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  •  看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。 1、对称矩阵(文献【1...

    题目:对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵

            看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)


    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)


    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)


    参考文献:

    【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社,2007.

    【2】史荣昌, 魏丰. 矩阵分析[M]. 3版.北京:北京理工大学出版社, 2010.

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  • 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。 1、对称矩阵(文献【1】...

            看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)


    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)


    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)


    参考文献:

    【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社,2007.

    【2】史荣昌, 魏丰. 矩阵分析[M]. 3版.北京:北京理工大学出版社, 2010.

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  • 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。 1、对称矩阵(文献【1】...

    http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50596604

    看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

     

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)

    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)

     

    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

     

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

     

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

     

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

     

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

     

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)

     

    8、合同矩阵

    合同矩阵:设A,B是两个n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使得
    则称方阵A与B合同,记作 A≃B。

    对于二次型的矩阵表示来说,做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

    线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知,合同矩阵等秩。

     

    9、正定矩阵

    正定矩阵是一种实对称矩阵正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。

    (1)广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M正定矩阵。
    例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。aE+B在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)
    (2)狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。其中zT表示z转置
     
     

    转载于:https://www.cnblogs.com/yuluoxingkong/p/8534563.html

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  • 目录实对称矩阵定义实反对称矩阵定义厄米特矩阵定义反厄米特矩阵定义正交矩阵定义性质酉矩阵(幺正矩阵)定义性质正规矩阵定义性质正定矩阵定义性质充要条件友矩阵(伴侣矩阵)定义性质旋转矩阵定义性质对比 实对称...

    实对称矩阵

    定义

    AT=AA^T=A


    实反对称矩阵

    定义

    AT=AA^T=-A


    厄米特矩阵

    定义

    AH=AA^H=A


    反厄米特矩阵

    定义

    AH=AA^H=-A


    正交矩阵

    定义

    ATA=AAT=IA^TA=AA^T=I

    • 换言之,当AT=A1A^T=A^{-1}时,AA被称为正交矩阵

    性质

    • AT=A1A^T=A^{-1}

    酉矩阵(幺正矩阵)

    定义

    AAH=AHA=IAA^H=A^HA=I

    • 其中,AHA^H表示共轭转置
    • 换言之,当AH=A1A^H=A^{-1}时,AA被称为酉矩阵

    性质

    • AH=A1A^H=A^{-1}
    • 酉矩阵的特征值都是模为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,所以det(A)=1|det(A)|=1
    • A的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基
    • A的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基
    • 酉矩阵是正规矩阵

    正规矩阵

    定义

    AHA=AAHA^HA=AA^H

    性质

    • 对角矩阵、(反)实对称矩阵、(反)厄米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵;
    • AA的全部特征值为实数时,是厄米特矩阵;
    • AA的全部特征值为零或虚数时,是反厄米特矩阵;
    • AA的全部特征值的模为1时,是酉矩阵;
    • AA为正规矩阵的充要条件:存在酉矩阵QQ,使得AA酉相似于对角矩阵;
    • 与正规矩阵AA有相似的矩阵都是正规矩阵;
    • 正规矩阵An×nA_{n \times n}必有nn个线性无关的特征向量;
    • 正规矩阵AA的不同特征值的特征子空间是互相正交的。

    正定矩阵

    定义

    对于nn阶方阵AA,若对于任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx>0,则AA为正定矩阵。

    性质

    • 行列式恒为正;
    • 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    • AA是正定矩阵,则AA的逆矩阵也是正定矩阵;
    • 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    • 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵;

    充要条件

    • AA的特征值均为正;
    • 存在可逆矩阵PP,使得A=PTPA=P^TP,即AAII合同;
    • AA的顺序主子式均大于零;
    • AA的正惯性指数为nn

    友矩阵(伴侣矩阵)

    定义

    A=[000a0100a1010an2001an1]A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right]

    • 主对角线上方或者下方的元素均为1,主对角线元素为零;
    • 最后一行或第一行的元素可取任意值;而其余元素均为零;

    性质

    • 方阵的有理标准形就是由友矩阵块构成的分块对角矩阵,而有理标准形在应用上以及理论推导中,都有较大的作用;

    旋转矩阵

    定义

    A=[11cosθsinθ11sinθcosθ11]A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right]

    • A(p,p)=A(q,q)=cosθA(p,p) = A(q,q) = cos\thetaA(p,q)=A(q,p)=sinθA(p,q) = A(q,p) = sin\theta,主对角线为1,其他位置均为0;
    • 对于矩阵XX,左乘ATA^T,则第pp行和第qq行发生改变;
    • 对于矩阵XX,右乘AA,则第pp列和第qq列发生改变;

    性质

    • AA为正交矩阵;
    • 两个向量被同一个旋转矩阵操作之后,内积保持不变

    对比

    定义
    实对称矩阵 AT=AA^T=A
    反实对称矩阵 AT=AA^T=-A
    厄米特矩阵 AH=AA^H=A
    反厄米特矩阵 AH=AA^H=-A
    正交矩阵 AAT=ATA=IAA^T=A^TA=I
    酉矩阵(幺正矩阵) AAH=AHA=IAA^H=A^HA=I
    正规矩阵 AAH=AHAAA^H=A^HA
    正定矩阵 x,xTAx>0\forall x,x^TAx>0
    友矩阵(伴侣矩阵) A=[000a0100a1010an2001an1]A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right]
    旋转矩阵 A=[11cosθsinθ11sinθcosθ11]A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right]
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  • 对称矩阵特征向量正交的推导

    千次阅读 2020-08-21 18:25:32
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  • 对称矩阵特征向量正交推导

    千次阅读 2017-02-25 12:15:12
    对于对称方阵A,如有特征解λ1对应特征向量p1,特征解λ2对应特征向量p2,根据特征向量的定义,有: A * p1 = λ1 * p1 ① A * p2 = λ2 * p2 ② 如p1和p2正交,则必有p1' * p2 = 0,欲证明此式,可构造非零...
  • 对称矩阵

    万次阅读 2018-10-18 19:14:30
    对称矩阵的定义,如果n阶矩阵A满足 则称A为实对称矩阵。 性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交 性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的...
  • 矩阵定义收集

    2017-11-09 10:27:37
    1、对称矩阵 2、转置矩阵 3、Hermite矩阵 ... Hermite阵是对称阵概念推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。...5、正交矩阵 6、酉矩阵  类似于Hermite
  • 在次对称矩阵定义的基础上给出了K-(反)次对称矩阵的概念,利用次对称矩阵的研究方法及特殊矩阵K的性质,推出了K-(反)次对称矩阵的若干性质,研究了几个与K-(反)次对称矩阵相关的问题,并讨论了K-次对称矩阵和K-次正交...
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    定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 主要性质: 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的(网易笔试题曾考过)。 ...
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  • 在此基础上,我们研究了在正交和辛对称情况下较早考虑Yang-Baxter算子类比:矢量(基本)R矩阵,L算子定义了Yangian代数及其一阶和二阶求值。 我们研究了在u逆幂截断展开情况下L(u)条件,并给出了...
  • 正规矩阵的谱半径等于谱范数

    千次阅读 2020-08-09 22:57:18
    有一类矩阵 AAA,如:对角矩阵、实对称矩阵(A⊤=AA^\top = AA⊤=A)、实反对称矩阵(A⊤=−AA^\top = -AA⊤=−A)、厄米特矩阵(AH=AA^H = AAH=A)、反厄米特矩阵(AH=−AA^H = -AAH=−A)、正交矩阵(ATA=AAT=IA^T...
  • 线性代数1 矩阵

    2020-08-25 17:03:43
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  • 这些自旋链的单峰矩阵分别满足加长的扭曲的仰光Xρ(so2n,so2nρ)tw和Xρ(sp2n,sp2nρ)tw的定义关系。 我们使用De Vega和Karowski方法的推广,使我们可以将so2n或sp2n对称的开旋链的光谱问题与Belliard和...
  • 第一章 矩阵代数

    2017-05-01 21:32:22
    正交矩阵的三个等价定义:若方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。对称的幂等矩阵称为投影矩阵。 正交矩阵A的几何意义 正交阵A的行列式非1即−1。若|A|=1,则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交...
  • 本文采用Dirac符号表示基矢量,并引入伴基矢量的定义,从而建立了单位算符的两种表示形式。利用单位算符可以使运动方程转化为矩阵方程,并使方程求解转化为一系列基矢的变换过程。附录中给出子程序SYMSOL...
  • 正定矩阵(用于SVMMercer定理)

    千次阅读 2014-11-27 10:49:31
    定义:一个n × n对称矩阵 M 是正定当且仅当对于所有非零实系数向量z,都有 zTMz > 0。 正定矩阵判定: 1. 矩阵M所有特征值 λi都是正。根据谱定理,M必然与一个实对角矩阵D相似(也就是说M = P − 1...

空空如也

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对称的正交矩阵的定义