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  • 二分法求解对称三对角矩阵特征值二分法求解对称三对角矩阵特征值二分法求解对称三对角矩阵特征值二分法求解对称三对角矩阵特征值二分法求解对称三对角矩阵特征值二分法求解对称三对角矩阵特征值二分法...
  • 运用递归的方法求解对称三对角矩阵特征值

    运用递归的方法求解对称三对角矩阵的特征值

    问题

    求解如下的对称三对角矩阵的特征值
    在这里插入图片描述
    我们在求解过程中,发现有如下的递推关系
    在这里插入图片描述
    于是我想到了运用matlab中的sym变量并用递归的方法把特征多项式表达出来,然后求解。

    递归函数

    首先我们定义这样一个函数,理解不畅可以参考斐波那契数列的递归求解

    function y = recurMatrix( n )
    %recurMatrix 运用递归的方法求解对称三对角矩阵特征值
    %   n:size of the matrix,n>0 and is int
    %   y:特征多项式
    syms y lambda;
    if n == 1
        y = lambda-2;
    elseif n==2
        y = (lambda-2)^2-2;
    else 
        y = (lambda-2)*recurMatrix(n-1) - recurMatrix(n-2);
    end

    然后我们可以输入任意的n,运用solve函数进行求解

    效果

    在这里插入图片描述

    结果出来的是分数表达式如果想要具体的数值,可以使用eval/double
    在这里插入图片描述

    写在最后

    当然了,我所解决的问题依旧是矩阵规模较小的情况,而且矩阵具有比较强的特殊性。

    这个问题可以当成训练递归思想的一个例子,但在实际问题中,如果真的求解一般矩阵的特征值,那还得是诸如QR方法之类的比较常见的,成熟的方法

    展开全文
  • 矩阵特征值与特征向量的计算的matlab实现,幂法、反幂法和位移反幂法、雅可比(Jacobi)方法、豪斯霍尔德(Householder)方法、实对称矩阵三对角化、QR方法、求根位移QR方法计算实对称矩阵特征值、广义特征值问题...
  • 前言:以下内容不是严格的数学...(输入不同的x时,输出不同的常数,在n+1维空间中展示图形,如果x是二维的向量, 可以以维来表示所有二维向量经过矩阵A变换后的样子)下图是 中的向量x,对应z的图形展示, 变成...

    前言:以下内容不是严格的数学表述, 以自己理解的思路形式叙述。

    二次型:

    这个名词是来自于线性代数, 多用于二次规划和优化组合等问题。

    在线性代数里形如以下函数表达式称为二次型:(A是对称矩阵)

    这里Q(x)输出的是一个常数。

    (输入不同的x时,输出不同的常数,在n+1维空间中展示图形,如果x是二维的向量, 可以以三维来表示所有二维向量经过矩阵A变换后的样子)

    下图是

    中的向量x,对应z的图形展示, 变成三维图象:

    c373745791c3e6a3cf6be0b0e3c8e4ea.png
    根据个人理解,只要是方程等式右边理解为变量时, 在图形上就要多出一个维度才可以表示。所以,以上表达式可以在n+1维空间中展示。

    根据对角化分解,

    , 其中,P是特征向量组成的矩阵, D是对角线上为特征值的矩阵。

    根据对称矩阵分解定理, 当

    ,时
    中的特征向量正交。

    定义及应用:

    一个二次型Q是:

    a, 正定的,如果

    , 有
    . (存在最小值)

    b, 负定的,如果

    , 有
    . (存在最大值)

    c, 不定的, 如果

    的值 ,即有正, 又有负。

    d, 半正定的,如果

    , 有
    . (最小值为0)

    e, 半负定的,如果

    , 有
    . (最大值 为0)

    分析和理解二次型:

    根据二次型公式, 可以理解为矩阵A把向量的空间进行变换, 即对主轴进行了变换(有可以是缩放、旋转、翻转等), 变换后的向量再映射成一个实数

    对称矩阵的特点, 可以分解成

    , 其中D是对角矩阵, 对角线上的是特征值:

    有N个特征值 和特征向量

    这种矩阵对应的是旋转和拉伸, 没有压缩, 所以可以分析对那一个特征向量进行了拉伸。

    根据矩阵点积的意义,如果 A =

    可以把公式分解成:

    该公式正是

    , 模长的平方,是一个二次多项式。

    为什么?因为该公式的代数表达式就是一个多元二次方程。

    注意这里的表达式中,分析的目标是矩阵A, 一定要注意。

    任意维度的空间都可以有二次型。

    任意对称矩阵都可以有二次型形式.

    二次型分解的几种情况:

    一, 当二次型中的矩阵A是对称矩阵,但对角线不是特征值时, 需要进行变量代换, 如把A分解成

    设:

    这时二次型

    对于

    时, 最大值和最小值是特征值的最大值和最小值。
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  • 关联知识 Python Numerical 介绍 雅可比法 相似变换和对角化 雅各比旋转 雅可比对角化 转换为标准形式 ...对称三对角矩阵特征值 …更多 详情参阅http://viadean.com/python_numerical_matrix.html ...

    关联知识

    介绍

    雅可比法

    相似变换和对角化

    雅各比旋转

    雅可比对角化

    转换为标准形式

    幂和逆幂方法

    逆幂方法

    特征值漂移

    幂方法

    Householder简化为对角线形式

    Householder矩阵

    对称矩阵的Householder约简

    累积转换矩阵

    Sturm序列

    格什戈林定理

    括号化特征值

    特征值的计算

    特征向量的计算

    对称三对角矩阵的特征值

    …更多

    详情参阅http://viadean.com/python_numerical_matrix.html

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  • 三对角矩阵矩阵上,采用QR分解,得到矩阵的特征值。 # -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Tue Nov 20 12:41:40 2018 @author: yujin.wang """ import numpy as np import ...

     Lanczos法的目的:将实对称矩阵转换成为三对角矩阵(稀疏矩阵),从而便于计算机储存和后续的计算。

    在三对角矩阵矩阵上,采用QR分解,得到矩阵的特征值。

    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Tue Nov 20 12:41:40 2018
    
    @author: yujin.wang
    """
    import numpy as np
    import scipy as sci
    import matplotlib.pyplot as plt
    import time
    import sys
    
    def lanczos(A,b,nmax):
    	m = np.size(A,1)
    	alpha = []
    	beta = [0]
    	qprev = np.zeros(m)
    	q = b / np.linalg.norm(b)
    	for n in range(nmax):
    		v = np.dot(q,A) #*sci.linalg.inv(q)
    		temp = np.dot(v,q.T)
    		alpha.append(temp[0][0,0])
    		v = v - np.dot(beta[-1],qprev)-np.dot(alpha[-1],q)
    		beta.append(sci.linalg.norm(v))
    		qprev = q
    		q = v/beta[-1]
    	beta = beta[1:-1]
    	T = np.diag(alpha) + np.diag(beta,1) +np.diag(beta,-1)
    	return T
    
    
    def qreigen(A,num=100):
    	m = np.size(A,1)
    	p = np.eye(m)
    	for i in range(num):
    		v = np.diag(A)
    		q,r = sci.linalg.qr(A)
    		A = np.dot(r,q)
    		p = np.dot(p,q)
    		tol = max(np.diag(A))-max(v)
    		print 'TOL:',tol,'Max. Eig:',max(v)
    		if np.abs(tol) <1e-6:
    			break
    #	s = np.diag(np.diag(r))
    	return p,np.diag(A)
    
    if __name__ == '__main__':
    	A = np.matrix([[5,1,3],[1,2,0],[3,0,11]])
    	print np.linalg.eig(A)[0]
    	print '$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$'
    	p,s = qreigen(A)
    	print s
    	print '$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$'
    	b = np.matrix([1,1,1])
    	tridiag = lanczos(A,b,23)
    	p,s = qreigen(tridiag,num=200)
    	print max(s),min(s)

    参考:https://baike.baidu.com/item/Lanczos%E7%AE%97%E6%B3%95/9849921?fr=aladdin 

               http://www.cnblogs.com/qxred/p/dcalgorithm.html

               http://www.doc88.com/p-1446190703774.html

     

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对称三对角矩阵特征值