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  • )或ATA=EA^TA=EATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件: (1) ATA^TAT是正交矩阵 (2) E为单位矩阵 (3) A各行是单位向量且两两正交 (4) A各列是单位向量且两两正交 (5) $ (Ax,Ay)=...

    一、
    如果:AAT=EAA^T=E(E为单位矩阵,ATA^T表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=EA^TA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
    (1) ATA^T是正交矩阵
    (2) E为单位矩阵
    (3) A的各行是单位向量且两两正交
    (4) A的各列是单位向量且两两正交
    (5) A=1|A|=11-1abs(A)=1abs(A)=1
    (6) AT=A1A^T=A^{-1}
    (7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
    二、特征向量的长度限制为1,这些特征向量组成的矩阵,首先,这些特征向量是单位向量,其次,这些特征向量是正交的。
    三、内积是向量的一种运算。
    (1)向量的数量积(点积):aabb都是列向量,有ab=a×b×cosθa·b = |a| × |b| × cosθ,这2个向量是2维或3维。
    在3维空间中
    (x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3(x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3
    (2)内积是数量积的一种推广,用内积来定义n维向量的长度和夹角
    (ab)=i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn(a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n
    (3)n维向量xx的长度(或模)=x=x12+x22+...+xn2||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2},当x=1||x||=1时,称xx为单位向量。
    (4)向量标准化
    x0xxx \neq 0时,\frac{x}{||x||}是一个单位向量,称这一运算为将向量xx标准化或单位化。
    (5)向量夹角
    cosθ=xyx×ycos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||}
    xy=0x·y=0表示xyx和y正交,当x=0y=0x=0或y=0则向量内积正交,零向量与任何向量都正交。

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  • 如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。比如: A=[1272317111] A=\begin{bmatrix} 1 & 2&...

    一、对称矩阵(Symmetric Matrices)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。

    如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。比如:
    A=[1272317111] A=\begin{bmatrix} 1 & 2&7\\ 2& 3&1\\ 7&1&11 \end {bmatrix}
    二、设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量aa,使得Aa=λaAa=λa,则称λ是矩阵A的特征值,aa是A属于特征值λ的特征向量。
    A的所有特征值的全体,叫做A的谱,记为 λ(A)λ(A)
    经过A的线性变换后,向量aa仅仅做了尺度的绽放而没有做其他的变换。
    三、
    1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的,即:a1,a22a1a2=0a_1,a_2为2个特征向量,则a_1a_2=0
    2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
    3.n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
    4.若λλ是A的特征方程的λλ重根,对应的特征值λλ恰有λλ个线性无关的特征向量。

    四、如果AAT=EAA^T=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=EA^TA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
    在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为+1,则称之为特殊正交矩阵。
    1.方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;
    2.方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;
    3.A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;
    4.A的列向量组也是正交单位向量组。
    5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵

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  • **不同特征值对应的特征向量相互正交**,是实对称矩阵的一个重要属性,而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性:**实对称矩阵必可相似对角化**。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交,...

    前言

    不同特征值对应的特征向量相互正交,是实对称矩阵的一个重要属性,而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性:实对称矩阵必可相似对角化。对于一个 n 维矩阵,其可相似对角化的充分且必要条件是——具有 n 个线性无关的特征向量。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交,那么这个矩阵不同特征值对应的特征向量之间线性无关,即该矩阵具有 n 个线性无关的特征向量,则该矩阵可相似对角化。所以,实对称矩阵必可相似对角化。

    本文的中心是证明——对于实对称矩阵,不同特征值对应的特征向量相互正交。

    证明

    给定一个 n 维实对称矩阵 SS ,用 λ,α\lambda, \alpha 表示它的两个不等的特征值,用 x,yx, y 分别表示 SS 对应于 λ,α\lambda, \alpha 的特征向量,即:ST=S, Sx=λx, Sy=αy (αλ)S^T=S,\ Sx=\lambda x ,\ Sy=\alpha y \ (\alpha \neq \lambda).

    Sx=λxSx=\lambda x 两边转置,得 xTST=λxTx^TS^T=\lambda x^T,再往两端右乘一个 yy,并利用 ST=SS^T=S,得:
    xTSy=λxTy(1) x^TSy = \lambda x^Ty \tag{1}
    Sy=αySy=\alpha y 两端左乘一个 xTx^T,得:
    xTSy=αxTy(2) x^TSy=\alpha x^Ty \tag{2}
    再用 式(1)(1) 减去 式(2)(2)
    0=(λα)xTy(3) 0 = (\lambda - \alpha)x^Ty \tag{3}
    已知 λα\lambda \neq \alpha,所以只能是 xTy=0x^Ty=0,即特征向量 xx 与特征向量 yy 相互正交,故得证:对于实对称矩阵,不同特征值对应的特征向量相互正交。

    参考源

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  • 正交矩阵概述:正交矩阵定义正交矩阵的性质norm preservingnorm preserving 与 正交矩阵的充要条件正交操作对称矩阵的定义对称矩阵的正交化矩阵P和对角矩阵D的求解方法对称矩阵对角化的好处1、正交矩阵定义矩阵的列...

    正交矩阵概述:

    1. 正交矩阵定义
    2. 正交矩阵的性质
    3. norm preserving
    4. norm preserving 与 正交矩阵的充要条件
    5. 正交操作
    6. 对称矩阵的定义
    7. 对称矩阵的正交化矩阵P和对角矩阵D的求解方法
    8. 对称矩阵对角化的好处

    1、正交矩阵定义

    • 矩阵的列相互正交独立
    • 矩阵的列的长度为1

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    2、正交矩阵的性质

    • 正交矩阵与它的转置的乘积为单位的正交矩阵

    cf1621053d27a5190354a93f6b0779a7.png
    • 正交矩阵性质的推论

    33e0aba58b102247d5ca12b397d70933.png

    3. norm preserving

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    d9338a53973b23417b7e58a585459f3d.png

    4.norm preserving 与 正交矩阵的充要条件

    5. 正交操作

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    6. 对称矩阵

    • 对称矩阵的含义
    • 对称矩阵一定可以对角化
    • 对称矩阵的构成
    • 对称矩阵的性质:
    1. 对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定是正交且独立的
    2. 从重根的特征值取出的独立特征向量可能不正交,我们要学会利用施密特正交变换把它转化为正交

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    7、对称矩阵的正交化矩阵P和对角矩阵D的求解方法

    1. 对称矩阵的对角化时正交化矩阵P的求解方法

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    对称矩阵的不同特征值对应的特征向量一定是正交且独立的

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    从特征空间取出来的特征向量是相互独立且正交

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    对称矩阵的特征值都为实数
    • 从特征空间取出的特征向量可能并不正交,要是用施密特变换转换为标准正交化的基

    进而根据性质进行组合,得到正交化矩阵P

    eg:

    1d77b4590f65633226fd7cd27d3b52d6.png

    2. 对称矩阵对角化时,对角矩阵的求解方法:

    • 对称矩阵的公式得到矩阵A和对角矩阵D是相似的
    • 由A=PDP-1得到D就是A的特征向量对应的特征值的组合

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    783fbecc8dbb0ef1c4f99eeaf37f8498.png

    eg:综合求解的例子

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    8、对称矩阵对角化的好处

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    下一节:广义向量和SVD


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    机器学习数学基础线代笔记|正交矩阵与对称矩阵机器学习数学基础线代笔记|正交矩阵与对称矩阵w.url.cn
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  • 对称矩阵的特征值与特征向量

    万次阅读 2018-08-20 21:23:15
    对称矩阵: A = A的转置 这里讨论的是实对称矩阵 ...即正主元的个数等于正的特征值的个数。   正定矩阵:首先是一个对称矩阵,是对称矩阵一个很好的子类。正定矩阵的所有特征值都是正数。所有的主元都...
  • 设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵,m,n为其不同的特征值,p,q分别为其对应得特征向量.  则 p^T(Aq)=p^T(nq)=np^Tq  (p^TA)q=(p^TA^T)q=(AP)^Tq=(mp)^Tq=mp^Tq  因为 p^T(Aq)= (p^TA)q  上两式作差得:  (m-n)p^...
  • 对称矩阵的特征值和特征向量 这一节,我们首先研究一类重要的矩阵,实对称矩阵,的特征值和特征向量。 性质 我们的主要结论是 实对称矩阵的特征值全部是实数。 实对称矩阵可以取到 nnn 个正交的特征实向量。 原因 ...
  • 对于实对称矩阵AAA,具有不同的特征值λi、λj....\lambda _i 、 \lambda _j ....λi​、λj​....。 由Axi=λixiAx_i=\lambda _i x_iAxi​=λi​xi​,转置得xiTAT=xiTA=λixiTx_i^TA^T=x_i^TA=\lambda _i x_i^TxiT...
  • 1. 实对称矩阵的特征值都是实数 2. 实对称矩阵不同特征值的实特征向量相互正交
  • 对称矩阵(3):正交变换前 言(1)今天我们来讨论利用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的问题。(2)常规的相似变换, 可逆矩阵P的逆矩阵较难求。...那么这里求正交矩阵的关键就在于, k重特征值的k个线性...
  • 对称阵有一个很优美的性质:...假设矩阵AA是一个对称矩阵, xix_i和xjx_j 是矩阵AA 的任意两个特征向量,λi\lambda_i和λj\lambda_j 是与xix_i和xjx_j 相对应的特征值,则有: Axi=λixi(1)Ax_i = \lambda_ix_i \qqu
  • %本函数采用Jacobi方法计算实对称矩阵的所有特征值和对应特征向量 %返回值D为特征值对角阵,V为对应特征向量构成的正交方阵 %即有V'*A*V=D,V'*V=I %采用查找绝对值最大的非对角元素方法 function [D,V]=Jaco(A) ...
  • %本函数采用Jacobi方法计算实对称矩阵的所有特征值和对应特征向量 %返回值D为特征值对角阵,V为对应特征向量构成的正交方阵 %即有V'*A*V=D,V'*V=I %采用查找绝对值最大的非对角元素方法 function [D,V]=jacobi(A) ...
  • 机器学习作业: (1)证明A(n*n)对称矩阵特征值互不相同,对应的特征向量正交 (2)证明矩阵A(n*n)对称矩阵中最小的特征向量\lambda_{min}、单位矩阵I有A-\lambda_{min}*I半正定 ...
  • 对角矩阵对角矩阵不一定是个方阵,只要i≠j位置元素为0即可。但一般说对角矩阵,考虑都是方阵情况,对于方阵,那就是只有主对角线上元素可以不为0,其它元素都是0。 主对角元从左上角到右下角次序常常...
  • 这部分包括:正交矩阵矩阵的特征值、特征向量、相似矩阵、实对称矩阵对角化。
  • 目录:1、计算特征多项式2、矩阵的特征值、特征向量3、矩阵的对角化4、向量值的正交化与正交矩阵5、正交变换与二次型的标准化6、矩阵的对称性与正定性的判定7、常见矩阵的分解工具:WolframAlpha计算搜索引擎位...
  • 在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称...
  • 设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵,m,n为其不同的特征值,p,q分别为其对应得特征向量. 则p'(Aq)=p'nq)=np'q (p'A)q=(p'A')q=(AP)'q=(mp)'q=mp'q 上两式作差得: (m-n)p'q=0 由于m不等于n,所以p'q=0 即(p,q)=0,从而p,q...
  • 目录:1、计算特征多项式2、矩阵的特征值、特征向量3、矩阵的对角化4、向量值的正交化与正交矩阵5、正交变换与二次型的标准化6、矩阵的对称性与正定性的判定7、常见矩阵的分解工具:WolframAlpha计算搜索引擎位...
  • 设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵,m,n为其不同的特征值,p,q分别为其对应得特征向量. 则 p1(Aq)=p1(nq)=np1q (p1A)q=(p1A1)q=(AP)1q=(mp)1q=mp1q 因为 p1(Aq)= (p1A)q 上两式作差得: (m-n)p1q=0 由于m不等于...
  • 的不同的特征值, P 和 Q 分别为对应的特征向量  P T ( AQ ) = P T (λ 2 Q ) = λ 2 P T Q   (1) ( P T A ) Q = ( P T A T ) Q = ( AP ) T Q = (λ 1 P ) T Q = λ 1 P T Q ...
  • 线性代数 - 05 矩阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 二、矩阵的相似与矩阵的对角化 ...2、实对称矩阵的特征值与特征向量 转载于:https://www.cnblogs.com/haicheng/p/3701556.html...
  • 数据分析、信号处理和机器学习中矩阵方法第04讲 特征值和特征向量新MIT 线性代数|机器学习(中英机翻字幕)18.065 by Gilbert Strang_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili​www.bilibili.com上一节是正交矩阵Q,...
  • 前置知识对于一个实对称矩阵\(A\),必存在对角阵\(D\)和正交阵\(U\)满足$$D=U^TAU$$\(D\)的对角线元素为\(A\)的特征值,\(U\)的列向量为\(A\)的特征向量。定义\(n\)阶旋转矩阵$$G(p,q,\theta)=\begin{bmatrix}1 &...
  • 对称矩阵的特征值是实数(越不对称越可能特征值不是实数),并且正交向量是相互正交的。也就是说正交向量构成的矩阵是正交矩阵。 在特征值构造对角矩阵这个文章我们提到了矩阵A可以这样分解成正交向量矩阵与特征值...

空空如也

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对称正交矩阵的特征值