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  • 对称正交矩阵的性质
    千次阅读
    2021-07-01 22:40:01

    1.对于任何方形矩阵X,X+XT是对称矩阵。
    2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
    3.对角矩阵都是对称矩阵。
    4.两个对称矩阵的积是对称矩阵,当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
    5.用<,>表示RN上的内积。n×n的实矩阵A是对称的。
    6.任何方形矩阵X,如果它的元素属于一个特征值不为2的域(例如实数),可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和。
    7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积,每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
    8.若对称矩阵A的每个元素均为实数,A是Symmetric矩阵。
    9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
    10.如果X是对称矩阵,那么对于任意的矩阵A,AXAT也是对称矩阵。
    11.n阶实对称矩阵,是n维欧式空间V(R)的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

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  • 【线性代数笔记】正交矩阵性质

    千次阅读 2022-02-17 10:35:51
    定义 设nnn阶矩阵AAA满足AAT=ATA=IAA^T=A^TA=IAAT=ATA=I,则称AAA为正交矩阵。 定理1 设AAA,BBB是同阶正交矩阵,则: (1) det⁡(A)=±1\det(A)=\pm1det(A)=±1; (2) AT,A−1,A∗A^T,A^{-1},A^*AT,A−1,A∗均为...

    定义 n n n阶矩阵 A A A满足 A A T = A T A = I AA^T=A^TA=I AAT=ATA=I,则称 A A A为正交矩阵。


    定理1 A A A B B B是同阶正交矩阵,则:
    (1) det ⁡ ( A ) = ± 1 \det(A)=\pm1 det(A)=±1
    (2) A T , A − 1 , A ∗ A^T,A^{-1},A^* AT,A1,A均为正交矩阵;
    (3) A B AB AB为正交矩阵。

    定理2 实方阵 A A A为正交矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow A A A的列/行向量组为标准正交向量组。

    证明提要:将 A A A按列分块,考察 A T A = I A^TA=I ATA=I即可。

    定理3(正交变换的保范性) A A A为正交矩阵,则 ∀ x 1 , x 2 ∈ R n \forall \bm x_1, \bm x_2\in R^n x1,x2Rn,有:
    (1) ⟨ A x 1 , A x 2 ⟩ = ⟨ x 1 , x 2 ⟩ \langle A\bm x_1,A\bm x_2\rangle=\langle\bm x_1,\bm x_2\rangle Ax1,Ax2=x1,x2
    (2) ∥ A x 1 ∥ = ∥ x 1 ∥ \|A\bm x_1\|=\|\bm x_1\| Ax1=x1

    证明
    (1) ⟨ A x 1 , A x 2 ⟩ = ( A x 1 ) T ( A x 2 ) = x 1 T A T A x 2 = x 1 T x 2 = ⟨ x 1 , x 2 ⟩ \langle A\bm x_1,A\bm x_2\rangle=(A\bm x_1)^T(A\bm x_2)=\bm x_1^TA^TA\bm x_2=\bm x_1^T\bm x_2=\langle\bm x_1,\bm x_2\rangle Ax1,Ax2=(Ax1)T(Ax2)=x1TATAx2=x1Tx2=x1,x2
    (2) 由(1)及 ∥ α ∥ = ⟨ α , α ⟩ \|\bm \alpha\|=\langle\bm\alpha,\bm\alpha\rangle α=α,α即得。

    定理4 A A A为正交矩阵,则 A A A的特征值只能为 ± 1 \pm1 ±1

    证明:设 A A A由特征值 λ \lambda λ,对应的特征向量为 α \bm\alpha α,则 A α = λ α A\bm\alpha=\lambda\bm\alpha Aα=λα。根据正交矩阵的定义, A T A = I A^TA=I ATA=I,即 α T A T A α = α T α \bm\alpha^TA^TA\bm\alpha=\bm\alpha^T\bm\alpha αTATAα=αTα,或 ( A α ) T ( A α ) = α T α (A\bm\alpha)^T(A\bm\alpha)=\bm\alpha^T\bm\alpha (Aα)T(Aα)=αTα,代入 A α = λ α A\bm\alpha=\lambda\bm\alpha Aα=λα ( λ α ) T ( λ α ) = α T α (\lambda\bm\alpha)^T(\lambda\bm\alpha)=\bm\alpha^T\bm\alpha (λα)T(λα)=αTα,即 λ 2 α T α = α T α \lambda^2\bm\alpha^T\bm\alpha=\bm\alpha^T\bm\alpha λ2αTα=αTα,而 α T α \bm\alpha^T\bm\alpha αTα是非零数,故 λ 2 = 1 \lambda^2=1 λ2=1,即 λ = ± 1 \lambda=\pm1 λ=±1


    定义 实对称矩阵是指元素为实数的对称矩阵。

    定理5 A A A n n n阶实对称矩阵,则一定存在 n n n正交矩阵 P P P使得 P − 1 A P = diag ( λ 1 , λ 2 , … , λ n ) 。 P^{-1}AP=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)。 P1AP=diag(λ1,λ2,,λn)
    证明过于繁琐,从略。
    该定理表明:实对称矩阵一定可以相似对角化,并且相似变换矩阵为正交矩阵。结合相似变换矩阵是特征向量组成的事实,我们知道实对称矩阵存在一组正交的特征向量


    同时,正交矩阵也是沟通合同和相似的桥梁。对于一个二次型的矩阵 A A A来说,由于它是实对称矩阵,故 ∃ \exists 正交矩阵 C C C使得 C − 1 A C = Λ C^{-1}AC=\Lambda C1AC=Λ,其中 Λ \Lambda Λ是对角矩阵。同时 C − 1 = C T C^{-1}=C^T C1=CT,故 C T A C = Λ C^TAC=\Lambda CTAC=Λ,因此 A A A也与 Λ \Lambda Λ合同。对于非实对称矩阵则不一定具有这样的性质。

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  • 正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n维单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...

    整理一下矩阵论学习中的相关概念。从正交矩阵开始

    正交矩阵

    定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若

    正交矩阵有几个重要性质:

    1. A的逆等于A的转置,即
    2. A的行列式为±1,即
    3. A的行(列)向量组为n维单位正交向量组

    上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们可以通过上述准则简单地判断一个矩阵是否是正交矩阵。下面,我们将从线性变换的角度,来看正交矩阵还有哪些独特的性质。首先给出正交变换的定义:

    定义2 欧氏空间V的线性变换T称为正交变换,若

    ,有

    注意,正交变换在任意标准正交基下的矩阵是正交阵,这也是我们通过正交矩阵研究正交变换的理论基础。

    我们知道,线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的,但满足相似条件。因此,我们可以通过矩阵的相似不变量来对正交变换进行分类。正交变换有两种特殊的类型,分别是旋转变换和镜像变换,它们的区别也正好可以对应于两类不同的正交矩阵,它们具有不同的行列式取值。

    旋转矩阵

    首先我们来看旋转矩阵。旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候,改变向量的方向但不改变向量长度的矩阵。对于旋转矩阵,我们有:

    性质1 一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1

    旋转矩阵的行列式为1,那么它的特征值等于多少呢?我们知道矩阵的行列式等于特征值的乘积,即

    那么旋转矩阵的特征值可以有以下多种情况:

    1. 全为1,即恒等变换,它也看成是一个旋转变换,只不过旋转的角度是零。
    2. 1和-1,且-1的个数必须为偶数。
    3. 除了包含实数特征值1或-1,还包含非实数的特征值。这种情况下,可以证明,非实数的特征值总是成对出现的,即如果
      是一个特征值,那么它的共轭
      也是特征值,且满足

    这里引用维基百科中关于旋转矩阵的一个表述:“旋转矩阵不包括反演,反演可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。”这里的反演,就是我们所说的镜像。也就是说,偶数个-1的特征值保证了旋转矩阵不会将右手坐标系变为左手坐标系(或反之),这是旋转变换与镜像变换的根本区别。

    根据上面的分析,下面两个关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质2

    是正交矩阵A的一个特征值,则
    也是A的一个特征值,且有

    性质3 若奇数阶正交矩阵的行列式

    ,则1是A的一个特征值。

    镜像变换矩阵

    接下来,我们来看第二类正交矩阵,镜像变换矩阵(Reflection matrix),或Householder矩阵。Householder矩阵对应的正交变换称为镜像变换,它是一类在n维空间中沿n-1维平面做的一种线性变换。这个n-1维平面通常记为

    ,将其单位法向量记为
    。如果
    已知(一般来说这是问题的出发点),我们可以通过
    来构造镜像矩阵,计算公式为:

    注意,这里的单位法向量

    是一个列向量。

    Householder矩阵有n-1个特征值为1,余下一个特征值为-1。下面给出证明:设矩阵

    的特征值为
    ,则Householder矩阵
    的特征值必为
    是秩为1的幂等矩阵,可知它的特征值是
    ,所以,
    的特征值是

    Householder矩阵同时是对称矩阵。既正交又对称的矩阵有一个特殊性质是它的幂为I,即

    .

    根据上面的分析,下面关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质4 若正交矩阵的行列式

    ,则-1是A的一个特征值。

    正交矩阵的几个一般性质

    了解了两种特殊的正交矩阵,我们来看一下正交矩阵几个更一般的性质。

    性质5 若A为正交矩阵,

    是矩阵A的特征值,则
    也是A的一个特征值。

    证明:由

    ,因为正交矩阵为实矩阵,
    ,又因为
    ,因此
    ,即
    也是A的一个特征值。

    性质6 若正交矩阵A的特征值为实数,则A一定为对称矩阵。

    这个性质的证明需要用到Schur定理,即任意方阵A都可以酉相似于上三角阵R,且这个上三角阵R的对角元素为矩阵A的特征值

    .

    证明:由Schur定理,A的特征值为实数,A可正交相似于上三角阵R,即

    ,对其转置,两式相乘得
    ,注意到
    ,于是得到
    ,可知R为对角阵,因此

    也可以通过正规矩阵来证明:A是正交矩阵

    A是正规矩阵
    A可酉对角化,又特征值为实数
    A为Hermite矩阵
    A为实对称矩阵。
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  • 题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n 因为T^(-1)AT=B(对角阵) 那么A^n=TB^nT^(-1) 由于对角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化...

    题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n

    因为T^(-1)AT=B(对角阵)

    那么A^n=TB^nT^(-1)

    由于对角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化成B^n    {因为(T^(-1)AT)*(T^(-1)AT)=B*B,即T^(-1)A^(2)T=b^(2),所以可以类推出来,T^(-1)A^(n)T=b^(n),即A^(n)=Tb^(n)T^(-1) }

    但是如果矩阵T只是可逆,那么求它逆需要一定的过程,

    而如果矩阵T是正交矩阵的话,那么它的逆就是它的转置,求起来更加方便 ,

    因此一般来讲对于实对称矩阵,我们都要求要会求其正交矩阵。

    实对称矩阵是矩阵,对的,但是实对称矩阵是一种特殊的矩阵,作为特殊的矩阵,那么除了一般矩阵性质以外还有一些特殊的性质,比如

    1)实对称矩阵的特征值全为实数,

    2)实对称矩阵中属于不同特征值的特征向量必正交。

    3)n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。

    4)实对称矩阵一定可以对角化。

    由性质4可知:对于实对称矩阵,一定存在可逆阵T, 使得T^(-1)AT=对角阵。

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对称正交矩阵的性质