运用递归的方法求解对称三对角矩阵的特征值
 
问题
 
求解如下的对称三对角矩阵的特征值
 
 我们在求解过程中，发现有如下的递推关系
 
 于是我想到了运用matlab中的sym变量并用递归的方法把特征多项式表达出来，然后求解。
 
递归函数
 
首先我们定义这样一个函数，理解不畅可以参考斐波那契数列的递归求解
 
function y = recurMatrix( n )
%recurMatrix 运用递归的方法求解对称三对角矩阵特征值
%   n：size of the matrix,n>0 and is int
%   y：特征多项式
syms y lambda;
if n == 1
    y = lambda-2;
elseif n==2
    y = (lambda-2)^2-2;
else 
    y = (lambda-2)*recurMatrix(n-1) - recurMatrix(n-2);
end
 
然后我们可以输入任意的n，运用solve函数进行求解
 
效果
 
 
结果出来的是分数表达式如果想要具体的数值，可以使用eval/double
 
 
写在最后
 
当然了，我所解决的问题依旧是矩阵规模较小的情况，而且矩阵具有比较强的特殊性。
 
这个问题可以当成训练递归思想的一个例子，但在实际问题中，如果真的求解一般矩阵的特征值，那还得是诸如QR方法之类的比较常见的，成熟的方法

 
对称矩阵
 
对称矩阵（Symmetric Matrix）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：
 

 

  
 
 
可以看到，对称矩阵的转置等于其自身，即：
 

 

  
 
 
对角矩阵
 
对角矩阵（Diagonal Matrix）是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵，例如：
 

 

  
 
 
三角矩阵
 
三角矩阵（Triangular Matrix）分为上三角矩阵和下三角矩阵。
 
上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：
 

 

  
 
 
下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：
 

 

  
 
 
可以看到，对角矩阵一定是三角矩阵。
 
对称矩阵对角化
 
若 
 

   是实对称矩阵（元素都是实数），则一定存在正交矩阵
 
 

  ，对角矩阵 
 
 

   ，使得下式成立：
 
 

 

  
 
 
例子：
 

 

  
 
 
证明暂且参考：为什么实对称矩阵一定能对角化？
 
两边同时左乘 
 

   ，右乘 
 
 

   ，得：
 
 

 

  
 
 
又因为 
 

   是正交矩阵，所以：
 
 

 

  
 
 
这就叫做对称矩阵的对角化。
 
对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积，所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解（Eigendecomposition）、谱分解（Spectral Decomposition），在上面的例子中，矩阵 
 

   的特征值为4、1、-2，对应的特征向量为 
 
 

   、 
 
 

   、 
 
 

   。
 
 
总结
 
可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵，所以都是方阵。

 
设A、B为n阶方阵，μ为A的特征值。
 
相关结论
 
1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。
 
2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。
 
3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。
 
4.若A可逆，则A−1的特征值为1/μ。
 
5.若A与B相似，则A与B有相同特征多项式，即A与B特征值相同。
 
6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。
 
7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式，则φ(A)=0。
 
8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
 
9.若A的n个特征值互不相同，则A可对角化。
 
10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。
 
11.若A有k重特征值μ，齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k，则A可对角化。
 
12.若A有k重特征值，矩阵A−μE的秩为n−k，则A可对角化。
 
13.若A是对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量正交。
 
14.若A是对称矩阵，则A必可对角化。
 
矩阵A对角化的步骤
 
1.求可逆矩阵P，使得
 
P^−1AP=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
 
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；
 
②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；
 
③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。
 
2.若A对称，求正交矩阵Q，使得
 
Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
 
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；
 
②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；
 
③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化；
 
④将所有n个特征向量单位化；
 
⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn，写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。
 
典型例子
 

  
 
 

  
 
 

  
 
 

  
 
 

  
 

 
对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化，还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交，而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中，我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化，这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的，这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。
 
实对称矩阵：元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。
 
实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化：
 
(1)实对称矩阵的特征值全部是实数；
 
(2)实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化；
 
(3)实对称矩阵必相似于对角矩阵。
 
求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤：
 

  
  
求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤
 
 
题型一：实对称矩阵的正交相似对角矩阵
 
例1：
 

  
 
 
解题思路：(1)非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.
 
 (2)利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解
 
解：
 

  
 
 
题型二：相似对角矩阵的应用
 
例2：设A是n阶矩阵，有特征值1，2，3，....，n，求|3E+A|
 
分析：可以利用特征值和行列式的性质的计算。
 
解：