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  • 对称变换具有性质
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    2022-03-10 18:34:05


    实信号序列 存在 偶对称 与 奇对称 的情况 :

    • 偶对称 : x ( n ) = x ( − n ) x(n) = x(-n) x(n)=x(n)
    • 奇对称 : x ( n ) = − x ( − n ) x(n) = -x(-n) x(n)=x(n)

    那么对于 复信号序列 , 也存在相应的对称性 , 那就是 共轭对称共轭反对称 ;

    • 共轭对称 与 偶对称 相对应
    • 共轭反对称 与 奇对称 相对应

    偶对称奇对称实信号序列 的概念 ;

    ( 共轭 ) 对称 ( 共轭 ) 反对称复信号序列 的概念 ;





    一、共轭对称序列



    对于 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 如果 x ( n ) x(n) x(n) 共轭 x ( − n ) x(-n) x(n) ,

    x ( n ) = x ∗ ( − n ) x(n) = x^*(-n) x(n)=x(n)

    则称 x ( n ) x(n) x(n)关于原点共轭对称序列 , 记做

    x e ( n ) x_e(n) xe(n)

    其中 , − ∞ < n < + ∞ -\infty < n < +\infty <n<+ ;





    二、共轭反对称序列



    对于 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 如果 ,

    x ( n ) = − x ∗ ( − n ) x(n) = -x^*(-n) x(n)=x(n)

    成立 , 则称 x ( n ) x(n) x(n)关于原点共轭反对称序列 , 记做

    x o ( n ) x_o(n) xo(n)

    其中 , − ∞ < n < + ∞ -\infty < n < +\infty <n<+ ;

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  • 一、实序列的 幅频特性 和 相频特性 对称性质、 二、性质由来、 三、示例说明、





    一、实序列的 幅频特性 和 相频特性 对称性质



    如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列是 " 实序列 " , 则有 :

    X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega}) X(ejω)=X(ejω)

    " 实序列 " 的 " 幅频特性 ( 傅里叶变换取绝对值 ) "偶对称 的 ,

    " 实序列 " 的 " 相频特性 ( 相角 ) "奇对称 的 ;


    上述概念 适用于 连续傅里叶变换 , 离散傅里叶变换 , 序列傅里叶变换 ;





    二、性质由来



    上面的概念中 , 使用到了 如下定理 : 参考 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | x(n) 分解为实部序列与虚部序列 | 实部傅里叶变换 | 虚部傅里叶变换 | 共轭对称傅里叶变换 | 共轭反对称傅里叶变换 ) 博客 ;

    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω);

    x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω) 具备 共轭对称性 ;

    x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR(n)SFTXe(ejω)


    任意一个 " 实序列 " , 其傅里叶变换 , 一定是共轭对称的 ;


    共轭对称性质中 , 实部 偶对称 , 虚部 奇对称 , 模 偶对称 ,

    其中 模 就是 幅频特性 ,

    相角 奇对称 , 相角 是 相频特性 ;

    上述对称性质 , 可以参考 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 共轭对称与共轭反对称图像示例 | 实序列中共轭对称是偶对称 | 实序列中共轭反对称是奇对称 ) 博客中的图像示例 ;





    三、示例说明



    下图是 矩形窗函数 的 频谱 ( 幅频特性 / 傅里叶变换取模 ) :

    矩形窗 高度是 20 20 20 , 关于 0 0 0 点偶对称 ;

    在这里插入图片描述

    下图是 矩形窗函数 的 相频特性 ( 相角 ) : 关于 0 0 0 原点 奇对称 ;

    在这里插入图片描述

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  • 一.正交补与正交投影(10.3) 1.正交补 (1)概念: (2)性质: 2.正交投影 (1)概念: (2)判定: (3)最佳逼近元: 三.正交变换(10.4) 四.对称变换(10.4)

    一.正交补与正交投影(10.3)
    1.正交补
    (1)概念:
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    注意: S S S本身不一定是线性空间/实内积空间 V V V的1个子空间,但 S ⊥ S^⊥ S一定是线性空间/实内积空间 V V V的1个子空间

    (2)性质:
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    定理1:设 U U U是实内积空间 V V V的1个有限维非零子空间,则 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU
    在这里插入图片描述
    推论1:若 V V V是欧几里得空间, U U U V V V的1个非平凡子空间,则从定理1得 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU,于是 U U U的1个标准正交基与 U ⊥ U^⊥ U的1个标准正交基合起来是 V V V的1个标准正交基

    2.正交投影
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
    (2)判定:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    定理2:设 U U U是实内积空间 V V V的1个子空间,且 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU,则对于 α ∈ V , α 1 ∈ U α∈V,α_1∈U αV,α1U α α α U U U上的正交投影的充要条件是: d ( α , α 1 ) ≤ d ( α , γ )   ( ∀ γ ∈ U ) ( 4 ) d(α,α_1)≤d(α,γ)\,(∀γ∈U)\qquad(4) d(α,α1)d(α,γ)(γU)(4)
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    3.最佳逼近元
    (1)概念:
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    (2)逼近无限维实内积空间中的向量:
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    (3)通过最佳逼近元定义无限维子空间上的正交投影:
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    4.最小二乘解:
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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述二.正交变换(10.4)
    1.正交变换的概念:
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    注:限定 Ꭿ Ꭿ 为满射是为了保证 Ꭿ Ꭿ V V V为无限维时也可逆,而 Ꭿ Ꭿ 为单射可被推出,故无需说明

    2.正交变换的性质
    (1)关于度量的性质:

    命题1:若 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的正交变换,则 Ꭿ Ꭿ 保持向量的长度不变, Ꭿ Ꭿ V V V上的线性变换, Ꭿ Ꭿ 是单射
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    性质1:正交变换 Ꭿ Ꭿ 保持2个非零向量的夹角不变
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    性质2:正交变换 Ꭿ Ꭿ 保持向量的正交性不变,即 α ⊥ β ⇔ Ꭿ α ⊥ Ꭿ β α⊥β⇔Ꭿα⊥Ꭿβ αβαβ
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    性质3:正交变换 Ꭿ Ꭿ 保持向量间的距离不变
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    (2)关于判定的性质:

    命题2:实内积空间 V V V上的1个变换 Ꭿ Ꭿ 是正交变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ V V V到自身的1个保距同构
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    推论1:实内积空间 V V V上的正交变换 Ꭿ Ꭿ 是可逆变换,并且其逆变换 Ꭿ − 1 Ꭿ^{-1} 1也是 V V V上的正交变换

    命题3: n n n维欧几里得空间 V V V上的变换 Ꭿ Ꭿ 如果保持向量的内积不变,则 Ꭿ Ꭿ 是正交变换
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    命题5: n n n维欧几里得空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ 是正交变换
      ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ V V V的标准正交基映成标准正交基
      ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ V V V的标准正交基下的矩阵 A A A是正交矩阵
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    (3)关于运算的性质:

    命题4:实内积空间 V V V上2个正交变换的乘积还是正交变换
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    (4)其他性质:
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    命题6:设 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的1个正交变换,如果 Ꭿ Ꭿ 有特征值,那么 Ꭿ Ꭿ 的特征值必为 ± 1 ±1 ±1
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    3.反射
    (1)超平面:
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    (2)反射的概念:
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    (3)反射的性质:

    命题7: n n n维欧几里得空间 V V V中,关于超平面 ⟨ η ⟩ ⊥ \langle η\rangle^⊥ η的反射是第2类的正交变换
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    4.正交补的性质:

    命题8:设 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的1个正交变换, W W W Ꭿ Ꭿ 的1个有限维不变子空间,则 W ⊥ W^⊥ W也是 Ꭿ Ꭿ 的不变子空间
    在这里插入图片描述

    5.正交变换的矩阵的最简形式:

    定理3:设 Ꭿ Ꭿ n n n维欧几里得空间 V V V上的1个正交变换,则 ∃ V ∃V V的1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在这个基下的矩阵具有如下形式: d i a g { λ 1 . . . λ r , [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] . . . [ cos ⁡ θ m − sin ⁡ θ m sin ⁡ θ m cos ⁡ θ m ] } ( 3 ) diag\{λ_1...λ_r,\left[\begin{matrix}\cosθ_1&-\sinθ_1\\\sinθ_1&\cosθ_1\end{matrix}\right]...\left[\begin{matrix}\cosθ_m&-\sinθ_m\\\sinθ_m&\cosθ_m\end{matrix}\right]\}\qquad(3) diag{λ1...λr,[cosθ1sinθ1sinθ1cosθ1]...[cosθmsinθmsinθmcosθm]}(3)
    其中 λ i = ± 1   ( i = 1 , 2... r ) , 0 ≤ r ≤ n , 0 < θ j < π   ( j = 1 , 2... m ) , 0 ≤ m ≤ n 2 λ_i=±1\,(i=1,2...r),0≤r≤n,0<θ_j<\pi\,(j=1,2...m),0≤m≤\frac{n}{2} λi=±1(i=1,2...r),0rn,0<θj<π(j=1,2...m),0m2n
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    推论1: n n n级正交矩阵一定正交相似于形如 ( 3 ) (3) (3)式的分块对角矩阵

    三.对称变换(10.4)
    1.概念:
    在这里插入图片描述
    2.性质:

    命题9:实内积空间 V V V上的对称变换一定是线性变换
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    命题10:设 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的1个对称变换,如果 W W W Ꭿ Ꭿ 的不变子空间,那么 W ⊥ W^⊥ W也是 Ꭿ Ꭿ 的不变子空间
    在这里插入图片描述

    3.判定:

    命题11: n n n维欧几里得空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ 是对称变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ V V V的任意1个标准正交基下的矩阵是对称矩阵
    在这里插入图片描述

    4.对称变换的矩阵的最简形式:

    定理4:设 Ꭿ Ꭿ n n n维欧几里得空间 V V V上的1个对称变换,则 V V V中存在1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在这个基下的矩阵 A A A为对角矩阵
    在这里插入图片描述

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  • 一、序列实偶 傅里叶变换 实偶、 二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇、 三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "、 1、前置公式定理、 ①、序列实部傅里叶变换、 ...实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征、





    一、序列实偶 傅里叶变换 实偶



    如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;





    二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇



    如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;





    三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "




    1、前置公式定理



    ①、序列实部傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω);

    x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω) 具备 共轭对称性 ;

    x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR(n)SFTXe(ejω)


    ②、序列虚部傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n) 序列的 虚部 x I ( n ) x_I(n) xI(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)共轭反对称序列 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo(ejω);

    j x I ( n ) jx_I(n) jxI(n) 的 傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo(ejω) 具备 共轭反对称性 :

    j x I ( n ) ⟷ S F T X o ( e j ω ) jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega}) jxI(n)SFTXo(ejω)


    ③、共轭对称序列傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe(n)SFTXR(ejω)


    ④、共轭反对称序列傅里叶变换


    x ( n ) x(n) x(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n)傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo(n)SFTjXI(ejω)


    2、证明过程


    实序列 傅里叶变换

    x ( n ) x(n) x(n) 为 " 实序列 " ,

    根据 x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω)共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω); x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω) 具备 共轭对称性 的特征 :

    x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR(n)SFTXe(ejω)

    性质 , 其 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 有如下特性 :

    X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega}) X(ejω)=X(ejω)

    奇对称序列 傅里叶变换

    x ( n ) x(n) x(n) 序列是 " 奇对称 " 的 ,

    根据 x ( n ) x(n) x(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n)傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR(ejω)

    x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo(n)SFTjXI(ejω)

    性质 , 其 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 有如下特性 :

    X ( e j ω ) = j X I ( e j ω ) X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) X(ejω)=jXI(ejω)

    前面加了 j j j , 说明 X I ( e j ω ) X_I(e^{j \omega}) XI(ejω) 是实的 , j X I ( e j ω ) jX_I(e^{j \omega}) jXI(ejω) 是虚的 ;


    实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征

    结合上述 " 实序列 傅里叶变换 X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega}) X(ejω)=X(ejω) "" 奇对称序列 傅里叶变换 X ( e j ω ) = j X I ( e j ω ) X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) X(ejω)=jXI(ejω) " ,

    j X I ( e j ω ) jX_I(e^{j \omega}) jXI(ejω) 取共轭 , 然后将 ω \omega ω 取反 , 可得到

    X ∗ ( e − j ω ) = j X I ( e j ω ) = − j X I ( e − j ω ) X^*(e^{-j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega}) X(ejω)=jXI(ejω)=jXI(ejω)

    j X I ( e j ω ) = − j X I ( e − j ω ) jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega}) jXI(ejω)=jXI(ejω) 中的 j j j 去掉 , 可得到

    X I ( e j ω ) = − X I ( e − j ω ) X_I(e^{j \omega}) = -X_I(e^{-j \omega}) XI(ejω)=XI(ejω)

    X I ( e j ω ) X_I(e^{j \omega}) XI(ejω) − X I ( e − j ω ) -X_I(e^{-j \omega}) XI(ejω) 都是实数 , 这是奇函数的特征 ;

    展开全文
  • 一、共轭对称与共轭反对称图像示例、 1、共轭对称序列图示、 2、共轭反对称序列图示、 3、总结、
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空空如也

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对称变换具有性质