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  • 统计量的含义

    千次阅读 2011-01-11 22:11:00
    分析中:一阶的均值表示平均的含义二阶的方差表示误差(或叫偏差)三阶累计量(skewness)描述偏斜度,即概率密度函数的不对称性,累计量的对称性指的是累计量的值与各随机变量的先后次序无关,skewness对概率密度函数...

    信号 分析中:

     

    一阶的均值表示平均的含义

     

    二阶的方差表示误差(或叫偏差)

     

    三阶累计量(skewness)描述偏斜度,即概率密度函数的不对称性,累计量的对称性指的是累计量的值与各随机变量的先后次序无关,skewness对概率密度函数关于均值对称的随机变量为零,因此可以将其作为概率密度函数非对称的度量


    四阶累计量(kurtosis)描述高率密度函数的非高斯性,高阶累计量的一个重要应用就是抑制高斯噪声,因为高斯噪声的高阶累计量均为零


    更高阶的累计量似乎没有明显的直观对应

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  • 由于实信号具有共轭对称频谱,从信息角度来看,其负频谱部分是冗余,将实信号负频谱部分去掉,只保留正频谱部分信号,其频谱不存在共轭对称性,所对应时域信号应为复信号。复数信号处理好处有:对于.....

    信噪比、奈奎斯特采样定理、香浓定理定理与信噪比之间的关系的探讨

    1 采样定理

    1.1 奈奎斯特采样1

    问:LTE中为什么使用30.72MHz的采样率去采样实际带宽为18MHz的信号?是否满足于“奈奎斯特采样定理”?
    满足。

        下图给出了白噪声信号的功率谱示意图,观察到带宽为W的白噪声在频谱图上占据了2W的宽度。
    DraggedImage.png
    由于实信号具有共轭对称的频谱,从信息的角度来看,其负频谱部分是冗余的,将实信号的负频谱部分去掉,只保留正频谱部分的信号,其频谱不存在共轭对称性,所对应的时域信号应为复信号。复数信号处理的好处有:对于数字通信,在基带处理带通信号,可以使有效带宽减少一半,进而对于AD 的采样率要求,FFT的处理能力等都有改善。

        解析信号的实部和虚部是正交的,是希尔伯特变换对,实部就是原信号或者说是实际存在的信号。由此我们可以利用希尔伯特变换得到解析信号。在雷达信号中,对于中频信号需要变换成零中频的复信号,称为视频信号(不一定解析,但是实部和虚部是正交的),有正交变换法,希尔伯特变换法,多相滤波法,插值法等多种方法,可以根据具体要求选取适当的方法。这些方法在雷达原理、软件无线电、通信理论等书籍和文献中都能找到很多。用复信号表示信号,构造解析信号减少一半频带是一个优点;用来表示实信号时,运算简便也是一个很重要的优点。2
    另外,实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。复信号也一样,必须用实部和虚部两路信号来表示它,两路信号传输会带来麻烦,实际信号的传输总是用实信号,而在信号处理中则用复信号。3

        信号处理引入复信号的原因只是一个——方便数学处理。实际信号不存在复信号,只存在实信号,将复信号按照数学规律叠加即可 得到实信号。
    问:信号处理为什么引入复信号?4
    对复数信号进行采样需要同时进行I、Q两路采样,但是这两路采样是相关的(相位相差pi/2),其中I路信号对应复信号的实部,即实际信号,Q信号对应复信号的虚部,引入Q信号即可进行复数计算处理。

        复数信号与实数信号的关系如下:
    coskwt=(exp(jkwt)+exp(jkwt))/2;cos kwt = (exp(jkwt)+exp(-jkwt))/2 ;
    sinkwt=(exp(jkwt)exp(jkwt))/2j;sin kwt = (exp(jkwt)-exp(-jkwt))/2j ;
    a*cos kwtb*sin kwt对应的exp(jkwt)与exp(-jkwt)的系数分别为(a/2+b/2j)、(a/2-b/2j),因此复信号的幅相系数是双边频谱(共轭对称)。复信号80M的带宽,对应的实际信号带宽只有40M。而且,要从复信号的频谱中提取实际信号的频谱(幅相),也需要进行一定的计算转换。对复信号进行采样需要满足 Fs>B,而对实信号进行采样需要满足Fs>2Fmax。(这个说法不太准确)
    问:对I、Q信号两路进行采样,是不是采样一次相当于采样两次?
    答:并非如此,I、Q信号是相参的,采样了I信号即能计算出相应的Q信号。但是这是建立在I路采样充分的基础上的(即Fs>2*Fmax),如果I路采样不充分,那么Q路的采样信号可以补充这种采样不充分。(那么,I、Q路同时采样只需要Fs>Fmax,就可以了吗?这一点需要进一步分析)

    1.2 SNR与EbN0与香浓极限的推导

    这一小节探讨香浓极限的计算过程。第一步给出香浓极限的结论。

        信道容量为:
    C=12log2(1+SN) C=\frac{1}{2} \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right)
    由于信道的带宽为 B,所以如果要信号带宽也在 B 以内,则根据乃奎斯特采样定理,采样率必须满足:
    Fs2B F_{s} \leq 2 B
    所以单位时间内的信道容量为:
    Ct=2BC=Blog2(1+SN) C_{t}=2 B C=B \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right)
    对于AWGN信道,先推导出S/N与Eb/N0之间的关系:
    SN=EbTbN022B=EbN0RbB \frac{S}{N}=\frac{\frac{E_{b}}{T_{b}}}{\frac{N_{0}}{2} \cdot 2 B}=\frac{E_{b}}{N_{0}} \cdot \frac{R_{b}}{B}
    带入得到:
    CB=log2(1+EbN0RbB) \frac{C}{B}=\log _{2}\left(1+\frac{E_{b}}{N_{0}} \cdot \frac{R_{b}}{B}\right)
    上图中的RbR_b可以表示成为Rb=fsCodeRateModeR_b = fs*CodeRate*Mode。假定R=CodeRateModeR = CodeRate*Mode,那么有如下结果:
    SN=2REbN0\frac{S}{N}=2 R \frac{E_{b}}{N_{0}}
    因此我们知道AWGN波形信道容量为:
    C=12log2(1+SN)=log2(1+2REbN0) \begin{aligned} C &=\frac{1}{2} \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right) \\ &=\log _{2}\left(1+\frac{2 R E_{b}}{N_{0}}\right) \end{aligned}
    如果C=R为常数,只需要求解上述方程,可得:
    EbN0=22R12R\frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{2 R}-1}{2 R}
    这个结论与通信之美中的结论是一致的。这个结论满足于没有调制只有编码的条件下,但是明显有个问题就是不满足信噪比之间的转换关系(EsN0于EbN0之间的关系)。究竟是哪里出了问题?

    IMPORTANT

    有前辈曾对我说BPSK调制有3dB的增益,然而BPSK其实相当于只有编码没有调制。如果加上3dB的增益,那么符合这里的结果。
    对于纯编码,R代表码率。这里传输的实际上是实数信号,(fs=2B)所以信噪比的关系如此。
    EbN0=22R12R\frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{2 R}-1}{2 R}
    SN=2REbN0\frac{S}{N}=2 R \frac{E_{b}}{N_{0}}
    对于QPSK或者其他高阶的调制来说,有如下结论。这里传输的实际上是复数信号(fs = B),所以信噪比的关系是这样。而在通信链路中,均采用这样的方式去计算EbN0与EsN0之间的关系。
    EbN0=2R1R\frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{R}-1}{R}
    SN=REbN0\frac{S}{N}=R \frac{E_{b}}{N_{0}}
    其中$R = CodeRate*Mode $。
    由此,我们便得到了香浓极限的计算方法。
    DraggedImage-1.png

    2 证明过程5

    DraggedImage-2.png
    DraggedImage-3.png

    3 仿真结果

    3.1 初步结果论证

    仿真基于下面的代码。

    % EsN0 = -5.50 , EbN0 = -0.73 , error = 25889 , NumBit = 102400 ,pe = 2.528223e-01
    % EsN0 = -5.00 , EbN0 = -0.23 , error = 22104 , NumBit = 102400 ,pe = 2.158594e-01
    % EsN0 = -4.50 , EbN0 = 0.27 , error = 11904 , NumBit = 102400 ,pe = 1.162500e-01
    % EsN0 = -4.00 , EbN0 = 0.77 , error =  719 , NumBit = 102400 ,pe = 7.021484e-03
    % EsN0 = -3.50 , EbN0 = 1.27 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
    % EsN0 = -3.00 , EbN0 = 1.77 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
    % EsN0 = -2.50 , EbN0 = 2.27 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
    % EsN0 = -2.00 , EbN0 = 2.77 , error =    0 , NumBit = 1024000 ,pe = 0
    

    仿真结果表明,在AWGN 信道下,码率为1/2 的Turbo 码在达到误比特率(BER) ≤ 10−5时,Eb/N0仅为约0.7dB (这种情况下达到信道容量的理想Eb/N0值为0db),远远超过了其他的编码方式,一时在信息和编码理论界引起了轰动。6

        这里结果与我们的仿真结果是很接近的,有理由相信计算方式是正确的。

    3.2 进一步结果论证

    DraggedImage-4.png
    DraggedImage-5.pngDraggedImage-6.png

    4 示例代码

    下面代码提供turbo编解码模版,未添加符号匹配和调制等内容。

    clear
    close all
    rng('default')
    
    %% 系统参数
    SlotBitLen  = 1024;
    EsN0_dBlist = [-3.5:0.5:0]-2;
    % EsN0_dBlist = 100 ;
    CodeRate = 1/3;     % 码率
    EbN0 = EsN0_dBlist - 10*log10( 1  * CodeRate)  ;      % 类似于BPSK调制必须有3dB的相差
    Ns = 4;
    sr = 8e6;
    fs = Ns*sr;
    M = 1;
    
    %% 编码参数
    nloop_up   = 1e3;
    nloop_down = 1e2;
    error_up   = 200;
    [f1, f2]     = getf1f2(SlotBitLen);
    InterTbl    = zeros(1,SlotBitLen);
    for ii = 0:SlotBitLen-1
        InterTbl(ii+1) = mod(f1*ii+f2*ii^2,SlotBitLen);
    end
    hTEnc           = comm.TurboEncoder(poly2trellis(4, [13 15], 13), InterTbl + 1);                          % 简化方式
    hTDec           = comm.TurboDecoder(poly2trellis(4, [13 15], 13), InterTbl + 1, 10,'Algorithm','Max');    % 简化方式
    
    %%
    tic;
    for EsN0_index = 1:length(EsN0_dBlist)
        %% 统计
        errcod = 0;     errmod = 0;
        lencod = 0;     lenmod = 0;
        expnumber = 0;
        EsN0 = EsN0_dBlist(EsN0_index);
        snr  = EsN0 - 10*log10(Ns);
        while( (errcod <error_up)&&(expnumber<nloop_up)||(expnumber<nloop_down) ) 
            expnumber = expnumber + 1;
            % 生成 bit
            TCSrc           = randi([0 1],1,SlotBitLen);
            % 编码
            TurboCodeOut    = step(hTEnc, TCSrc.').';
            ModeBitIn = TurboCodeOut;
            Tx = 1-ModeBitIn*2;
            Tx = Tx.*(1+1j)/sqrt(2);
            % 加噪
    %         Rx = Tx + wgn(1,length(Tx),-EsN0);
             Rx  = awgn(Tx,EsN0,'measured');
            TCDecSoftInfo = imag(Rx)+real(Rx);
            % 解码
            TCDDecOut      = step(hTDec, -TCDecSoftInfo.').';
            % 统计误码
            errcod = errcod + biterr(TCSrc,TCDDecOut);
            errmod = errmod + biterr(TCDecSoftInfo>0,TurboCodeOut);
            lencod = lencod + SlotBitLen;
            lenmod = lenmod + length(TurboCodeOut);
        end
        fprintf('%% EsN0 = %4.2f , EbN0 = %4.2f , error = %4.0f , NumBit = %4.0f ,pe = %d\n',...
            EsN0 ,EbN0(EsN0_index), errcod ,lencod, errcod/lencod);
        err_rate_cod(EsN0_index ) =  errcod/lencod;     % 统计解码误码率
        err_rate_mod(EsN0_index ) =  1-errmod/lenmod;     % 统计解调误码率
    end
    toc
    
    

    1. 信号采样、调制与搬移—对奈奎斯特定理的讨论 ↩︎

    2. https://blog.csdn.net/u012923751/article/details/79643762?utm_source=blogxgwz5 ↩︎

    3. 《通信信号处理》张贤达 国防工业出版社 ↩︎

    4. https://www.cnblogs.com/lylx0617/p/3776217.html ↩︎

    5. 参考—通信之美 ↩︎

    6. https://baike.baidu.com/item/Turbo%E7%A0%81/7518982?fr=aladdin ↩︎

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空空如也

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