在有限元刚度阵推导过程中，会遇到对矩阵进行积分的操作。
 
我们有两种方法来解决这个问题：
 
1. 通过map函数，把int操作映射到矩阵的各个元素上。具体操作如下：
 
 
2. 调用MTM软件包，就可以直接利用int命令对矩阵进行积分。具体操作如下：
 
 
 

假设$X$为未知矩阵,那么对于矩阵$X$的积分 
 
 $$\int X dX = \frac{1}{2}\|X\|_F^2$$ 
 
另外一种方式理解对于$X$中的每个元素$x_{ij}$, 对其积分
 

 $$\int x_{ij}dx_{ij}  = \frac{1}{2}x_{ij}^2$$ 
 
所以 
 
 $$\int X dX = \sum_i \sum_j \int x_{ij}dx_{ij}  = \frac{1}{2}  \sum_i \sum_j x_{ij}^2  = \frac{1}{2}  \sum_i \sum_j x_{ij}*x_{ij} = \frac{1}{2}tr(X^TX) = \frac{1}{2}\|X\|_F^2$$ 

 
 
线性代数是一门有趣又有用的学科。基于机器学习、深度学习等技术的人工智能的核心数学知识就包含数理统计、微积分与线性代数。
 
 
通过 求导矩阵 对多项式求导：
 
例：
 
$$f(x)=4x^2+3x+2$$
 
则声明其系数向量与次数矩阵。
 
$$y=\left[\begin{array}{r}4\\ 3\\ 2\end{array}\right]$$
 
$$D=\left[\begin{array}{rlr}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$$
 
将 D 与 y 做乘，则得到求导后的系数：
 
$$\frac{dy}{dx}=\left[\begin{array}{r}0\\ 8\\ 3\end{array}\right]$$
 
对应数学表达式：
 
$$f^{\prime }(x)=0x^2+8x+3$$
 
同理，可推导 积分矩阵 ：
 
$$Dy=dydx$$
 $$D{D}^{-1}y=D^{-1}dydx$$
 $$D^{-1}y=dydx$$
 
因此，对于式 $g(x)=8x+3$ ，其积分矩阵为：
 
原式线性多项式最高次幂为1，则积分后最高次幂为2，则积分矩阵要表达 2 次的系数，因此 $n=3$；
即先写出正常的 $D$ ，再取 $D$ 的（伪）逆。
 
则对于 $g(x)$ ，积分矩阵为：
 
$$D^{-1}={\left[\begin{array}{rlr}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}^{-1}$$
 
$$D^{-1}=\left[\begin{array}{rlr}0& 0.5& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
 
将 $D^{-1}$ 与 系数向量 做乘，则得到积分后的系数：
 
$$\int g(x)dx=\left[\begin{array}{r}4\\ 3\\ 0\end{array}\right]$$
 
对应数学表达式：
 
$$\int g(x)=4x^2+3x$$
 
注意该不定积分没有常数项。
 
启发：该方法很好理解，利用了矩阵的性质，实现了系数的自动变换与落位，在计算实现时可以考虑该方法减少迭代次数，提高运算效率。但是可能只适合线性多项式。
 
下面是一个 matlab 的例题，我先通过求导矩阵求其求导后，在通过积分矩阵求其原式，但是不带常数项。
 
4th order polynomial
 
 
》D

D =

     0     0     0     0     0
     4     0     0     0     0
     0     3     0     0     0
     0     0     2     0     0
     0     0     0     1     0

》Y

Y =

     2
     4
     6
     8
     3

》dy = D * Y

dy =

     0
     8
    12
    12
     8

》% 如何通过dy求Y？ 先对D求逆，即积分矩阵
》D_1 = pinv(D)

D_1 =

         0    0.2500         0         0         0
         0         0    0.3333         0         0
         0         0         0    0.5000         0
         0         0         0         0    1.0000
         0         0         0         0         0

》Y = D_1 * dy

Y =

     2
     4
     6
     8
     0

矩阵微分的一般方法
 
首先说明，我们的方法主要在是在 denominator layout 框架下。
 
按照微分分子分母的类型，我们可以给矩阵微分分为几个类别。如果 scalar / vector、vector / matrix 等等。我们不需要记住每一种情况下的规则。除却涉及矩阵的微分计算（形式比较特殊），我们首先需要记住的是微分计算的两个个法则：乘法法则、和链式法则（加法法则比较简单直观，无需记忆）。
 
vector-by-vector
 
1.乘法法则（最后列为denominator layout）
 
 
2. 链式法则（最后列为denominator layout）
 
 
scalar-by-vector
 
1.乘法法则（最后列为denominator layout）
 
 
 
2. 链式法则（最后列为denominator layout）
 
 
vector-by-scalar
 
1.乘法法则（最后列为denominator layout）
 
 
2. 链式法则（最后列为denominator layout）
 
 
涉及matrix微分运算的方法
 
设计到matrix微分的运算方法情况比较复杂，一种处理方法是把微分问题转化为 element-wise，也就对matrix的单个元素做微分，之后在整合到一起。
 
一些常用微分结论
 
                                                                     
 
按位计算的向量函数及其导数：
 
我们定义 x = [x1, · · · , xK]T， z = [z1, · · · , zK]T
 
                                                                                
 
其中， f(x)是按位运算的，即[f(x)]i = f(xi)，则有：
 
                                                
 
参考文献：
 
[1] Matrix calculus
 
[2] 神经网络与深度学习(邱锡鹏)