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  • 对矩阵梯度的行列式
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    2018-11-27 22:38:47

    行列式: d e t ( A ) det(A) det(A)

    n阶矩阵(方阵) A A A的行列式是一个标量,如何计算就不啰嗦了.

    1、物理意义
    A n × n A^{n\times n} An×n表示一个n维空间到n维空间的线性变换: f : R n → R n f:R^n\to R^n f:RnRn, 是一个压缩或拉伸, 即scale操作。而 d e t ( A ) det(A) det(A)就是这个缩放尺寸。

    (1) 假想原来空间中有一个 n n n维的立方体(随便什么形状),其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换,变成 n n n维空间中的一个新立方体。
    (2) 原来立方体有一个体积 V 1 V_{1} V1,新的立方体也有一个体积 V 2 V_{2} V2
    (3) 行列式 d e t ( A ) det(A) det(A)是一个数对不对?这个数其实就是 V 2 ÷ V 1 V_{2} \div V_{1} V2÷V1
    2、性质
    d e t ( A ) × d e t ( B ) = d e t ( A B ) det(A)\times det(B)=det(AB) det(A)×det(B)=det(AB)

    奇异矩阵

    奇异矩阵就是说该矩阵不是满秩的。

    1. 首先,看这个矩阵是不是方阵。
    2. 再看此矩阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵; 若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。
    3. 可逆矩阵和非奇异矩阵是一个意思。
      A矩阵不可逆(奇异矩阵)的充要条件:
      <=> |A| = 0
      <=> A的列(行)向量组线性相关
      <=> R(A)<n
      <=> AX=0 有非零解
      <=> A有特征值0.
      <=> A不能表示成初等矩阵的乘积
      <=> A的等价标准形不是单位矩阵

    矩阵范数

    1-范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 m ∣ a i , j ∣ ||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}| A1=maxji=1mai,j, 列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, 1), python调用为np.linalg.norm(A, ord=1) 。

    2-范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ 1 , λ 1 ||A||_2 = \sqrt{\lambda_1},\lambda_1 A2=λ1 λ1 A T A A^TA ATA的最大特征值,又称为谱范数matlab调用函数norm(x, 2), python调用为np.linalg.norm(A, ord=2) 。

    ∞ \infty -范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ⁡ i ∑ j = 1 N ∣ a i , j ∣ ||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}| A=maxij=1Nai,j,行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, inf), python调用为np.linalg.norm(A, ord=np.inf) 。

    F-范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i , j ∣ 2 ) 1 2 ||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}} AF=(i=1mj=1nai,j2)21,Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方,matlab调用函数norm(A, ’fro‘),python调用为np.linalg.norm(A, ord=‘fro’) 。

    核范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ ∗ = ∑ i = 1 n λ i , λ i ||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \quad \lambda_i A=i=1nλi,λi是A的奇异值,即奇异值之和。

    条件数

    条件数定义为: c o n d ( A ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ ∗ ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ cond(A)=||A||*||A^{-1}|| cond(A)=AA1 ∣ ∣ A ∣ ∣ ||A|| A是矩阵的某一种范数。
    Condition number是一个矩阵(或者它所描述的线性系统)的稳定性或者敏感度的度量,如果一个矩阵的condition number在1附近,那么它就是well-conditioned的,如果远大于1,那么它就是ill-conditioned的,如果一个系统是ill-conditioned的,它的输出结果就不要太相信了。
    这是因为若 y = A x y=Ax y=Ax,给 x x x一个微小的扰动量 Δ x \Delta x Δx,输出的结果会变化很大,即 y ′ = A ( x + Δ x ) y&#x27;=A(x+\Delta x) y=A(x+Δx) ∣ y ′ − y ∣ |y&#x27;-y| yy是一个难以容忍的值。

    AdaGrad

    '''
    AdaGrad
    优点:抑制梯度大的维度的下降速度,增大梯度小的维度的下降速度
    缺点:随着迭代,步长越来越小,在非凸问题上容易卡在鞍点和局部极小值
    '''
    grad_squared = 0
    while True:
        dx = compute_gradient(x)
        grad_squared += dx * dx
        x -= learning_rate * dx / (np.sqrt(grad_squared) + 1e-7)
    

    对于条件数很大的矩阵,比如一个维度有很大的梯度,另一个维度有很小的梯度,我们除以这个梯度平方的累加和会使梯度小的维度学习率增大,而梯度大的维度学习率降低。

    【参考链接】
    1、奇异值和特征值
    2、计算矩阵/向量的范数:numpy.linalg.norm()
    3、cs231n优化算法

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    来源:知乎—gwave

    地址:https://zhuanlan.zhihu.com/p/352438848

    在数学、物理和工程领域,将问题通过坐标变换到一个更容易表达、分解和计算的坐标系统是个非常核心方法:SVD、谱分解、傅立叶变换和拉格朗日力学皆是如此,其重要程度远超一般的认知。深度学习这么火的重要原因也是通过表示学习把高维数据映射到了适当的低维特征空间中。

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    反向传播中,神经元的输出相对与输入的局部敏感度即偏导数

    来源:https://cedar.buffalo.edu/~srihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf

    在映射过程中,描述不同函数变量间变化速度的导数非常重要,Jacobian矩阵提供了一种表达局部输出对于输入的敏感度的方法。神经网络BP反向传播依赖误差与权重的偏导数关系来训练权重的,神经网络的权重千千万,cost function对哪些权重的变化敏感,无疑那些权重是更重要的,Jacobian矩阵就提供了一个分析神经网络输入-输出行为的数学框架。当然,Jocobian的应用是极其广泛的,机器学习只不过是冰山一角。

    目录

    1. 坐标变换

    2. 1D 变量替换

    3. Jacobian矩阵

    4. Jacobian行列式

    5. 神经网络BP误差反向传播

    6. Jacobian regularization

    7. Carl Jacob Jacobi简介

    01

    坐标变换

    坐标变换的原因之一是为了方便积分,当被积区域比较复杂时,变量替换往往能简化问题,如对圆形区域积分时,极坐标比笛卡尔坐标方便;有时被积对象较复杂,变量替换能降低复杂度。坐标变换的思想可以被进一步推广到任意自定义的变量替换的坐标系统中:

    比如,对下面由四条直线围成的平行四边形区域进行积分,四条直线方程分别为:    。

    b32a4b21a1b94f3f252047d9c9b9cae4.jpeg

    引入新的变量:    ,两条斜线分别变为了    ,两条水平线变为    。显然,在矩形区域上积分比平行四边形上积分要方便。

    98ac06a2a85f698f43391da336f6364c.png


    02

    1D 变量替换

    先以一个trivial的1D U-Substitution toy case为例,温习下变量替换的过程。

    推导:

    令:    ,则    ,   

    然后,扩展到以    替代   的更一般情况:对于    ,    表示当对   进行了一个很小的扰动    后,    的对应变化    与    之间的线性关系。同时,定积分上下限也要进行相应调整:   ,此处出现了一个比例因子    ,即导数,这就是单变量下的Jacobian,可理解为    。

    注意:这里    与我们经常看到的    的方向相反,是为了保持与多变量下形式的一致性,如上例中的    和   。


    03

    Jacobian矩阵

    • Jacobian矩阵可被视为是一种组织梯度向量的方法。

    • 梯度向量可以被视为是一种组织偏导数的方法。

    • 故,Jacobian矩阵可以被视为一个组织偏导数的矩阵。

    多变量的情况下,坐标变换描述的是从    到    连续的1对1变换,注意此处    是自变量,与上面的    为自变量的函数互为反函数,可见Jacobian可以是双向的, 一般从积分难度较大指向积分较容易的方向。

    以矩阵形式来表示:

      ,其中   即为Jacobian矩阵。

    假设在   映射中,输入为  ,输出   。Jacobian矩阵告诉我们:如果    是一个位移向量,那么    则是其在对应的坐标变换后的空间中的位移向量    的最佳一阶近似,这是一阶泰勒公式近似的思想在坐标变换中的体现。

    下面从    方向来看:

    7ffd0f85fee9c1fec8fda5b0e5d86818.jpeg

    从UV平面到XY平面的坐标变换

    假设我们对    坐标下位于    的点进行扰动,分别增加    ,得到一个小区域    ,现在考察在    坐标系统下,微扰对应的变化量分别是:    ,    。

    在    坐标下,平行四边形    的面积为两个边向量的叉积的模长:


    04

    Jacobian行列式

    当    时,Jacobine矩阵为方阵,对应的Jacobian行列式计算给定矩阵线性变换的比例因子,告诉我们变换是空间放大还是缩小,而且,对空间的任何区域,该因子都保持不变(行列式)。

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    行列式等于向量所围成的面积或体积

       即雅可比行列式,简称"the Jacobian"。

    上面平行四边形变矩形的例子中:    ,即   

    这意味这在平行四边形和矩形上积分的比例缩放因子为1。


    05

    神经网络BP误差反向传播

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    在神经网络反向传播误差信号时,使用Jacobian矩阵 来源:PRML

    BP反向传播是最经典的神经网络权重训练方法,今天仍是最重要的方法。BP算法有个别名———“永远求偏导”,在将误差信号    一直向前传导直至输入层的过程中,对权重    进行调整/学习。上图中,红色模块对应要计算的Jacobian矩阵和下面公式中的    :

       ,其中   ,    为估计值。

    前面我们提到行列式的值告诉我们空间是膨胀还是收缩,如果在输入空间的某个输入点,输出空间膨胀的很厉害,说明神经网络在该区域可能有些不稳定,任何输入的扰动,可能导致输出的巨大波动;相反,如何行列式比较小,则输入的变化对输出影响不大。

    神经网络Jacobian矩阵的计算流程:将输入向量通过前向传递(Forward Propagate)在神经网络正向传播,获得所有输出层和隐藏层的激活值 (Activation),对第    个输出单元进行反向传播,对应Jacobian 矩阵中的第    行,反向传播直至输入层。计算结果可通过数值方法进行验证:    。

    06

    Jacobian Regularization

    参考文献:Robust Learning with Jacobian Regularization

    https://arxiv.org/pdf/1908.02729.pdf

    近年来,Jacobian被应用与正则化(Regularization),不同于    正则,Jacobian Regularization的重点是神经网络对输入波动的鲁棒性。大家对对抗样本(adversarial examples)可能并不陌生,对熊猫的图片(左)中混入极少量的长臂猿的梯度(中),导致分类算法以99.3%的置信度将将图片错误的识别为长臂猿(右)。

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    Jacobian Regularization的想法很简单,Jacobian矩阵中的值越小,输入空间中小波动对输出空间的影响越小。具体来说就是取Jacobian矩阵的Frobenius norm,    ,即矩阵所有元素的平方和开根号。


    07

    Carl Jacob Jacobi简介

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    Carl Gustav Jacob Jacobi(1804 – 1851)

    Jacobian矩阵与行列式由德国数学家Carl Gustav Jacob Jacobi(1804 – 1851)提出,他在椭圆函数、动力学、微分方程、行列式和数论等方面做出了重要贡献。他推动了偏微分符号   的广泛使用,只要看一眼Jacobian公式就知道原因了。不要和学术豪门的雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli‎,1654-1705)搞混了。

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    以Jacob命名的月球环形山

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  • 最近接触了一点雅克比的东西,以前学习雅克比矩阵和雅克比行列式是在高数上,就知道个二重积分的时候可以用一下,其他的真没遇到过。最近在学习随机过程,在涉及到随机变量转化求解概率密度函数时,猛然冒出雅克比...

    最近接触了一点雅克比的东西,以前学习雅克比矩阵和雅克比行列式是在高数上,就知道个二重积分的时候可以用一下,其他的真没遇到过。最近在学习随机过程,在涉及到随机变量转化求解概率密度函数时,猛然冒出雅克比行列式让我刮目相看,于是再次学习这些东西。

     

       首先介绍定义,雅克比矩阵是一阶偏导数以一定的方式排列成的矩阵,当其实方阵时,行列式称为雅克比行列式。设有m个n元函数组成的函数组:,称之为函数组。我们对这个函数组取一阶导数,获得下面的雅克比矩阵:


    如果m=n,那么J就是一个方阵,于是我们就得到对应的雅克比行列式:


    首先讨论雅克比矩阵,凡是矩阵都可以看做是一个线性空间之间的转换工具,这里也不例外,我们将雅克比矩阵看做是将点转化到点,或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空间。这里需要强调的是不要和hessian 阵混合,后者也是梯度矩阵,针对的是多元函数的二阶偏导数构成的方块阵。


    下面介绍雅克比矩阵和雅克比行列式的数学和物理意义。

    Eg1.雅克比矩阵可以用来体现一个可微方程与给定的某个点的最佳线性逼近,也可以理解为某点的一阶展开,因为雅克比矩阵类似多元函数的导数,只是这里的函数是函数组。雅克比矩阵的第i行的转置就是函数yi的梯度。例如在某点p处可微,那么我们将有

    Eg2.坐标变换

       球坐标与直角坐标的变换公式如下:


        实现了将球空间转化为笛卡尔空间。我们得到的雅克比矩阵是

          

        更加具体的参考blog:

        http://blog.sina.com.cn/s/blog_4062094e0100c2p1.html

        这个需要强调的是在这个例子中雅克比矩阵更加准确的体现的是其微分形式,反应了原始空间微小变化引发的值域空间的变化的敏感度。

    Eg3. 雅克比行列式的性质。雅克比行列式可以看做是空间的坐标变换时对应的面积(或者体积)元素的伸缩系数

         在应用到多重积分的变量替换是最常用到的。例如对于二重积分:

        ---------1,

         我们进行变量替换 -------2,于是将公式2代入到1中我们得到:

    ,在这里。我们做这么麻烦的转化只是为了将来的运算方便,一种情况是在x,y不好运算,比如我们用极坐标运算来代替直角坐标运算。第二种是,x,y的运算未知,而我们已   经知道了u,v的运算以及两者之间转换关系。

        总之,雅克比行列式表示不同坐标下的转换尺度。


    转自http://blog.csdn.net/carrierlxksuper/article/details/12453307

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  • 关于梯度和雅可比矩阵

    千次阅读 2020-11-03 18:08:28
    看到一个简洁漂亮的推导,从可微性的概念出发引入了梯度和雅可比矩阵,简记如下。 微积分的基本理念是利用仿射函数函数进行近似,仿射函数的定义如下: 如果存在线性函数L:Rn→RmL:R^n→R^mL:Rn→Rm和向量y∈Rmy \...

    转载自:博客
    该博客已过期,为了方便以后查看,转载如下,侵删

    看到一个简洁漂亮的推导,从可微性的概念出发引入了梯度和雅可比矩阵,简记如下。
    微积分的基本理念是利用仿射函数对函数进行近似,仿射函数的定义如下:
    如果存在线性函数 L : R n → R m L:R^n→R^m L:RnRm和向量 y ∈ R m y \in R^m yRm使得对于任意 x ∈ R n x∈R^n xRn都有 A ( x ) = L ( x ) + y ​ A(x)=L(x)+y​ A(x)=L(x)+y则称函数 A A A为一个仿射函数。(注:不难看出,仿射函数实质上是线性变换加上平移。)
    如果给定了函数 f : R n → R m f:R^n→R^m f:RnRm和点 x 0 ∈ R n x_0∈R^n x0Rn,我们希望找到一个仿射函数 A A A,使其在点 x 0 x_0 x0附近能够近似函数 f f f,那么显然有 A ( x 0 ) = f ( x 0 ) A(x_0)=f(x_0) A(x0)=f(x0)
    可得
    y = f ( x 0 ) − L ( x 0 ) y=f(x_0)-L(x_0) y=f(x0)L(x0)
    再利用线性函数的性质可得
    A ( x ) = L ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) A(x)=L(x-x_0)+f(x_0) A(x)=L(xx0)+f(x0)
    接下来,相对于 x x x接近于 x 0 x_0 x0的速度,要求 A ( x ) A(x) A(x)接近 f ( x ) f(x) f(x)的速度更快,以保证 A A A在点 x 0 x_0 x0附近实现对fff的近似,即保证在某个给定点上的近似误差是相对于该点与 x 0 x_0 x0之间距离的一个“无穷小量”,以下给出导数的定义:
    给定函数 f : Ω → R m , Ω ⊂ R n f:\Omega\rightarrow R^m,\Omega\subset R^n f:ΩRmΩRn,如果存在一个仿射函数能够在点 x 0 x_0 x0附近近似函数 f f f,那么就称函数 f f f在点 x 0 ∈ Ω x_0\in\Omega x0Ω处可微,即存在线性函数 L : R n → R m L:R^n\rightarrow R^m L:RnRm使得
    lim ⁡ x → x 0 , x ∈ Ω ∥ f ( x ) − ( L ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) ) ∥ ∥ x − x 0 ∥ = 0 \lim_{x\rightarrow x_0,x\in\Omega} \frac{\parallel f(x)-(L(x-x_0)+f(x_0))\parallel}{\parallel x-x_0\parallel } =0 xx0,xΩlimxx0f(x)(L(xx0)+f(x0))=0
    L L L称为 f f f在点 x 0 x_0 x0的导数,如果函数 f f f在定义域 Ω \Omega Ω上处处可微,那么称 f f f Ω \Omega Ω上是可微的。
    以前也提过,矩阵的本质是对变换的描述,那么如何确定可微函数 f f f的导数 L L L对应的矩阵 M M M呢?引入 R n R^n Rn空间的标准基 ∣ e 1 , e 2 , . . . , e n ∣ \left|e_1,e_2,...,e_n \right| e1,e2,...,en,考虑在某个方向上有微小变化的向量 x j = x 0 + t e j , j = 1 , . . . , n x_j=x_0+te_j, j=1,...,n xj=x0+tej,j=1,...,n,根据导数的定义有:
    lim ⁡ t → 0 f ( x j ) − ( t M e j + f ( x 0 ) ) t = 0 \lim_{t\rightarrow 0} \frac{ f(x_j)-(tMe_j+f(x_0))}{t} =0 t0limtf(xj)(tMej+f(x0))=0
    这意味着,对于 j = 1 , . . . , n j=1,...,n j=1,...,n,有:
    lim ⁡ t → 0 f ( x j ) − f ( x 0 ) t = M e j \lim_{t\rightarrow 0} \frac{ f(x_j)-f(x_0)}{t} =Me_j t0limtf(xj)f(x0)=Mej
    由矩阵乘法的性质可知, M e j Me_j Mej是矩阵 M M M的第 j j j列,向量 x j x_j xj x 0 x_0 x0仅在第 j j j个元素存在差异,上式的左边等于偏导数 ∂ f ∂ x j ( x 0 ) \frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) xjf(x0) 。因此,如果
    f ( x ) = [ f 1 ( x ) . . . f m ( x ) ] f(x)=\left[ \begin{matrix} f_1(x)\\ ...\\ f_m(x) \end{matrix} \right] f(x)=f1(x)...fm(x)
    那么有
    ∂ f ∂ x j ( x 0 ) = [ ∂ f 1 ∂ x j ( x 0 ) . . . ∂ f m ∂ x j ( x 0 ) ] \frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(x_0)\\ ...\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_j}(x_0) \end{matrix} \right] xjf(x0)=xjf1(x0)...xjfm(x0)
    注意这只是对一个分量的偏导,完整的矩阵 M M M
    [ ∂ f ∂ x 1 ( x 0 ) , . . . , ∂ f ∂ x n ( x 0 ) ] = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ( x 0 ) , . . . , ∂ f 1 ∂ x n ( x 0 ) . . . ∂ f m ∂ x 1 ( x 0 ) , . . . , ∂ f m ∂ x n ( x 0 ) ] [\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_0),...,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x_0)]=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0),...,\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_0)\\ ...\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_0),...,\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_0) \end{matrix} \right] [x1f(x0),...,xnf(x0)]=x1f1(x0),...,xnf1(x0)...x1fm(x0),...,xnfm(x0)
    矩阵 M M M称为 f f f在点 x 0 x_0 x0雅可比矩阵或导数矩阵,记为 D f ( x 0 ) Df(x_0) Df(x0)
    考虑 m = 1 m=1 m=1的情形,如果函数 f : R n → R f:R^n→R f:RnR可微,那么矩阵简化为一个行向量
    [ ∂ f ∂ x 1 ( x ) . . . ∂ f ∂ x n ( x ) ] T \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\\ ...\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x) \end{matrix} \right] ^T x1f(x)...xnf(x)T
    将其再转置一下,就得到我们熟悉的梯度公式了:
    ∇ f ( x ) = D f ( x ) T = [ ∂ f ∂ x 1 ( x ) . . . ∂ f ∂ x n ( x ) ] \nabla f(x) =Df(x)^T= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\\ ...\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x) \end{matrix} \right] f(x)=Df(x)T=x1f(x)...xnf(x)
    可以看出,梯度是一个由 R n R^n Rn映射到 R n R^n Rn的函数,如果在点 x 0 x_0 x0绘制梯度向量,其起点为点 x 0 x_0 x0,箭头代表方向,也就是说梯度能表示为向量场,类似于下图。
    [外链图片转存中...(img-oRHyivX9-1604393458459)]

    可以证明梯度方向是函数 f f f在点 x 0 x_0 x0处增加最快的方向,反之,负梯度方向是函数值减少最快的方向,这也就是最小化loss的梯度下降法的理论基础。

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  • 雅可比行列式和雅可比矩阵

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  • Python矩阵基本运算 (一)python矩阵操作 先引入numpy,以后的教程中,我们都引用为np作为....5. 进行行列转换: a.transpose() (二)python矩阵乘法 使用二维数组创建两个矩阵A和B A = np.array([[1, 2, 3],
  • 最近接触了一点雅克比的东西,以前学习雅克比矩阵和雅克比行列式是在高数上,就知道个二重积分的时候可以用一下,其他的真没遇到过。最近在学习随机过程,在涉及到随机变量转化求解概率密度函数时,猛然冒出雅克比...
  • 矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路,常应用于二阶方法求解优化问题。 首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数,需要什么样的定义? 第一,矩阵F(p×q)F(p×q)F(p×q)对矩阵X(m×n)X(m×n)X(m×n...
  • 对数—行列式函数的分析

    千次阅读 2019-01-17 19:28:40
    定义:函数f(X)=log⁡det⁡Xf\left( X \right) = \log \det Xf(X)=logdetX,domf∈S++ndomf \in S_{ + + }^ndomf∈S++n​,则称函数fff为对数-行列式函数,现在我们想分析该函数是凸函数还是凹函数?或是非凸又非凹...
  • 雅可比行列式【1】定义及一些推导

    千次阅读 2020-12-23 10:00:31
    最近在做应用多元统计的学习的时候再一次遇到了雅可比矩阵这个东西,发现完全想不起来这是什么东西,只记得学习高代和概率论的时候背过这个公式。学数学分析的时候也没有好好学习向量微积分的知识。今天跑步的时候...
  • 雅可比矩阵与海森矩阵

    千次阅读 2019-02-23 10:30:13
    行列式称为雅可比行列式。 一、Jacobian矩阵 雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近. 因此, 雅可比矩阵类似于多元函数的导数。   即: 假设F: Rn→Rm是一个从欧式n维...
  • 目录一、python矩阵二、梯度下降法三、最小二乘法 实验目的: 1.练习Python矩阵 2.解释微分、梯度的含义? 什么是梯度下降法?并用用梯度下降法手工求解 参考,在Excel里用牛顿法、或者梯度下降法求解 z=2(x-1)2+y2...
  • 由于矩阵求导涉及行列式、迹,因此比标量向量、向量向量都要复杂一些。 矩阵微分定义 定义矩阵XXX、实值函数f(X)f(X)f(X)的微分和偏导矩阵: X=[x11x12…x1nx21x22…x2n…………xn1xn2…xnn]dX=[dx11dx12…dx1...
  • 鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪,本文来做个科普,分作两篇,上篇讲标量对矩阵的求导术,下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量,粗体小写字母表示(列)向量,大写字母X表示矩阵。首先...
  • 文章目录一、 Jacobian二、雅可比矩阵2.1、雅可比行列式三、 海森Hessian矩阵3.1、海森矩阵在牛顿法中的应用3.1.1、 泰勒公式3.1.2、 求解方程3.1.3、 最优化 一、 Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以...
  • 标量对矩阵求导

    千次阅读 多人点赞 2018-04-20 23:05:03
    标量对矩阵求导矩阵求导的技术,在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪,本文来做个科普,分作两篇,上篇讲标量对矩阵的求导术,下篇讲矩阵对矩阵的求导术。...
  • Jacobian矩阵和Hessian矩阵 ...  转载自 jacoxu的博客  1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式. 还有, 在代数几何中, 代数曲
  • 深度学习(二)梯度推导

    千次阅读 2020-06-23 08:48:27
    2.如果是a * b = y,则反向传播时a b 的梯度分别为b a,如果是矩阵运算会涉及到矩阵转换 3.复杂的计算可以拆解成简单的元运算来计算梯度 我们以全连接为例:y = xw + b 首先拆解为xw 和 b,按照上述原则,假设y的...
  • 为此写下本学习笔记介绍雅可比矩阵。本博客的内容来自于网络的各种资料的总结,已经给出参考引用。本文仅作本人学习记录用。目录定义机器人关节(Joint)之间的坐标变换(Transform)Jacobian Matrix 在运动学中的意义...
  • 矩阵求导演示: log(log(det(X)))求导

    千次阅读 2020-09-25 11:35:42
    目标求取其关于变量X\mathbf{X}X的梯度: ∇f=∂log⁡(log⁡(∣X∣))∂X(1)\nabla f= \frac{{\partial \log (\log (\left| {\bf{X}} \right|))}}{{\partial {\bf{X}}}} \tag{1}∇f=∂X∂log(log(∣X∣))​(1) 其中X\...
  • 矩阵微分手册translate.pdf
  • 若向量值函数\(m=n\),则其Jacobi矩阵行列式为Jacobi行列式,记作\(\dfrac{D(f_1,f_2,\cdots,f_m)}{D(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\) 如果连续可微函数f在P点的Jacobi行列式不是零,那么它在该点附近具有反函数。 ...
  • 正定矩阵及半正定矩阵在机器学习和深度学习中有很重要的应用。 引言 定义:特征值全是实数的实对称矩阵为正定矩阵(positive definite ...定义:在nnn阶行列式中任选kkk行,再取相应的kkk列,将行列交汇处...
  • 对矩阵det和logdet求导

    2022-02-12 12:34:42
    对矩阵行列式det和对矩阵行列式的对数logdet求导
  • 虽然在法则和公式中涉及到了矩阵变元的实矩阵函数,但是并不介绍如何求导实矩阵函数,只介绍矩阵变元的实值标量函数利用微分求导的过程(实矩阵函数的求导过程远比实值标量函数的求导过程复杂)。...
  • 通常,神经网络是一个多变量,矢量值函数,如下所示:函数f有一些参数θ(神经网络的权重),它将...当使用这样的标量损失时,M = 1,然后通过执行(随机)梯度下降来学习参数,在此期间重复计算相对于θ的损失函数的梯度...

空空如也

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对矩阵梯度的行列式