,w2,,wn)T=w

    2. y = x T ∗ A n ∗ n ∗ x y = x^T * A_{n*n} * x y=xTAnnx

    这种二次型情况也比较常见,我们将二次型展开写可以得到
    y = a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n + ⋮ a n 1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + ⋯ + a n n x n 2 \begin{aligned} y=&a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\dots+a_{1n}x_1x_n + \\ & a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\dots+a_{1n}x_1x_n +\\ & \vdots \\ & a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + \dots + a_{nn}x_n^2 \end{aligned} y=a11x12+a12x1x2++a1nx1xn+a21x2x1+a22x22++a1nx1xn+an1xnx1+an2xnx2++annxn2

    ∂ y ∂ x 1 = ( 2 a 11 x 1 + ( a 12 + a 21 ) x 2 + ⋯ + ( a 1 n + a n 1 ) x n ) \frac{\partial y}{\partial x_1} = (2a_{11}x_1 +(a_{12}+a_{21})x_2+\dots+(a_{1n}+a_{n1})x_n) x1y=(2a11x1+(a12+a21)x2++(a1n+an1)xn) ∂ y ∂ x 2 = ( ( a 12 + a 21 ) x 1 + 2 a 22 x 2 + ⋯ + ( a 2 n + a n 2 ) x n ) \frac{\partial y}{\partial x_2} = ((a_{12}+a_{21})x_1 +2a_{22}x_2+\dots+(a_{2n}+a_{n2})x_n) x2y=((a12+a21)x1+2a22x2++(a2n+an2)xn) ∂ y ∂ x n = ( ( a 1 n + a n 1 ) x 1 + ( a 2 n + a n 2 ) x 2 + ⋯ + a n n 2 x n ) \frac{\partial y}{\partial x_n} = ((a_{1n}+a_{n1})x_1 +(a_{2n}+a_{n2})x_2+\dots+a_{nn}^2x_n) xny=((a1n+an1)x1+(a2n+an2)x2++ann2xn)
    所以
    ∂ y ∂ x ⃗ = ( 2 a 11 a 12 + a 21 … a 1 n + a n 1 a 12 + a 21 2 a 22 … a 2 n + a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n + a n 1 a 2 n + a n 2 2 a n n ) x ⃗ \frac{\partial y}{\partial \vec{x}} = \begin{pmatrix} 2a_{11} & a_{12} + a_{21} & \dots &a_{1n}+a_{n1}\\ a_{12}+a_{21}&2 a_{22} & \dots & a_{2n}+a_{n2}\\ \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{1n}+a_{n1}& a_{2n}+a_{n2} & & 2a_{nn} \end{pmatrix}\vec{x} x y=2a11a12+a21a1n+an1a12+a212a22a2n+an2a1n+an1a2n+an22annx
    实际上
    ( 2 a 11 a 12 + a 21 … a 1 n + a n 1 a 12 + a 21 a 22 … a 2 n + a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n + a n 1 a 2 n + a n 2 2 a n n ) = ( a 11 + a 11 a 12 + a 21 … a 1 n + a n 1 a 12 + a 21 a 22 + a 22 … a 2 n + a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n + a n 1 a 2 n + a n 2 a n n + a n n ) = A T + A \begin{pmatrix} 2a_{11} & a_{12} + a_{21} & \dots &a_{1n}+a_{n1}\\ a_{12}+a_{21}& a_{22} & \dots & a_{2n}+a_{n2}\\ \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{1n}+a_{n1}& a_{2n}+a_{n2} & & 2a_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}+a_{11} & a_{12} + a_{21} & \dots &a_{1n}+a_{n1}\\ a_{12}+a_{21}& a_{22}+a_{22} & \dots & a_{2n}+a_{n2}\\ \vdots& \vdots& \vdots & \vdots \\ a_{1n}+a_{n1}& a_{2n}+a_{n2} & & a_{nn}+a_{nn} \end{pmatrix}=A^T + A 2a11a12+a21a1n+an1a12+a21a22a2n+an2a1n+an1a2n+an22ann=a11+a11a12+a21a1n+an1a12+a21a22+a22a2n+an2a1n+an1a2n+an2ann+ann=AT+A
    故可以得到 ∂ y ∂ x ⃗ = ( A T + A ) x ⃗ \frac{\partial y}{\partial \vec{x}} = (A^T+A)\vec{x} x y=(AT+A)x

    我们来看前一篇文章中的一个求导。
    L ( w ) = w T R ~ w + λ [ w T a ( θ d ) − 1 ] L(w) = w^T\tilde{R}w+\lambda[w^Ta(\theta_d)-1] L(w)=wTR~w+λ[wTa(θd)1]
    式中 L L L为一个标量, w = ( w 1 , w 2 , … , w n ) T w=(w_1,w_2,\dots,w_n)^T w=(w1,w2,,wn)T, R R R为一个实对称矩阵。
    要求 ∂ L ( w ) ∂ w \frac{\partial L(w)}{\partial w} wL(w)
    分成两部分
    ∂ ( w T R w ) ∂ w = ( R T + R ) w = 2 R w \frac{\partial (w^TRw)}{\partial w}=(R^T+R)w=2Rw w(wTRw)=(RT+R)w=2Rw
    ∂ ( w T a ( θ d ) − 1 ) ∂ w = a ( θ d ) \frac{\partial (w^Ta(\theta_d)-1)}{\partial w}=a(\theta_d) w(wTa(θd)1)=a(θd)
    故最终结果
    ∂ L ( w ) ∂ w = 2 R ~ w + λ a ( θ d ) \frac{\partial L(w)}{\partial w}=2\tilde{R}w+\lambda a(\theta_d) wL(w)=2R~w+λa(θd)


    总结

    主要介绍了常见的几种标量对向量求导,实际上在数字信号处理中和深度学习中,对向量求导很常见。后面有时间继续写。

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    万次阅读 多人点赞 2017-12-23 11:54:18
    更为复杂的形式是一个标量方程一个矩阵进行求导,也就是梯度矩阵,这个矩阵收集了每一个矩阵元素对应位置的求导结果。如果是那样,被求导的标量就必须是一个包含了所有的矩阵元素的方程。作为另一个例子,如果我们...
  • matlab求导代码介绍 仿真代码,用于使用辅助矢量滤波的概念验证自适应扩频水下通信。 包括由东北航空的P. Qarabaqi和M. Stojanovic开发的,用于生成随时间变化的频道的实现方案,以及由SUNY Buffalo的P. Markopoulos...
  • 矢量函数导数与梯度

    千次阅读 2014-03-09 21:00:02
    1. 导数  对于R n 到R m 的函数f,可以定义其导数为: ...到R的函数f,其导数Df(x)是一个n维行向量,它的转置称为梯度... 在上式进行求导,可以得到:  当g为R到R的函数时,上式可以简化为:
  • 矩阵乘向量求导推导

    千次阅读 2021-07-01 18:07:21
    我想玩RNN,但不知道如何矩阵乘向量进行求导. 经过 推了一会,我会了. 设Ab=cAb=cAb=c 展开写[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann][b1b2⋮bn]=[c1c2⋮cn]\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&...
  • 目录 前言 一、公式推导 1.1 将评分函数表达为矩阵形式 1.2 标量列向量求导规则 1.3 单个样本权重求导到全训练集 二、实现代码 前言 矩阵矩阵求导法则: 从上面公式可以看出,矩阵矩阵求导,会导致维度倍增...
  • 张量求导

    千次阅读 2019-03-01 15:58:06
    张量求导 之前遇到的很多张量求导和算子运算的问题,我都采用形状法则不断尝试,或者展开成分量进行运算,这几天接触到了 Kronecker delta(δ\deltaδ) 和 Levi-Civita(ϵ\epsilonϵ)记号。终于给出了一个统一...
  • 复数 标量/向量/矩阵 求导

    千次阅读 2020-12-02 22:32:31
    Wirtinger derivative: 令 z=x+jyz=x+jyz=x+jy,则 f(z)f(z)f(z) zzz 和 zzz 的共轭 z∗z^*z∗ 求导结果为 ∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i...
  • 1、包含区分了不同布局的矩阵求导的常用公式 2、包含了绝对值矩阵求导 3、包含了矩阵的模的求导 4、包含矩阵自动求导的网址链接
  • matlab求导代码 做笔记 -在线协作写作工具 -文件和知识管理工具 -收集鼓舞人心的想法,写有意义的话 -出色的文本编辑器。 图形编辑器 -TeX软件包,用于以编程方式创建图形 -免费和开源的矢量图形编辑器 -绘图软件和...
  • 向量 点乘 叉乘求导总结

    万次阅读 2019-11-16 20:00:30
    参考:https://blog.csdn.net/lx299/article/details/84871329

空空如也

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