一、 并集
并集 :
A
,
B
A, B
A,B 是两个集合 , 由
A
A
A 和
B
B
B 所有的元素组成的集合 , 称为
A
A
A 与
B
B
B 的并集 ;
记做 :
A
∪
B
A \cup B
A∪B ,
∪
\cup
∪ 称为 并运算符 ;
符号化表示 :
A
∪
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \}
A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
A_1 , A_2 , \cdots , A_n
A1,A2,⋯,An 是
n
n
n 个集合 , 则
A
1
∪
A
2
∪
⋯
∪
A
n
=
{
x
∣
∃
i
(
1
≤
i
≤
n
∨
x
∈
A
i
)
}
A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{ x | \exist i ( 1 \leq i \leq n \ \lor \ x \in A_i ) \}
A1∪A2∪⋯∪An={x∣∃i(1≤i≤n ∨ x∈Ai)} , 记作
⋃
i
=
1
n
A
i
=
A
1
∪
A
2
∪
⋯
∪
A
n
\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n
i=1⋃nAi=A1∪A2∪⋯∪An
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
,
⋯
A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdots
A1,A2,⋯,An,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
⋃
i
=
1
∞
A
i
=
A
1
∪
A
2
∪
⋯
\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots
i=1⋃∞Ai=A1∪A2∪⋯
二、 并集示例
集合
A
=
{
x
∈
N
∣
5
≤
x
≤
10
}
A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \}
A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合
B
=
{
x
∈
N
∣
x
≤
10
∨
x
是
素
数
}
B = \{ x \in N | x \leq 10 \lor x 是素数 \}
B={x∈N∣x≤10∨x是素数}
A
∪
B
=
{
2
,
3
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
A \cup B = \{ 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 \}
A∪B={2,3,5,6,7,8,9,10}
三、 交集
交集 :
A
,
B
A, B
A,B 是两个集合 ,
A
A
A 和
B
B
B 公共元素组成的集合 , 称为
A
,
B
A , B
A,B 集合的交集 ;
记作 :
A
∩
B
A \cap B
A∩B ,
∩
\cap
∩ 称为 交运算符 ;
符号化表示 :
A
∩
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}
A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
A_1 , A_2 , \cdots , A_n
A1,A2,⋯,An 是
n
n
n 个集合 , 则
A
1
∩
A
2
∩
⋯
∩
A
n
=
{
x
∣
∀
i
(
1
≤
i
≤
n
→
x
∈
A
i
)
}
A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{ x | \forall i ( 1 \leq i \leq n \ \to \ x \in A_i ) \}
A1∩A2∩⋯∩An={x∣∀i(1≤i≤n → x∈Ai)} , 记作
⋂
i
=
1
n
A
i
=
A
1
∩
A
2
∩
⋯
∩
A
n
\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n
i=1⋂nAi=A1∩A2∩⋯∩An
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
n
,
⋯
A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdots
A1,A2,⋯,An,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
⋂
i
=
1
∞
A
i
=
A
1
∩
A
2
∩
⋯
\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots
i=1⋂∞Ai=A1∩A2∩⋯
四、 交集示例
集合
A
=
{
x
∈
N
∣
5
≤
x
≤
10
}
A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \}
A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合
B
=
{
x
∈
N
∣
x
≤
10
∧
x
是
素
数
}
B = \{ x \in N | x \leq 10 \land x 是素数 \}
B={x∈N∣x≤10∧x是素数}
A
∩
B
=
{
5
,
7
}
A \cap B = \{ 5, 7 \}
A∩B={5,7}
五、 不相交
不相交 :
A
,
B
A , B
A,B 两个集合 , 如果
A
∩
B
=
∅
A \cap B = \varnothing
A∩B=∅ , 则称
A
A
A 和
B
B
B 两个集合是 不相交 的 ;
扩展到多个集合 :
A
1
,
A
2
,
⋯
A_1 , A_2 , \cdots
A1,A2,⋯ 是可数个集合 , 任意
i
≠
j
i \not= j
i=j ,
A
i
∩
A
j
=
∅
A_i \cap A_j = \varnothing
Ai∩Aj=∅ 都成立 , 则称
A
1
,
A
2
,
⋯
A_1 , A_2 , \cdots
A1,A2,⋯ 是互不相交的 ;
六、 相对补集
相对补集 :
A
,
B
A , B
A,B 两个集合 , 属于
A
A
A 集合 而 不属于
B
B
B 集合 的 全体元素组成的集合 , 称为
B
B
B 对
A
A
A 的相对补集 ;
记作 :
A
−
B
A - B
A−B
符号化表示 :
A
−
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∧
x
∉
B
}
A-B = \{ x | x \in A \land x \not\in B \}
A−B={x∣x∈A∧x∈B}
七、 对称差
对称差 :
A
,
B
A , B
A,B 是两个集合 , 属于
A
A
A 集合 而 不属于
B
B
B 集合 , 属于
B
B
B 集合 而 不属于
A
A
A 集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为
A
A
A 与
B
B
B 的对称差 ;
记作 :
A
⊕
B
A \oplus B
A⊕B
符号化表示 :
A
⊕
B
=
{
x
∣
(
x
∈
A
∧
x
∉
B
)
∨
(
x
∉
A
∧
x
∈
B
)
}
A \oplus B = \{ x | ( x \in A \land x \not\in B ) \lor ( x \not\in A \land x \in B ) \}
A⊕B={x∣(x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈B)}
对称差 与 相对补集 关系 :
A
⊕
B
=
(
A
−
B
)
∪
(
B
−
A
)
=
(
A
∪
B
)
−
(
A
∩
B
)
A \oplus B = ( A - B ) \cup ( B - A ) = ( A \cup B ) - ( A \cap B )
A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)
(
A
−
B
)
∪
(
B
−
A
)
( A - B ) \cup ( B - A )
(A−B)∪(B−A) :
A
A
A 对
B
B
B 的相对补集 , 与
B
B
B 对
A
A
A 的相对补集 的 并集 ;
(
A
∪
B
)
−
(
A
∩
B
)
( A \cup B ) - ( A \cap B )
(A∪B)−(A∩B) :
A
,
B
A, B
A,B 的并集 对
A
,
B
A,B
A,B 交集的相对补集 ;
八、 绝对补集
绝对补集 :
E
E
E 是全集 ,
A
⊆
E
A \subseteq E
A⊆E , 全集
E
E
E 包含
A
A
A 集合 , 称
A
A
A 对
E
E
E 的相对补集 为
A
A
A 的绝对补集 ;
记作 :
∼
A
\sim A
∼A
符号化表示 :
∼
A
=
{
x
∣
x
∈
E
∧
x
∉
A
}
\sim A = \{ x | x \in E \land x \not\in A \}
∼A={x∣x∈E∧x∈A}
其中
E
E
E 是全集 ,
x
∈
E
x \in E
x∈E 为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 ,
1
1
1 合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;
因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的
x
∈
E
x \in E
x∈E , 结果为 :
∼
A
=
{
x
∣
x
∉
A
}
\sim A = \{ x | x \not\in A \}
∼A={x∣x∈A}
九、 广义并集
广义并集 :
A
\mathscr{A}
A 是一个 集族 , 集族
A
\mathscr{A}
A 中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族
A
\mathscr{A}
A 的广义并 ;
记作 :
∪
A
\cup \mathscr{A}
∪A
符号化表示 :
∪
A
=
{
x
∣
∃
z
(
x
∈
z
∧
z
∈
A
)
}
\cup \mathscr{A} = \{ x | \exist z ( x \in z \land z \in \mathscr{A} ) \}
∪A={x∣∃z(x∈z∧z∈A)}
广义并集示例 :
A
=
{
{
a
,
b
}
,
{
a
,
c
}
,
{
a
,
b
,
c
}
}
\mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}
A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}
∪
A
=
{
a
,
b
,
c
}
\cup \mathscr{A} = \{ a, b, c \}
∪A={a,b,c}
十、 广义交集
广义交集 :
A
\mathscr{A}
A 是一个 集族 , 集族
A
\mathscr{A}
A 中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族
A
\mathscr{A}
A 的广义交 ;
记作 :
∩
A
\cap \mathscr{A}
∩A
符号化表示 :
∩
A
=
{
x
∣
∀
z
(
z
∈
A
→
x
∈
z
)
}
\cap \mathscr{A} = \{ x | \forall z ( z \in \mathscr{A} \to x \in z ) \}
∩A={x∣∀z(z∈A→x∈z)}
广义并集示例 :
A
=
{
{
a
,
b
}
,
{
a
,
c
}
,
{
a
,
b
,
c
}
}
\mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}
A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}
∩
A
=
{
a
}
\cap \mathscr{A} = \{ a \}
∩A={a}
十一、 集合运算优先级
第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;
第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;
