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  • 一、求两点所形成的直线方程:给定两点p1(x1,y1),p2(x2,y2),假设两点不...二、求点到直线的距离,垂足,对称点点坐标p(x0,y0)直线方程AX+BY+C=0点到直线距离d垂足(x,y)对称点(x`,y`)(1)距离: d = ( Ax0 + B...

    一、求两点所形成的直线方程:

    给定两点p1(x1,y1),p2(x2,y2),假设两点不重合,求直线方程A*X+B*Y+C=0,A,B,C分别是

    A=y2-y1;

    B=x1-x2;

    C=x2*y1-x1*y2;

    二、求点到直线的距离,垂足,对称点

    点坐标p(x0,y0)

    直线方程AX+BY+C=0

    点到直线距离d

    垂足(x,y)

    对称点(x`,y`)

    (1)距离:

                   d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

                  这个"距离"有符号,表示在点的上方或下方,取绝对值表示欧式距离

    (2)垂足:

                  求解两个方程:(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

                  

                  解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                            y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

    (3)对称点:

            方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

            方法二:

                    把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点:

                    首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                    解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                               y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

           方法三:

                    首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                    则,    x' = x0 + k * A;

                               y' = y0 + k * B;

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  • 点到直线的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。 解决方法: (1)距离: d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B ); 这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取...

    问题描述1:

    已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

    (1)距离:

             d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

             这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取绝对值表示欧式距离。

    (2)垂足:

             求解两个方程:(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

             解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                        y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

    (3)对称点:

             方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

             方法二:把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点:

                    首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                    解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                               y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

             方法三:首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                     则,   x' = x0 + k * A;

                               y' = y0 + k * B;

        /**
         * Description 求点到直线的垂足
         * 
         * @param x1
         *            点横坐标
         * @param y1
         *            点纵坐标
         * @param A
         *            直线方程一般式系数A
         * @param B
         *            直线方程一般式系数B
         * @param C
         *            直线方程一般式系数C
         * @return 垂足点
         */
        private static Point getFootOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, double C) {
            if (A * A + B * B < 1e-13)
                return null;
    
            if (Math.abs(A * x1 + B * y1 + C) < 1e-13) {
                return new Point(x1, y1);
            } else {
                double newX = (B * B * x1 - A * B * y1 - A * C) / (A * A + B * B);
                double newY = (-A * B * x1 + A * A * y1 - B * C) / (A * A + B * B);
                return new Point(newX, newY);
            }
        }
    
        /**
         * Description 点到直线的距离
         * 
         * @param x1
         *            点横坐标
         * @param y1
         *            点纵坐标
         * @param A
         *            直线方程一般式系数A
         * @param B
         *            直线方程一般式系数B
         * @param C
         *            直线方程一般式系数C
         */
        private static double getDistanceOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, double C) {
            double distance = Math.abs((A * x1 + B * y1 + C) / Math.sqrt(A * A + B * B));
            return distance;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            // 直线方程为 :-1*x+1*y+0=0,也就是y=x+0
            double A = -1d, B = 1d, C = 0d;
            
            // 点0,1到之前y=x+0的垂足
            Point point = getFootOfPerpendicular(0, 1, -1, 1, 0);
            System.out.println(point.getX() + "," + point.getY());
    
            // 点0,1到之前y=x+0的距离
            double distance = getDistanceOfPerpendicular(0, 0, -1, 1, 0);
            System.out.println(distance);
        }

    问题描述2:

    已知点的坐标(x0,y0),直线上的两点(x1,y1)、(x2,y2);求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

            方法一:把直线化两点式为一般式,则一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;带入上面的公式,即可求出相应的距离、垂足、对称点。

            方法二:

    (a)距离:

             首先,求出垂足的坐标;

             则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

    (b)垂足:

             首先,求一系数 k: 设直线的起点和终点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),直线外一点为C(x0, y0),垂足为D;并设k = |AD| / |AB。

             则,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。

             带入坐标,即得, k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

             则 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);

    (c)对称点:

             同问题描述1中的方法。

    参考《点关于直线的距离、垂足、对称点公式

    转载于:https://www.cnblogs.com/yy3b2007com/p/9073664.html

    展开全文
  • 下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。 问题描述1:已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’,...

    下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。

    问题描述1:已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

    (1)距离:

             d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

             这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取绝对值表示欧式距离。

    (2)垂足:

             求解两个方程:(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A;

             解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                        y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

    (3)对称点:

             方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

             方法二:把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点:

                    首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                    解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                               y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

             方法三:首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                     则,   x' = x0 + k * A;

                               y' = y0 + k * B;

                      此证明详见资源:http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639

            

    问题描述2:已知点的坐标(x0,y0),直线上的两点(x1,y1)、(x2,y2);求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

            方法一:把直线化两点式为一般式,则一般式中的A = y2 -y1; B = x1 - x2; C = x2*y1 - x1*y2;带入上面的公式,即可求出相应的距离、垂足、对称点。

            方法二:

    (a)距离:

             首先,求出垂足的坐标;

             则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

    (b)垂足:

             首先,求一系数 k: 设直线的起点和终点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),直线外一点为C(x0, y0),垂足为D;并设k = |AD| / |AB。

             则,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。

             带入坐标,即得, k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

             则 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);

    (c)对称点:

             同问题描述1中的方法。

    ==========================================================================================================================
    --------------------- 
    作者:changbaolong 
    来源:CSDN 
    原文:https://blog.csdn.net/changbaolong/article/details/7414796 
    版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

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  • 下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。 问题描述1: 已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0; 求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点...

     下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。

    问题描述1:

    已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0;

    求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y’)。

    解决方法:

    (1)距离:

             d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( A*A + B*B );

             这个“距离”有符号,表示点在直线的上方或者下方,取绝对值表示欧式距离。

    (2)垂足:

             求解两个方程:

      (a)  Ax + By + C = 0;

      (b)  (y - y0) / (x - x0) = B / A;

             解得,x = (  B*B*x0  -  A*B*y0  -  A*C  ) / ( A*A + B*B );

                        y  =  ( -A*B*x0 + A*A*y0 - B*C  ) / ( A*A + B*B );

    (3)对称点:

             方法一:求解两个方程:(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;

             方法二:把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点:

                    首先,求出垂足;则x’ = 2*x - x0; y‘ = 2*y - y0;

                    解得,x’ = ( (B*B - A*A)*x0 - 2*A*B*y0 - 2*A*C ) / ( A*A + B*B );

                               y‘ = ( -2*A*B*x0 + (A*A - B*B) * y0 - 2*B*C ) / ( A*A+B*B );

             方法三:首先,求一系数k,k = - 2 * (A*x0 + B*y0 + C) / (A*A+B*B);

                     则,   x' = x0 + k * A;

                               y' = y0 + k * B;

                      此证明详见资源:http://download.csdn.net/detail/changbaolong/4196639

            

    问题描述2:

    已知点的坐标(x0,y0),直线上的两点(x1,y1)、(x2,y2);

    求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点(x’, y‘)。

    解决方法:

            方法一:把直线化两点式为一般式,则一般式中的A = y2 -y1;       B = x1 - x2;     C = x2*y1 - x1*y2;    带入上面的公式,即可求出相应的距离、垂足、对称点。

            方法二:

    (a)距离:

             首先,求出垂足的坐标;

             则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0)  +  (y - y0) * (y - y0));

    (b)垂足:

             首先,求一系数 k: 设直线的起点和终点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),直线外一点为C(x0, y0),垂足为D;并设k = |AD| / |AB。

             则,k * AB = AD = AC + CD,又 AB * CD= 0;所以,k * AB* AB = AC *AB,故 k =AC * AB / (AB * AB)。

             带入坐标,即得,

         k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) )  / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;

             则   x = x1 + k*(x2 - x1);      y = y1 + k*(y2 - y1);

    (c)对称点:

             同问题描述1中的方法。

    转载于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/8904097.html

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  • 下面通过两种直线方程的形式,求解点关于直线的距离、垂足、对称点公式。 问题描述1: 已知点的坐标(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C = 0; 求点到直线上的距离d、点在直线上的垂足(x, y)、点关于直线的对称点...
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