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  • 对称性原理

    2020-10-20 12:05:14
    一切物理现象都发生在时空之中,时空的对称性必然会影响物理现象的特性。宇宙学原理 对称性(C1): 宇宙空间是均匀的 对称性(C2): 宇宙空间是各向同性的 这就是宇宙学原理。显然,宇宙学原理并不是毫无根据的人为假定...

    一切物理现象都发生在时空之中,时空的对称性必然会影响物理现象的特性。

    宇宙学原理

    对称性(C1): 宇宙空间是均匀的

    对称性(C2): 宇宙空间是各向同性的

    这就是宇宙学原理。

    显然,宇宙学原理并不是毫无根据的人为假定,它是宇宙对称性的合理推论。

    光速不变原理

    1.真空中的光速对任何观察者来说都是相同的。 

    2.无论在何种惯性系(惯性参照系)中观察,光在真空中的传播速度都是一个常数,不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变。这个数值是299,792,458 米/秒。

    3.光速不变原理可由联立求解麦克斯韦方程组得到,并为迈克尔逊—莫雷实验所证实。迈克尔逊——莫雷实验的依据是:光速=波长×频率

    4.光波长和频率都是根据光干涉条纹确定的。根据‘杨氏双缝干涉实验’干涉条纹之间的间距,能够独立推算出‘光波长’,自然可确定‘光频率’。

    这样推算确定的光波长和频率的乘积为常数,即不同颜色光的波长和频率的乘积相等;而且乘积数值等于检测的‘光速值’;从而充分证明:‘光速=波长×频率’成立。

    迈克尔逊和莫雷通过长期多次分别检测,来自不同方向的阳光的光速,充分证明:阳光的光速不变。

    5.光速不变原理是爱因斯坦创立狭义相对论的基本出发点之一。

    6.在广义相对论中,由于所谓惯性参照系不再存在,爱因斯坦引入了广义相对性原理,即物理定律的形式在一切参考系都是不变的。这也使得光速不变原理可以应用到所有参考系中。

    麦克斯韦方程组


    麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的: 

    高斯定律:该定律描述电场与空间中电荷分布的关系电场线开始于正电荷,终止于负电荷(或无穷远)。计算穿过某给定闭曲面的电场线数量,即其电通量,可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说,这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。

    高斯磁定律:该定律表明,磁单极子实际上并不存在。所以,没有孤立磁荷,磁场线没有初始点,也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说,进入任何区域的磁场线,必需从那区域离开。以术语来说,通过任意闭曲面的磁通量等于零,或者,磁场是一个无源场

    法拉第感应定律:该定律描述时变磁场怎样感应出电场电磁感应是制造许多发电机的理论基础。例如,一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场,这又接下来会生成电场,使得邻近的闭合电路因而感应出电流。

    麦克斯韦-安培定律:该定律阐明,磁场可以用两种方法生成:一种是靠传导电流(原本的安培定律),另一种是靠时变电场,或称位移电流(麦克斯韦修正项)。

    在电磁学里,麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场,而由于法拉第感应定律,时变磁场又可以生成电场。这样,两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。

    麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为:

    ①几分立的带电体或电流,它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传递的,不论中间区域是真空还是实体物质。

    ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中,其大部分分布在周围的电磁场中。

    ③导体构成的电路若有中断处,电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通,即全电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。

    ④磁通量既无始点又无终点,即不存在磁荷

    ⑤光波也是电磁波。

    麦克斯韦方程组有两种表达方式。

    1. 积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式为:

    麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。

    式①是由安培环路定律推广而得的全电流定律,其含义是:磁场强度H沿任意闭合曲线的线积分,等于穿过此曲线限定面积的全电流。等号右边第一项是传导电流.第二项是位移电流。式②是法拉第电磁感应定律的表达式,它说明电场强度E沿任意闭合曲线的线积分等于穿过由该曲线所限定面积的磁通对时间的变化率的负值。这里提到的闭合曲线,并不一定要由导体构成,它可以是介质回路,甚至只是任意一个闭合轮廓。式③表示磁通连续性原理,说明对于任意一个闭合曲面,有多少磁通进入曲面就有同样数量的磁通离开。即B线是既无始端又无终端的;同时也说明并不存在与电荷相对应的磁荷。式④是高斯定律的表达式,说明在时变的条件下,从任意一个闭合曲面出来的D的净通量,应等于该闭曲面所包围的体积内全部自由电荷之总和。

    2. 微分形式的麦克斯韦方程组。微分形式的麦克斯韦方程是对场中每一点而言的。应用del算子,可以把它们写成

    空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上,就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式. 其中,倒三角形为哈密顿算子。

    式⑤是全电流定律的微分形式,它说明磁场强度H的旋度等于该点的全电流密度(传导电流密度J与位移电流密度 dD/dt 之和),即磁场的漩涡源是全电流密度,位移电流与传导电流一样都能产生磁场。式⑥是法拉第电磁感应定律的微分形式,说明电场强度E的旋度等于该点磁通密度B的时间变化率的负值,即电场的涡旋源是磁通密度的时间变化率。式⑦是磁通连续性原理的微分形式,说明磁通密度B的散度恒等于零,即B线是无始无终的。也就是说不存在与电荷对应的磁荷。式⑧是静电场高斯定律的推广,即在时变条件下,电位移D的散度仍等于该点的自由电荷体密度。

    除了上述四个方程外,还需要有媒质的本构关系式:

    才能最终解决场量的求解问题。式中ε是媒质的介电常数,μ是媒质的磁导率,σ是媒质的电导率。



    麦克斯韦方程组向我们暗示了光速可能是不变的。因为,麦克斯韦方程组本身并不依赖于某个特定的参考系,以上的推导也没有预先规定一个参考系。所以,一个简洁又自然的想法必然是,在任何一个惯性系中,麦克斯韦方程组都成立,真空光速是一个基本宇宙常数。

    哈密顿算子



    微积分思想


    参考资料


    [1] Weinberg S. 1972, “Gravitation and Cosmology”, Wiley, New York.

    [2] 福克. 1965,“空间、时间和引力的理论”,周培源等译,科学出版社,北京.

    [3] 须重明,吴雪君.1999,“广义相对论与现代宇宙学”,南京师范大学出版社,南京.


    [4]如何深入浅出地讲解麦克斯韦方程组?

    https://www.zhihu.com/question/36766702

    [5]麦克斯韦方程理论推导:

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/43020220


    麦克斯韦方程组 (Maxwell Equations)本质上是4个简洁的微分方程,它们一起高度概括了经典电磁学 (静电,静磁与电动力学), 同时也是爱因斯坦创立狭义相对论的理论基础和灵感来源 (On the Electrodynamics of Moving Bodies, Einstein, 1905)。在麦克斯韦之前静电与静磁已发展完善,法拉第出现之后人们对磁生电有了进一步的认识,只是所有的这些电磁理论都没有用微分方程的形式表达出来, 直到Maxwell。后来在Maxwell 用数学做总结的过程中,发现静磁学中的安培定律不适用于交变的电场 (比如电容器的充放电过程),于是在安培定律中擅自加了一项(史称位移电流),这样不仅满足了数学的要求也解释了电生磁。想要充分理解Maxwell方程,就得从静电,磁学开始以及对向量微积分(Vector Calculus) 的熟练掌握与充分理解。

    电荷是电场的来源



    恒定电流产生磁场


    变化的磁场也能产生电场


    变化的电场产生磁场

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    神经网络的衰变假设:被概率密度表达的粒子A和B彼此互为粒子和环境,在相互作用中被彼此微扰产生衰变,衰变产物是B化A和A化B,网络的分类准确率是两个粒子衰变剩余的算术和pave=Σpr。

     

    光子:(过去,未来)---m*n*k---(1,0)(0,1)

    用光子为载体为神经网络来区分过去和未来,因为光子的速度是恒定的,与时间无关。这个意义上时间相对光子是对称的,没有过去和未来的差别。因此这个网络应该无法收敛。

    时间:(光子,光子)---m*n*k---(1,0)(0,1)

    这个网络也可以理解成是以时间为载体来区分光子,因为光子不会被时间衰变,导致在时间的物理环境中光子只有一种存在形态。用神经网络区分两个相同的对象,这个网络无法收敛。也就是光子相对时间也是对称的。

    对称应该是一种相互的作用。

     

    中子:(过去,未来)---m*n*k---(1,0)(0,1)

    以中子为载体做神经网络来区分时间,因为中子在时间环境中不稳定,会衰变.因此衰变前是过去,衰变后是未来,衰变表达了过去和未来的差异。所以时间相对中子来说是对称性破缺的。这个网络可以分类。

     

    时间:(中子,质子电子中微子)---m*n*k---(1,0)(0,1)

    以时间为载体去分类中子,因为时间在中子衰变同时衰变成了过去和未来。因此中子相对时间也是对称性破缺的。这个网络也可以分类。

     

    神经网络:(mnist0,1)---m*n*k---(1,0)(0,1)

    因此神经网络可以分类0和1,可以解释为mnist的0和1相对神经网络是对称性破缺的,或者说成神经网络可以表达这两种差异,使彼此衰变并被分类。

     

    因此对称性破缺,衰变和分类的内在含义是一致的。

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  • 利用积分区域的对称性计算重积分

    千次阅读 多人点赞 2019-10-18 12:03:31
    其中三重积分的轮换对称性,无需和被积函数的奇偶性配合 。 二重积分: 对于重积分 一、积分区域关于坐标轴对称: a. 积分区域关于y轴对称, ,是右半平面的区域。 证明(方法1):设 ,分别表左右半平面...

    根据积分区域的对称情况 和 被积函数的奇偶性的配合可以得到不同的结论。

    其中三重积分的轮换对称性,无需和被积函数的奇偶性配合 。

    二重积分:

    对于重积分\tiny {\iint_D}f(x,y)dxdy

    一、积分区域关于坐标轴对称:

    a. 积分区域关于y轴对称, 

    \tiny f(-x,y)=-f(x,y) \Rightarrow \iint_D f(x,y)=0

    \tiny f(-x,y)=f(x,y) \Rightarrow \iint_D f(x,y)=2\iint_{D_1} f(x,y),\tiny {D_1} 是右半平面的区域。

     

    证明(方法1):设\tiny D=D_1+D_2  ,\tiny D_1,D_2 分别表左右半平面区域;

    相应地,   

                             \tiny I=I_1+I_2=\iint_{D_1} f(x,y)+\iint_{D_2} f(x,y)

    则                  \tiny I_2=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=-\iint_{D_2}f(-x,y)dxdy=-\iint_{D_1}f(x,y)dxdy =-I_1

    从而  \tiny I=0

    证明:(方法2)

    \tiny \iint_D f(x,y)=\int_{a}^{b}dy\int_{-A(y)}^{A(y)}f(x,y)dx  ,

                                         \tiny g(-x)=f(-x,y)=-f(x,y) =-g(x),                                     

                                      \tiny \int_{-A(y)}^{A(y)}f(x,y)dx=0,对x积分时,y被看成了常量,因此\tiny A(y) 被看成常量,

    于是,

                                       \tiny \iint_D f(x,y)=0

     

    b. 积分区域关于x轴对称时,有类似的结论。关于y的奇函数时积分为零;关于y的偶函数时,积分等于半区域积分的2倍 。 

    c.三重积分情形:

    配合被积函数的奇偶性:(三重积分的物理含义:不均匀的空间物体的质量)

    (1)积分区域关于\tiny yox (z=0)对称,即是z有对称取值区间:

           若\tiny g(-z)=f(x,y,-z)=-f(x,y,z)=-g(z),即被积函数是关于z的 奇函数,则积分为零 

    (2)积分区域关于\tiny yox (z=0)对称,即是z有对称取值区间:

           若\tiny g(-z)=f(x,y,-z)=f(x,y,z)=g(z),即被积函数是关于z的 偶函数,

               积分是半平面积分的2倍

     事实上按照

    先1后2的做作法,定积分有对称的取值区间,而这时被积函数是关于z的奇函数,故积分为零;

    \tiny \iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv = \iint _{D}dxdy\int _{-a(x,y)}^{a(x,y)}f(x,y,z)dz

    当时偶函数的时候,定积分是半区域的2倍,而二重积分的积分区域 \tiny D_{xy} 不会变,被积函数也不会变。

    因此这是三重积分是半空间区域内积分的2倍 。 

     

    二、积分区域关于坐标原点对称:

    \tiny I=\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=I_1+I_2

    \tiny f(-x,-y)=f(x,y) ,则 \tiny \iint_{D_1}f(-x,-y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=2\iint_{D_2}f(x,y)

    \tiny f(-x,-y)=-f(x,y),则

    \tiny \iint_{D_1}f(-x,-y)dxdy=-\iint_{D_1}f(x,y)dxdy=\iint_{D_2}f(x,y)dxdy 因此 \tiny \iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy=0

    TIP:可以根据二重积分的集合意义直观分析得出;若是关于x,y 的奇函数的时候,在对称区域上的微小体的体积总是互为相反数。因此总和为零。 有一个正的体积就有一个负的体积。

    三重积分情形:没有相关规律。

     

    三、(二重)积分区域D关于y=x对称 (轮换对称性 )

    (a)积分变量x,y 互换,不改变积分的值。

    这是因为,当互换变量时,点还是在原来的积分区域内,积分区域没有发生变化。积分值不变:可以用元素法来分析,若在D1取一小块体积,则交换积分变量,可以在对称的区域上取得一块同样的体积,因此,总的体积没有发生变化。

    因此,积分制不会发生改变 。

    (b)配合奇偶性有:

    若 \tiny f(x,y)=-f(y,x) 则,积分是零,即是\tiny I=\iint_{D}f(x,y)=0

    (即是,如果积分区域关于y=x对称(x和y有相同的地位),且在对称点处的函数值大小相等符号相反则积分为零)

    这是因为吧积分区域以 y=x 划分成两块区域\tiny D_1,D_2

    由于交换函数自变量x,y 的位置后,被积函数大小相等符号相反,而积分区域的大小是一样的。(根据定义。)

    \tiny f(x,y)=f(y,x)  ,则在关于 \tiny y=x 的积分区域\tiny D_1,D_2 ,在其中一个区域上有一个正的体积,在另外一个区域上也有一个正体积 ;同理有负体积也有附体积,总之积分是 \tiny D_1,D_2 上的积分的2倍 。 

    若 \dpi{200} \tiny f(x,y)=f(y,x) 则,积分是零,即是\tiny I=\iint_{D}f(x,y)=2\iint_{D_1}f(x,y)=2\iint_{D_2}f(x,y) ,,D=D_1+D_2

    三重积分下的轮换对称性,

    若积分区域 \tiny y=x 对称,x,y互换变量积分值不变; 

    \tiny \iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv =\int _{a}^{b}dz \iint _{D}f(x,y,z)dxdy 

    ,由于x和y 的等价性,结合二重积分的对称性可知,积分不会发生变化,即是

                          \tiny \iiint_{\Omega }^{} f(x,y,z)dv =\iiint_{\Omega }^{} f(y,x,z)dv

    若积分区域 \tiny y=z 对称,y,z互换变量积分值不变; 

    若积分区域 \tiny z=x 对称,x,z互换变量积分值不变;

    事实上,按先二后一的做法,由于二重积分不会发生改变,因此,三重积分不会发生改变。

    若,x,y,z 三个变量在积分区域上是等价的,即是互换位置的时候,积分不会发生变化

                                           ,如:\tiny x^2+y^2+z^2=r^2

          任意改变积分变量的位置,积分不会发生变化。

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    1、 在市场上行和下行时,股票收益常常会表现出与市场同涨或同跌的现象。 同一只股票对市场上涨和下跌的敏感性可能是不同的,这表明股票收益在与市场收益发生联动变化的过程中会展现出非对称性。这样的非对称性可以用来预测股票的横截面收益。

    2、 以往的研究用贝塔或相关系数来衡量股票收益与市场收益联动的非对称性,但这两种方法只能反映线性相依关系,不能捕捉股票与市场间的非线性相依关系,不能准确地衡量股票收益与市场收益真实的相依结构。因此,本文基于熵测度,结合个股与市场收益率联合分布的概率密度函数,构建了ASY指标,来衡量股票收益与市场收益联动的非对称性。

    3、 针对于ASY因子的测试结果表明,在不同参数下的ASY因子均具有较强的选股效果。其中IC_IR最高的因子为ASY_3m_c05,其 中性化后因子的IC均值为3.0%,年化IC_IR为2.35,T值为8.70。从相关性来看, ASY因子与其他类型因子的IC相关性均较低,大多数在30%以下,这表明ASY因子具有一定的特质信息。

    1、股票收益非对称性研究综述

    1.1单只股票收益的非对称性

    单只股票的时间序列收益常常展现出非对称性,偏度便是衡量单只股票收益非对称性的常见方法。图表1展示了在左偏和右偏条件下的收益率分布情况。

    众多学者研究了偏度对于股票横截面收益的预测作用。Harvey 和Siddique [2000]认为较低的偏度或者负偏度意味着较高的股票下跌风险,因此偏度与股票未来的收益率之间具有负相关性。Amaya 等人[2015]用股票历史价格构建了已实现偏度指标,结果表明该指标可以显著预测股票未来的横截面收益率:偏度越低的股票未来的收益率越高。

    1.2单只股票收益与市场收益联动的非对称性

    除了单只股票收益的非对称性之外,单只股票收益与市场收益联动的非对称性也是近年来研究的重点。在市场上行和下行时,股票收益常常会表现出与市场同涨或同跌的现象,但是同一只股票对市场上涨和下跌的敏感性可能是不同的,这表明股票收益在与市场收益发生联动变化的过程中也会展现出非对称性。

    对于不同股票而言,其非对称性的特征有所不同:一些股票在市场上涨时,自身也会有较大程度的上涨,而在市场下跌时,其下跌的幅度较小;另一些股票则相反,在市场上涨时自身上涨幅度有限,但在市场下跌时自身下跌幅度则较大。这两种股票具有截然相反的非对称性特征。

    那么,如何准确地衡量股票收益与市场收益联动的非对称性?在衡量这种非对称性的过程中,又是否可以找到对股票横截面收益具有预测能力的指标,并将其作为选股因子呢?事实上,已经有不少学者针对上述问题展开了相关的研究,他们大多利用贝塔和相关系数来衡量股票收益与市场收益联动的非对称性。这里我们首先对相关的研究和方法做一个简单的汇总。

    🔹 上行贝塔与下行贝塔

    一些研究用上行贝塔和下行贝塔反映股票收益与市场收益联动的非对称性。上行贝塔和下行贝塔的基本思想是仿照贝塔的计算方式,在市场上行与下行时分别计算对应的贝塔值:

    上行贝塔和下行贝塔分别反映了股票在市场上行和市场下行时的风险,而上行贝塔和下行贝塔之间的不同可以反映股票收益与市场收益联动性的非对称性。

    上行贝塔与下行贝塔的具体计算方式有多种,比如半方差下行贝塔(Hogan 和Warren[1974],Bawa 和Lindenberg[1977])非对称响应下行贝塔(Harlow 和Rao[1989])、协方差下行贝塔(Ang和Hodrick[2009])等,但是这些方法的本质均是基于二阶矩来进行计算。

    由于投资者相对更加关注股票的下跌风险,对下行风险较大的股票会要求更高的风险补偿,因此下行贝塔值越高的股票未来的预期收益率也越高。Bali等人[2009]证实下行风险能够在股票横截面收益率中被正确定价,下行贝塔与股票收益率呈正相关。Ang和Hodrick等人[2009]的研究表明,股票的下行贝塔越高,其预期收益率也越高。

    🔹 上行相关系数与下行相关系数

    Ang和Chen [2002]计算了不同市场状态下股票收益与市场收益的条件相关系数,以此来反映股票收益与市场收益联动的非对称性。上行相关系数的和下行相关系数的定义分别为:

    Ang和Chen基于上行相关系数和下行相关系数,构造了反映非对称性的H统计量,对H统计量的检验结果表明,股票收益与市场收益在联动过程中存在非对称性。他们认为,由于损失厌恶效应,投资者对下行风险更为厌恶,对下行风险高的股票要求更高的预期回报,因此股票收益与市场收益联动的非对称性可以预测股票的横截面收益。在实证检验中,反映非对称性的H统计量也确实具有一定的选股效果。

    1.3此前研究存在的不足与改进方式

    本文重点对股票收益与市场收益联动的非对称性进行研究。此前的研究用贝塔或相关系数来衡量这种非对称性,这两种方法存在的问题是:两种方法只能反映线性相依关系,不能捕捉股票与市场间的非线性相依关系;其在本质上均是基于二阶矩,不包含三阶矩或更高阶矩的信息,因此不能准确地衡量股票收益与市场收益真实的相依结构。具体来讲,在某些收益分布情况下,市场上行和下行时的贝塔(或相关系数)是完全相等的,但是其真实的分布情况并非是对称的,这表明贝塔和相关系数并不能准确地衡量股票收益与市场收益联动的非对称性。

    此外,基于上行相关系数与下行相关系数进行非对称性检验时,通常需要提前假设股票与市场的收益分布情况(比如含泊松跳跃的二元正态分布、状态转换二元正态分布、状态转换GARCH模型等,参见Ang和Chen [2002]),如果分布选择不当,检验结果可能会有一定误差。

    因此,基于以上研究存在的不足,本文基于个股与市场收益率的联合分布,更为准确地刻画了个股与市场收益的相依结构,这样不仅包含了股票与市场间的线性相依关系,而且将分布的所有信息均包含在内,可以更准确地衡量股票收益与市场收益联动的非对称性。具体来说,本文基于熵测度,结合个股收益与市场收益的联合分布概率密度函数,构建了ASY指标(Asymmetry),来衡量股票收益与市场收益联动的非对称性。

    类比于下行贝塔与下行相关系数的资产定价逻辑,我们预计:由于投资者对下行风险更为厌恶,对下行风险高的股票要求更高的预期回报,因此,如果个股收益与市场收益联动的非对称性较强,并且下行风险较高,则这些股票将在未来具有较高的收益。实际上,通过后文的测试,我们构建的ASY因子的确具有较强的选股效果,并且与其他因子的相关性较低,具有一定的特质信息量。接下来,本文将对ASY因子的构建方式进行详尽的阐述。

    2、股票收益非对称性因子构建

    2.1

    联合分布密度函数

    2.2

    熵测度

    2.3

    密度函数的估计

    2.4

    非对称性因子的构建

    3、因子有效性测试

    我们首先基于过去3个月的股票日度收益率与万得全A指数日度收益率,在c取0.5的情况下计算出了ASY_3m_c05因子,并测试了ASY_3m_c05因子的表现;然后生成了不同参数下的因子,进行了参数敏感性分析;最后对ASY因子与其他类型因子的相关性进行了分析。

    因子测试的方法为IC测试与分位数组合测试,测试区间为2006年1月至2019年10月,股票筛选条件为非涨跌停、非停牌、非ST、上市天数大于90天。

    3.1

    有效性测试

    我们基于3个月的时间窗口,在c取0.5的情况下计算出了ASY_3m_c05因子,并测试其IC与分位数组合表现。

    从IC表现来看,该因子具有较强的选股效果,市值行业中性化后IC均值为3.0%,年化IC_IR为2.35。从各分位数组合表现来看,各分位数组合之间的年化收益完全单调,中性化后多头组合年化收益为22.5%,年化超额收益为2.9%。

    3.2

    参数敏感性分析

    为说明ASY因子在不同参数下的稳健性,我们在本节中进行参数敏感性分析。

    在构建因子的过程中,有两个参数可以调整,一是用于估计核密度函数的时间窗口长度,二是计算熵测度时收益率的临界值c。我们在时间窗口长度分别取1个月、3个月、6个月,以及临界值c分别取0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5的情况下构造了一系列ASY因子,然后对不同参数下的因子进行了测试。

    我们统计了不同参数下因子的IC均值、IC_IR,多头组合的年化收益、夏普比率、信息比率,以及多空组合的年化收益、夏普比率。此处我们只展示经过市值行业中性化处理后的因子测试结果。

    不同参数下的各个因子均是有效的,并且差异不大,其IC均值在2.2%-3.6%之间,IC_IR在0.3-0.7之间。其中IC均值最高的因子为基于6个月时间窗口、c取0.4的因子ASY_6m_c04,其IC均值为3.56%,IC_IR为0.66;IC_IR最高的因子为基于3个月时间窗口、c取0.5的因子ASY_3m_c05,其IC均值为3.04%,IC_IR为0.68。

    不论从IC还是分位数组合多头收益来看,在固定时间窗口的情况下,随着临界值c的增大,因子的表现也基本呈上升趋势。

    以固定3个月时间窗口下的ASY_3m系列因子为例,不论在中性化前后,随着临界值c的增大,ASY_3m系列因子的IC_IR也明显呈现上升趋势(图表21、22)。原因可能有两点:

    1、噪音点的影响:当c取0或者较小时,进行核密度估计时所用的部分样本点可能距离原点很近,即股票收益或者市场收益与0非常接近,这样的点实际上属于噪音点,将其包含在内会对计算过程造成干扰,从而降低核密度估计的准确性,影响最后的因子效果。

    2、尾部风险的影响:实际上,当c取0与c取正数时,由熵测度得到的ASY因子含义有所不同。当c取0时,ASY因子反映的是在股票与市场同涨或者同跌时的非对称性;而当c取非0值时,ASY因子重点反映了股票收益的尾部风险。

    如果投资人担心生成单个因子具有数据挖掘的风险,那么可以将不同参数下的因子进行合并,以增加结果的稳健性。

    3.3

    相关性分析

    量化选股领域目前面临着选股因子同质化的困境。非对称性因子的计算仅仅基于收益率数据,因此应当尤其注意与动量、反转等价量因子之间的相关性。

    我们以ASY_3m_c05因子为例,检测了ASY因子与其他类型因子的rankIC相关性。在检测行业市值中性化后的ASY因子与其他因子的相关性时,其他因子也做了相应的行业市值中性化处理。

    在行业市值中性化后,ASY因子与其他类型因子的相关性均较低,绝大多数在30%以下。这表明ASY因子具有较好的特异性。

    4、结论

    在市场上行和下行时,股票收益常常会表现出与市场同涨或同跌的现象,但是不同股票对市场上涨或下跌的敏感性可能是不同的,这表明股票收益在与市场收益发生联动变化的过程中会展现出非对称性。

    以往的研究用贝塔或者相关系数衡量股票收益与市场收益联动的非对称性,但是这两种方法只能反映线性相依关系,不能捕捉股票与市场间的非线性相依关系,其本质均是基于二阶矩,不含有三阶矩或更高阶矩的信息,不能准确地衡量股票收益与市场收益真实的相依结构。

    本文基于熵测度,结合个股收益与市场收益的联合分布概率密度函数,构建了ASY指标,来衡量股票收益与市场收益联动的非对称性。在不同参数下的ASY因子均具有较强的选股效果。ASY_3m_c05因子中性化后的IC均值为3.0%,年化IC_IR为2.35,T值为8.70。不同参数下的ASY因子与其他类型因子的IC相关性均较低,大多数在30%以下,这表明ASY因子具有较好的特异性。

    参考文献

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    Economics, 63 (2002), 443–494.

    【2】Ang, A.; J. Chen; and Y. Xing. “Downside Risk.” Review of Financial Studies, 19 (2006), 1191–1239.

    【3】Bali, T. G., Demirtas, K. O., Levy, H. Is There an Intertemporal Relation Between Downside Risk and Expected Returns?. Journal of Financial & Quantitative Analysis, 2009, 44(4): 883-909.

    【4】Bert Van Es,"Likelihood cross-validation bandwidth selection for nonparametric kernel density estimators†." Journal of Nonparametric Statistics 1.1-2(1991):83-110.

    【5】Ball, R., and S. Kothari. “Nonstationary Expected Returns: Implications for Tests of Market Efficiency and Serial Correlation in Returns.” Journal of Financial Economics, 25 (1989), 51–74.

    【6】Bawa, V. S., Lindenberg, E. B. Capital Market Equilibrium in a Mean-Lower Partial Moment Framework. Journal of Financial Economics, 1977, 5( 2) : 189-200.

    【7】Cho, Y.-H., and R. F. Engle. “Time-Varying Betas and Asymmetric Effect of News: Empirical Analysis of Blue Chip Stocks.” Technical Report, National Bureau of Economic Research (1999).

    【8】Duin, R. P. “On the Choice of Smoothing Parameters for Parzen Estimators of Probability Density Functions.” IEEE Transactions on Computers, C-25 (1976).

    【9】Dahlquist,M.;A.Farago;andR.T´edongap.“AsymmetriesandPortfolioChoice.”Review of Financial Studies, 30 (2017), 667–702.

    【10】Diego Amaya, Peter Christoffersen, Kris Jacobs and Aurelio Vasquez. Does Realized Skewness Predict the Cross-Section of Equity Returns? Journal of Financial Economics. 51(1): 31-56.

    【11】Granger C W , Maasoumi E , Racine J . A Dependence Metric for Possibly Nonlinear Processes[J]. Journal of Time Series Analysis, 2004, 25(5):649-669.

    【12】Harlow, W. V., Rao, R. K. S. Asset Pricing in a Generalized Mean - Lower Partial Moment Framework: Theory and Evidence. Journal of Financial & Quantitative Analysis, 1989, 24( 3) : 285-311.

    【13】Harvey C R , Siddique A . Conditional Skewness in Asset Pricing Tests[J]. The Journal of Finance, 2000, 55(3):1263-1295.

    【14】Hogan, W. W., Warren, J. M. Toward the Development of an Equilibrium Capital-Market Model Based on Semivariance. Journal of Financial & Quantitative Analysis, 1974, 9(1) :1-11.

    【15】Jiang, Lei , K. Wu , and G. Zhou . "Asymmetry in Stock Comovements: An Entropy Approach." Social Science Electronic Publishing (2014).

    【16】Jian, Chen , et al. "Realized Skewness of Chinese Stock Market and the Predictability of Stock Return." Journal of Financial Research (2018).

    【17】Kroner, K., and V. K. Ng. “Modeling Asymmetric Comovements of Asset Returns.” Review of Financial Studies, 11 (1998), 817–844.

    【18】Li, Q., and J.S. Racine. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice. Princeton, NJ: Princeton University Press (2007).

    附录:不同参数下的因子表现

    风险提示:文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成, 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。

    证券研究报告:《基于熵测度的股票收益非对称性因子研究》

    对外发布时间:2019年12月3日

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