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  • 对曲面面积的积分公式
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    2021-12-15 10:47:21

    第一类曲线、曲面积分(对测度的积分)计算公式总结

    下面将列出常用正交坐标系下的第一类曲线、曲面积分的直接计算公式。以下默认被积函数为 f f f

    一、第一类曲线积分

    第一类曲线积分是在曲线弧长上对标量函数进行积分。

    1. x y z xyz xyz 坐标系(直角坐标系)下的第一类曲线积分

    假定积分区域为
    Γ : { x = x ( s ) y = y ( s ) z = z ( s ) ( s ∈ ( s ‾ , s ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s)\\ y=y(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ: x=x(s)y=y(s)z=z(s)(s(s,s))
    则有
    ∫ Γ f ( x , y , z ) d l = ∫ s ‾ s ‾ f ( x , y , z ) x s ′ 2 + y s ′ 2 + z s ′ 2 d s \int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}f(x,y,z)\sqrt{x_s'^2+y_s'^2+z_s'^2}\mathrm{d}s Γf(x,y,z)dl=ssf(x,y,z)xs′2+ys′2+zs′2 ds
    特殊地,若积分区域可以表示为
    Γ : { x = x ( z ) y = y ( z ) z = z ( z ∈ ( z ‾ , z ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} x=x(z)\\ y=y(z)\\ z=z \end{array}\right.\\ (z\in(\underline{z},\overline{z})) Γ: x=x(z)y=y(z)z=z(z(z,z))
    则有
    ∫ Γ f ( x , y , z ) d l = ∫ z ‾ z ‾ f ( x , y , z ) x z ′ 2 + y z ′ 2 + 1 d z \int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{z}}^{\overline{z}}f(x,y,z)\sqrt{x_z'^2+y_z'^2+1}\mathrm{d}z Γf(x,y,z)dl=zzf(x,y,z)xz′2+yz′2+1 dz

    2. r θ ϕ r\theta\phi rθϕ 坐标系(球坐标系,默认 θ ∈ [ 0 , π ] \theta\in[0,\pi] θ[0,π] )下的第一类曲线积分

    假定积分区域为
    Γ : { r = r ( s ) θ = θ ( s ) ϕ = ϕ ( s ) ( s ∈ ( s ‾ , s ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \theta=\theta(s)\\ \phi=\phi(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ: r=r(s)θ=θ(s)ϕ=ϕ(s)(s(s,s))
    则有
    ∫ Γ f ( r , θ , ϕ ) d l = ∫ s ‾ s ‾ f ( r , θ , ϕ ) r s ′ 2 + ( r θ s ′ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ϕ s ′ ) 2 d s \int_{\Gamma}f(r,\theta,\phi)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}f(r,\theta,\phi)\sqrt{r_s'^2+(r\theta_s')^2+(r\sin\theta\phi_s')^2}\mathrm{d}s Γf(r,θ,ϕ)dl=ssf(r,θ,ϕ)rs′2+(rθs)2+(rsinθϕs)2 ds

    3. r ϕ z r\phi{}z rϕz 坐标系(柱坐标系)下的第一类曲线积分

    假定积分区域为
    Γ : { r = r ( s ) ϕ = ϕ ( s ) z = z ( s ) ( s ∈ ( s ‾ , s ‾ ) ) \Gamma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s)\\ \phi=\phi(s)\\ z=z(s) \end{array}\right.\\ (s\in(\underline{s},\overline{s})) Γ: r=r(s)ϕ=ϕ(s)z=z(s)(s(s,s))
    则有
    ∫ Γ f ( r , ϕ , z ) d l = ∫ s ‾ s ‾ f ( r , ϕ , z ) r s ′ 2 + ( r ϕ s ′ ) 2 + z s ′ 2 d s \int_{\Gamma}f(r,\phi,z)\mathrm{d}l\\ =\int_{\underline{s}}^{\overline{s}}f(r,\phi,z)\sqrt{r_s'^2+(r\phi_s')^2+z_s'^2}\mathrm{d}s Γf(r,ϕ,z)dl=ssf(r,ϕ,z)rs′2+(rϕs)2+zs′2 ds

    二、第一类曲面积分

    第一类曲面积分是在曲面面积上对标量函数进行积分。

    1. x y z xyz xyz 坐标系(直角坐标系)下的第一类曲面积分

    假定积分区域为
    Σ : { x = x ( s , t ) y = y ( s , t ) z = z ( s , t ) ( ( s , t ) ∈ Σ ′ ) \Sigma:\left\{\begin{array}{l} x=x(s,t)\\ y=y(s,t)\\ z=z(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ: x=x(s,t)y=y(s,t)z=z(s,t)((s,t)Σ)
    则有
    ∬ Σ f ( x , y , z ) d σ = ∬ Σ ′ f ( x , y , z ) ( x s ′ y t ′ − y s ′ x t ′ ) 2 + ( y s ′ z t ′ − z s ′ y t ′ ) 2 + ( z s ′ x t ′ − x s ′ z t ′ ) 2 d s d t \iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(x,y,z)\sqrt{(x_s'y_t'-y_s'x_t')^2+(y_s'z_t'-z_s'y_t')^2+(z_s'x_t'-x_s'z_t')^2}\mathrm{d}s\mathrm{d}t Σf(x,y,z)dσ=Σf(x,y,z)(xsytysxt)2+(ysztzsyt)2+(zsxtxszt)2 dsdt
    特殊地,若积分区域可以表示为
    Σ : { x = x y = y z = z ( x , y ) ( ( x , y ) ∈ Σ ′ ) \Sigma:\left\{\begin{array}{l} x=x\\ y=y\\ z=z(x,y) \end{array}\right.\\ ((x,y)\in\Sigma') Σ: x=xy=yz=z(x,y)((x,y)Σ)
    则有
    ∬ Σ f ( x , y , z ) d σ = ∬ Σ ′ f ( x , y , z ) 1 + z x ′ 2 + z y ′ 2 d x d y \iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(x,y,z)\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σf(x,y,z)dσ=Σf(x,y,z)1+zx′2+zy′2 dxdy

    2. r θ ϕ r\theta\phi rθϕ 坐标系(球坐标系,默认 θ ∈ [ 0 , π ] \theta\in[0,\pi] θ[0,π] )下的第一类曲面积分

    假定积分区域为
    Σ : { r = r ( s , t ) θ = θ ( s , t ) ϕ = ϕ ( s , t ) ( ( s , t ) ∈ Σ ′ ) \Sigma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s,t)\\ \theta=\theta(s,t)\\ \phi=\phi(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ: r=r(s,t)θ=θ(s,t)ϕ=ϕ(s,t)((s,t)Σ)
    则有
    ∬ Σ f ( r , θ , ϕ ) d σ = ∬ Σ ′ f ( r , θ , ϕ ) r 2 ( r s ′ θ t ′ − θ s ′ r t ′ ) 2 + r 4 sin ⁡ 2 θ ( θ s ′ ϕ t ′ − ϕ s ′ θ t ′ ) 2 + r 2 sin ⁡ 2 θ ( ϕ s ′ r t ′ − r s ′ ϕ t ′ ) 2 d s d t \iint_{\Sigma}f(r,\theta,\phi)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(r,\theta,\phi)\sqrt{r^2(r_s'\theta_t'-\theta_s'r_t')^2+r^4\sin^2\theta(\theta_s'\phi_t'-\phi_s'\theta_t')^2+r^2\sin^2\theta(\phi_s'r_t'-r_s'\phi_t')^2}\mathrm{d}s\mathrm{d}t Σf(r,θ,ϕ)dσ=Σf(r,θ,ϕ)r2(rsθtθsrt)2+r4sin2θ(θsϕtϕsθt)2+r2sin2θ(ϕsrtrsϕt)2 dsdt

    3. r ϕ z r\phi{}z rϕz 坐标系(柱坐标系)下的第一类曲面积分

    假定积分区域为
    Σ : { r = r ( s , t ) ϕ = ϕ ( s , t ) z = z ( s , t ) ( ( s , t ) ∈ Σ ′ ) \Sigma:\left\{\begin{array}{l} r=r(s,t)\\ \phi=\phi(s,t)\\ z=z(s,t) \end{array}\right.\\ ((s,t)\in\Sigma') Σ: r=r(s,t)ϕ=ϕ(s,t)z=z(s,t)((s,t)Σ)
    则有
    ∬ Σ f ( r , ϕ , z ) d σ = ∬ Σ ′ f ( r , ϕ , z ) r 2 ( r s ′ ϕ t ′ − ϕ s ′ r t ′ ) 2 + r 2 ( ϕ s ′ z t ′ − z s ′ ϕ t ′ ) 2 + ( z s ′ r t ′ − r s ′ z t ′ ) 2 d s d t \iint_{\Sigma}f(r,\phi,z)\mathrm{d}\sigma\\ =\iint_{\Sigma'}f(r,\phi,z)\sqrt{r^2(r_s'\phi_t'-\phi_s'r_t')^2+r^2(\phi_s'z_t'-z_s'\phi_t')^2+(z_s'r_t'-r_s'z_t')^2}\mathrm{d}s\mathrm{d}t Σf(r,ϕ,z)dσ=Σf(r,ϕ,z)r2(rsϕtϕsrt)2+r2(ϕsztzsϕt)2+(zsrtrszt)2 dsdt

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    曲线曲面积分,高斯公式,斯托克斯公式

    第一类曲线积分(对弧长的积分)

    意义

    1. 当f(x,y)=1时,表示曲线L的长度
    2. 表示线密度为f(x,y)的曲线质量

    公式1

    公式2

    第二类曲线积分(对坐标的积分)

    意义

    1. 沿L运动的变力F=f(x,y)做的功

    公式3

    公式4

    其中cosα与cosβ是L在(x,y)处的切向量相对于x轴和y轴的方向余弦

    格林公式

    公式5

    其中L是单连通区域D的正向边界

    公式6

    其中L是复连通区域D外部正向边界,l(小写L)是复连通区域D内部正向边界(假设D内只有一个“洞”)

    公式7

    平面上曲线积分与路径无关的充要条件

    P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数u(x,y)的全微分的充要条件

    公式8

    全微分方程求解

    第一类曲面积分(对面积的积分)

    意义

    1. 当f(x,y,z)=1时,表示曲面的面积

    公式9

    第二类曲面积分(对坐标的积分)

    意义

    1. 单位时间内速度场v=Pi+Qj+Rk经过曲面一侧的流量

    公式10

    对于其它情况,只需把x和y替换掉即可

    公式11

    其中cosα,cosβ,cosγ是曲面在(x,y,z)处法向量对于x,y,z轴的方向余弦

    高斯公式

    公式12

    其中Σ是围成闭区域Ω的曲面的外侧

    公式13

    曲面积分与曲面无关的充要条件

    斯托克斯公式

    公式14

    公式15

    空间曲线积分与路径无关的充要条件

    物理量*

    更多关于质心、转动惯量、万有引力、梯度、旋度、散度等公式,请前往网站曲线与曲面积分公式整理 - DearXuan的主页icon-default.png?t=M4ADhttps://blog.dearxuan.com/2022/06/11/%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%95%B4%E7%90%86/

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    设A点为曲面上一点,切平面为平面AGFE。dZ为FC。

    平面AGFE的面积dS×cosθ=dxdy

    θ为平面AGFE和平面ABCD的夹角。

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    一、概念的引入

    曲面的质量

    在这里插入图片描述

    二、对面积的曲面积分的定义

    在这里插入图片描述

    2.1、存在条件 : f ( x , y , z ) f(x, y, z) f(x,y,z)在光滑曲面上连续

    在这里插入图片描述

    2.2、性质

    在这里插入图片描述

    三、对面积的曲面积分的计算

    思想: 化为二重积分计算

    投影面为 x o y xoy xoy

    在这里插入图片描述投影面为 y o z , x o z yoz,xoz yoz,xoz情况类似

    3.1、对称性

    在这里插入图片描述
    例1
    在这里插入图片描述

    3.2、曲面关于变量的轮换对称性

    在这里插入图片描述

    例1
    在这里插入图片描述
    例2 此处有点疑问,为什么计算第二步不能直接使用对称性= 8 ∬ ∣ y ∣ d S 8\iint{|y|}dS 8ydS
    在这里插入图片描述

    四、对面积的曲面积分的应用

    4.1、将三重积分应用的有关公式中的三重积分改为曲面积分即可

    4.1.1、曲面的质心

    在这里插入图片描述

    4.1.2、曲面的转动惯量

    在这里插入图片描述

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空空如也

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