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  • 对矩阵取共轭
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    2020-12-20 05:03:44

    共轭方程的导出是建立资料同化模型的关键,其导出方式有两种途径:AFD形式与FDA形式.在特征线计算格式基础上针对一类较广泛海洋动力控制方程分析了其两种共轭方程(AFD形式与FDA形式)之间的关系,并将理论结果应用于波谱共轭方程的讨论.

    共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线.

    共轭双曲线有共同的渐近线;

    共轭双曲线的四个焦点共圆.

    例 过双曲线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点,求证:过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一顶点.

    点A′.

    方程:x2/a2-y2/b2=1与y2/b2-x2/a2=1互为共轭双曲线

    双曲线与椭圆有哪些不同?

    (1)定义不同,图形不同。

    (2)有两类特殊的双曲线,它们有一些特殊的性质。

    一类是等轴双曲线。其主要性质有:a=b,离心率为根号2,两条渐近线互相垂直,等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

    另一类是共轭双曲线,其主要性质有:它们有共同的渐近线,它们的四个焦点共圆,它们的离心率的倒数的平方和等于1。

    等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线:而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形,每个方程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。

    共轭矩阵

    又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵(或自共轭矩阵)是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。

    对于

    A

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             由上图所示,可以得知:a'是求矩阵的共轭转置,而a.'是求矩阵的共轭。在数学中,共轭转置表示为在矩阵的右上角加上H。

            如果矩阵是实数矩阵,那么a'和a.'的结果一样,都是求矩阵的转置,如下图所示:

     

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    共轭矩阵:

    若存在一个方阵 A A A的元素为 a i j a_{ij} aij,那么 A A A的共轭矩阵( A H A^H AH)的元素为$(a_{ij})^H $,

    也就是说 A A A矩阵的元素先转置,后取共轭,就可以得到共轭矩阵 A H A^H AH

    举例子:

    A A A
    ( 3 + i 2 1 − 2 j 6 − i 4 − i 3 − 2 i 7 + i 4 1 + 2 i ) \left(\begin{array}{ccc} 3+i & 2 & 1-2 j \\ 6-i & 4-i & 3-2 i \\ 7+i & 4 & 1+2 i \end{array}\right) 3+i6i7+i24i412j32i1+2i

    通过变换

    ( 3 + i 2 1 − 2 j 6 − i 4 − i 3 − 2 i 7 + i 4 1 + 2 i ) → 转置 → ( 3 + i 6 − i 7 + i 2 6 − 1 4 1 − 2 i 3 − 2 i 1 + 2 i ) → 共轭 → ( 3 − i 6 + i 7 − i 2 4 + i 4 1 + 2 i 3 + 2 i 1 − 2 i ) \begin{aligned} &\left(\begin{array}{ccc} 3+i & 2 & 1-2 j \\ 6-i & 4-i & 3-2 i \\ 7+i & 4 & 1+2 i \end{array}\right)\\ &\rightarrow \text{转置} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 3+i & 6-i & 7+i \\ 2 & 6-1 & 4 \\ 1-2 i & 3-2 i & 1+2 i \end{array}\right)\\ & \rightarrow \text{共轭} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 3-i & 6+i & 7-i \\ 2 & 4+i & 4 \\ 1+2 i & 3+2 i & 1-2 i \end{array}\right) \end{aligned} 3+i6i7+i24i412j32i1+2i转置3+i212i6i6132i7+i41+2i共轭3i21+2i6+i4+i3+2i7i412i

    那么 A H A^H AH

    ( 3 − i 6 + i 7 − i 2 4 + i 4 1 + 2 i 3 + 2 i 1 − 2 i ) \begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc} 3-i & 6+i & 7-i \\ 2 & 4+i & 4 \\ 1+2 i & 3+2 i & 1-2 i \end{array}\right) \end{aligned} 3i21+2i6+i4+i3+2i7i412i

    自共轭矩阵:

    别名: H e r m i t e Hermite Hermite阵、埃米尔特矩阵。

    若存在一个方阵 A A A的元素为 a i j a_{ij} aij,且 a i j = ( a i j ) H a_{ij} = (a_{ij})^H aij=(aij)H,那么 A A A为自共轭矩阵,

    也就是说 A = A H A = A^H A=AH

    举例子: A A A

    ( 3 2 + i 2 − i 1 ) → 转置 → ( 3 2 − i 2 + i 1 ) → 共轭 → ( 3 2 + i 2 − i 1 ) \left(\begin{array}{cc} 3 & 2+i \\ 2-i & 1 \end{array}\right) \rightarrow \text{转置} \rightarrow\left(\begin{array}{ll} 3 & 2-i \\ 2+i & 1 \end{array}\right) \rightarrow \text{共轭} \rightarrow\left(\begin{array}{cc} 3 & 2+i \\ 2-i & 1 \end{array}\right) (32i2+i1)转置(32+i2i1)共轭(32i2+i1)

    那么 A A A为自共轭矩阵,且 A A A的对角线元素必须为实数,而实对称矩阵是自共轭矩阵的一个特例。

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  • python实现矩阵共轭共轭转置

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    python实现矩阵共轭共轭转置 (以IDLE上操作为例。完整代码在下方) 创建一个矩阵: >>> import numpy as np >>> e = np.mat("1 2+3j;3 4+5j") 或使用第二种方法创建矩阵(不推荐): >>>...

    python实现矩阵共轭和共轭转置

    (以IDLE上操作为例。完整代码在下方)
    创建一个矩阵:

    >>> import numpy as np
    >>> e = np.mat("1 2+3j;3 4+5j")
    

    或使用第二种方法创建矩阵(不推荐):

    >>> e = [[1, 2+3j],[3, 4+5j]]
    >>> e = np.matrix(a)
    

    输出矩阵:

    >>> e
    matrix([[1.+0.j, 2.+3.j],
            [3.+0.j, 4.+5.j]])
    

    使用 conjugate() 函数实现共轭:

    >>> e.conjugate()
    matrix([[1.-0.j, 2.-3.j],
            [3.-0.j, 4.-5.j]])
    

    共轭就是对一个复数的虚部求反。共轭转置就是转置后再求共轭。python里复数用 j 来代表数学中的复数 i
    求共轭转置:

    >>> e.T.conjugate()
    matrix([[1.-0.j, 2.-0.j]
            [0.-2.j, 6.-5.j]])
    

    完整代码:

    import numpy as np
    
    # 使用mat() 创建矩阵以 ; 隔开每一行,句号隔开行中的列。
    e = np.mat("1 2+3j;3 4+5j")
    print("原矩阵:\n", e)
    # 共轭矩阵
    print("共轭矩阵:\n", e.conjugate())
    # 共轭转置
    print("共轭转置: \n", e.T.conjugate())
    
    展开全文
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