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  • 给出了次正交矩阵的概念,研究了它的性质以及次正交矩阵与次对称阵、反次对称阵间的联系.
  • 给出了广义次对称(反次对称)矩阵和广义次正交矩阵的概念,讨论了它们的性质及它们之间的关系。
  • 正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n维单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...

    整理一下矩阵论学习中的相关概念。从正交矩阵开始

    正交矩阵

    定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若

    正交矩阵有几个重要性质:

    1. A的逆等于A的转置,即
    2. A的行列式为±1,即
    3. A的行(列)向量组为n维单位正交向量组

    上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们可以通过上述准则简单地判断一个矩阵是否是正交矩阵。下面,我们将从线性变换的角度,来看正交矩阵还有哪些独特的性质。首先给出正交变换的定义:

    定义2 欧氏空间V的线性变换T称为正交变换,若

    ,有

    注意,正交变换在任意标准正交基下的矩阵是正交阵,这也是我们通过正交矩阵研究正交变换的理论基础。

    我们知道,线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的,但满足相似条件。因此,我们可以通过矩阵的相似不变量来对正交变换进行分类。正交变换有两种特殊的类型,分别是旋转变换和镜像变换,它们的区别也正好可以对应于两类不同的正交矩阵,它们具有不同的行列式取值。

    旋转矩阵

    首先我们来看旋转矩阵。旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候,改变向量的方向但不改变向量长度的矩阵。对于旋转矩阵,我们有:

    性质1 一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1

    旋转矩阵的行列式为1,那么它的特征值等于多少呢?我们知道矩阵的行列式等于特征值的乘积,即

    那么旋转矩阵的特征值可以有以下多种情况:

    1. 全为1,即恒等变换,它也看成是一个旋转变换,只不过旋转的角度是零。
    2. 1和-1,且-1的个数必须为偶数。
    3. 除了包含实数特征值1或-1,还包含非实数的特征值。这种情况下,可以证明,非实数的特征值总是成对出现的,即如果
      是一个特征值,那么它的共轭
      也是特征值,且满足

    这里引用维基百科中关于旋转矩阵的一个表述:“旋转矩阵不包括反演,反演可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。”这里的反演,就是我们所说的镜像。也就是说,偶数个-1的特征值保证了旋转矩阵不会将右手坐标系变为左手坐标系(或反之),这是旋转变换与镜像变换的根本区别。

    根据上面的分析,下面两个关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质2

    是正交矩阵A的一个特征值,则
    也是A的一个特征值,且有

    性质3 若奇数阶正交矩阵的行列式

    ,则1是A的一个特征值。

    镜像变换矩阵

    接下来,我们来看第二类正交矩阵,镜像变换矩阵(Reflection matrix),或Householder矩阵。Householder矩阵对应的正交变换称为镜像变换,它是一类在n维空间中沿n-1维平面做的一种线性变换。这个n-1维平面通常记为

    ,将其单位法向量记为
    。如果
    已知(一般来说这是问题的出发点),我们可以通过
    来构造镜像矩阵,计算公式为:

    注意,这里的单位法向量

    是一个列向量。

    Householder矩阵有n-1个特征值为1,余下一个特征值为-1。下面给出证明:设矩阵

    的特征值为
    ,则Householder矩阵
    的特征值必为
    是秩为1的幂等矩阵,可知它的特征值是
    ,所以,
    的特征值是

    Householder矩阵同时是对称矩阵。既正交又对称的矩阵有一个特殊性质是它的幂为I,即

    .

    根据上面的分析,下面关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质4 若正交矩阵的行列式

    ,则-1是A的一个特征值。

    正交矩阵的几个一般性质

    了解了两种特殊的正交矩阵,我们来看一下正交矩阵几个更一般的性质。

    性质5 若A为正交矩阵,

    是矩阵A的特征值,则
    也是A的一个特征值。

    证明:由

    ,因为正交矩阵为实矩阵,
    ,又因为
    ,因此
    ,即
    也是A的一个特征值。

    性质6 若正交矩阵A的特征值为实数,则A一定为对称矩阵。

    这个性质的证明需要用到Schur定理,即任意方阵A都可以酉相似于上三角阵R,且这个上三角阵R的对角元素为矩阵A的特征值

    .

    证明:由Schur定理,A的特征值为实数,A可正交相似于上三角阵R,即

    ,对其转置,两式相乘得
    ,注意到
    ,于是得到
    ,可知R为对角阵,因此

    也可以通过正规矩阵来证明:A是正交矩阵

    A是正规矩阵
    A可酉对角化,又特征值为实数
    A为Hermite矩阵
    A为实对称矩阵。
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  • )或ATA=EA^TA=EATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件: (1) ATA^TAT是正交矩阵 (2) E为单位矩阵 (3) A的各行是单位向量且两两正交 (4) A的各列是单位向量且两两正交 (5) $ (Ax,Ay)=...

    一、
    如果: A A T = E AA^T=E AAT=E(E为单位矩阵, A T A^T AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或 A T A = E A^TA=E ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
    (1) A T A^T AT是正交矩阵
    (2) E为单位矩阵
    (3) A的各行是单位向量且两两正交
    (4) A的各列是单位向量且两两正交
    (5) ∣ A ∣ = 1 |A|=1 A=1 − 1 -1 1 a b s ( A ) = 1 abs(A)=1 abs(A)=1
    (6) A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A1
    (7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
    二、特征向量的长度限制为1,这些特征向量组成的矩阵,首先,这些特征向量是单位向量,其次,这些特征向量是正交的。
    三、内积是向量的一种运算。
    (1)向量的数量积(点积): a a a b b b都是列向量,有 a ⋅ b = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ × c o s θ a·b = |a| × |b| × cosθ ab=a×b×cosθ,这2个向量是2维或3维。
    在3维空间中
    ( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 (x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3
    (2)内积是数量积的一种推广,用内积来定义n维向量的长度和夹角
    ( a ⋅ b ) = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n (a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n (ab)=i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
    (3)n维向量 x x x的长度(或模)= ∣ ∣ x ∣ ∣ = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2} x=x12+x22+...+xn2 ,当 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x||=1 x=1时,称 x x x为单位向量。
    (4)向量标准化
    x ≠ 0 时 , x ∣ ∣ x ∣ ∣ x \neq 0时,\frac{x}{||x||} x̸=0xx是一个单位向量,称这一运算为将向量 x x x标准化或单位化。
    (5)向量夹角
    c o s θ = x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ × ∣ ∣ y ∣ ∣ cos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||} cosθ=x×yxy
    x ⋅ y = 0 x·y=0 xy=0表示 x 和 y x和y xy正交,当 x = 0 或 y = 0 x=0或y=0 x=0y=0则向量内积正交,零向量与任何向量都正交。

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  • 正交矩阵

    千次阅读 2019-02-23 15:37:23
    正交矩阵

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    正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵,因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵,这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的,对于复数的矩阵这导致了归一要求。

    定义

      定义 1
      如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”。)或A′A=E,则n阶实矩阵 A称为正交矩阵, 若A为正交阵,则满足以下条件:
      1) A 是正交矩阵
      2) AA′=E(E为单位矩阵)(#add它的转置矩阵是它的逆矩阵,这是很重要的)
      3) A′是正交矩阵
      4) A的各行是单位向量且两两正交
      5) A的各列是单位向量且两两正交
      6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
       正交矩阵通常用字母Q表示。
      举例:A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
      则有:
    r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1

    r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质

      正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
      在 矩阵论中, 实数 正交矩阵方块矩阵 Q,它的 转置矩阵是它的 逆矩阵:
      ,如果正交矩阵的 行列式为 +1,则我们称之为 特殊正交矩阵:

    概述

      要看出与内积的联系,考虑在 n 维实数 内积空间中的关于正交基写出的向量 vv 的长度的平方是 vv。如果矩阵形式为 Q v 的线性变换保持了向量长度,则
      所以有限维线性 等距同构,比如 旋转反射和它们的组合,都产生正交矩阵。反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了正交变换。但是, 线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的 正交变换,它们没有等价的正交矩阵。
      有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。 n× n 正交矩阵形成了一个 ,即指示为 O( n) 的 正交群,它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如,分子的 点群O(3) 的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质,它们是字数值线性代数中很多算法比如 QR分解的关键,通过适当的规范化, 离散余弦变换 (用于 MP3 压缩)可用正交矩阵表示。

    例子

      下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
      恒等变换。 旋转 16.26°。 针对 x 轴反射。 旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5),角度90°。 置换坐标轴。

    基本构造

    低维度

      最简单的正交矩阵是 1×1 矩阵 [1] 和 [−1],它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
      如下形式的 2×2 矩阵
      它的正交性要求满足三个方程
      
     
     
     
    在考虑第一个方程时,不丢失一般性而设 p = cos θ, q = sin θ;因此要么 t = − q, u = p 要么 t = q, u = − p。我们可以解释第一种情况为旋转 θ(θ = 0 是单位矩阵),第二个解释为针对在角 θ/2 的直线的反射。
      旋转 反射 在 45°的反射对换 xy;它是 置换矩阵,在每列和每行带有一个单一的 1(其他都是 0):
      单位矩阵也是置换矩阵。
      反射是它自己的逆,这蕴涵了反射矩阵是 对称的(等于它的转置矩阵)也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵,两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。

    更高维度

      不管维度,总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类,但是对于 3×3 矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如,
      和 表示通过原点的 反演和关于 z 轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对 x- y平面反射,或逆时针旋转 270°后对原点反演)。
      旋转也变得更加复杂;它们不再由一个角来刻画,并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述 3×3 旋转矩阵,在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。
      但是,我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。

    基本变换

      最基本的置换是换位(transposition),通过交换单位矩阵的两行得到。任何 n× n 置换矩阵都可以构造为最多 n−1 次换位的积。 构造自非零向量 v 的 Householder反射为
      这里的分子是对称矩阵,而分母是 v 的平方量的一个数。这是在垂直于 v 的超平面上的反射(取负平行于 v 任何向量分量)。如果 v 是单位向量,则 Q = I−2 vv 就足够了。Householder 反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何 n× n 正交矩阵都可以构造为最多 n 次这种反射的积。
      Givens旋转作用于由两个坐标轴所生成的二维(平面)子空间上,按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次对角线元素(subdiagonal entry)。任何 n× n 的旋转矩阵都可以构造为最多 n( n−1)/2 次这种旋转的积。在 3x3 矩阵的情况下,三个这种旋转就足够了;并且通过固定这个序列,我们可以用经常叫做 欧拉角的三个角来(尽管不唯一)描述所有 3×3 旋转矩阵。
      雅可比旋转有同 Givens 旋转一样的形式,但是被用做 相似变换,选择来置零 2×2 子矩阵的两个远离对角元素(off-diagonal entry)。

    性质

    矩阵性质

      实数方块矩阵是正交的,当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得 点积欧几里得空间 R 的正交规范基,它为真当且仅当它的行形成 R 的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的,但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字;他们只是 MM = DD对角矩阵
       任何正交矩阵的行列式是 +1 或 −1。这可从关于行列式的如下基本事实得出:
      反过来不是真的;有 +1 行列式不保证正交性,即使带有正交列,可由下列反例证实。
      对于置换矩阵,行列式是 +1 还是 −1 匹配置换是偶还是奇的 标志,行列式是行的交替函数。
       比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合,它们全都必须有(复数)绝对值 1。

    群性质

       正交矩阵的逆是正交的,两个正交矩阵的积是正交的。事实上,所有 n× n 正交矩阵的集合满足群的所有公理。它是 n( n−1)/2 维的 紧致 李群,叫做正交群并指示为 O( n)。
      行列式为 +1 的正交矩阵形成了路径连通的子群指标为 2 的 O( n) 正规子群,叫做旋转的特殊正交群 SO( n)。 商群 O( n)/ SO( n) 同构于 O(1),带有依据行列式选择 [+1] 或 [−1] 的投影映射。带有行列式 −1 的正交矩阵不包括单位矩阵,所以不形成子群而只是 陪集;它也是(分离的)连通的。所以每个正交群被分为两个部分;因为投影映射 分裂O( n) 是 SO( n) 与 O(1)的 半直积。用实用术语说,一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成,如我们在 2×2 矩阵中看到的。如果 n 是奇数,则半直积实际上是 直积,任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。
      现在考虑 ( n+1)×( n+1) 右底元素等于 1 的正交矩阵。最后一列(和最后一行)的余下元素必须是零,而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是 n× n 正交矩阵;因此 O( n) 是 O( n+1) (和所有更高维群)的子群。
      因为 Householder 正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式,一系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵;因此正交群是反射群。最后一列可以被固定为任何单位向量,并且每种选择给出不同的 O( n) 在 O( n+1) 中的复本;以这种方式 O( n+1) 是在单位球 S 与纤维 O( n) 上的
      类似的, SO( n) 是 SO( n+1) 的子群;任何特定正交矩阵可以使用类似过程通过 Givens 平面旋转来生成。丛结构持续: SO( n) ↪ SO( n+1) → S。一个单一旋转可以在最后一列的第一行生成一个零,而 n−1 次旋转序列将置零 n× n 旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的,每次旋转只有一个自由度,就是它的角度。通过归纳, SO( n) 因此有
      自由度, O( n) 也是。
      置换矩阵简单一些;它们不形成李群,只是一个有限群, n! 次 对称群 Sn。通过同类的讨论, SnSn+1 的子群。偶置换生成行列式 +1 的置换矩阵的子群, n!/2 次交错群。

    规范形式

      更广泛的说,任何正交矩阵的效果分离到在正交二维空间上的独立动作。就是说,如果 Q 是狭义正交的,则你可以找到(旋转)改变基的一个正交矩阵 P,把 Q 带回到分块对角形式:
      ( n 偶数), ( n 奇数)。 这里的矩阵 R1,..., Rk 是 2×2 旋转矩阵,而余下的元素是零。作为例外,一个旋转块可以是对角的, ± I。因此如果需要的话取负一列,并注意 2×2 反射可对角化为 +1 和 −1,任何正交矩阵可变为如下形式
      , 矩阵 R1,…, Rk 给出位于 复平面中单位圆上的特征值的共轭对;所以这个分解复合确定所有带有绝对值 1 的特征值。如果 n 是奇数,至少有一个实数特征值 +1 或 −1;对于 3×3 旋转,关联着 +1 的特征向量是旋转轴。

    数值线性代数

    利益

       数值分析自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数的性质。例如,经常需要计算空间的正交基,或基的正交变更;二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式 ±1 和所有模为 1 的特征值是对数值稳定性非常有利的。 一个蕴涵是 条件数为 1 (这是极小的),所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如 Householder反射和 Givens旋转。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的,还有它的逆矩阵本质上是免花费的,只需要对换索引(下标)。
      置换是很多算法成功的根本,包括有局部定支点(partial pivoting)的运算繁重的 高斯消去法(这里的置换用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现;它们的特殊形式允许更有限的表示,比如 n 个索引的列表。
      同样的,使用 Householder 和 Givens 矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如,Givens 旋转只影响它所乘的矩阵的两行,替代完全的 n 次的 矩阵乘法为更有效的 n 次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候,腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。

    分解

      一些重要的 矩阵分解(Golub & Van Loan, 1996)涉及到了正交矩阵,包括:
      QR分解 M = QR, Q 正交, R 上三角。 奇异值分解 M = UΣV, UV 正交, Σ 非负对角。 谱分解 S = QΛQ, S 对称, Q 正交, Λ 对角。 极分解 M = QS, Q 正交, S 对称非负确定。
               

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    题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n

    因为T^(-1)AT=B(对角阵)

    那么A^n=TB^nT^(-1)

    由于对角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化成B^n    {因为(T^(-1)AT)*(T^(-1)AT)=B*B,即T^(-1)A^(2)T=b^(2),所以可以类推出来,T^(-1)A^(n)T=b^(n),即A^(n)=Tb^(n)T^(-1) }

    但是如果矩阵T只是可逆,那么求它逆需要一定的过程,

    而如果矩阵T是正交矩阵的话,那么它的逆就是它的转置,求起来更加方便 ,

    因此一般来讲对于实对称矩阵,我们都要求要会求其正交矩阵。

    实对称矩阵是矩阵,对的,但是实对称矩阵是一种特殊的矩阵,作为特殊的矩阵,那么除了一般矩阵性质以外还有一些特殊的性质,比如

    1)实对称矩阵的特征值全为实数,

    2)实对称矩阵中属于不同特征值的特征向量必正交。

    3)n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。

    4)实对称矩阵一定可以对角化。

    由性质4可知:对于实对称矩阵,一定存在可逆阵T, 使得T^(-1)AT=对角阵。

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  • 可逆矩阵(定义、充要条件、与初等矩阵)、分块矩阵相似对角化、正交矩阵(定义、充要条件及性质
  • 先来看看正交矩阵正交矩阵在详细讨论正交矩阵之前, 我们先来看看正交向量。 假设q1, q2……qn 是一组正交向量, 那么每一个q向量都和其他的q向量正交(垂直)。 也就是说:如果一组向量中任一向量与除它自己之外的...
  • 对称矩阵的几个性质

    千次阅读 2019-06-16 22:40:34
    设一个实对称矩阵 XXX (X∈SnX\in S^nX∈Sn),它的最大特征值为 λmax\lambda_{max}λmax​,则满足性质: ∀y∈Rn,∥y∥2=1⟹yTXy≤λmax \forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \...
  • 对称矩阵及其几大性质

    万次阅读 多人点赞 2018-08-19 16:27:01
    做机器学习的过程中,难免会与矩阵打交道,而实对称矩阵更是其中常用的矩阵之一。所以,下面将介绍一下什么是实对称矩阵,并介绍一下...1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的(网易笔试题曾考过)。 2....

空空如也

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对称正交矩阵的性质