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  • 运用递归的方法求解对称三对角矩阵的特征值

    运用递归的方法求解对称三对角矩阵的特征值

    问题

    求解如下的对称三对角矩阵的特征值
    在这里插入图片描述
    我们在求解过程中,发现有如下的递推关系
    在这里插入图片描述
    于是我想到了运用matlab中的sym变量并用递归的方法把特征多项式表达出来,然后求解。

    递归函数

    首先我们定义这样一个函数,理解不畅可以参考斐波那契数列的递归求解

    function y = recurMatrix( n )
    %recurMatrix 运用递归的方法求解对称三对角矩阵特征值
    %   n:size of the matrix,n>0 and is int
    %   y:特征多项式
    syms y lambda;
    if n == 1
        y = lambda-2;
    elseif n==2
        y = (lambda-2)^2-2;
    else 
        y = (lambda-2)*recurMatrix(n-1) - recurMatrix(n-2);
    end

    然后我们可以输入任意的n,运用solve函数进行求解

    效果

    在这里插入图片描述

    结果出来的是分数表达式如果想要具体的数值,可以使用eval/double
    在这里插入图片描述

    写在最后

    当然了,我所解决的问题依旧是矩阵规模较小的情况,而且矩阵具有比较强的特殊性。

    这个问题可以当成训练递归思想的一个例子,但在实际问题中,如果真的求解一般矩阵的特征值,那还得是诸如QR方法之类的比较常见的,成熟的方法

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    数学实验“对称三对角矩阵特征值的二分法”实验报告(内含matlab程序)

    西京学院数学软件实验任务书

    课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强实验课题对称三对角矩阵特征值的二分法实验目的熟悉对称三对角矩阵特征值的二分法实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成实验内容对称三对角矩阵特征值的二分法成绩教师实验十四实验报告

    实验名称:对称三对角矩阵特征值的二分法。

    实验目的:熟悉对称三对角矩阵特征值的二分法。

    实验要求:运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。

    实验内容:

    %对称三对角矩阵特征值的二分法

    program ex0001integer nreal x1,x2,x,f1,f2,fx,epsreal,allocatable::d(,e( write(*,*) "Please enter n:"read(*,*) n allocate(d(n),e(n-1))????????

    eps=1.0E-6fx=1.0do j=1,nd(j)=-2end dodo j=1,n-1e(j)=1end do!write(*,*) "Please enter array d and e:"???? !read(*,*) d,ea1=d(1)-e(1)a2=d(1)-2*e(1)a3=d(1)+e(1)a4=d(1)+2*e(2)y1=min(a1,a2)y2=max(a4,a3)y=(y2-y1)/nx1=y1x2=y1+ywrite(*,*)"矩阵的特征值为:"do m=1,ntemp=x210 if(abs(fx)>eps) thenx=(x1+x2)/2f1=MValue(x1,n,d,e)f2=MValue(x2,n,d,e)fx=MValue(x,n,d,e)if (fx*f1>0) thenx1=x else x2=xend ifgo to 10 end ifprint*,"--------------------"write(*,*) xx1=tempx2=temp+yz=(x1+x2)/2fx=MValue(z,n,d,e)end doprint*,"--------------------"containsreal function mValue(x,n,d,e)????Integer n,ireal xreal d(n),e(n-1),s(n)S(1)=x-d(1)S(2)=(x-d(1))*(x-d(2))-e(1)**2Do i=3,nS(i)=(x-d(i))*s(i-1)-e(i-1)**2*s(i-2)End domValue=s(n) returnEnd function mValueend

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    对称矩阵

    n阶矩阵中任意一个元素aij都有aij=aji,则为对称矩阵

    只存储主对角线+下三角区按行优先存储在一维数组中)

    数组大小(1+n)*n/2

    在这里插入图片描述

    三角矩阵

    在这里插入图片描述

    三对角矩阵

    在这里插入图片描述


    在这里插入图片描述

    稀疏矩阵

    1. 三元表(行,列,值)

    2. 十字链表

      在这里插入图片描述

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    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?

    本例中数据如下:

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    下面是对一个对称矩阵求转换后的对角矩阵的matlab程序

    程序来自

    《基于Matlab的实对称矩阵对角化》一文,作者 计文军等

    其中a的对称矩阵,d是对角化后的矩阵,p是相应的合同变换,满足pTap=d

    function [p,d]=juzheng(a)

    [m,n]=size(a);

    a=[a eye(n)]';

    for k=1:n

    if a(k,k)==0

    for r=(k+1):n

    if a(k,r)~=0

    for i=k:n

    a(k,i)=a(k,i)+a(r,i);

    end

    for i=k:2*n

    a(i,k)=a(i,k)+a(i,r);

    end

    break

    end

    end

    end

    for i=k+1:n

    l=a(i,k)/a(k,k);

    for j=k:n

    a(i,j)=a(i,j)-l*a(k,j);

    end

    for j=k:2*n

    a(j,i)=a(j,i)-l*a(j,k);

    end

    end

    end

    p=a(n+1:2*n,1:n);

    d=a(1:n,1:n);

    return

    下面在脚本文件中调用juzheng.m函数

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    [p,d]=juzheng(B);

    X=(inv(p))';% 这一步是将计算的结果转成本例中我所需要的形式

    %你可以验证X*A*X'=B

    完毕!

    感谢文章作者

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空空如也

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