精华内容
下载资源
问答
  • 正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n维单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...

    整理一下矩阵论学习中的相关概念。从正交矩阵开始

    正交矩阵

    定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若

    正交矩阵有几个重要性质:

    1. A的逆等于A的转置,即
    2. A的行列式为±1,即
    3. A的行(列)向量组为n维单位正交向量组

    上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们可以通过上述准则简单地判断一个矩阵是否是正交矩阵。下面,我们将从线性变换的角度,来看正交矩阵还有哪些独特的性质。首先给出正交变换的定义:

    定义2 欧氏空间V的线性变换T称为正交变换,若

    ,有

    注意,正交变换在任意标准正交基下的矩阵是正交阵,这也是我们通过正交矩阵研究正交变换的理论基础。

    我们知道,线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的,但满足相似条件。因此,我们可以通过矩阵的相似不变量来对正交变换进行分类。正交变换有两种特殊的类型,分别是旋转变换和镜像变换,它们的区别也正好可以对应于两类不同的正交矩阵,它们具有不同的行列式取值。

    旋转矩阵

    首先我们来看旋转矩阵。旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候,改变向量的方向但不改变向量长度的矩阵。对于旋转矩阵,我们有:

    性质1 一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1

    旋转矩阵的行列式为1,那么它的特征值等于多少呢?我们知道矩阵的行列式等于特征值的乘积,即

    那么旋转矩阵的特征值可以有以下多种情况:

    1. 全为1,即恒等变换,它也看成是一个旋转变换,只不过旋转的角度是零。
    2. 1和-1,且-1的个数必须为偶数。
    3. 除了包含实数特征值1或-1,还包含非实数的特征值。这种情况下,可以证明,非实数的特征值总是成对出现的,即如果
      是一个特征值,那么它的共轭
      也是特征值,且满足

    这里引用维基百科中关于旋转矩阵的一个表述:“旋转矩阵不包括反演,反演可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。”这里的反演,就是我们所说的镜像。也就是说,偶数个-1的特征值保证了旋转矩阵不会将右手坐标系变为左手坐标系(或反之),这是旋转变换与镜像变换的根本区别。

    根据上面的分析,下面两个关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质2

    是正交矩阵A的一个特征值,则
    也是A的一个特征值,且有

    性质3 若奇数阶正交矩阵的行列式

    ,则1是A的一个特征值。

    镜像变换矩阵

    接下来,我们来看第二类正交矩阵,镜像变换矩阵(Reflection matrix),或Householder矩阵。Householder矩阵对应的正交变换称为镜像变换,它是一类在n维空间中沿n-1维平面做的一种线性变换。这个n-1维平面通常记为

    ,将其单位法向量记为
    。如果
    已知(一般来说这是问题的出发点),我们可以通过
    来构造镜像矩阵,计算公式为:

    注意,这里的单位法向量

    是一个列向量。

    Householder矩阵有n-1个特征值为1,余下一个特征值为-1。下面给出证明:设矩阵

    的特征值为
    ,则Householder矩阵
    的特征值必为
    是秩为1的幂等矩阵,可知它的特征值是
    ,所以,
    的特征值是

    Householder矩阵同时是对称矩阵。既正交又对称的矩阵有一个特殊性质是它的幂为I,即

    .

    根据上面的分析,下面关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质4 若正交矩阵的行列式

    ,则-1是A的一个特征值。

    正交矩阵的几个一般性质

    了解了两种特殊的正交矩阵,我们来看一下正交矩阵几个更一般的性质。

    性质5 若A为正交矩阵,

    是矩阵A的特征值,则
    也是A的一个特征值。

    证明:由

    ,因为正交矩阵为实矩阵,
    ,又因为
    ,因此
    ,即
    也是A的一个特征值。

    性质6 若正交矩阵A的特征值为实数,则A一定为对称矩阵。

    这个性质的证明需要用到Schur定理,即任意方阵A都可以酉相似于上三角阵R,且这个上三角阵R的对角元素为矩阵A的特征值

    .

    证明:由Schur定理,A的特征值为实数,A可正交相似于上三角阵R,即

    ,对其转置,两式相乘得
    ,注意到
    ,于是得到
    ,可知R为对角阵,因此

    也可以通过正规矩阵来证明:A是正交矩阵

    A是正规矩阵
    A可酉对角化,又特征值为实数
    A为Hermite矩阵
    A为实对称矩阵。
    展开全文
  • 通过分析对称正交矩阵和对称正交对称半正定矩阵的结构,利用矩阵的奇异值分解,导出了这种逆特征值问题的最小二乘解的表达式,以及这种逆特征值问题相容的充要条件和通解表达式。利用矩阵的极分解,导出了逆特征值...
  • §6.5 对称矩阵,实特征值正交特征向量Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal EigenvectorsMIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值正交特征向量​v.youku.com在线性微分方程组中会...

    a2b385ced5de0813be9f8056779dd067.png

    §6.5 对称矩阵,实特征值,正交特征向量

    Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal Eigenvectors

    MIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值和正交特征向量​v.youku.com
    8d0a74767b7104d6bfb1286816ad4f66.png

    在线性微分方程组中会遇到对称矩阵

    ,对称矩阵的特征值和特征向量具有特别的性质,即特征值为实数,并且特征向量相互正交。

    与之相对,反对称矩阵

    的特征值为纯虚数,特征向量也互相正交,但它们包含复数元素,即使反对称矩阵的元素都是实数,其特征向量也是复数的。

    对于满足

    的正交矩阵
    Q,其所有特征值的模长
    ,特征向量也是复数的,并且相互正交。

    对称矩阵S的特征值为

    。特征向量为
    ,

    反对称矩阵A的特征值为

    。特征向量为
    ,

    矩阵B=A+3I的特征值为

    。特征向量为
    ,

    正交矩阵Q的也是矩阵A的变体,除去归一化的因子

    ,其矩阵等于
    A+ I,因此其特征值为为
    ,它的特征值都处在单位圆之上,并且为共轭复数,其特征向量为
    ,
    • 复数、复向量和复矩阵

    若有复数

    ,,则它的模为
    ,其中
    为λ的共轭复数。

    对于复向量x,它的长度

    。例如
    ,其长度
    。而复向量的正交性则通过
    来判定。

    对于实矩阵,我们寻找对称矩阵

    。而对于复数矩阵,则寻找埃尔米特矩阵(Hermitian Matrix)
    ,对矩阵中的元素不仅取转置还要取共轭,例如矩阵
    为埃尔米特矩阵,矩阵的转置并求共轭也记做

    §6.5b 二阶常微分方程组

    Second Order Systems

    优酷视频​v.youku.com

    本讲介绍二阶常微分方程组

    。其中
    S为对称矩阵满足
    。方程中没有阻尼项,且等号右侧没有外力项,因此所求解函数为匹配初值的零解。

    例如振荡方程

    ,其中
    M为质量矩阵,而 K为刚性矩阵。在实际应用中,第一步就是建立方程,即确定这些参数矩阵。

    所寻找的解函数形如

    ,带入原方程可得
    ,整理可得
    ,这就变成了特征值和特征向量的问题。这是一个包含两个矩阵的问题,在MATLAB中可以用eig(K,M)命令搞定,其实大多数实际的情况中,质量矩阵
    M是常数乘以单位阵c I

    对于二阶常微分方程组

    ,通常给定的初值包含
    y(0)和 y'(0),这两个向量包含2n个初值,因此需要2n个解函数与之相匹配。

    56b1854c0705e7336855347f59e88464.png

    二阶微分方程组

    描述了三个重物的运动,因此方程数为n=3。弹簧重物组中三个重物彼此之间以及和上下固定表面之间均以弹簧相连。设定三个重物质量相等,则有
    M=m I。方程组的解就是重物的运动轨迹,即位移随时间的变化。方程等式右侧为零,代表没有外力项在运动过程中给弹簧重物组注入新能量,物体的运动模式为纯简谐振动,但是这些振荡是相互耦合的。

    刚度矩阵

    ,令
    变为
    刚度矩阵中的参数来自于重物上下的弹簧的伸长量,例如重物1受到来自于上下两个弹簧的作用,上方弹簧的作用力为
    ,下方弹簧作用力为
    ,则合力
    。其它两组以此类推。

    解函数为

    ,是六个解的线性组合。

    代入t=0可知解函数中的余弦函数的三个参数A和初值y(0)相匹配,而正弦函数的三个参数B则和y'(0)相匹配。

    8f494d9c3e2ae284b459e5dfcfc01cc5.png

    方程描述了具有两个重量为m的重物构成的弹簧重物组。矩阵

    的特征值为

    如果给定的初值状态是在t=0时刻,将m1和m2两个重物设置在某一特定位置,则初值中给出了初始位移,但是初始的速度为0,即y'(0)=0,因而可知解函数中的两个参数B均为0。则解函数为

    ,其中参数受初始位移
    y(0)控制。从解函数中两个特征向量可以看出,有两种基本的运动模式,其一就是两物体同相振动(m1和m2以相同的相位振动),对应解函数中的第一项,其二就是相向运动,对应解函数中的第二项,而第二项的运动频率较高,重物的运动模式就是低频的同向运动和高频的相向运动的组合。如果是三个重物组成的弹簧重物组,则是三种模式的运动的叠加。
    展开全文
  • )或ATA=EA^TA=EATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件: (1) ATA^TAT是正交矩阵 (2) E为单位矩阵 (3) A的各行是单位向量且两两正交 (4) A的各列是单位向量且两两正交 (5) $ (Ax,Ay)=...

    一、
    如果: A A T = E AA^T=E AAT=E(E为单位矩阵, A T A^T AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或 A T A = E A^TA=E ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
    (1) A T A^T AT是正交矩阵
    (2) E为单位矩阵
    (3) A的各行是单位向量且两两正交
    (4) A的各列是单位向量且两两正交
    (5) ∣ A ∣ = 1 |A|=1 A=1 − 1 -1 1 a b s ( A ) = 1 abs(A)=1 abs(A)=1
    (6) A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A1
    (7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
    二、特征向量的长度限制为1,这些特征向量组成的矩阵,首先,这些特征向量是单位向量,其次,这些特征向量是正交的。
    三、内积是向量的一种运算。
    (1)向量的数量积(点积): a a a b b b都是列向量,有 a ⋅ b = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ × c o s θ a·b = |a| × |b| × cosθ ab=a×b×cosθ,这2个向量是2维或3维。
    在3维空间中
    ( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 (x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3
    (2)内积是数量积的一种推广,用内积来定义n维向量的长度和夹角
    ( a ⋅ b ) = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n (a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n (ab)=i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
    (3)n维向量 x x x的长度(或模)= ∣ ∣ x ∣ ∣ = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2} x=x12+x22+...+xn2 ,当 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x||=1 x=1时,称 x x x为单位向量。
    (4)向量标准化
    x ≠ 0 时 , x ∣ ∣ x ∣ ∣ x \neq 0时,\frac{x}{||x||} x̸=0xx是一个单位向量,称这一运算为将向量 x x x标准化或单位化。
    (5)向量夹角
    c o s θ = x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ × ∣ ∣ y ∣ ∣ cos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||} cosθ=x×yxy
    x ⋅ y = 0 x·y=0 xy=0表示 x 和 y x和y xy正交,当 x = 0 或 y = 0 x=0或y=0 x=0y=0则向量内积正交,零向量与任何向量都正交。

    展开全文
  • 一、对称矩阵(Symmetric Matrices)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。 如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,...

    一、对称矩阵(Symmetric Matrices)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。

    如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。比如:
    A = [ 1 2 7 2 3 1 7 1 11 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 2&7\\ 2& 3&1\\ 7&1&11 \end {bmatrix} A=1272317111
    二、设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量 a a a,使得 A a = λ a Aa=λa Aa=λa,则称λ是矩阵A的特征值, a a a是A属于特征值λ的特征向量。
    A的所有特征值的全体,叫做A的谱,记为 λ ( A ) λ(A) λ(A)
    经过A的线性变换后,向量 a a a仅仅做了尺度的绽放而没有做其他的变换。
    三、
    1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的,即: a 1 , a 2 为 2 个 特 征 向 量 , 则 a 1 a 2 = 0 a_1,a_2为2个特征向量,则a_1a_2=0 a1,a22a1a2=0
    2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
    3.n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
    4.若 λ λ λ是A的特征方程的 λ λ λ重根,对应的特征值 λ λ λ恰有 λ λ λ个线性无关的特征向量。

    四、如果 A A T = E AA^T=E AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或 A T A = E A^TA=E ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
    在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为+1,则称之为特殊正交矩阵。
    1.方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;
    2.方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;
    3.A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;
    4.A的列向量组也是正交单位向量组。
    5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵

    展开全文
  • 谈谈特征向量的正交性小唠嗑一、定理:实对称矩阵不同特征值对应的特征向量都正交二、证明思路总结结尾小独白 小唠嗑 很多时候自己学一些新知识的时候,总是会用到之前学过的知识点,但是由于有些点比较零散,不太...
  • 如果非零向量组a1,a2,...,ama_1,a_2,...,a_ma1​,a2​,...,am​两两正交,即: ai⋅aj=aiTaj=0(i≠j;i,j=1,2,...,m)a_i \cdot a_j=a_i^Ta_j=0(i \neq j;i,j=1,2,...,m)ai​⋅aj​=aiT​aj​=0(i̸​=j;i,j=1,2,...,...
  • 在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称...
  • 雅可比方法用于求解实对称矩阵的特征值和特征向量,对于实对称矩阵AAA,必有正交矩阵UUU,使得UTAU=DU^{T}AU=DUTAU=D.DDD是一个对角阵,主对角线的元素是矩阵AAA的特征值,正交矩阵UUU的每一列对应于属于矩阵DDD的主对角...
  • 本文研究实对称矩阵特征值的最大值与最小值。定理设 是 阶实对称矩阵,记 分别是 中所有特征值中的最大值与最小值,则 证明:这里只证关于最大值的那部分。最小值的证明是完全类似的。因为 是实对称矩阵,所以 有由 ...
  • 对称矩阵特征值与特征向量

    万次阅读 2018-08-20 21:23:15
    对称矩阵: A = A的转置 这里讨论的是实对称矩阵 两个好的性质: 1, 特征值是实数 2,特征向量是两两正交的 ...一个对称矩阵A可以进行如下分解: ...正定矩阵的所有特征值都是正数。所有的主元都...
  • 对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,...
  • **不同特征值对应的特征向量相互正交**,是实对称矩阵的一个重要属性,而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性:**实对称矩阵必可相似对角化**。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交,...
  • 从机器学习、量子计算、物理到许多数学和工程的问题,都可以通过找到一个矩阵特征值和特征向量来解决。根据定义(标量λ、向量v是特征值、特征向量A):视觉上,Av与特征向量v位于同一直线上。这里有些例子。然而,Ax...
  • 对称矩阵特征值和特征向量 这一节,我们首先研究一类重要的矩阵,实对称矩阵,的特征值和特征向量。 性质 我们的主要结论是 实对称矩阵特征值全部是实数。 实对称矩阵可以取到 nnn 个正交的特征实向量。 原因 ...
  • 2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。6.属于A的不同特征值的特征向量线性...
  • 以下就从实对称矩阵的角度出发,利用特征值的极小极大原理,从普通特征值问题Ax=λxAx=\lambda xAx=λx衍生到广义特征值问题Ax=λBxAx=\lambda BxAx=λBx逐步讨论其特征值的性质。 【广义特征值问题】设A=(aij)∈Rn...
  • 考虑充要条件==, 矩阵A、B相似==A、B特征值相同且A、B均可相似标准化(特征对角阵化)——1 矩阵A、B合同==A、B有相同正负惯性指数——2 矩阵A、B均以正交变换进行相似对角化,即A、B均与各自相似标准型合同==A、B与...
  • 1. 实对称矩阵特征值都是实数 2. 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交
  • %本函数采用Jacobi方法计算实对称矩阵的所有特征值和对应特征向量 %返回值D为特征值对角阵,V为对应特征向量构成的正交方阵 %即有V'*A*V=D,V'*V=I %采用查找绝对值最大的非对角元素方法 function [D,V]=Jaco(A) ...
  • 设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵,m,n为其不同的特征值,p,q分别为其对应得特征向量.  则 p^T(Aq)=p^T(nq)=np^Tq  (p^TA)q=(p^TA^T)q=(AP)^Tq=(mp)^Tq=mp^Tq  因为 p^T(Aq)= (p^TA)q  上两式作差得:  (m-n)p^...
  • 它们的特征向量可能具有特定的特征值或特殊关系。还有一些方法可以将一个矩阵分解成这些“更简单”的矩阵。操作复杂性的降低提高了可伸缩性。然而,即使这些矩阵都是特殊的,它们也不是罕见的。在机器学习和许多应用...
  • 绕坐标轴的旋转绕着z轴旋转的3d矩阵写出来(推导过程可以见之前的文章): 类似可以写出绕x,y轴旋转的矩阵: 绕向量u旋转假设物体绕单位向量 旋转 θ, 可以写出旋转矩阵: 具体推导过程可以参见这篇文章9.2部分....
  • 如果一个方阵 相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵 使得 是对角矩阵,则就被称为可以相似对角化的。下面,我们就通过矩阵的相似对角化:来简单从数学角度解释下面几个问题:为什么要进行矩阵的相似对角化?...
  • 前言本文主要针对线性代数中的正定矩阵、实对称矩阵、矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击如下卡片,查看完整博客分类与对应链接。【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内...
  • 对于实对称矩阵AAA,具有不同的特征值λi、λj....\lambda _i 、 \lambda _j ....λi​、λj​....。 由Axi=λixiAx_i=\lambda _i x_iAxi​=λi​xi​,转置得xiTAT=xiTA=λixiTx_i^TA^T=x_i^TA=\lambda _i x_i^TxiT...
  • 浅谈矩阵的相似对角化(一)​zhuanlan.zhihu.com在上一篇文章我们证明了任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章中我们一起讨论实对称矩阵的性质以及二次型的...
  • %本函数采用Jacobi方法计算实对称矩阵的所有特征值和对应特征向量 %返回值D为特征值对角阵,V为对应特征向量构成的正交方阵 %即有V'*A*V=D,V'*V=I %采用查找绝对值最大的非对角元素方法 function [D,V]=jacobi(A) ...
  • 我通过外部文件导入建立了一个无向图的邻接矩阵,是一个实对称矩阵矩阵规模较大,然后计算特征值和特征向量的时候,为什么特征值和特征向量里面会出现复数?该怎样处理?谢谢了!

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 8,459
精华内容 3,383
关键字:

对称正交矩阵的特征值