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  • 论文研究-具有内生性的随机变系数模型的PLS估计.pdf, 在随机变系数模型中,自变量很可能与...最后,本文以社会经济地位学生成绩的影响为例,考察了PLS和OLS估计值的区别.
  • 本文我们逻辑回归和样条曲线进行介绍。 logistic回归基于以下假设:给定协变量x,Y具有伯努利分布, 目的是估计参数β。 回想一下,针对该概率使用该函数是 (对数)似然函数 对数似然 其中。...

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=21379 

     

    本文我们对逻辑回归和样条曲线进行介绍。

    logistic回归基于以下假设:给定协变量x,Y具有伯努利分布,

     

     

    目的是估计参数β。

    回想一下,针对该概率使用该函数是

     

     

    (对数)似然函数

    对数似然

     

     

    其中。数值方法基于(数值)下降梯度来计算似然函数的 最大值。对数似然(负)是以下函数

    
    negLogLik = function(beta){
     -sum(-y*log(1 + exp(-(X%*%beta))) - (1-y)*log(1 + exp(X%*%beta)))
     }

    现在,我们需要一个起始点来启动算法

     

    optim(par = beta_init, negLogLik, hessian=TRUE, method = "BFGS", control=list(abstol=1e-9))

    在这里,我们得到

     logistic_opt$par
     (Intercept)        FRCAR        INCAR        INSYS    
     1.656926397  0.045234029 -2.119441743  0.204023835 
           PRDIA        PAPUL        PVENT        REPUL 
    -0.102420095  0.165823647 -0.081047525 -0.005992238

    让我们在这里验证该输出是否有效。例如,如果我们(随机)更改起点的值会怎么样

    
    plot(v_beta)
    par(mfrow=c(1,2))
    hist(v_beta[,1],xlab=names( )[ ])
    hist(v_beta[,2],xlab=names( )[2])

     

    这里有个问题。注意,我们不能在这里进行数值优化。我们可以考虑使用其他优化方法

     
    logLikelihoodLogitStable = function(vBeta, mX, vY) {
      -sum(vY*(mX %*% vBeta - log(1+exp(mX %*% vBeta) + 
    (1-vY)*(-log(1 + exp(mX %*% vBeta)) 
    
     
    optimLogitLBFGS = optimx(beta_init, logLikelihoodLogitStable, 
    

    最优点

    结果不理想。

    我们使用的技术基于以下思想,

     

     

    问题是我的计算机不知道一阶和二阶导数。

    可以使用这种计算的函数

    
    logit = function(x){1/(1+exp(-x))}
    
       for(i in 1:num_iter){
        grad = (t(X)%*%(logit(X%*%beta) - y)) 
        beta = beta - ginv(H)%*%grad
        LL[i] = logLik(beta, X, y)
     

    以我们的OLS起点,我们获得

    如果我们尝试另一个起点

    一些系数非常接近。然后我们尝试其他方法。

    牛顿(或费舍尔)算法

    在计量经济学教科书里,您可以看到:

     

     

     

     

    
     beta=as.matrix(lm(Y~0+X)$coefficients
     for(s in 1:9){
       pi=exp(X%*%beta[,s])/(1+exp(X%*%beta[,s]))
       gradient=t(X)%*%(Y-pi)
       omega=matrix(0,nrow(X),nrow(X));diag(omega)=(pi*(1-pi))
    

    在这里观察到,我仅使用该算法的十次迭代。

    事实是,收敛似乎非常快。而且它相当鲁棒,看看我们改变起点会得到什么

    beta=as.matrix(lm(Y~0+X)$coefficients,ncol=1)*runif(8)
     for(s in 1:9){
       pi=exp(X%*%beta[,s])/(1+exp(X%*%beta[,s]))
       gradient=t(X)%*%(Y-pi)
       omega=matrix(0,nrow(X),nrow(X));diag(omega)=(pi*(1-pi))
       Hessian=-t(X)%*%omega%*%X
       beta=cbind(beta,beta[,s]-solve(Hessian)%*%gradient)}
     beta[,8:10]
    

    效果提高了,并且可以使用矩阵的逆获得标准偏差。

    标准最小二乘

    我们更进一步。我们已经看到想要计算类似

     

     但是实际,这是一个标准的最小二乘问题

     

     

    这里唯一的问题是权重Δold是未知β的函数。但是实际上,如果我们继续迭代,我们应该能够解决它:给定β,我们得到了权重,并且有了权重,我们可以使用加权的OLS来获取更新的β。这就是迭代最小二乘的想法。

    该算法

    
    beta_init = lm(PRONO~.,data=df)$coefficients
    
    for(s in 1:1000){
    omega = diag(nrow(df))
    diag(omega) = (p*(1-p))
    

    输出在这里

    结果很好,我们在这里也有估计量的标准差

    标准逻辑回归glm函数:

    当然,可以使用R内置函数

    可视化

    让我们在第二个数据集上可视化从逻辑回归获得的预测

    
    image(u,u,v ,breaks=(0:10)/10)
    points(x,y,pch=19 )
    points(x,y,pch=c(1,19)
    contour(u,u,v,levels = .5 

     


    这里的水平曲线-或等概率-是线性的,因此该空间被一条直线(或更高维的超平面)一分为二(0和1,生存和死亡,白色和黑色)此外,由于我们是线性模型,因此,如果更改截距(为创建两个类别的阈值),我们将获得平行的另一条直线(或超平面)。

    接下来,我们将约会样条曲线以平滑那些连续的协变量。

     

    分段线性样条函数

    我们从“简单”回归开始(只有一个解释变量),我们可以想到的最简单的模型来扩展我们上面的线性模型, 是考虑一个分段线性函数,它分为两部分。最方便的方法是使用正部函数(如果该差为正,则为x和s之间的差,否则为0)。如

    是以下连续的分段线性函数,在s处划分。

    对于较小的x值,线性增加,斜率β1;对于较大的x值,线性减少。因此,β2被解释为斜率的变化。

    当然,可以考虑多个结。获得正值的函数如下

    pos = function(x,s) (x-s)*(x<=s)

    然后我们可以在回归模型中直接使用它

    回归的输出在这里

    
     
    Coefficients:
                   Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|)  
    (Intercept)     -0.1109     3.2783  -0.034   0.9730  
    INSYS           -0.1751     0.2526  -0.693   0.4883  
    pos(INSYS, 15)   0.7900     0.3745   2.109   0.0349 *
    pos(INSYS, 25)  -0.5797     0.2903  -1.997   0.0458 *

    因此,对于很小的值,原始斜率并不重要,但是在15以上时,它会变得明显为正。而在25以上,又发生了重大变化。我们可以对其进行绘图以查看发生了什么

    
    plot(u,v,type="l")
    points(INSYS,PRONO)
    abline(v=c(5,15,25,55)

     

    使用bs()线性样条曲线

    使用GAM模型,情况略有不同。我们将在这里使用所谓的 b样条曲线

    我们可以用边界结点(5,55)和结 {15,25}定义样条函数

    
    B = bs(x,knots=c(15,25),Boundary.knots=c(5,55),degre=1)
    matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2,col=clr6)

     


    如我们所见,此处定义的函数与之前的函数不同,但是在每个段(5,15)(15,25)和(25,55)。但是这些函数(两组函数)的线性组合将生成相同的空间。换个角度说,对输出的解释会不同,预测应该是一样的。

    
     
    Coefficients:
                  Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|)  
    (Intercept)    -0.9863     2.0555  -0.480   0.6314  
    bs(INSYS,..)1  -1.7507     2.5262  -0.693   0.4883  
    bs(INSYS,..)2   4.3989     2.0619   2.133   0.0329 *
    bs(INSYS,..)3   5.4572     5.4146   1.008   0.3135

    观察到像以前一样存在三个系数,但是这里的解释更加复杂了

     


    但是,预测结果很好。

    分段二次样条

    让我们再往前走一步...我们是否也可以具有导数的连续性?考虑抛物线函数,不要对进行分解,考虑对进行分解。

    Coefficients:
                    Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|)  
    (Intercept)      29.9842    15.2368   1.968   0.0491 *
    poly(INSYS, 2)1 408.7851   202.4194   2.019   0.0434 *
    poly(INSYS, 2)2 199.1628   101.5892   1.960   0.0499 *
    pos2(INSYS, 15)  -0.2281     0.1264  -1.805   0.0712 .
    pos2(INSYS, 25)   0.0439     0.0805   0.545   0.5855

    不出所料,这里有五个系数:截距和抛物线函数的三个参数,然后是中间两个附加项–此处(15,25)–以及右侧的部分。当然,对于每个部分,只有一个自由度,因为我们有一个抛物线函数(三个系数),但是有两个约束(连续性和一阶导数的连续性)。

    在图上,我们得到以下内容

     

    使用bs()二次样条

    当然,我们可以使用R函数执行相同的操作。但是和以前一样,这里的函数有所不同

    
    matplot(x,B,type="l",col=clr6)

     


    如果我们运行R代码,得到

     glm(y~bs(INSYS knots=c(15,25),
    Boundary.knots=c(5,55),degre=2) 
     
    Coefficients:
                   Estimate Std. Error z value Pr(&gt;|z|)  
    (Intercept)       7.186      5.261   1.366   0.1720  
    bs(INSYS, ..)1  -14.656      7.923  -1.850   0.0643 .
    bs(INSYS, ..)2   -5.692      4.638  -1.227   0.2198  
    bs(INSYS, ..)3   -2.454      8.780  -0.279   0.7799  
    bs(INSYS, ..)4    6.429     41.675   0.154   0.8774

    预测是完全相同的

    
    plot(u,v,ylim=0:1,type="l",col="red")
    

     

     

    三次样条

    我们可以使用三次样条曲线。我们将考虑对进行分解,得到时间连续性,以及前两个导数的连续性。如果我们使用bs函数,则如下

    matplot(x,B,type="l",lwd=2,col=clr6,lty=1
    abline(v=c(5,15,25,55),lty=2)

    现在的预测将是

    bs(x,knots=c(15,25),
    Boundary.knots=c(5,55),degre=3
    

     


     

    结的位置

    在许多应用程序中,我们不想指定结的位置。我们只想说(三个)中间结。可以使用

    bs(x,degree=1,df=4)

    可以查看

    
    bs(x, degree = 1L, knots = c(15.8, 21.4, 27.15), 
    Boundary.knots = c(8.7, 54), intercept = FALSE)

    它为我们提供了边界结的位置(样本中的最小值和最大值),也为我们提供了三个中间结。观察到实际上,这五个值只是(经验)分位数

    quantile( ,(0:4)/4)
       0%   25%   50%   75%  100% 
     8.70 15.80 21.40 27.15 54.00

    如果我们绘制预测,我们得到

     plot(u,v,ylim=0:1,type="l",col="red",lwd=2)
     

     

    如果我们回到logit变换之前的计算,我们清楚地看到断点是不同的分位数 

     
    plot(x,y,type="l",col="red",lwd=2)
    abline(v=quantile(my ,(0:4)/4),lty=2)

     

    如果我们没有指定,则不会得到任何结…

     
    bs(x, degree = 2L, knots = numeric(0), 
    Boundary.knots = c(8.7,54), intercept = FALSE)

    如果我们看一下预测 

     predict(reg,newdata=data.frame(u),type="response")
     

    实际上,这和二次多项式回归是一样的(如预期的那样)

     

    相加模型 

    现在考虑第二个数据集,包含两个变量。这里考虑一个模型

     

    然后我们用glm函数来实现相加模型的思想。

    glm(y~bs(x1,degree=1,df=3)+bs(x2,degree=1,df=3), family=binomial(link =  
    v = outer(u,u,p)
    image(u,u,v, ",col=clr10,breaks=(0:10)/10)
    

    现在,我们能够得到一个“完美”的模型,所以,结果似乎不再连续

     

     

    persp(u,u,v,theta=20,phi=40,col="green"

     

    当然,它是分段线性的,有超平面,有些几乎是垂直的。
    我们也可以考虑分段二次函数  

    
    
    contour(u,u,v,levels = .5,add=TRUE)

     

    有趣的是,我们现在有两个“完美”的模型,白点和黑点的区域不同。 

    在R中,可以使用mgcv包来运行gam回归。它用于广义相加模型,但这里只有一个变量,所以实际上很难看到“可加”部分,可以参考其他GAM文章。


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    在计量经济学中,一些情况下会出现异方差问题,严重的异方差问题会影响模型估计和模型检验等,因而在OLS回归时需要对其进行检验,如果出现异方差问题需要进行对应处理。

    异方差性的检测方法

    1、残差图

    通过绘制残差图,将残差项分别与模型的自变量X或者因变量Y,作散点图,查看散点是否有明显的规律性。

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    残差图

    通常存在异方差时,散点图会呈现出自变量X值越大,残差项越大/越小的分布规律。如上图中散点图呈现出这样的规律性,说明模型具有异方差性。

    2、white检验

    怀特检验是最常用于检验异方差的方法。SPSSAU中会自动输出怀特检验结果。

    3、BP检验

    除此之外,也可用BP检验结果判断,SPSSAU中会自动输出此结果。如果BP结果与white检验结果出现矛盾,建议以怀特检验结果为准。

    通过案例也许能够能清楚地说明,以下是关于工资的影响因素的OLS回归分析。共涉及四个因素分别是起始工资、性别、受雇月数和受教育年限。采用OLS回归,得到如下结果:

    aff63b743d599efeb689e005622ce1a3.png
    SPSSAU分析界面

    8c250417929a21c53815a6325674a865.png
    SPSSAU-OLS回归分析结果

    由上图可得到起始工资、受雇时间、受教育时间对当前工有显著的正向影响关系。

    85c26ddc3ab03d9c036db12e689c7434.png

    但根据异方差检验结果显示,White检验和BP检验均拒绝原假设(P<0.05)(原假设为模型没有异方差),说明模型存在异方差问题,因此需要进一步处理。

    异方差性处理方法

    解决异方差问题一般有三种办法,分别是数据处理(取对数)Robust稳健标准误回归FGLS法;三种办法可以同时使用去解决异方差问题。

    1. 对原数据做对数处理

    针对连续且大于0的原始自变量X和因变量Y,进行取自然对数(或10为底对数)操作,如果是定类数据则不处理。

    取对数可以将原始数据的大小进行‘压缩’,这样会减少异方差问题。事实上多数研究时默认就进行此步骤处理。负数不能直接取对数,如果数据中有负数,研究人员可考虑先对小于0的负数,先取其绝对值再求对数,然后加上负数符号。

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    SPSSAU→数据处理→生成变量

    e724d3db740bf42ef75d8ce4829832a4.png
    对除‘性别’的其他变量进行对数处理

    案例中,性别一项为定类数据,所以不需要对此项做处理。其他分析项均取其自然对数。

    2. 使用Robust稳健标准误回归

    这种研究方法是当前最为流行也最为有效的处理办法。在SPSSAU中分析时,勾选上‘robust稳健标准误’即可。当然以上两种方法可以结合使用,即先对数据取对数,然后进行Robuust稳健标准误回归:

    198db82a01c11e100043d19a44b4da72.png
    分析页面

    3. FGLS回归

    FGLS是这样的一类思路,即对于残差值越大的点,给予越小的权重,从而解决异方差问题,FGLS回归事实上一系列数据处理的过程。从分析上看,它依然还是使用OLS回归方法进行。操作方法请参考:SPSSAU帮助手册_OLS回归

    其他说明

    1. 如果是取对数操作,特别需要注意原始数据中负数不能直接取对数,如果数据中有负数,研究人员可考虑先对小于0的负数,先取其绝对值再求对数,然后加上负数符号。

    2. Robust稳健标准误回归不会输出white检验和BP检验,Robust稳健标准误回归即是最终结果。

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  • 最小二乘法作为一种常见的数学优化方法,其核心思想是通过残差平方和的最小化来进行估计。这里我们将线性条件下的最小二乘做相关说明与介绍,即 Ordinary Least Sqaure(OLS) 普通最小二乘线性回归我们通过一个...

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    最小二乘法作为一种常见的数学优化方法,其核心思想是通过对残差平方和的最小化来进行估计。这里我们将对线性条件下的最小二乘做相关说明与介绍,即 Ordinary Least Sqaure(OLS) 普通最小二乘

    线性回归

    我们通过一个线性回归的例子来引入介绍OLS。这里有一组数据样本:(1,1)、(2,5)、(3,6),我们假设数据样本x、y之间呈线性关系,即我们期望采用一元线性回归模型( y=ax+b )来确定X、Y之间的具体函数关系。现在我们来将样本数据带入上述模型

    我们的目的是期望通过确定参数a、b,进而确定x、y之间的函数关系。但是问题显然没有这么简单,由于多了一个样本数据致使方程组变为超定的,我们显然是无法直接求解该方程组的。那么现在我们换个思路,既然我们无法找出一条直线来满足所有给定的数据样本点,那么我们能不能找到一条直线,使得其与各个样本点之间的残差和最小?答案是肯定的,虽然这条直线不能保证经过全部的样本点,但一般可以很好地描述出x、y之间的关系。由于残差的正负问题需要添加绝对值,然而在实际计算中绝对值不好处理,故干脆直接对残差进行平方来保证非负性。其实这就是最小二乘的思想——通过对残差平方和的最小化来进行估计

    则当S最小时,参数a、b即为我们所求的值,即

    根据样本数据有

    根据极值理论我们知道,当S取极值时,S对a和b的偏导均为0,故有

    现在关于a、b的方程组是一个适定方程组,这样我们就可以直接解出参数a、b了

    矩阵形式

    通过上面一元线性回归的例子,我们基本了解了OLS的核心思想以及具体的计算方法。这里,我们将会给出OLS在矩阵形式下的一般通解。首先同样以上面的一元线性回归为例来进行介绍,只不过这里我们将样本数据由原来的3个变为n个,则有如下的线性方程组

    我们将其改写为矩阵形式

    这里我们令

    则上面的矩阵即转化为:

    在上文线性回归的例子中,我们说到OLS是通过残差平方和进行衡量的。故在矩阵形式中,我们的目标是找到一个向量

    ,使得
    的欧几里得范数最小

    064bdd8a47cc2130b95e2fd0a9ec8b43.png

    我们知道对标量转置的结果依然是其本身,由于

    是一个标量,有

    同样地,我们对

    求偏导

    f0336bc76964724f8bf5d7419e58f5ae.png

    再做进一步简化之前,先介绍两个常用的矩阵公式

    则上式子可进一步化简为

    3e1c742d04506394bedc05a689e2669a.png

    令其为0,如果

    存在,则参数
    在OLS下的通解如下

    1a3f81fdb1cb12252cc7cdeed0ebc5ce.png

    在OLS的通解形式中,

    的大小要求分别是n*m、m*1、n*1,显然此处我们的m为2

    其实从OLS的矩阵通解中,我们也可以看出另外一种更为简便通解求法,直接通过左乘转置矩阵进行求解即可

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  • 传统的Hedonic住房价格模型采用OLS估计, 该方法仅能解释住房特征住房价格条件均值的影响, 因而存在一定的局限性. 文章采用分位回归的方法估计了住房特征住房价格五个...
  • OLS最小二乘法和2SLS两阶段…

    万次阅读 2017-04-14 09:50:37
    原文地址:OLS最小二乘法和2SLS两阶段最小二乘法作者:月亮咖啡茶昨天看paper看到了2SLS两阶段最小二乘法,不明白为何作者同时使用OLS和2SLS两阶段最小二乘法对模型进行验证。今天在网络上大概查到了这两种方法的...
    昨天看paper看到了2SLS两阶段最小二乘法,不明白为何作者同时使用OLS和2SLS两阶段最小二乘法对模型进行验证。今天在网络上大概查到了这两种方法的区别,以及2SLS两阶段最小二乘法究竟该用于何种情景中。

    简单来说,2SLS两阶段最小二乘法用于检验有内生性变量的回归模型。比如张晓峒老师那本书里面的案例3,要估计CONS=C1+C2*GDP,因为GDP是随机变量不满足经典假设,需要用工具变量来进行估计,即使用了二阶段最小二乘法.在Method直接点击那个TSLS,上面输入你原来准备估计的方程,如这个例子中,原来要估计CONS=C1+C2*GDP,可直接输入CONS C GDP.下面是输入工具变量,只需输入例子中的工具变量CAPI即可,所以有的变量不出现在方程中。

    在spss中的操作方法是:
    选择Analyze----Regression------2-stage Least Squares,打开2-stage Least Squares主对话框

    1:dependent

    2:explanatory

    3:instrumental

    4:Options

    5:Save New  Variables------Predicted

    6:Continue


    2SLS两阶段最小二乘法:方程、变量定义及其与OLS的区别

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对模型进行ols估计