例1：昆虫产卵，设某种昆虫产卵数$X\sim P(\lambda )$, 设卵的孵化率为$p$，孵化数记为$Y$,求
 
a)$X,Y$的联合分布律;
 
b)$X,Y$的边缘分布律.
 
解：a) 由题意知, 当产卵数x固定时,$Y\sim B(x,p),$故由乘法公式：
 
     
      
       
        
         
          p
         
         
          
           i
          
          
           j
          
         
        
        
         =
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         X
        
        
         =
        
        
         i
        
        
         ,
        
        
         Y
        
        
         =
        
        
         j
        
        
         }
        
        
         =
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         Y
        
        
         =
        
        
         j
        
        
         ∣
        
        
         X
        
        
         =
        
        
         i
        
        
         }
        
        
         ⋅
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         X
        
        
         =
        
        
         i
        
        
         }
        
        
         =
        
        
         
          (
         
         
          
           
            
             
              i
             
            
           
          
          
           
            
             
              j
             
            
           
          
         
         
          )
         
        
        
         
          p
         
         
          j
         
        
        
         (
        
        
         1
        
        
         −
        
        
         p
        
        
         
          )
         
         
          
           i
          
          
           −
          
          
           j
          
         
        
        
         ⋅
        
        
         
          e
         
         
          
           −
          
          
           λ
          
         
        
        
         
          
           λ
          
          
           i
          
         
         
          
           i
          
          
           !
          
         
        
        
         ,
        
        
        
         i
        
        
         ≥
        
        
         j
        
        
         ,
        
        
        
         i
        
        
         =
        
        
         0
        
        
         ,
        
        
         1
        
        
         ,
        
        
         …
        
       
       
        p_{i j}=P\{X=i, Y=j\}=P\{Y=j | X=i\} \cdot P\{X=i\}=\left(\begin{array}{c}i \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{i-j} \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i}}{i !}, \quad i \geq j, \quad i=0,1, \dots
       
      
     pij​=P{X=i,Y=j}=P{Y=j∣X=i}⋅P{X=i}=(ij​)pj(1−p)i−j⋅e−λi!λi​,i≥j,i=0,1,…
 
b)$$p_{i\cdot }=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^i}{i!},i=0,1,\dots p_{\cdot j}=e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^j}{j!},j=0,1,\cdots$$
 注：可以看到Y的分布为参数为$\lambda p$的泊松分布，$\lambda p$即为孵出虫的期望值
 
边缘密度函数:若X,Y有联合函数$f(x,y),X,Y$的密度函数可以这样看，从分布函数开始:
 $$\begin{array}{l}F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv\\ F_X(x)={\lim }_{y\to \infty }F(x,y)={\int }_{-\infty }^x\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)dv\right)du\end{array}$$
 对x求导,即得X的边缘密度函数.
 $$f_X(x)=F_X^{\prime }(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$$
 同理,可得Y的边缘密度函数为:
 $$f_Y(y)=F_Y^{\prime }(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$$
 
例:设 X, Y的联合密度函数为
 $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{4}{x}^{2}y,& x^2\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$
 求X,Y的边缘密度函数$f_X(x),f_Y(y)$
 
解:
 $$\begin{array}{l}{f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy={\int }_{x^2}^1\frac{21}{4}{x}^{2}ydy=\frac{21}{8}{x}^2\left(1-x^4\right),-1\le x\le 1\\ f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{21}{4}{x}^{2}ydx=\frac{7}{2}{y}^{\frac{5}{2}},0\le y\le 1\end{array}$$

 
文章目录
 
二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
联合分布函数
分布函数 $F(x,y)$ 的性质
边际分布函数
条件分布函数
 

 
二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
 
 
联合分布函数
 
 
定义： 设 $(X,Y)$ 是二元随机变量，对于任意实数 $x,y$，二元函数
 

     
      
       
        
         F
        
        
         (
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         =
        
        
         P
        
        
         {
        
        
         (
        
        
         X
        
        
         ≤
        
        
         x
        
        
         )
        
        
         ⋂
        
        
         (
        
        
         Y
        
        
         ≤
        
        
         y
        
        
         )
        
        
         }
        
        
         
          
           =
          
         
         
          记成
         
        
        
         P
        
        
         (
        
        
         X
        
        
         ≤
        
        
         x
        
        
         ,
        
        
         Y
        
        
         ≤
        
        
         y
        
        
         )
        
       
       
         F(x,y)=P\{(X\leq x) \bigcap (Y\leq y)\} \overset{\text{记成}}{=}P(X\leq x,Y\leq y) 
       
      
     F(x,y)=P{(X≤x)⋂(Y≤y)}=记成P(X≤x,Y≤y)
 
称为二元随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数。
 
 
例 1： 设随机变量 $X$ 在 1、2、3、4 四个整数中等可能地取一个值，随机变量 $Y$ 在 $1\sim X$ 中等可能地取一个整数值，求 $F(3.5,2)$.
 
解： $X、Y$ 的取值情况均为 1,2,3,4；当 $i,j=1,\cdots ,4$ 时
 
$$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}\times \frac{1}{i},& i\ge j\\ & \\ \frac{1}{4}\times 0,& i<j\end{array}$$
 
联合概率分布律如下：
 
$$\begin{array}{ccccc}{}_X\bcancel{{}^Y}& 1& 2& 3& 4\\ 1& \frac{1}{4}& 0& 0& 0\\ & & & & \\ 2& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}& 0& 0\\ & & & & \\ 3& \frac{1}{12}& \frac{1}{12}& \frac{1}{12}& 0\\ & & & & \\ 4& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}& \frac{1}{16}\end{array}$$
 
$F(3.5,2)=P(X\le 3.5,Y\le 2)$
 
$=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$
 
一般得：
 $$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)=\sum _{x_i\le x,y_j\le y}P(X=x_i,Y=y_j)$$
 
二元离散型随机变量概率分布图
 
 
$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1或y<1\\ 1/4,& 1\le x<2,y\ge 1\\ & \cdots \\ 2/3,& 3\le x<4,2\le y<3\\ & \cdots \\ 1,& x\ge 4,y\ge 4\end{array}$$
 
分布函数 $F(x,y)$ 的性质
 
 
$F(x,y)$ 关于 $x,y$ 单调不减， 即：
 
$x_1<x_2⟹F(x_1,y)\le F(x_2,y)$
 
$y_1<y_2⟹F(x,y_1)\le F(x,y_2)$
 

    
     
      
       
       
       
       
      
      
       \quad \quad \quad \quad
      
     
    
 
$0\le F(x,y)\le 1,F(+\infty ,+\infty )=1$
 

    
     
      
           
      
      
       \quad \,\,\,\,
      
     
     对任意 $x$ 及 $y$ 有：
 
$F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=F(-\infty ,-\infty )=0$
 
$F(x,y)$ 关于 $x,y$ 右连续，即：
 
$$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }F(x+ϵ,y)=F(x,y)\text{以及}\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }F(x,y+ϵ)=F(x,y)$$
 
若 $x_1<x_2,y_1<y_2$，则有
 
$P(x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0$
 
 
边际分布函数
 
 
二元随机变量 $(X,Y)$作为整体，有其联合分布函数 $F(x,y)$，$X$ 和 $Y$ 也有它们自己的分布函数，分别记为：$F_X(x),F_Y(y)$，并称他们为边际分布函数。
 
$$\begin{array}{rl}& F_X(x)=F(x,+\infty )=\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)\\ & F_Y(y)=F(+\infty ,y)=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x,y)\end{array}$$
 
即在分布函数 $F(x,y)$ 中，令 $y\to +\infty$，就能得到 $F_X(x)$，$F_Y(y)同理$。
 
 
例 2： 设 $(X,Y)$ 的分布函数
 
$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)},& x\le 0,y\le 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
 
求 $X$ 的边际分布函数 $F_X(x)$。
 
解：
 $$\begin{array}{rl}{F}_X(x)& =F(x,+\infty )=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y)\\ & =\{\begin{array}{ll}{\lim }_{y\to +\infty }(1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)}),& x\ge 0\\ & \\ 0,& x<0\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}1-e^{-0.5x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}\end{array}$$
 
条件分布函数
 
 
定义： 若 $P(Y=y)>0$，则在 $Y=y$ 条件下，$X$ 的条件分布函数为：
 
$$F_{X|Y}(x|y)=P(X\le x|Y=y)=\frac{P(X\le x,Y=y)}{P(Y=y)}$$
 
若 $Y$ 位离散型随机变量，就可满足 $P(Y=y)>0$，但当 $Y$ 为连续型随机变量时，显然 $P(Y=y)=0$，所以这时不能这样定义条件分布函数。
 
若 $P(Y=y)=0$，但对任一 $ϵ>0,P(y<Y\le y+ϵ)>0$，则在 $Y=y$ 条件下， $X$ 的条件分布函数定义为：
 
$$\begin{array}{rl}{F}_{X|Y}(x|y)& =\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }P(X\le x|y<Y\le y+ϵ)\\ & =\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{P(X\le x,y<Y\le y+ϵ)}{P(y<Y\le y+ϵ)}\end{array}$$
 
此时，仍记为 $P(X\le x|Y=y)$
 
即：$F_{X|Y}(x|y)=P(X\le x|Y=y)$
 
 
例 3： 设
 
$$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ 0.3,& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array},F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ 0.4,& 0\le y<1\\ 1,& y\ge 1\end{array},$$
 
$P(X=1,Y=0)=0.1$，求
 
（1）联合分布律；
 
（2）当 $Y=0$ 时，$X$ 的条件分布律 $P(X=k|Y=0)$；
 
（3） $Y=0$ 时， $X$ 的条件分布函数。
 
解： (1) 由分布函数知，这两个变量是离散型的，分布律先写在联合分布律表中。注意：$P(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0-0)$
 
$$\begin{array}{cccc}{}_X\bcancel{{}^Y}& 0& 1& p_{i\cdot }\\ 1& 0.1& 0.2& 0.3\\ 2& 0.3& 0.4& 0.7\\ p_{\cdot j}& 0.4& 0.6& \end{array}$$
 
(2)$P(X=k|Y=0)=\frac{P(X=k,Y=0)}{P(Y=0)}=\frac{P(X=k,Y=0)}{0.4},k=1,2$
 
$$\begin{array}{ccc}X& 1& 2\\ P(X=k|Y=0)& 0.25& 0.75\end{array}$$
 
(3)
 $$\begin{array}{rl}{F}_{X|Y}(x|0)& =P(X\le x|Y=0)\\ & =\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ 0.25,& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}\end{array}$$

 
学过高数的都知道，极限在高数的应用频率是非常高的，而且是很多高数知识的基础，求导、变限积分求极限、多重积分求极限等等均会用到
 
虽然是基础，但是很多人在刚学习的时候就会直接被理论弄懵圈，因此就无法继续再学习下去了，在此我利用了多年的高数辅导经历，为大家整理了最全的函数极限求解方法，觉得实用且满意的话给个赞吧
 
另高数和概率论的其他内容也在陆续更新了：
 
10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握概率论一维随机变量及其分布问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握概率论多维随机变量及其分布问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握随机变量数字特征问题（考研、期末复习均可以用）
 
关注后可随时查看更新进度
 
有任何数学&考研方面疑问都可以随时进行咨询，也可以点击头像加入群聊~
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10月24日
 
一、文章开始之前先先介绍求解极限的几个工具：
 
1、等价无穷小：
 
基本公式：
 
当
 

  
 
 

 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
延伸公式：
 
当
 

  
 
 

 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

   ~ 
 
 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
2、泰勒公式
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
3、洛必达法则
 

 

  
 
 

 

  
 
 
二、以上几个公式是必背公式，要求大家一定要熟记，当然刚开始做题的时候可以先尝试看着公式做，多做几次再记下来就好了，下面就正式进入正题吧
 
首先呢，先看看解答函数极限的框架图
 

 

  
 
 
函数极限一般来说分为以下几种形式：
 

 

  
 
 
以上的0代表的是无穷小，而不是实际真正的0；∞代表的是无穷大
 
1、 
 

  
 
  
 
该形式的极限解答方法一般涉及以下几种：等价无穷小、洛必达法则、泰勒级数等
 
（1）等价无穷小
 
利用等价无穷小需记住以下几点：
 
（a）当x→0时，x，sinx，tanx，arcsinx，arctanx五个函数任意两个之差均是x的无穷小
 
（b）题目中看到有e，第一反应往
 

   上靠
 
 
（c）题目中看到有ln，第一反应往 
 

   上靠
 
 
（2）洛必达法则
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
（3）泰勒级数
 

 

  
 
 
划重点：有的人看到这里可能会说，sinx不是等价于x么，为什么不直接将sinx换成x，然后分子就变成了x-x=0，所以极限就等于0了
 
很负责任的告诉大家这么做是错误的，为什么呢
 
因为在利用等价无穷小进行函数变换时一般是变换整个分子或者分母，而不能仅对加减法中的某一项进行替换
 
当然也有特例，就是可以对单项进行变换的，但是这是有前提的，前提是替换后的单项需将加减法进行拆开，拆开以后如果两个式子的极限都存在，那么是可以进行单项替换的，如果两个式子极限不存在，那么是不能进行单项替换的，看看下式：
 

 

  
 
 
如果对sinx进行变换，那需保证变换后的两个单式的极限需要存在，但上式变换后明显极限是不存在的，所以不能换
 
再看看可以换的例子：
 

 

  
 
 
该式子进行替换后单项的极限是1，是存在的，所以是可以进行替换的
 
2、 
 

  
 
 
 
该形式的极限解方法一般涉及两种：分子分母同时除以分子分母的最高阶，洛必达法则
 
（1）分子分母同时除以最高阶
 
设P(x)，Q(x)分别为m和n阶多项式方程，即
 

 

  
 
 

 

  
 
 
则 
 

   ，当m>n时极限为∞；当n>m时极限为0；当m=n时，极限为 
 
 

  
 
 
例题：
 

 

  
 
 
（2）洛必达法则
 

 

  
 
 

 

  
 
 
例题：
 

 

  
 
 
3、 
 

  
 
  
 
该形式会利用到一个重要极限，为：
 

 

  
 
 
该式子如何利用呢，具体如下：
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
例题：
 

 

  
 
 

  
 
 

  
 
 
4、 
 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
5、 
 

  
 
  
 
该形式主要利用两种方法：分子分母有理化、通分
 
（1）分子分母有理化
 

 

  
 
 

  
 
 
（2）通分，通分的话很好理解，这里就不做赘述
 
6、 
 

  
 
  
 
该形式一般有两种做法：
 

 

  
 
 
将该形式进行转化，转化成0比0或者无穷比无穷的形式，再利用1、2的方法进行解答
 
例题：
 

 

  
 
 
注意：在函数极限的部分题目中会出现带有未知数a,b的问题，这类问题需要注意以下两点：
 
（1）0比0才有可能等于常数，如果是A比0则肯定为无穷大
 
（2）∞比∞才有可能等于常数，如果是A比∞则肯定为0
 
利用上述这两个注意事项，可以判断未知数的取值情况
 
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10月26日
 
今天继续上次的内容继续更新极限求解方法，首先看一道题：
 
例题1：
 

 

  
 
 
上述这道题，很多同学拿到以后会直接懵掉，这么多项式子相加，用上面讲的知识点肯定是没办法进行解答的，那么这道题该如何求解呢，且听我进行讲解：
 
首先像这种n个分项相加求极限的题目，一般是利用两种方法进行解答：夹逼定理和定积分定理，首先看下两个定理：
 
夹逼定理：
 
有三个函数f(x)，g(x)，h(x)，满足g(x)<f(x)<h(x)
 
且 
 

   ，则 
 
 

  
 
 
定积分定理：
 

 

  
 
 
这两个定理在求极限过程中适用的情况是不一样的，有两个判断的原则：
 
（1）分别观察分子和分母，看分子和分母的各个分项是否是同一阶（注意：是分子分母分开看，而不是同时看，且1应该看成是0次方，而不是1次方）
 
比如 
 

   的两个分项就不是同一阶的，由比如 
 
 

   的两个分项是同一阶的
 
 
（2）确定（1）中的分子分母是同阶后，再判断分母是否比分子高一阶，比如：
 

 

   ，分子为一次方，而分母均为2次方
 
 
如果一道极限题目同时满足以上两个条件时，就可以利用定积分定理进行解答，如果两个条件都不满足，或者只满足一个条件，那么这道题就应该利用夹逼定理来进行解答
 
两种方法介绍完了，再回过头看看上面那道题：
 

 

  
 
 
(a)首先看下分子和分母的各个分项是否是同一阶，分子为n，是一阶的；分母含有两个分项， 
 

  为二阶，而n为1阶
 
 
因此可以判断出该极限不满足分子和分母的各个分项同阶的要求，那么这道题所应用的解答方法应是夹逼法
 
夹逼法需要构造两个函数，常见的构造方法是：保持分子不变，将每个分项的分子进行变化，针对g(x)，将各个分式的分母全部变成最后一个式子分式的分母（即分母为最大时的值）；针对h(x)，将各个分式的分母全部变成第一个式子分式的分母（即分母为最小时的值）
 
这道题的g(x)和h(x)分别如下：
 

 

  
 
 

 

  
 
 
这两个式子的极限分别为：
 
（1）
 

  
 
 

 

  
 
 
（）
 

  
 
 

 

  
 
 
因为 
 

   ，所以
 
 

 

  
 
 
再来看一道题
 
例题2
 

 

  
 
 
刚看到这道题的时候相信大家会觉得跟上面那道题是差不多的，那么解题方法也应该是一样的，实则不然，我们来分析分析一波：
 
(a)首先还是先看看下分子和分母的各个分项是否是同一阶，分子为n，是一阶的；分母含有两个分项， 
 

  为二阶， 
 
 

   为2阶（i=1,2,3...），分子分母各分项的阶数均相同
 
 
(b)判断分母是否比分子高一阶，由（a）可知，分子为1阶，分母为2阶，满足分母比分子高一阶
 
通过以上两个分析可以判断出该极限的解答方法为定积分法，解法如下：
 

 

  
 
 

 

  
 
 
对比例题1和例题2可发现虽然两个式子相差无几，但是解答的方法差别较大，因此在做这类题目的时候一定要提前对式子进行判断，判断是否符合上述（1）、（2）两个条件，如果都符合则利用定积分定理解答，如果不符合则利用夹逼法进行解答
 
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10月27日
 
极限的求解的内容前两天基本讲得差不多了，今天讲一下函数的左右极限吧，大家在书上应该有看到这么一句话，函数极限存在的充要条件是函数的左右极限同时存在且相等：
 

 

  
 
 
结合我们上面讲的内容，可能会发现没有涉及到左右极限的概念
 
这里说明一下
 
概念是没有的，上面讲述的内容也是没错的，但实际做题过程中只有特定的几种形式需要考虑左右极限，这也是理论和实践的区别，以下介绍几种需要考虑左右极限的题型
 
1、分段函数
 
分段函数，即函数在不同区间内有着不同的表达式，如：
 

 

  
 
 
在分段函数中求解一个函数的极限是否存在，是需要考虑左右的，来看一道题：
 

  例题：判断下列函数在 
  

    时极限是否存在
  
 
 

 

  
 
 
解答：
 
该函数是个分段函数，在解答极限时需要考虑左右
 
（1）左极限
 

 

  
 
 

 

  
 
 
（2）右极限
 

 

  
 
 
因为
 

   ，所以
 
 该题极限存在，且极限为1
 
2、题目中含有 
 

   式子
 
 
 
为什么上述式子需要考虑左右，分析一下：
 
（1）当 
 

   时，
 
 

   时， 
 
 

   ，
 
 

  
 
 
（2）当 
 

   时，
 
 

   时， 
 
 

   ，
 
 

  
 
 
由上可知， 
 

   在 
 
 

   的左右极限不相等，因此含有该式子的题型需要考虑左右极限
 
 

  例题：判断函数 
  

    在 
  
  

    的极限是否存在
  
 
 
解答：
 
当 
 

   时，
 
 

   时， 
 
 

   ，
 
 

  
 
 
当 
 

   时，
 
 

   时， 
 
 

   ，
 
 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
因为
 

   ，所以
 
 该题极限不存在
 
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10月28日
 
极限部分涉及到的知识点比较多，大家继续往下看，今天带来的是利用单调有界定理证明数列极限存在的内容
 
单调有界定理有两种情况：
 
（1）数列单调递增，且有上限，如下图，该数列为单调递增数列，且数列值恒小于0，则当n趋于无穷大时，数列会趋近于0
 
（2）数列单调递减，且有下限，如下图，该数列为单调递减数列，且数列值恒大于0，则当n趋于无穷大时，数列会趋近于0
 

 

  
 
 
上述两张图很好的诠释了为什么单调有界数列极限存在，下列来说下应用
 
单调有界数列有两个性质：单调性和有界性，在实际操作中只需要证明出数列具有单调性以及有界性，便可以证明出数列的极限存在，单调性和有界性的证明方法如下：
 
1、单调性
 
单调性的证明方法有两种：
 
（1）直接相减
 
设数列为 
 

   ，若 
 
 

   ，则代表数列递增（递减）
 
 

  例题证明数列 
  

    的单调性
  
 
 
解答：
 

 

   ，因此数列递减
 
 
（2）利用导数求解
 
设 
 

   ，对 
 
 

   求导，若 
 
 

   ，曾数列递增（递减）
 
 

  例题证明数列 
  

    的单调性
  
 
 
解答：
 
设 
 

   ， 
 
 

   ，所以递减
 
 
（3）利用递推公式求导
 
设 
 

   ，若 
 
 

   ，且
 
 

  ，则 
 
 

   为单调递减数列
 
 
若 
 

   ，且
 
 

  ，则 
 
 

   为单调递增数列
 
 
若 
 

   ，则 
 
 

   不是单调数列
 
 
2、有界性（ 
 

   或 
 
 

  
 
 ）
 
有界性的证明一般是采用数学归纳法，步骤如下：
 
（1）当n=1时，证明 
 

   有界
 
 
（2）设n=k时， 
 

   有界，
 
 这一步是假设，不需要证明
 
（3）当n=k+1时，证明 
 

  有界
 
 
结合上述两个点，来看道例题加深理解：
 

  例题：设 
  

    ，证明该数列极限是否存在，如果存在，则求出极限值？
  
 
 
利用数学归纳法求解有界性时，可以根据题目条件先自己假定一个界 
 

  
 
 
答：
 
先证单调性：
 

 

   ，即 
 
 

  
 
 

 

   ，又 
 
 

  
 
 
所以 
 

   为
 
 单调递增数列
 
再证有界性：根据题意可知 
 

   ，有下界，并
 
 假定上界是2
 
（1）当n=1时，证明 
 

  
 
 
（2）设n=k时， 
 

  
 
 
（3）当n=k+1时，
 

  
 
 
单调递增且有上限，所以该数列极限存在
 
设 
 

   带入 
 
 

  
 
 
可得 
 

   ，解方程后可得到 
 
 

   或 
 
 

   （排除）
 
 
因此可以得出答案 
 

  
 
 
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极限内容基本结束，高数及概率论其他内容已开始更新：
 
10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握概率论一维随机变量及其分布问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握概率论多维随机变量及其分布问题（考研、期末复习均可以用）
 
10分钟掌握随机变量数字特征问题（考研、期末复习均可以用）
 
码字不易，请大家点个赞吧~
 
另外如果有考研或者数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~

1.导入所要求解的数据
 
一般来说不加载额外的包情况下只能导入csv文件，若要导入excel文件可以加载包readxl。我一般是直接用csv文件的。
 
#加载所需要的包#
library("copula")
library("copBasic")
library("CDVine")
library("VineCopula")
#导入数据#
shuju<-read.csv("D:/QQ文件/z1z2z3.csv")
 
 
 
2.数据处理：转成伪观测值，可以简单地理解为单变量经验分布函数
 
#得到伪观测值#
emp<-pobs(shuju)
#先大概看下他们之间的相关系数（这里用kendall）
round(cor(U3, method="kendall"), 3)#基本都是强正相关关系
 
 
 
3.三维copula选取、参数估计及分布函数计算
 
（1）三维copula函数
 
       一般三维copula都构造方法有很多，常见的有对称Archimedeam Copula，非对称Archimedeam Copula。其中非对称构造又包括嵌套Archimedeam copula，pair-copula几种方法。前面两个可以写出显式计算公式。对称Archimedeam Copula要求解高维密度函数需要计算高维偏导数，pair-copula的构造一般没有办法写出显式公式，计算联合分布的时候需要用数值积分求解。
 
（2）对称Archimedeam Copula（单参数三维copula）
 
 
相应的参数估计、拟合优度检验以及分布函数的计算代码：
 
#单参数copula（以normalcopula为例）---三维对称
fit1<-fitCopula(normalCopula(dim=3), emp, method="mpl") 
fit2<-fitCopula(gumbelCopula(dim=3), emp, method="mpl") 
fit3<-fitCopula(claytonCopula(dim=3), emp, method="mpl") 
fit4<-fitCopula(tCopula(dim=3), emp, method="mpl") 
#显示参数估计值、标准误差以及极大似然值
summary(fit1);summary(fit2);summary(fit3);summary(fit4)
#拟合优度检验
gofCopula(normalCopula(dim=3),emp,N=1000,simulation="mult")#p值大于0.05即可

#计算C(U1,U2,U3),举个例子
cop<-normalCopula(dim=3,param =0.96) 
#求解分布函数
pCopula(c(0.4,0.4,0.5),copula=cop)
 
（3）计算嵌套copula（包括完全嵌套和部分嵌套）
 
       不过对于三维来说，完全嵌套和部分嵌套是一样的，基本原理就是先算二维的C1，然后将C1作为新的单变量与第3个向量再联结得到C2，大概是这样的，可以去看看宋松柏的书。
 
                 
 
这个的话，代码就和二维是一样的，就是用二维的情况去估计参数择优什么的，得到C1,C2，计算分布概率的时候就是直接一步步算。
 
#完全嵌套copula函数
BiCopEstList(emp[,1],emp[,2])#选gumbel并得到相应参数
BiCopGofTest(emp[,1],emp[,2],family = 4)#拟合优度检验
V1<-BiCopCDF(emp[,1],emp[,2],family = 4,par=4.92)#得到C1的值
BiCopEstList(V1,emp[,3])#选gaussian
V2<-BiCopCDF(V1,emp[,3],family = 1,par=0.95)#得到C2的值
 
 （4）Pair-copula（这个会比较复杂，一般是树结构）
 
       这个我目前了解的是C-Vine和D-Vine，最早的也有R-Vine，对于三维情况的话，C-Vine和D-Vine是一样的，他们的参数估计有逐步估计（sequential estimates）的也有一步估计的，一般来说，逐步估计就已经阔以满足要求的(参考文献：Modeling Dependence with C- and D-Vine Copulas: The R Package CDVine)
 
                                                    
 
他们的构造情况是这样的：
 
对于第一层（也就是所谓的Tree 1）就是常见的二维copula，以三维为例，组合形式阔以是321，312，231三种，因为123和321是一样的，都是构造12，23，然后再计算条件分布。这块可能不容易理解，阔以看看参考文献。
 
接着到第二层（Tree 2）：构建的copula是基于条件概率C1|2和C3|2构建的。即表征的是这两种条件概率的联结关系，记作C1,3|2。
 
 
#考虑pair-copula
#对于特定的copula函数
d<-3
fam <- rep(4,d*(d-1)/2)#假设三个都是gumbel
# sequential estimation 
fit5<-CDVineSeqEst(emp,fam,type=1,method="mle")
CDVineSeqEst(emp,fam,type=1,method="mle")$par
#或者根据AIC准则直接选取最优
CDVineCopSelect(emp,familyset =c(1,2,3,4,5) ,type=1,selectioncrit = "AIC")

#画树图可以看到构造情况
CDVineTreePlot(emp,family = c(4,4,4),tree=1,type = 1)
#看AIC\BIC
par1<-CDVineSeqEst(emp,fam,type=1,method="mle")$par
CDVineAIC(emp,c(4,4,4),par1,type=1)#
CDVineBIC(emp,c(4,4,4),par1,type=1)
#因为CDVine里面没有gof检验，所以转换成RVine，然后用VinCopula里面的包检验
RVM <- C2RVine(c(1,2,3), c(4,4,4), par1, c(0,0,0))
RVineGofTest(emp,RVM,method="ECP")
 
 
 
▶   接下来是计算分布函数（这个比较复杂）
 
       通过一系列计算简化大概可以化成这个式子：
 
                                        
 
这样的话就要计算二维的偏导数，然后再对其进行积分。
 
    ①求偏导
 
首先，求偏导的话，目前，会Gumbel copula 和Clayton Copula，以及Frank copula的计算：
 
#先写一个gumbel copula函数的偏导数function：
"GHcop.derCOP" <- function(u, v, para=NULL, ...) 
{ 
  x <- -log(u); y <- -log(v) 
  A <- exp(-(x^para + y^para)^(1/para)) * (1 +(y/x)^para)^(1/para - 1) 
  return(A/u)
}
#求解偏导数直接用上面的函数套进去就好了，假设两个偏导均是gumbel
for(i in 1:n)
{
  V1[i]<-GHcop.derCOP(u=emp[i,1],v=emp[i,2],para = 4.920055 ) 
  V2[i]<-GHcop.derCOP(u=emp[i,1],v=emp[i,3],para=4.633899) 
}
#套个循环，计算出了两个偏导数
 
 ②积分
 
对于积分，我一般用integrate一维函数积分
 
#自己定义一下积分函数
F1<-function(u1)
{
  u2=0.4
  u3=0.4
  V<-GHcop.derCOP(GHcop.derCOP(u2,u1,para = 4.92),
                  GHcop.derCOP(u3,u1,para = 4.63),para=1.546397)
}
integrate(F1,0,0.4)#输出的就是C(0.4,0.4,0.4)的值，大概是0.08

#目前的话，只能一个个输出，因为integrate不能对向量进行操作，或者可以再套个循环？我之后再研究下。