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  • 一类特殊九对角对称正定矩阵特征值反问题,田时瑞,邓远北,本文研究了一类特殊的九对角对称正定矩阵约束的线性矩阵方程的特征值问题,通过对矩阵的行列式计算, 得到矩阵行列式的通项公式, �
  • 第三十篇 雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值 对于标准特征值方程 由特征值问题编程基础可知,对于任何非0解矩阵[P],标准方程可以转化为具有相同特征值的方程 其中 这种转换技术的关键核心在于[A *]的特征值比...

    第三十篇 雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值

    对于标准特征值方程
    在这里插入图片描述
    特征值问题编程基础可知,对于任何非0解矩阵[P],标准方程可以转化为具有相同特征值的方程
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    其中
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    这种转换技术的关键核心在于[A *]的特征值比原始[A]的特征值更容易找到。
    然而,如果[A]是对称的,则变换后的矩阵不太可能保持对称。很容易证明下面变换
    在这里插入图片描述
    将保持[A∗]的对称性。为了使上面方程中给出的特征值[A∗]与[A]的特征值相同,必须把这两个性质综合起来
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    这种类型的矩阵称为“正交矩阵”,具有这种性质的矩阵称为“旋转矩阵”。
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    将此变换应用于下面的矩阵,我们有
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    其中很明显[A∗]对于任何α值都是对称的。这种情况,明显可以选择一个α值使得[A∗]成为一个对角矩阵,因为如果这样,对角线就是特征值。下面的情况,非对角线项将被消除
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    得出,tan α = 1和α = π/4,给出sin α = cos α = 1/√2。
    得到的变换矩阵是
    在这里插入图片描述
    即[A]的特征值分别为3和1。
    对于大于2 × 2的矩阵[A],变换矩阵[P]必须通过在其他主对角线上放1,在所有非对角线上放0来“填充”,被消去的行和列选择上面的矩阵。例如,如果[A]是4 × 4,则变换矩阵可以选择6种形式中的一种,这取决于要消去初始矩阵中的哪些非对角项,例如:
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    上面第一个矩阵经过[P]T [A][P]变换后将原矩阵[A]中的a12和a21项消去,而第二个矩阵将消去a24和a42项。1和0的作用是让[A]的其他行和列保持不变。这意味着在一次转换中变为零的非对角线项在随后的转换中会恢复为非零值(尽管通常是很“小”的值),因此正如期望的那样,该方法是迭代的。
    这种类型的迭代的最早形式称为“雅可比对角化”,它通过消除每一次迭代剩余的“最大的”非对角项连续进行迭代。
    对于任何对称矩阵[A],得到广义方程为
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    得到[A∗]形式的非对角线项为
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    求α使这一项等于零
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    因此,为了建立一个雅可比对角化的简单程序,必须在[a]中搜索“最大的”非对角线项,并找到它所在的行和列。“旋转矩阵”α按照之前的方法构建。矩阵[P]可以使用一个numpy库的transpose转化,然后矩阵乘积形成方程的[A *]。重复这个过程,直到[A∗]的主对角线在可接受的公差内收敛到[A]的特征值为止。
    计算实例:
    使用雅可比对角化去估算下面对称矩阵的特征值
    在这里插入图片描述
    下面的结果保留到小数点后四位,但实际计算的精确度更高。
    第一次迭代
    最大的非主对角项为a23 = a32 = −9.0,因此根据之前方程
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    第一次转换矩阵将包含下面的项
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    因此
    在这里插入图片描述
    通过转化矩阵得到
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    详细的数值为
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    最后
    在这里插入图片描述
    第二次迭代
    最大的非主对角项为a12 = a21 = −7.7782,因此
    在这里插入图片描述
    第二次转化矩阵将包括下面的项
    在这里插入图片描述
    因此,
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    同上面一样,矩阵乘积将等于
    在这里插入图片描述
    可以看到,虽然位置(2,3)和(3,2)不再为零,但与初始矩阵中的值相比足够“小”。随着迭代的进行,旋转角度αk→0,变换矩阵[Pk]→[I]和变换矩阵[Ak]趋向于一个对角矩阵,特征值在对角线上。
    对于这个例子,经过六次迭代,容差为1.0e-5
    得到
    在这里插入图片描述
    因此[A]的特征值λ = 0.4659, 20.9681,−0.9340。特征向量将通过将每个特征值代入求线性方程的解。
    程序如下
    分为一个主程序和两个子程序,分别为判断收敛的子程序checkit,和高斯消元求特征向量的子程序eliminate。详情可参照之前文章的线性方程求解部分
    主程序:

    #雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值
    import numpy as np
    import B
    import math
    n=3;tol=1.0e-5;limit=100
    enew=np.zeros((n,1))
    eold=np.zeros((n,1))
    p=np.zeros((n,n))
    a1=np.zeros((n,n))
    a=np.array([[10,5,6],[5,20,4],[6,4,30]],dtype=np.float)
    a2=a
    pi=math.acos(-1)
    x=np.zeros((n,1))
    x=np.ones((3,1),dtype=np.float)
    print('雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值')
    print('矩阵A')
    print(a[:])
    print('前几次迭代值')
    iters=0;eold[:]=0
    while(True):
        iters=iters+1
        big=0
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(i+1,n+1):
                if abs(a[i-1,j-1]>big):
                    big=abs(a[i-1,j-1]);hold=a[i-1,j-1];nr=i;nc=j
        if abs(big)<1.0e-20:
            break
        den=a[nr-1,nr-1]-a[nc-1,nc-1]
        if abs(den)<1.0e-20:
            alpha=pi/4.0
            if hold<0:
                alpha=-alpha
        else:
            alpha=math.atan(2.0*hold/den)/2.0
        ct=math.cos(alpha);st=math.sin(alpha);p[:]=0
        for i in range(1,n+1):
            p[i-1,i-1]=1.0
        p[nr-1,nr-1]=ct;p[nc-1,nc-1]=ct;p[nr-1,nc-1]=-st;p[nc-1,nr-1]=st
        a=np.dot(np.dot(np.transpose(p),a),p)
        if iters<5:
            for i in range(1,n+1):
                for j in range(1,n+1):
                    print('{:13.4e}'.format(a[i-1,j-1]),end='')
                print(end='\n')
            print(end='\n')
        for i in range(1,n+1):
            enew[i-1,0]=a[i-1,i-1]
        if B.checkit(enew,eold,tol) or iters==limit:
            break
        eold[:,0]=enew[:,0]
    print('迭代到收敛次数',iters)
    print('最后的转化矩阵A')
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            print('{:13.4e}'.format(a[i-1,j-1]),end='')
        print(end='\n')
    for i in range(1,n+1):
        a1[:]=a2[:]
        for j in range(1,n+1):
            a1[j-1,j-1]=a1[j-1,j-1]-a[i-1,i-1]
        x[:]=0;a1[i-1,i-1]=1.0e20;x[i-1]=1.0e20;x[:]=B.eliminate(a1,x)
        l2=np.linalg.norm(x)
        print('特征值','{:13.4e}'.format(a[i-1,i-1]))
        print('特征向量')
        for i in range(1,n+1):
            print('{:13.4e}'.format(x[i-1,0]/l2),end=' ')
        print()
        
        
    
    
    checkit
    
    def checkit(loads,oldlds,tol):
    #检查多个未知数的收敛
      neq=loads.shape[0]
      big=0.0
      converged=True
      for i in range(1,neq+1):
        if abs(loads[i-1,0])>big:
          big=abs(loads[i-1,0])
      for i in range(1,neq+1):
        if abs(loads[i-1,0]-oldlds[i-1,0])/big>tol:
          converged=False
      checkit=converged
      return  checkit
    
    eliminate
    
    def eliminate(a,b):
      n=a.shape[0]
    ##确定主对角线最大值
      for i in range(1,n):
        big=abs(a[i-1,i-1]);ihold=i
        for j in range(i+1,n+1):
          if abs(a[j-1,i-1])>big:
            big=abs(a[j-1,i-1]); ihold=j
        if ihold!=i:
          for j in range(i,n+1):
            hold=a[i-1,j-1]; a[i-1,j-1]=a[ihold-1,j-1]; a[ihold-1,j-1]=hold
          hold=b[i-1,0]; b[i-1,0]=b[ihold-1,0]; b[ihold-1,0]=hold
    ##消元阶段
        for j in range(i+1,n+1):
          fac=a[j-1,i-1]/a[i-1,i-1]
          for l in range(i,n+1):
            a[j-1,l-1]=a[j-1,l-1]-a[i-1,l-1]*fac
          b[j-1]=b[j-1]-b[i-1]*fac
    ##从后迭代
      for i in range(n,0,-1):
        hold=0.0
        for l in range(i+1,n+1):
          hold=hold+a[i-1,l-1]*b[l-1]
        b[i-1]=(b[i-1]-hold)/a[i-1,i-1]
      return b
    

    终端输出结果如下:
    在这里插入图片描述

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  • 2阶实对称矩阵特征值和特征向量简单求解方法。因为2阶实对称矩阵特殊性,可以直接使用初中2阶方程 x = -b±sqrt(b*b -4*a*c) / 2*a进行求解。这个方法在求解平面点hessian矩阵很有用处。
  • 定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数 H=[a,b;b,c] a,b,c是实数,λ 是特征值 A=[a-λ,b;b,c-λ] 特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2 = 0 求解方程得到两个根为:λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2 ...
    1. 2阶实对称矩阵特性

    定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数

    H=[a,b;b,c]    

        a,b,c是实数,λ 是特征值
    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

        特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2  = 0

        求解方程得到两个根为:
    λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2  

                       (a+c)2-4ac-b2=a-c2+4b2≥0

        所以,在a、b、c为实数时,特征值也是实数。

           

    2、特征向量

    根据特征值和特征向量的定义:HX=λX,(H-λE)X = 0;因此方程若有解,则

    det(H-λE)=0;


    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

    则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b,   线性齐次方程组AX=0有非零解,其中之一解向量 [1,-b/(a-λ)],归一化后得到标准解。

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  • 关于矩阵运算各种数值算法,包括实(复)矩阵求逆,对称正定矩阵与托伯利兹矩阵求逆,线性方程常用解法,矩阵各种分解方法,特征向量与特征值的求解等等。
  • 特征值和特征向量是指对于矩阵A有,Av=lv,v为特征向量,l为特征值。就是求解一个高次方程:det(A-lI)=0代码如下:unit Matrix;interfaceuses Math, Windows, SysUtils, Variants, Classes;...

    特征值和特征向量是指对于矩阵A有,Av=lv,v为特征向量,l为特征值。就是求解一个高次方程:det(A-lI)=0

    代码如下:

    unit Matrix;

    interface

    uses
      Math, Windows, SysUtils, Variants, Classes;

    Type

    TSingleExtendedArray =array of extended;

    TDoubleExtendedArray=array of array of extended;

    TDoubleLongintArray=array of array of longint;

    procedure CalculateEigenVV(var EigenLambda: TSingleExtendedArray; var EigenVector: TDoubleExtendedArray; C: TDoubleLongintArray; N: longint; eps: extended);

    implementation

    procedure CalculateEigenVV(var EigenLambda: TSingleExtendedArray; var EigenVector: TDoubleExtendedArray; C: TDoubleLongintArray; N: longint; eps: extended);
    var
      i, j, fi, fj, p, q, TL, k: longint;
      Change: boolean;
      x, y, cn, sn, Omega, fm, Acurrency: Extended;
      Ja: TDoubleExtendedArray;
    begin
      setlength(Ja, N, N);
      setlength(EigenVector, N, N);
      setlength(EigenLambda, N);

      for i := 0 to N - 1 do begin
        EigenVector[i, i] := 1.0; EigenLambda[i] := 0;
        for j := 0 to N - 1 do
          if i <> j then EigenVector[i, j] := 0;
      end;

      Acurrency := 0;
      for i := 0 to N - 1 do
        for j := 0 to N - 1 do begin
          Ja[i, j] := C[i, j];
          Acurrency := Acurrency + Ja[i, j] * Ja[i, j];
        end;
      Acurrency := sqrt(2 * Acurrency);
      Change := true;
      repeat
        if not Change then Acurrency := Acurrency * 0.5;
        Change := false;
        for p := 0 to N - 1 do begin
          for q := p + 1 to N - 1 do
            if Abs(Ja[p, q]) > Acurrency then begin
              x := -Ja[p, q]; y := (Ja[q, q] - Ja[p, p]) / 2;
              if (x <> 0) or (y <> 0) then Omega := x / sqrt(x * x + y * y) else Omega := 1;
              if (y < 0.0) then Omega := -Omega;
              sn := 1.0 + sqrt(1.0 - Omega * Omega);
              sn := Omega / sqrt(2.0 * sn);
              cn := sqrt(1.0 - sn * sn);

              fm := Ja[p, p];
              Ja[p, p] := fm * cn * cn + Ja[q, q] * sn * sn + Ja[p, q] * Omega;
              Ja[q, q] := fm * sn * sn + Ja[q, q] * cn * cn - Ja[p, q] * Omega;
              Ja[p, q] := 0; Ja[q, p] := 0;

              for i := 0 to N - 1 do
                if (i <> p) and (i <> q) then begin
                  fm := Ja[p, i];
                  Ja[p, i] := fm * cn + Ja[q, i] * sn;
                  Ja[q, i] := -fm * sn + Ja[q, i] * cn;
                end;

              for i := 0 to N - 1 do
                if (i <> p) and (i <> q) then begin
                  fm := Ja[i, p];
                  Ja[i, p] := fm * cn + Ja[i, q] * sn;
                  Ja[i, q] := -fm * sn + Ja[i, q] * cn;
                end;

              for i := 0 to N - 1 do begin
                fm := EigenVector[p, i];
                EigenVector[p, i] := fm * cn + EigenVector[q, i] * sn;
                EigenVector[q, i] := -fm * sn + EigenVector[q, i] * cn;
              end;

              for i := 0 to N - 1 do
                EigenLambda[i] := Ja[i, i];

              Change := true; break;
            end;
          if Change then break;
        end;
      until Acurrency <= eps;

      setlength(Ja, 0);
    end;

    end.

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  • 第二十九篇 广义特征值Kx=λMx转化成标准对称形式 特征值问题的几种解法要求方程用“标准形式”表示。 其中A是对称的,如果遇到广义特征值方程 ...这是一个标准的特征值方程,左边矩阵[L]−1[K][L]−T也是对称

    第二十九篇 广义特征值Kx=λMx转化成标准对称形式

    特征值问题的几种解法要求方程用“标准形式”表示。
    在这里插入图片描述
    其中A是对称的,如果遇到广义特征值方程
    在这里插入图片描述
    它可以转换为像上边的标准形式的方程,但,即使是[K]和[M]是对称的,乘积[K]−1[M]和[M]−1[K]通常也不是对称的。为了让其对称性,可以使用以下的方法推导。
    由上式开始,利用Cholesky方法因式分解[M]可得,参见LDLT分解
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    现在让
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    经过替换之后得到
    在这里插入图片描述
    最后
    在这里插入图片描述
    这是一个标准的特征值方程,左边矩阵[L]−1[K][L]−T也是对称的。
    变换后的上面方程与广义方程具有相同的特征值λ,但特征向量是不同的。但一旦求得特征向量{z},很容易地从求得特征向量{x}。
    程序如下:
    其中分为一个主程序和两个子程序,分别为乔利斯基分解的子程序ldlt,从前迭代的子程序subfor。

    #Kx=λMx转化为一般对称形式
    import numpy as np
    import B
    n=4;tol=1.0e-5;limit=100
    d=np.zeros((n,1))
    e=np.zeros((n,1))
    s=np.zeros((n,n))
    c=np.zeros((n,n))
    k=np.array([[8,4,-24,0],[4,16,0,4],[-24,0,192,24],[0,4,24,8]],dtype=np.float)
    m=np.array([[0.06667,-0.01667,-0.1,0],[-0.01667,0.1333,0,-0.01667],[-0.1,0,4.8,0.1],[0,-0.01667,0.1,0.06667]],dtype=np.float)
    x1=np.zeros((n,1))
    x=np.ones((4,1),dtype=np.float)
    print('矩阵K')
    print(k[:])
    print('矩阵M')
    print(m[:])
    print('初始猜测值',x[:,0])
    B.ldlt(m,d)
    d[:,0]=d[:,0]**0.5
    for j in range(1,n+1):
        for i in range(j,n+1):
            m[i-1,j-1]=m[i-1,j-1]/d[j-1,0]
    for j in range(1,n+1):
        e[:,0]=k[:,j-1]
        B.subfor(m,e)
        c[:,j-1]=e[:,0]
    print('矩阵C')
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            print('{:13.4e}'.format(c[i-1,j-1]),end='')
        print(end='\n')
    for j in range(1,n+1):
        e[:,0]=c[j-1,:]
        B.subfor(m,e)
        s[:,j-1]=e[:,0]
    print('最后得出的对称矩阵S')
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            print('{:13.4e}'.format(s[i-1,j-1]),end='')
        print(end='\n')
    
    
    
    ldlt
    
    def ldlt(a,d):
      n=a.shape[0]
      for k in range(1,n):
        d[0]=a[0,0]
        if abs(a[k-1,k-1])>1.0e-10:
          for i in range(k+1,n+1):
            x=a[i-1,k-1]/a[k-1,k-1]
            for j in range(k+1,n+1):
              a[i-1,j-1]=a[i-1,j-1]-a[k-1,j-1]*x
            d[i-1]=a[i-1,i-1]
        else:
          print('有0向量在第',k,'行')
    
    subfor
    
    def subfor(a,b):
    #一个下三角的从前迭代法
      n=a.shape[0]
      for i in range(1,n+1):
        total=b[i-1]
        if i>1:
          for j in range(1,i):
            total=total-a[i-1,j-1]*b[j-1]
        b[i-1]=total/a[i-1,i-1]
    

    终端输出结果如下
    在这里插入图片描述
    获得对称形式后就可以按照之前的方法求得想要获取的特征值,详情请看。
    向量迭代法求特征值移位向量迭代求特征值移位取逆迭代求特征值

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  • 建议的三股辫子有效方法之一是基于特征值假设,该特征值假设使用Yang-Baxter方程通过R矩阵的特征值来表达答案。 在本文中,我们将假设推广到编织物中较高的股数,其中还合并了非相邻R矩阵的交换关系。 通过求解这些...
  • 思想:对于实对称矩阵 ,存在正交矩阵 使得 是对角矩阵,对角线元素就是 的特征值, 的第 列就是对应 的特征向量.如何找正交矩阵?以二阶矩阵为例 考虑二次型 希望通过坐标旋转将 变为标准型 .取 那么 .一般地,对于...
  • 目录:1、计算特征多项式2、矩阵的特征值、特征向量3、矩阵的对角化4、向量值的正交化与正交矩阵5、正交变换与二次型的标准化6、矩阵的对称性与正定性的判定7、常见矩阵的分解工具:WolframAlpha计算搜索引擎位...
  • 特征值的应用2.1 对角化分解2.1.1 含义2.1.2 分解条件2.1.3 分解方法2.2 A的幂次运算2.3 差分方程2.3.1 一阶差分方程2.3.2 高阶差分方程2.3.3 差分方程的用处2.4 求解微分方程2.4.1 微分方程的求解2.4.2 微分方程的...
  • 考虑在自旋和伪自旋对称极限下最小和标量耦合情况下,κ-Poincaré-Hopf量子... 在考虑两个对称极限情况下确定能量特征值和波动函数表达式。 我们验证了粒子能量和波函数已被变形参数以及自旋元素所改变。
  • 我们分析是在超特征值模型形式上进行:我们引入了这些模型β变形形式,并为相关α/β变形超矩阵积分导出了微分方程。 我们表明,对于给定模型,存在无限数量此类微分方程,我们将其识别为超量子曲线...
  • 绑定状态特征值以可计算函数零给出。 通过将计算出能量代入代表解Frobenius级数展开系数递归关系中,可以获得相应本征函数。 通过对某些特殊情况(例如Poschl-Teller势(PTP),Manning-Rosen势(MRP)和...
  • 本章体系 基础知识 特征向量 矩阵相似:可逆矩阵(合同是) 相似和合同都是可逆矩阵,合同对应的是可逆矩阵的转置,相似对应的是可逆矩阵本身。 一个推论 ...8. 实对称矩阵的特征值:实数、正交对
  • 特征值、特征向量、特征矩阵5.1 特征值、特征向量5.1.1 特征值、特征向量定义与概念5.1.2 特征方程、特征多项式、特征矩阵定义与概念5.1.3 特征值的性质5.1.4 特征值、特征向量求法5.2 相似矩阵、矩阵相似对...
  • 微分方程的求解和矩阵的指数4. 对称矩阵5. 正定矩阵(Positive Definite Matrices)5.1 判断矩阵是否为正定矩阵:5.2 半正定矩阵5.3 正定和极小值的关系6. 总结参考 特征值和特征向量 前提: 都是针对方阵来进行讨论. 1...
  • 第三十四篇 特征多项式法求对称三对角矩阵的特征值 特征多项式 在之前的篇章中介绍过的,一个矩阵的特征值可以形成一个n阶多项式的根,称为“特征多项式”。线性方程的求解方法可以用来求这些根,详情可以翻看我之前...
  • Whittaker-Hill势Q 2 x = 1 2 h 2 cos 4 x + 4 h¼Sch cos 2 x $$ {Q} ... 众所周知,PT对称的复杂非埃尔米特哈密尔顿(=在同时进行的奇偶P和时间反转T变换下不变)可以具有真实的特征值。 汉密尔顿?1是h,xâ的PT对称
  • 三对角矩阵特征值的LR变换 一种最适用于稀疏(带宽或三对角化)矩阵转化方法叫做“LR”变换。这是类似于之前描述[L][U]因式分解。 对于迭代变换任意步骤k。也可以把矩阵写成一个上三角与一个下三角乘积形式,...
  • 首先, 证明了广义Lyapunov 方程存在唯一实对称矩阵序列解充分必要条件是系统谱不包含零特征值; 然后, 在系统谱包含零特征值的情况下, 分析了广义Lyapunov 方程结构; 最后, 通过数值仿真表明了所得结论...
  • 这种对称性对物理(整数)维上的复合算符的重整化组方程的形式施加了不小的限制,并允许从其特征值(异常维)重建完整核。 我们使用这种技术来为非味型夸克-反夸克光线算子推导两环演化方程,以最紧凑的形式编码...
  • 一、矩阵1、系数矩阵前面学习了矩阵很多基础知识,那么遇到具体线性方程组该怎么办呢?该怎么转换为矩阵来求解呢?如下图所示,A为系数矩阵,X是未知数矩阵,B是常数矩阵。2、矩阵转置简单来说就是矩阵行元素和...
  • 对称矩阵相似对角化

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    2.找出每个特征值对应的方程组,的基础解系,如果为k重根,那么基础解系必定有k个线性无关的特征向量。 3.如果2中,存在某个特征值对应的多个特征向量不正交,那么就要正交化那k个向量,具体做法一般为施密特正交化...
  • 该观察结果可用于恢复完整演化内核,其中考虑了与包含来自其特征值(异常尺寸)总导数算子混合。 使用这种方法,我们为位置空间(光线操作员)表示中主要扭曲风味单操作符计算了两个循环(NLO)演化内核...
  • 超重力的BRST代数的特征是通勤超对称幻影的两个不同的双线性:向量γμ和标量ϕ,后者在Yang-Mills Lie代数中具有。 我们观察到,在BRST变换下,γ和ϕ分别作为拓扑重力和拓扑Yang-Mills与拓扑重力耦合的超鬼。 ...
  • 由于对称性,在研究中计算了几何图案左侧,即L形区域。 控制方程用拉普拉斯方程表示。 并通过特征函数展开和点匹配法解决了该问题。 此外,Visual C ++有助于获得数值计算结果。 该研究还讨论了函数局部和...
  • 通过在晶格上使用三次对称性,三粒子量化条件在质心框架中部分对角化。 为此,在八面体组各种不可约表示基础函数中,... 结果表明,对于较大体积,这些解决方案可以对结合和散射态能量特征值进行有益解释。
  • 在超场方法中,我们制定了场-反场形式主义简单量子生成方程。 然后,我们推导带有哈密顿量... 我们还提出了对主结构Sp(2)对称扩展,其特殊特征是由所有基本方程变为Sp(2)向量值的方程这一主要事实引起
  • 这时咒模的特征值方程变为  对于给定的昭值,可以求出光传播的角度。然而,对于m=o,式(4-30)并不总是有解。因为右边平方根内的表达式有可能是负值。这是因为光波导的临界角应该以两界面中较大的临界角为准。...

空空如也

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对称方程的特征值