对称矩阵

对称矩阵（Symmetric Matrix）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：

可以看到，对称矩阵的转置等于其自身，即：

对角矩阵

对角矩阵（Diagonal Matrix）是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵，例如：

三角矩阵

三角矩阵（Triangular Matrix）分为上三角矩阵和下三角矩阵。

上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：

下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：

可以看到，对角矩阵一定是三角矩阵。

对称矩阵对角化

若

是实对称矩阵（元素都是实数），则一定存在正交矩阵

，对角矩阵

，使得下式成立：

例子：

证明暂且参考：为什么实对称矩阵一定能对角化？

两边同时左乘

，右乘

，得：

又因为

是正交矩阵，所以：

这就叫做对称矩阵的对角化。

对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积，所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解（Eigendecomposition）、谱分解（Spectral Decomposition），在上面的例子中，矩阵

的特征值为4、1、-2，对应的特征向量为

、

、

。

总结

可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵，所以都是方阵。

设A、B为n阶方阵，μ为A的特征值。

相关结论

1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

4.若A可逆，则A⁻¹的特征值为1/μ。

5.若A与B相似，则A与B有相同特征多项式，即A与B特征值相同。

6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式，则φ(A)=0。

8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

9.若A的n个特征值互不相同，则A可对角化。

10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。

11.若A有k重特征值μ，齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k，则A可对角化。

12.若A有k重特征值，矩阵A−μE的秩为n−k，则A可对角化。

13.若A是对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量正交。

14.若A是对称矩阵，则A必可对角化。

矩阵A对角化的步骤

1.求可逆矩阵P，使得

P^⁻¹AP=diag(μ₁,μ₂,⋯,μ_n)

①求A的特征值μ₁,μ₂,⋯,μ_n；

②求上述特征值对应的特征向量p₁,p₂,⋯,p_n；

③写出矩阵P=(p₁,p₂,⋯,p_n)。

2.若A对称，求正交矩阵Q，使得

Q^⁻¹AQ=Q^^TAQ=diag(μ₁,μ₂,⋯,μ_n)

①求A的特征值μ₁,μ₂,⋯,μ_n；

②求上述特征值对应的特征向量p₁,p₂,⋯,p_n；

③将k重特征值μ_i的k个特征向量施密特正交化；

④将所有n个特征向量单位化；

⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q₁,q₂,⋯,q_n，写出正交矩阵Q=(q₁,q₂,⋯,q_n)。

典型例子