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  • 对称关系有哪些
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    2021-09-30 21:58:11

    实对称矩阵合同于一个对角矩阵

    任何n元二次型xTAx ,都可以通过坐标变换化为标准型。

    n元二次型xTAx ,其中A是实对称矩阵,必存在正交变换x=Qy(Q是正交矩阵)使得xT A x 化为标准型。

    A正定<==>所有特征值为正

    > 设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.

    因为A是n阶正定阵,所以其特征值均大于0.
    设λ为A的一个特征值,ξ为对应与λ的一个特征向量, 则:
    (A+E)ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=(λ+1)ξ, 即λ+1为A+E的特征值.
    注意到λ>0, 故:A+E的特征值均大于1.
    设A+E的特征值为:λ 1 ,λ 2 ,…,λ n , 则 λ i >1,
    从而:|A+E|=λ1 λ2 …λn >1.

    设A为n阶实对称阵,且A3-3A2+5A-3E=O,证明A正定

    证:设λ为A的任意一个特征向量ξ对应的特征值,则
    (A³-3A²+5A-3E)ξ=(λ³-3λ²+5λ-3)ξ
    =(λ³-λ²-2λ²+2λ+3λ-3)ξ
    =(λ-1)(λ²-2λ+3)ξ=0
    特征向量ξ≠0,故(λ-1)(λ²-2λ+3)=0,
    得唯一实根λ=1(实对称矩阵的特征值都是实数)
    即A的所有特征值都是正数,故实对称矩阵A正定。

    设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A-1为正定矩阵

    Aξ=aξ,a>0
    (A-E)ξ=(a-1)ξ,a-1>0
    (E-A-1)ξ=(1-1/a)ξ,有1-1/a>0
    特征值均大于0,故正定

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    一、对称性



    对称性 描述 :

    R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A

    R R R 是对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    ∀ x ∀ y ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x R y → y R x ) \forall x \forall y ( x \in A \land y \in A \land xRy \to yRx ) xy(xAyAxRyyRx)

    ⇔ \Leftrightarrow

    ( ∀ x ∈ A ) ( ∀ y ∈ A ) [ x R y → y R x ] ( \forall x \in A ) (\forall y \in A)[xRy \to yRx] (xA)(yA)[xRyyRx]


    R R R 是非对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    ∃ x ∃ y ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x R y ∧ ¬ y R x ) \exist x \exist y ( x \in A \land y \in A \land xRy \land \lnot yRx ) xy(xAyAxRy¬yRx)



    对称性描述 : 任选两个元素 x , y x, y x,y , 如果 x x x y y y 有关系 R R R x R y xRy xRy , 那么 y y y x x x 也有关系 R R R y R x yRx yRx ;

    非对称性描述 : 只要存在一个 x , y x , y x,y 组合 , x x x y y y 有关系 R R R , 但是 y y y x x x 没有关系 R R R , 那么该关系 R R R 就是非对称的 ;





    二、对称性示例



    对称性示例 :

    关系图中 , 不考虑环 , 只看两点之间的关系 , 两个顶点之间的关系都是往返箭头 , 那么就是对称的 , 有一个单向箭头 , 就不是对称的 ;

    在这里插入图片描述
    上述关系图中 , 顶点之间的箭头都是双向的 , 该关系是对称的 ;


    在这里插入图片描述
    上述关系图中 , 都是单向箭头 , 有一个箭头是单向的 , 就不是对称的 ;





    三、对称性定理



    对称性定理 :

    R R R 是对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    R − 1 = R R^{-1} = R R1=R

    ⇔ \Leftrightarrow

    R − 1 R^{-1} R1 是对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    M ( R ) M(R) M(R) 关系矩阵是对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    G ( R ) G(R) G(R) 的任意两个顶点之间如果有边 , 必定是两条边 ( 正向反向各一条 )


    对称性 两个顶点之间 有 0 0 0 条或 2 2 2 条边 ;





    四、反对称性



    反对称性 :

    R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A

    R R R 是反对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    ∀ x ∀ y ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x R y ∧ y R x → x = y ) \forall x \forall y ( x \in A \land y \in A \land xRy \land yRx \to x=y ) xy(xAyAxRyyRxx=y)

    ⇔ \Leftrightarrow

    ( ∀ x ∈ A ) ( ∀ y ∈ A ) [ x R y ∧ y R x → x = y ] (\forall x \in A)(\forall y \in A)[ xRy \land yRx \to x = y ] (xA)(yA)[xRyyRxx=y]


    非反对称性 :

    R R R 是非反对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    ∃ x ∃ y ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x R y ∧ y R x ∧ x ≠ y ) \exist x \exist y ( x \in A \land y \in A \land xRy \land yRx \land x \not=y ) xy(xAyAxRyyRxx=y)



    反对称就是 防止两个顶点之间有两条边 , 两个顶点之间要么有 0 0 0 条边 , 要么有 1 1 1 条边 ;

    对称是 任何两个顶点之间 , 要么有 0 0 0 条边 , 要么有 2 2 2 条边 ;

    如果关系图中 , 两个顶点之间没有边 , 那么该关系 既是对称的 , 又是反对称的 ; ( 环不影响对称与反对称定义 )





    五、反对称性示例



    反对称性 : 顶点之间没有两条边的 , 只有 0 0 0 条边 或 1 1 1 条边

    对称性 : 顶点之间只有 0 0 0 条边 , 或 1 1 1 条边

    在这里插入图片描述
    上图是反对称的 , 有两个 1 1 1 条边 , 一个 0 0 0 条边 ;


    在这里插入图片描述
    上图是非反对称的 , 有 0 0 0 条边 , 1 1 1 条边 , 2 2 2 条边的情况 , 是非反对称的 ;





    六、反对称性定理



    反对称性定理 :

    R R R 是反对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    R − 1 ∩ R ⊆ I A R^{-1} \cap R \subseteq I_A R1RIA

    ⇔ \Leftrightarrow

    R − 1 R^{-1} R1 是反对称的

    ⇔ \Leftrightarrow

    M ( R ) M(R) M(R) 关系矩阵中 , ∀ i ∀ j ( i ≠ j ∧ r i j = 1 → r j i = 0 ) \forall i \forall j (i \not= j \land r_{ij} = 1 \to r_{ji} = 0) ij(i=jrij=1rji=0)

    ⇔ \Leftrightarrow

    G ( R ) G(R) G(R) 关系图中 , ∀ a i ∀ a j ( i ≠ j ) \forall a_i \forall a_j (i \not= j) aiaj(i=j) , 如果存在有向边 < a i , a j > <a_i, a_j> <ai,aj> , 则一定不存在 < a j , a i > <a_j, a_i> <aj,ai>



    R − 1 ∩ R ⊆ I A R^{-1} \cap R \subseteq I_A R1RIA 说明 :

    R R R 关系 与 R − 1 R^{-1} R1 关系 ( R R R 的逆关系 ) 的交集 , 包含在 恒等关系中 ;

    如果两个顶点之间有两条边 , 求逆之后 , 两个顶点的两个的两条边分别反向 , 还是相同的两条边 , 如果二者求交集 , 还是存在两条边 , 肯定不是恒等关系 , 恒等关系都是环 ; ( 不符合反对称 )

    如果两个顶点之间有 1 1 1 条边 , 求逆之后 , 两个顶点之间是反向的一条边 , 两个关系的交集肯定为空 , 剩下的只有环 ; ( 反对称 )

    如果两个顶点之间有 0 0 0 条边 , 求逆之后 , 两个顶点之间是 0 0 0 条边 , 两个关系的交集肯定为空 , 剩下的只有环 ; (反对称)



    关系矩阵 : M ( R ) M(R) M(R) 中 , ∀ i ∀ j ( i ≠ j ∧ r i j = 1 → r j i = 0 ) \forall i \forall j ( i \not= j \land r_{ij} = 1 \to r_{ji} = 0 ) ij(i=jrij=1rji=0)

    对角线以外的不能有对称的位置都是 1 1 1 的情况 , 如 r i j = 1 r_{ij} = 1 rij=1 , 其对称的元素 r j i r_{ji} rji 一定不能是 1 1 1 , 必须是 0 0 0 ;


    关系图 : G ( R ) G(R) G(R) 中 , 如果 ∀ a i ∀ a j ( i ≠ j ) \forall a_i \forall a_j ( i \not= j ) aiaj(i=j) , 如果有有向边 < a i , a j > <a_i, a_j> <ai,aj> , 则必须没有 < a j , a i > <a_j , a_i> <aj,ai> ;

    关系图中 两个顶点 只存在单向边 , 或没有边 , 不存在两个方向的边 ;





    七、对称性与反对称性示例



    在这里插入图片描述

    上述关系图中 , 两个顶点之间存在 0 0 0 条边 , 2 2 2 条边 , 是对称的 ;

    自反的 , 所有的顶点都有环 , 是自反的 ;


    在这里插入图片描述
    上述关系图是反对称的 , 都有 一条有向边 ;

    所有的顶点 都没有环 是 反自反的 ;


    在这里插入图片描述
    上述图中 , 有的顶点之间有 1 1 1 条边 , 有的顶点之间有 2 2 2 条边 , 既不是对称的 , 又不是反对称的 ;

    有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 既不是 自反的 , 又不是反自反的 ;


    在这里插入图片描述

    上述关系图中 , 顶点之间都是 0 0 0 条边 ;

    顶点之间是 0 0 0 条边 / 2 2 2 条边 是对称的 ;

    顶点之间是 0 0 0 条边 / 1 1 1 条边 是反对称的 ;

    上述关系图 既是 对称的 , 又是反对称的 ;

    有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 既不是 自反的 , 又不是反自反的 ;

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  • 一、关系闭包 、 二、自反闭包 、 三、对称闭包 、 四、传递闭包 、





    一、关系闭包



    包含给定的元素 , 并且 具有指定性质最小的 集合 , 称为关系的闭包 ; 这个指定的性质就是关系 R R R

    自反闭包 r ( R ) : 包含 R R R 关系 , 向 R R R 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系

    对称闭包 s ( R ) : 包含 R R R 关系 , 向 R R R 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系

    传递闭包 t ( R ) : 包含 R R R 关系 , 向 R R R 关系中 , 添加有序对 , 变成传递 的 最小的二元关系


    定义中有三个重要要素 :

    • 包含给定元素
    • 具有指定性质
    • 最小的二元关系




    二、自反闭包



    自反闭包 r ( R ) : 包含 R R R 关系 , 向 R R R 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系

    R ⊆ r ( R ) R \subseteq r(R) Rr(R)

    r ( R ) r(R) r(R) 是自反的

    ∀ S ( ( R ⊆ S ∧ S 自 反 ) → r ( R ) ⊆ S ) \forall S ( ( R \subseteq S\land S 自反 ) \to r(R) \subseteq S) S((RSS)r(R)S)


    关系 R R R 的关系图 G ( R ) G(R) G(R) :

    在这里插入图片描述

    R R R 的自反闭包 G ( r ( R ) ) G(r ( R )) G(r(R)) 关系图 : R R R 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 r ( R ) r(R) r(R) 变成 自反 的 最小的二元关系 , 自反的条件是所有的顶点都有环 , 这里为四个顶点都添加环 ;

    在这里插入图片描述





    三、对称闭包



    自反闭包 r ( R ) : 包含 R R R 关系 , 向 R R R 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系

    R ⊆ s ( R ) R \subseteq s(R) Rs(R)

    s ( R ) s(R) s(R) 是对称的

    ∀ S ( ( R ⊆ S ∧ S 对 称 ) → r ( R ) ⊆ S ) \forall S ( ( R \subseteq S\land S 对称 ) \to r(R) \subseteq S) S((RSS)r(R)S)


    关系 R R R 的关系图 G ( R ) G(R) G(R) :

    在这里插入图片描述

    R R R 的对称闭包 G ( s ( R ) ) G(s ( R )) G(s(R)) 关系图 : R R R 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 s ( R ) s(R) s(R) 变成 对称 的 最小的二元关系 , 对称的条件是 任意两个顶点之间有 0 / 2 0/2 0/2 条有向边 , 0 0 0 条边的不管 , 有 1 1 1 条边的在添加一条反向有向边 ;

    在这里插入图片描述





    四、传递闭包



    自反闭包 r ( R ) : 包含 R R R 关系 , 向 R R R 关系中 , 添加有序对 , 变成 传递 的 最小的二元关系

    R ⊆ t ( R ) R \subseteq t(R) Rt(R)

    t ( R ) t(R) t(R) 是对称的

    ∀ S ( ( R ⊆ S ∧ S 传 递 ) → r ( R ) ⊆ S ) \forall S ( ( R \subseteq S\land S 传递 ) \to r(R) \subseteq S) S((RSS)r(R)S)


    关系 R R R 的关系图 G ( R ) G(R) G(R) :

    在这里插入图片描述

    R R R 的对称闭包 G ( t ( R ) ) G(t ( R )) G(t(R)) 关系图 : R R R 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 t ( R ) t(R) t(R) 变成 传递 的 最小的二元关系 , 传递的条件是 ① 前提 a → b , b → c a\to b, b \to c ab,bc 成立 , a → c a \to c ac 存在 , 或 ② 前提不成立 , 前提不成立的情况下不管默认就是传递的 , 如果前提成立 , 则必修添加对应的第三条边 ;

    在这里插入图片描述

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