精华内容
下载资源
问答
  • 引入正交变换, 正交矩阵的逆就是它的转置, 计算量较小。正交矩阵具有什么样的基本性质, 这里不再赘述, 请同学们注意复习巩固。(3)由之前证明的结论可知, 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。那么这里求正交矩阵的...

    1c8cc9e6f0bdaa67cba386c69300aaf9.png

    实对称矩阵(3):正交变换

    b0fb790c70026d4a40ed1e932fdcb06f.png

    前 言

    (1)今天我们来讨论利用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的问题。(2)常规的相似变换, 可逆矩阵P的逆矩阵较难求。引入正交变换, 正交矩阵的逆就是它的转置, 计算量较小。正交矩阵具有什么样的基本性质, 这里不再赘述, 请同学们注意复习巩固。(3)由之前证明的结论可知, 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。那么这里求正交矩阵的关键就在于, k重特征值的k个线性无关的特征向量不一定是正交的, 那么要做怎样的处理才能使他们正交呢?①Schmidt正交化是比较容易想到的思路和方法。注意“每日一题20201107”对Schmidt正交化的系统讲解, 熟练掌握。②②除了Schmidt正交化, 还有一种“预处理”法, 可以直接求出同一特征值正交的特征向量。注意视频中我对该方法解题思路和方法的系统归纳小结, 尤其是涉及到的一些逻辑推理, 请重点关注、仔细推敲。(4)行列式的计算则是利用A和f(A)特征值的关系, 以及行列式和特征值之间的关系。

    题 目

    dccb2bec4ce697f6d5fab2616856f49b.png

    讲 解

    文 稿

    a07953db1cfdfab94528c3ce61fd5dbd.png

    0fa56d7fc699017558b2144ab4939235.gif

    27829aedffd034dfd5954ba1069a4103.png

    4a40a58b92298df990ed75714d52ad64.png

    展开全文
  • 正交矩阵概述:正交矩阵定义正交矩阵的性质norm preservingnorm preserving 与 正交矩阵的充要条件正交操作对称矩阵的定义对称矩阵的正交化矩阵P和对角矩阵D的求解方法对称矩阵对角化的好处1、正交矩阵定义矩阵的列...

    正交矩阵概述:

    1. 正交矩阵定义
    2. 正交矩阵的性质
    3. norm preserving
    4. norm preserving 与 正交矩阵的充要条件
    5. 正交操作
    6. 对称矩阵的定义
    7. 对称矩阵的正交化矩阵P和对角矩阵D的求解方法
    8. 对称矩阵对角化的好处

    1、正交矩阵定义

    • 矩阵的列相互正交独立
    • 矩阵的列的长度为1

    d9f75f37c1cc90cb6e9477e223b0d362.png

    2、正交矩阵的性质

    • 正交矩阵与它的转置的乘积为单位的正交矩阵

    cf1621053d27a5190354a93f6b0779a7.png
    • 正交矩阵性质的推论

    33e0aba58b102247d5ca12b397d70933.png

    3. norm preserving

    599bf8ea57d6a0618465a75d90bda541.png

    d9338a53973b23417b7e58a585459f3d.png

    4.norm preserving 与 正交矩阵的充要条件

    5. 正交操作

    968dd0f4b76b29f129c461a1e9c3ad30.png

    6. 对称矩阵

    • 对称矩阵的含义
    • 对称矩阵一定可以对角化
    • 对称矩阵的构成
    • 对称矩阵的性质:
    1. 对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定是正交且独立的
    2. 从重根的特征值取出的独立特征向量可能不正交,我们要学会利用施密特正交变换把它转化为正交

    8a9995769a3a3c75ca3e29d26ed43369.png

    7、对称矩阵的正交化矩阵P和对角矩阵D的求解方法

    1. 对称矩阵的对角化时正交化矩阵P的求解方法

    4ba0b09da26789496ad05bdd4b43d501.png
    对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定是正交且独立的

    dcfbd359066565d9e0d635399ffd5ef4.png
    从特征空间取出来的特征向量是相互独立且正交

    81d481a409217bf47d56d7e6db2ba06d.png
    对称矩阵的特征值都为实数
    • 从特征空间取出的特征向量可能并不正交,要是用施密特变换转换为标准正交化的基

    进而根据性质进行组合,得到正交化矩阵P

    eg:

    1d77b4590f65633226fd7cd27d3b52d6.png

    2. 对称矩阵对角化时,对角矩阵的求解方法:

    • 对称矩阵的公式得到矩阵A和对角矩阵D是相似的
    • 由A=PDP-1得到D就是A的特征向量对应的特征值的组合

    d1751dfb86562dab43eacb2fe8f7ea6b.png

    783fbecc8dbb0ef1c4f99eeaf37f8498.png

    eg:综合求解的例子

    ed7d8c474e2ad900a100e1b4c26a035c.png

    a87b72450a42f5224ed93bff376d89c3.png

    8、对称矩阵对角化的好处

    5b3e783a918ef57ebc6048a5cebf3891.png

    e8b90582ae19dd7684d0ed22fe7f4c7d.png

    下一节:广义向量和SVD


    更多详情:

    https://w.url.cn/s/AdpbOQew.url.cn
    ac2270bdfee566bb1fb08d522b55218a.png
    机器学习数学基础线代笔记|正交矩阵与对称矩阵机器学习数学基础线代笔记|正交矩阵与对称矩阵w.url.cn
    ac2270bdfee566bb1fb08d522b55218a.png
    好好先生:机器学习数学基础线代笔记|正交化zhuanlan.zhihu.com
    54b7eca3c98ce2648bbd46ec06c5b7b7.png
    机器学习数学基础|手写子Subspace && Basismp.weixin.qq.com
    be8c607a5237fac159775add44d50d47.png
    好好先生:机器学习数学基础|线性代数:矩阵论zhuanlan.zhihu.com
    3a76a258aca8602d18991fda0f7c6dc8.png
    好好先生:机器学习数学基础|线性代数理论:Ax=bzhuanlan.zhihu.com
    3a76a258aca8602d18991fda0f7c6dc8.png
    好好先生:机器学习基础线代笔记|特征值和特征向量zhuanlan.zhihu.com
    54b7eca3c98ce2648bbd46ec06c5b7b7.png
    好好先生:机器学习基础线代笔记|对角化zhuanlan.zhihu.com
    54b7eca3c98ce2648bbd46ec06c5b7b7.png

    324093b0f7eb45d8f56255149f8a6c08.png
    展开全文
  • 点击蓝字关注每天打卡呦DAY84题型讲解接下来我们开始最后一个板块,矩阵的特征值和特征向量解题思路:第一步:根据实对称矩阵的性质求出矩阵A。第二步:代值计算即可。这个题目做题的题眼在于“实对称矩阵的对角化”...
    b806e04230c5340f2235f918717bc0a8.png

    点击蓝字关注每天打卡呦

    DAY84题型讲解接下来我们开始最后一个板块,矩阵的特征值和特征向量ae02d0bbbe97530ddb5334709bad9ee6.pngdb6533224255b2536cd00bb692148aa7.png

    解题思路:

    第一步:根据实对称矩阵的性质求出矩阵A。

    第二步:代值计算即可。

    这个题目做题的题眼在于“实对称矩阵的对角化

    首先,要弄清楚实对称矩阵的性质。

    实对称矩阵的主要性质

    1.实对称矩阵的特征值均为实数、特征向量可以取为实向量。

    2.实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量是正交的。

    3.实对称矩阵可正交相似对角化。

    其次,这道题只提到了矩阵,怎么判断其是否为实对称矩阵呢?

    判断的方法正是上面提到的第一点性质。

    这个知识点在考试中,老师是默认大家知道的。

    最后,实对称矩阵一定要单位化和正交化吗?

    实对称矩阵本身并不一定非要单位化和正交化,它就是一个实对称矩阵,无需单位化或正交化,它也是实对称矩阵。

    DAY85数学作业

    345e93a215c1002ff0e77fbc7119199a.png

    展开全文
  • 目录实对称矩阵定义实反对称矩阵定义厄米特矩阵定义反厄米特矩阵定义正交矩阵定义性质酉矩阵(幺正矩阵)定义性质正规矩阵定义性质正定矩阵定义性质充要条件友矩阵(伴侣矩阵)定义性质旋转矩阵定义性质对比 实对称...

    实对称矩阵

    定义

    AT=AA^T=A


    实反对称矩阵

    定义

    AT=AA^T=-A


    厄米特矩阵

    定义

    AH=AA^H=A


    反厄米特矩阵

    定义

    AH=AA^H=-A


    正交矩阵

    定义

    ATA=AAT=IA^TA=AA^T=I

    • 换言之,当AT=A1A^T=A^{-1}时,AA被称为正交矩阵

    性质

    • AT=A1A^T=A^{-1}

    酉矩阵(幺正矩阵)

    定义

    AAH=AHA=IAA^H=A^HA=I

    • 其中,AHA^H表示共轭转置
    • 换言之,当AH=A1A^H=A^{-1}时,AA被称为酉矩阵

    性质

    • AH=A1A^H=A^{-1}
    • 酉矩阵的特征值都是模为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,所以det(A)=1|det(A)|=1
    • A的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基
    • A的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基
    • 酉矩阵是正规矩阵

    正规矩阵

    定义

    AHA=AAHA^HA=AA^H

    性质

    • 对角矩阵、(反)实对称矩阵、(反)厄米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵;
    • AA的全部特征值为实数时,是厄米特矩阵;
    • AA的全部特征值为零或虚数时,是反厄米特矩阵;
    • AA的全部特征值的模为1时,是酉矩阵;
    • AA为正规矩阵的充要条件:存在酉矩阵QQ,使得AA酉相似于对角矩阵;
    • 与正规矩阵AA有相似的矩阵都是正规矩阵;
    • 正规矩阵An×nA_{n \times n}必有nn个线性无关的特征向量;
    • 正规矩阵AA的不同特征值的特征子空间是互相正交的。

    正定矩阵

    定义

    对于nn阶方阵AA,若对于任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx>0,则AA为正定矩阵。

    性质

    • 行列式恒为正;
    • 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    • AA是正定矩阵,则AA的逆矩阵也是正定矩阵;
    • 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    • 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵;

    充要条件

    • AA的特征值均为正;
    • 存在可逆矩阵PP,使得A=PTPA=P^TP,即AAII合同;
    • AA的顺序主子式均大于零;
    • AA的正惯性指数为nn

    友矩阵(伴侣矩阵)

    定义

    A=[000a0100a1010an2001an1]A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right]

    • 主对角线上方或者下方的元素均为1,主对角线元素为零;
    • 最后一行或第一行的元素可取任意值;而其余元素均为零;

    性质

    • 方阵的有理标准形就是由友矩阵块构成的分块对角矩阵,而有理标准形在应用上以及理论推导中,都有较大的作用;

    旋转矩阵

    定义

    A=[11cosθsinθ11sinθcosθ11]A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right]

    • A(p,p)=A(q,q)=cosθA(p,p) = A(q,q) = cos\thetaA(p,q)=A(q,p)=sinθA(p,q) = A(q,p) = sin\theta,主对角线为1,其他位置均为0;
    • 对于矩阵XX,左乘ATA^T,则第pp行和第qq行发生改变;
    • 对于矩阵XX,右乘AA,则第pp列和第qq列发生改变;

    性质

    • AA为正交矩阵;
    • 两个向量被同一个旋转矩阵操作之后,内积保持不变

    对比

    定义
    实对称矩阵 AT=AA^T=A
    反实对称矩阵 AT=AA^T=-A
    厄米特矩阵 AH=AA^H=A
    反厄米特矩阵 AH=AA^H=-A
    正交矩阵 AAT=ATA=IAA^T=A^TA=I
    酉矩阵(幺正矩阵) AAH=AHA=IAA^H=A^HA=I
    正规矩阵 AAH=AHAAA^H=A^HA
    正定矩阵 x,xTAx>0\forall x,x^TAx>0
    友矩阵(伴侣矩阵) A=[000a0100a1010an2001an1]A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right]
    旋转矩阵 A=[11cosθsinθ11sinθcosθ11]A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right]
    展开全文
  • 对称矩阵可用正交矩阵对角化 实对称矩阵不同特征值特征向量必然正交 实对称矩阵A特征值都是实数 实对称矩阵可用正交矩阵对角化 n阶实对称矩阵A必可对角化,且总存在正交阵Q,使得 $$Q{-1}AQ=QTAQ=\left{ \...
  • 设AAA为n×nn\times nn×n实对称矩阵,则 AAA特征值都是实数; 不同特征值对应特征向量相互正交; AAA可对角化,即存在一个正交阵(orthogonal matrix)XXX(即X’X=I)和一个对角阵Λ=diag{λ1,…,λ2}\Lambda...
  • 对称阵有一个很优美的性质:它总能相似对角化,对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。 假设矩阵AA是一个对称矩阵, xix_i和xjx_j 是矩阵AA 的任意两个特征向量,λi\lambda_i和λj\lambda_j 是与xix_i和xjx_j ...
  • 对称矩阵的若干性质与详细证明

    万次阅读 多人点赞 2016-04-06 21:17:37
    花了一下午终于把实对称矩阵的几个定理的证明都搞定了,定理很简单,证明起来却十分之费事,用的都是十分基础而经典的证明手段,这破编辑器还不能写公式,直接截图了。 所有特征值都为实数。 某百科里还认为所有...
  • 对称矩阵及其几大性质

    万次阅读 2018-08-19 16:27:01
    定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 主要性质: 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的(网易笔试题曾考过)。 ...
  • 对称矩阵

    2020-11-24 15:56:39
    对称矩阵的性质: 什么是对称矩阵,我可以一眼看出来吗? 可以,原矩阵 = 转置矩阵; 特征值为实数 特征向量正交; 对角化:A的逆矩阵 × A(正交矩阵) = E;中间加个对称矩阵就 = E的系数; λE - A 的秩 = n...
  • 对称矩阵

    千次阅读 2018-10-18 19:14:30
    性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交 性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的特征向量 性质4:n阶实对称矩阵正交相似于以特征值为对角的对角...
  • 对称矩阵的特征值与特征向量

    万次阅读 2018-08-20 21:23:15
    两个好的性质: 1, 特征值是实数 2,特征向量是两两正交的   一个对称矩阵A可以进行如下分解: A=QQ的转置   对于对称矩阵来说,有一个性质:主元的符号与特征值得符号是相同的。即正主元的个数等于正的...
  • 本文将以知识点形式展开介绍,读者可根据需要自动跳转至相应部分,具体内容如下:(1)单位矩阵(2)对称矩阵(3)对角矩阵(4)正交矩阵(5)伴随矩阵(6)可逆矩阵(7)奇异矩阵(8)初等矩阵(9)行阶梯、行最简、标准型矩阵(1)...
  • 对称矩阵的特征值和特征向量 这一节,我们首先研究一类重要的矩阵,实对称矩阵,的特征值和特征向量。 性质 我们的主要结论是 实对称矩阵的特征值全部是实数。 实对称矩阵可以取到 nnn 个正交的特征实向量。 原因 ...
  • 对称和反对称矩阵

    千次阅读 2018-09-05 19:18:47
    特征值分解 如果AAA是一个实对称矩阵,那么AAA...实对称矩阵的其他性质: 可通过Jacobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量 叉乘 a=(a1,a2,a3)T,  [a]×=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤...
  • 第25讲 对称矩阵和正定性Symmetric matrices and positive definiteness网易公开课​open...正定矩阵的性质则更好。对称矩阵 Symmetric matrices对称矩阵 。包含特殊性质的矩阵,例如Markov矩阵,其特征值和特征向量...
  • H 是对称矩阵, so 存在正交矩阵Q, s.t. H=QΛQT. H = Q\Lambda Q^T.H=QΛQT. H 总是半正定矩阵. 对于任意向量b, Hb 将b投影到Col(X). 那么bT b^T bT 与 Hb之间夹角肯定是锐角,所以bTHb≥0b^T H b \ge 0 bTHb...
  • 对称矩阵的几点性质: 1.特征值必是实数 2.不同特征值的特征向量必正交 3.必与对角矩阵相似 4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下 (1)求A的特征值λ1、λ2、λ3 (2)求特征...
  • 1. 对称矩阵的分解如果是对称矩阵,也就是。对比以上两个式子,我们可以得到,也就是,特征向量矩阵是正交的。对称矩阵具有如下的性质:它们的特征值都是实数;可以选取出一组标准正交的特征向量。每个对称矩阵都...
  • 矩阵乘法2.1 向量-向量乘法2.2 矩阵-向量乘法2.3 矩阵-矩阵乘法3 运算和属性3.1 单位矩阵和对角矩阵3.2 转置3.3 对称矩阵3.4 矩阵的迹3.5 范数3.6 线性相关性和秩3.7 方阵的逆3.8 正交阵3.9 矩阵的值域和零空间3.10 ...
  • 矩阵的SVD分解及其实现

    千次阅读 2019-11-03 10:31:04
    对称矩阵的特征值一定是实数 对称矩阵的几何重数等于代数重数 对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量 对称矩阵一定可以对角化 对称矩阵可以正交对角化 证明:对称矩阵可以正交对角化 对称矩阵所有不同的特征值所...
  • 对称矩阵有一个很重要的性质,就是存在正交矩阵Q,使得 这里正交矩阵Q指的是如果一个矩阵满足 那么该矩阵就是正交矩阵。从上面的性质可以知道A必须是方阵的形式,但是很多情况下A不是方阵的。这就引出了SVD奇异值...
  • 矩阵总结

    2020-07-03 13:43:12
    对称矩阵的特征值一定是实数。 对称矩阵的几何重数等于代数重数。(???) 对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。(此处的n就是矩阵中的nxn???) 对称矩阵一定可以对角化。(对角化) 对称矩阵可以正交对...
  • 各种矩阵

    2019-05-10 13:08:52
    正交矩阵7. 奇异矩阵8. 相似矩阵9. 矩阵秩的性质10. 参考 1. 正定矩阵 (若A为正定矩阵,则-A为负定矩阵。要判断一个矩阵H是否为负定矩阵,只需判断-H是否为正定矩阵) 正定矩阵是一种实对称矩阵。设A是实对称矩阵...
  • 为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵? 一般矩阵的相似对角化用它的特征向量组成的矩阵就可以了,为什么实对称矩阵的相似对角化这么特殊呢,名称叫做正交矩阵化,求得...这么做有好处:正交矩阵的逆矩阵很容...
  • 线性回归(摘自PRML P143)几何解释多重共线性缺陷行列式和逆最基本的性质行列式表示矩阵组成的体积行列式算法逆矩阵克拉默法则正交矩阵旋转矩阵与正交变换反射矩阵A=QR与Gram-schmitt正交化应用:信号处理中的变换...
  • 线性代数(22)——矩阵SVD分解

    千次阅读 2019-06-13 20:02:14
    矩阵SVD分解对称矩阵概念对称矩阵性质正交对角化对称矩阵一定可以被正交对角化如果一个矩阵能够被正交对角化,则它一定是对称矩阵谱定理奇异值概念奇异值几何意义 对称矩阵 借助对称矩阵可以处理任何矩阵,将任何...
  • Yining​交易员740 人赞同了该回答协方差矩阵实在是太重要了,无论是在计量,金融工程还是随机分析中,我们都会到用到协方差矩阵。...作为实对称矩阵,其主要性质之一就是可以正交对角化,即存在正交矩阵U,...
  • 目录 SVD的提法 线性代数 定义 方阵的行列式 代数余子式 伴随矩阵 方阵的逆 矩阵的乘法 矩阵模型 ...矩阵的秩 ...正交阵 ...特征值的性质 ...实对称阵不同特征值的特征向量正交 最终结论 白化/漂白w...

空空如也

空空如也

1 2 3 4
收藏数 78
精华内容 31
关键字:

对称正交矩阵的性质