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  • 一.正交补与正交投影(10.3) 1.正交补 (1)概念: (2)性质: 2.正交投影 (1)概念: (2)判定: (3)最佳逼近元: 三.正交变换(10.4) 四.对称变换(10.4)

    一.正交补与正交投影(10.3)
    1.正交补
    (1)概念:
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    注意: S S S本身不一定是线性空间/实内积空间 V V V的1个子空间,但 S ⊥ S^⊥ S一定是线性空间/实内积空间 V V V的1个子空间

    (2)性质:
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    定理1:设 U U U是实内积空间 V V V的1个有限维非零子空间,则 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU
    在这里插入图片描述
    推论1:若 V V V是欧几里得空间, U U U V V V的1个非平凡子空间,则从定理1得 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU,于是 U U U的1个标准正交基与 U ⊥ U^⊥ U的1个标准正交基合起来是 V V V的1个标准正交基

    2.正交投影
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
    (2)判定:
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    定理2:设 U U U是实内积空间 V V V的1个子空间,且 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=UU,则对于 α ∈ V , α 1 ∈ U α∈V,α_1∈U αV,α1U α α α U U U上的正交投影的充要条件是: d ( α , α 1 ) ≤ d ( α , γ )   ( ∀ γ ∈ U ) ( 4 ) d(α,α_1)≤d(α,γ)\,(∀γ∈U)\qquad(4) d(α,α1)d(α,γ)(γU)(4)
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    3.最佳逼近元
    (1)概念:
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    (2)逼近无限维实内积空间中的向量:
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    (3)通过最佳逼近元定义无限维子空间上的正交投影:
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    4.最小二乘解:
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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述二.正交变换(10.4)
    1.正交变换的概念:
    在这里插入图片描述
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    注:限定 Ꭿ Ꭿ 为满射是为了保证 Ꭿ Ꭿ V V V为无限维时也可逆,而 Ꭿ Ꭿ 为单射可被推出,故无需说明

    2.正交变换的性质
    (1)关于度量的性质:

    命题1:若 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的正交变换,则 Ꭿ Ꭿ 保持向量的长度不变, Ꭿ Ꭿ V V V上的线性变换, Ꭿ Ꭿ 是单射
    在这里插入图片描述

    性质1:正交变换 Ꭿ Ꭿ 保持2个非零向量的夹角不变
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    性质2:正交变换 Ꭿ Ꭿ 保持向量的正交性不变,即 α ⊥ β ⇔ Ꭿ α ⊥ Ꭿ β α⊥β⇔Ꭿα⊥Ꭿβ αβαβ
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    性质3:正交变换 Ꭿ Ꭿ 保持向量间的距离不变
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    (2)关于判定的性质:

    命题2:实内积空间 V V V上的1个变换 Ꭿ Ꭿ 是正交变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ V V V到自身的1个保距同构
    在这里插入图片描述
    推论1:实内积空间 V V V上的正交变换 Ꭿ Ꭿ 是可逆变换,并且其逆变换 Ꭿ − 1 Ꭿ^{-1} 1也是 V V V上的正交变换

    命题3: n n n维欧几里得空间 V V V上的变换 Ꭿ Ꭿ 如果保持向量的内积不变,则 Ꭿ Ꭿ 是正交变换
    在这里插入图片描述

    命题5: n n n维欧几里得空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ 是正交变换
      ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ V V V的标准正交基映成标准正交基
      ⇔ Ꭿ \quad\,⇔Ꭿ V V V的标准正交基下的矩阵 A A A是正交矩阵
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    (3)关于运算的性质:

    命题4:实内积空间 V V V上2个正交变换的乘积还是正交变换
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    (4)其他性质:
    在这里插入图片描述

    命题6:设 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的1个正交变换,如果 Ꭿ Ꭿ 有特征值,那么 Ꭿ Ꭿ 的特征值必为 ± 1 ±1 ±1
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    3.反射
    (1)超平面:
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    (2)反射的概念:
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    (3)反射的性质:

    命题7: n n n维欧几里得空间 V V V中,关于超平面 ⟨ η ⟩ ⊥ \langle η\rangle^⊥ η的反射是第2类的正交变换
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    4.正交补的性质:

    命题8:设 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的1个正交变换, W W W Ꭿ Ꭿ 的1个有限维不变子空间,则 W ⊥ W^⊥ W也是 Ꭿ Ꭿ 的不变子空间
    在这里插入图片描述

    5.正交变换的矩阵的最简形式:

    定理3:设 Ꭿ Ꭿ n n n维欧几里得空间 V V V上的1个正交变换,则 ∃ V ∃V V的1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在这个基下的矩阵具有如下形式: d i a g { λ 1 . . . λ r , [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] . . . [ cos ⁡ θ m − sin ⁡ θ m sin ⁡ θ m cos ⁡ θ m ] } ( 3 ) diag\{λ_1...λ_r,\left[\begin{matrix}\cosθ_1&-\sinθ_1\\\sinθ_1&\cosθ_1\end{matrix}\right]...\left[\begin{matrix}\cosθ_m&-\sinθ_m\\\sinθ_m&\cosθ_m\end{matrix}\right]\}\qquad(3) diag{λ1...λr,[cosθ1sinθ1sinθ1cosθ1]...[cosθmsinθmsinθmcosθm]}(3)
    其中 λ i = ± 1   ( i = 1 , 2... r ) , 0 ≤ r ≤ n , 0 < θ j < π   ( j = 1 , 2... m ) , 0 ≤ m ≤ n 2 λ_i=±1\,(i=1,2...r),0≤r≤n,0<θ_j<\pi\,(j=1,2...m),0≤m≤\frac{n}{2} λi=±1(i=1,2...r),0rn,0<θj<π(j=1,2...m),0m2n
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    推论1: n n n级正交矩阵一定正交相似于形如 ( 3 ) (3) (3)式的分块对角矩阵

    三.对称变换(10.4)
    1.概念:
    在这里插入图片描述
    2.性质:

    命题9:实内积空间 V V V上的对称变换一定是线性变换
    在这里插入图片描述

    命题10:设 Ꭿ Ꭿ 是实内积空间 V V V上的1个对称变换,如果 W W W Ꭿ Ꭿ 的不变子空间,那么 W ⊥ W^⊥ W也是 Ꭿ Ꭿ 的不变子空间
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    3.判定:

    命题11: n n n维欧几里得空间 V V V上的线性变换 Ꭿ Ꭿ 是对称变换当且仅当 Ꭿ Ꭿ V V V的任意1个标准正交基下的矩阵是对称矩阵
    在这里插入图片描述

    4.对称变换的矩阵的最简形式:

    定理4:设 Ꭿ Ꭿ n n n维欧几里得空间 V V V上的1个对称变换,则 V V V中存在1个标准正交基,使得 Ꭿ Ꭿ 在这个基下的矩阵 A A A为对角矩阵
    在这里插入图片描述

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  • 2.若该序列是一个复序列,则其还可表示成共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) 和共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) 之和。 x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x e ( n ) = 1 2 [ x ( n ) + x ...

    1.任何一个序列可表示成偶序列和奇序列之和

    x(n)=xe(n)+xo(n)
    xe(n)=12[x(n)+x(n)]
    x0(n)=12[x(n)x(n)]

    由此可推出:当 x(n) 是因果序列时,可以从偶序列 xe(n) 中恢复出 x(n) ,也可以由奇序列 xo(n) x(0) 恢复出 x(n)

    2.若该序列是一个复序列,则其还可表示成共轭对称序列 xe(n) 和共轭反对称序列 xo(n) 之和。

    x(n)=xe(n)+xo(n)
    xe(n)=12[x(n)+x(n)]
    x0(n)=12[x(n)x(n)]

    据此可推出:

    若该序列是实序列,则转换成了’1’种所述的奇偶分解,因为对于实序列有
    x(n)=x(n)

    3.据以上两点,可推出:
    a.若 x(n) 是实因果序列,则只要知道 Re[X(ejw] ,就可通过IDTFT求得 xe(n) ,从而可以还原出 x(n) ,并得到 X(ejw)
    b.若 x(n) 是实因果序列,则只要知道 jIm[X(ejw] x(0) ,就可通过IDTFT求得 xo(n) ,从而可以还原出 x(n) ,并得到 X(ejw)

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  • 利用正六边形在所有能铺满整个平面的正多边形中具有最多对称轴的特点(共6条,正三角形3条,正方形4条),结合对称变换群的性质对计算机断层扫描重建(CT)中的滤波反投影算法(FBP)进行了优化,降低了算法中反投影部分的...
  • 傅里叶变换的基本性质

    千次阅读 2018-11-24 11:29:56
    文章目录傅里叶变换的基本性质线性性质平移性质对称性质卷积性质 傅里叶变换的基本性质 总的来说,傅里叶变换有这样几个性质: 线性性质(Linearity) 平移性质(Shift) 对称性质(Symmetry) 卷积性质...

    傅里叶变换的基本性质

    总的来说,傅里叶变换有这样几个性质:

    • 线性性质(Linearity)
    • 平移性质(Shift)
    • 对称性质(Symmetry)
    • 卷积性质(Convolution)

    参考 傅里叶变换-wikipedia

    线性性质

    线性性质:两个函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和,反之亦然
    linearity

    import numpy as np
    from scipy.fftpack import fft
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    %matplotlib inline
    
    def generate_complex_signal(num_sample, k0):
        '''
        generate a complex signal
        
        num_sample : 信号的个数,即公式中的N
        k0 : 周期个数
        
        returns
        x : 复正弦信号
        '''
        
        n = np.arange(num_sample)
        x = np.exp(1j*2*np.pi*k0*n/num_sample)
        
        return x
    
    num_sample = 100
    k0 = 20
    x1 = generate_complex_signal(num_sample, k0)
    
    num_sample = 100
    k0 = 10
    x2 = generate_complex_signal(num_sample, k0)
    
    X1 = fft(x1);
    X2 = fft(x2);
    mX1 = np.abs(X1);
    mX2 = np.abs(X2);
    
    x12 = x1 + x2;  # adding two signal
    X12 = fft(x12);
    mX12 = np.abs(X12);
    
    
    # plot the results
    plt.figure(figsize=(15,6))
    
    plt.subplot(321)
    plt.plot(x1)
    plt.subplot(322)
    plt.plot(x2)
    
    plt.subplot(323)
    plt.plot(mX1)
    plt.subplot(324)
    plt.plot(mX2)
    
    plt.subplot(325)
    plt.plot(mX1 + mX2)
    plt.subplot(326)
    plt.plot(mX12)
    
    plt.show();
    

    png

    平移性质

    在时域上对信号进行平移,那么等价于在频域的复平面上旋转一个角度

    相反的,频域的复平面上旋转一个角度,等价于时域上的平移

    可以证明平移只对DFT的相位有影响,并不会改变DFT的幅度

    shift

    x1 = np.linspace(0, 1.0, 50)
    x1 = np.append(x1,0)
    x1 = np.append(x1,np.linspace(-1.0, 0, 50))
    
    shifted_x = np.roll(x1, 10) # shift signal
    
    X1 = fft(x1)
    shiftedX = fft(shifted_x)
    
    mX1 = np.abs(X1)
    pX1 = np.angle(X1)
    pX1 = np.unwrap(pX1)
    
    mshiftedX = np.abs(shiftedX)
    pshiftedX = np.angle(shiftedX)
    pshiftedX = np.unwrap(pshiftedX)
    
    # plot the results
    plt.figure(figsize=(15,6))
    
    plt.subplot(321)
    plt.plot(x1)
    plt.subplot(322)
    plt.plot(shifted_x)
    
    plt.subplot(323)
    plt.plot(mX1)
    plt.subplot(324)
    plt.plot(mshiftedX)
    
    plt.subplot(325)
    plt.plot(pX1)
    plt.subplot(326)
    plt.plot(pshiftedX)
    
    plt.show();
    

    png

    对称性质

    当x是实数信号,其傅里叶变换为X,则有对称性质:

    • R { X } \mathfrak{R}\{X\} R{X} 是偶对称 Z { X } \mathfrak{Z}\{X\} Z{X}是奇对称
    • ∣ X ∣ |X| X是偶对称, &lt; ∣ X ∣ &lt;|X| <X是奇对称

    当x是偶对称的实数信号,其傅里叶变换为X,则有对称性质:

    • R { X } \mathfrak{R}\{X\} R{X}是偶对称 Z { X } = 0 \mathfrak{Z}\{X\}=0 Z{X}=0
    • ∣ X ∣ |X| X是偶对称, &lt; ∣ X ∣ = n π &lt;|X|=n\pi <X=nπ或者0

    R \mathfrak{R} R表示取实部, Z \mathfrak{Z} Z表示取虚部, ∣ X ∣ |X| X为幅度, &lt; ∣ X ∣ &lt;|X| <X表示相位

    (找不到合适的例子,就不写代码了,直接上课件中的图片)

    symmetry
    symmetry2

    卷积性质

    在时域上的卷积操作,可以转换为两个信号傅里叶变换后的点乘操作

    相反的,傅里叶变换后的点乘,在时域上表现为卷积

    convolution

    convolution2

    from scipy.signal import get_window
    
    x1 = get_window('hanning', 256)
    x2 = np.cos( np.linspace(0, 2*np.pi, 256) )
    conv_x = np.convolve(x1, x2, 'same')
    
    X1 = fft(x1)
    X2 = fft(x2)
    CX = fft(conv_x)
    
    plt.figure(figsize=(15,6))
    
    plt.subplot(321)
    plt.plot(x1)
    plt.subplot(322)
    plt.plot(x2)
    
    plt.subplot(323)
    plt.plot(np.abs(X1))
    plt.subplot(324)
    plt.plot(np.abs(X2))
    
    plt.subplot(325)
    plt.plot(np.abs(CX))
    plt.subplot(326)
    plt.plot(np.abs(X1*X2))
    
    
    plt.show()
    

    png

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  • 傅里叶变换具有唯一性。傅里叶变换变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的内在联系。讨论傅里叶变换的性质,目的在于: •了解时频域特性的内在联系; • 利用性质求F(jω)F(jω)F(jω); •了解在通信系统...

    傅里叶变换的性质

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    意义:

    傅里叶变换具有唯一性。傅里叶变换变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的内在联系。讨论傅里叶变换的性质,目的在于:

    • 了解时频域特性的内在联系;

    • 利用性质求 F ( j ω ) F(jω) F(jω)

    •了解在通信系统领域中的应用。

    1 线性性质

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    2 奇偶性

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    下面具体研究时间函数与其频谱的奇偶虚实关系
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    (1) f ( t ) f(t) f(t)为实函数

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    ∗ : *: 共轭

    • f ( t ) f(t) f(t)为实偶函数, F ( j ω ) F(jω) F(jω)为实偶函数

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    • f ( t ) f(t) f(t)为实奇函数, F ( j ω ) F(jω) F(jω)为虚奇函数

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    (2) f ( t ) f(t) f(t)为虚函数 f ( t ) = j g ( t ) f(t)=jg(t) f(t)=jg(t)

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    3 对称性

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    4 尺度变换特性

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    (1) 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1 时域扩展,频带压缩。
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    0 < a < 1 0<a<1 0<a<1,脉冲持续时间增加 a a a倍,变化慢了,信号在频域的频带压缩 a a a倍。高频分量减少,幅度上升 a a a倍。

    (2) a > 1 a>1 a>1 时域压缩,频带扩展。
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    a > 1 a>1 a>1,脉冲持续持续时间短,变化快了。信号在频域高频分量增加,频带展宽,各分量的幅度下降 a a a倍。

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    意义:
    (1) 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1 时域扩展,频带压缩;
    (2) a > 1 a>1 a>1 时域压缩,频域扩展a倍;
    (3) a = − 1 a=-1 a=1 f ( − t ) = F ( − j w ) f(-t)=F(-jw) f(t)=F(jw)

    说明:信号的持续时间与信号占有频带成反比,有时为加速信号的传递,要将信号持续时间压缩,则要以展开频带为代价。
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    5 时移特性

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    说明:幅度频谱无变化,只影响相位频谱,相移 ± ω t 0 ±ωt_0 ±ωt0

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    6 频移特性

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    频移特性的实质是频谱搬移,它是通信理论中信号调制解调的理论基础

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    7 卷积定理

    时域卷积定理

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    频域卷积定理
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    8 时域微积分特性

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    9 频域微积分特性

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    10 相关定理

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    《工程信号与系统》作者:郭宝龙等
    中国大学MOOC:信号与系统 ,西安电子科技大学,郭宝龙,朱娟娟

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  • 傅里叶变换(二维离散傅里叶变换)

    万次阅读 多人点赞 2018-06-15 22:22:35
    离散二维傅里叶变换一常用性质: 可分离性、周期性和共轭对称性、平移性、旋转性质、卷积与相关定理;(1)可分离性: 二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次...
  • 信号在时域和频域具有对称规律。即离散对应周期,连续对应非周期。这种规律如何理解? 时域周期连续→频域离散非周期(傅里叶级数FS) 对于时域周期连续信号,通常采用傅里叶级数进行频谱分析。傅里叶级数的公式...
  • hadamard变换

    2021-03-31 10:12:58
    正变换和反变换具有相同形式,算法实现起来简单(变换是HXH) 具有递推公式,算法实现简单(体验一下实际代码就能发现,真的很简单易计算,而且不用浮点数运算) hadamard变换后求SATD和余弦变换后求SATD,结果差距...
  • 只可以用在方阵上2.1.1 特征分解的原理2.1.2 特征分解的合理性2.1.3 特征分解的计算2.1.4 对称矩阵的特征分解(这个性质后面SVD推导用到) 1. 前言 要学会矩阵的特征分解,可以提前看矩阵的一些基础知识: ...
  • 对称电路

    2019-06-28 21:00:00
    但事实上大多数电路并没有这个性质,其中中学阶段的大多数电路都可以通过对称电路的等效变换转化回简单电路。 目录名字是我瞎编的,有专业的学名 轴对称电路 中心对称电路 此处的分析都是局部分析,在整个...
  • 浅谈傅里叶变换、小波变换、HHT变换

    千次阅读 多人点赞 2019-08-29 12:18:42
    浅谈傅里叶变换、小波变换、HHT变换一、傅里叶变换1.1傅里叶变换介绍二、小波变换2.1小波变换正反变换公式2.2小波变换适应场景及其优缺点2.3小波变换的应用三、HHT变换3.1HHT产生的背景3.1 HHT变换介绍3.2 HHT对信号...
  • 在信号处理领域,存在诸多变换,比如标题中的五个变换。本文将对这五个变换进行介绍和比较。在开始之前,我们需要先理清什么是平稳信号,什么是非平稳信号。 我们知道,自然界中几乎所有信号都是非平稳信号,比如...
  • 【傅里叶变换

    千次阅读 2015-04-22 21:15:48
    1、为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么? 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以...
  • 高斯函数具有五个重要的性质

    千次阅读 2013-04-14 09:52:07
    高斯函数具有五个重要的性质,这些性质...(1)二维高斯函数具有旋转对称性,即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的.一般来说,一幅图像的边缘方向是事先不知道的,因此,在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向
  • Householder变换

    千次阅读 2019-09-28 02:11:37
    整理自:《数值线性代数(徐树方)》 Householder变换是一种能将n维向量x...Householder的主要应用在于它能够将x变换成任意一个等长的若干个分量为0的向量(这种向量具有某些良好的性质,尤其是在最小二乘法的正交化...

空空如也

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对称变换具有性质