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  • 对称的正交矩阵的定义
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    2018-10-01 10:14:17

    一、
    如果: A A T = E AA^T=E AAT=E(E为单位矩阵, A T A^T AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或 A T A = E A^TA=E ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
    (1) A T A^T AT是正交矩阵
    (2) E为单位矩阵
    (3) A的各行是单位向量且两两正交
    (4) A的各列是单位向量且两两正交
    (5) ∣ A ∣ = 1 |A|=1 A=1 − 1 -1 1 a b s ( A ) = 1 abs(A)=1 abs(A)=1
    (6) A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A1
    (7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
    二、特征向量的长度限制为1,这些特征向量组成的矩阵,首先,这些特征向量是单位向量,其次,这些特征向量是正交的。
    三、内积是向量的一种运算。
    (1)向量的数量积(点积): a a a b b b都是列向量,有 a ⋅ b = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ × c o s θ a·b = |a| × |b| × cosθ ab=a×b×cosθ,这2个向量是2维或3维。
    在3维空间中
    ( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 (x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3
    (2)内积是数量积的一种推广,用内积来定义n维向量的长度和夹角
    ( a ⋅ b ) = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n (a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n (ab)=i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
    (3)n维向量 x x x的长度(或模)= ∣ ∣ x ∣ ∣ = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2} x=x12+x22+...+xn2 ,当 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x||=1 x=1时,称 x x x为单位向量。
    (4)向量标准化
    x ≠ 0 时 , x ∣ ∣ x ∣ ∣ x \neq 0时,\frac{x}{||x||} x̸=0xx是一个单位向量,称这一运算为将向量 x x x标准化或单位化。
    (5)向量夹角
    c o s θ = x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ × ∣ ∣ y ∣ ∣ cos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||} cosθ=x×yxy
    x ⋅ y = 0 x·y=0 xy=0表示 x 和 y x和y xy正交,当 x = 0 或 y = 0 x=0或y=0 x=0y=0则向量内积正交,零向量与任何向量都正交。

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    整理一下矩阵论学习中的相关概念。从正交矩阵开始

    正交矩阵

    定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若

    正交矩阵有几个重要性质:

    1. A的逆等于A的转置,即
    2. A的行列式为±1,即
    3. A的行(列)向量组为n维单位正交向量组

    上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们可以通过上述准则简单地判断一个矩阵是否是正交矩阵。下面,我们将从线性变换的角度,来看正交矩阵还有哪些独特的性质。首先给出正交变换的定义:

    定义2 欧氏空间V的线性变换T称为正交变换,若

    ,有

    注意,正交变换在任意标准正交基下的矩阵是正交阵,这也是我们通过正交矩阵研究正交变换的理论基础。

    我们知道,线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的,但满足相似条件。因此,我们可以通过矩阵的相似不变量来对正交变换进行分类。正交变换有两种特殊的类型,分别是旋转变换和镜像变换,它们的区别也正好可以对应于两类不同的正交矩阵,它们具有不同的行列式取值。

    旋转矩阵

    首先我们来看旋转矩阵。旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候,改变向量的方向但不改变向量长度的矩阵。对于旋转矩阵,我们有:

    性质1 一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1

    旋转矩阵的行列式为1,那么它的特征值等于多少呢?我们知道矩阵的行列式等于特征值的乘积,即

    那么旋转矩阵的特征值可以有以下多种情况:

    1. 全为1,即恒等变换,它也看成是一个旋转变换,只不过旋转的角度是零。
    2. 1和-1,且-1的个数必须为偶数。
    3. 除了包含实数特征值1或-1,还包含非实数的特征值。这种情况下,可以证明,非实数的特征值总是成对出现的,即如果
      是一个特征值,那么它的共轭
      也是特征值,且满足

    这里引用维基百科中关于旋转矩阵的一个表述:“旋转矩阵不包括反演,反演可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。”这里的反演,就是我们所说的镜像。也就是说,偶数个-1的特征值保证了旋转矩阵不会将右手坐标系变为左手坐标系(或反之),这是旋转变换与镜像变换的根本区别。

    根据上面的分析,下面两个关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质2

    是正交矩阵A的一个特征值,则
    也是A的一个特征值,且有

    性质3 若奇数阶正交矩阵的行列式

    ,则1是A的一个特征值。

    镜像变换矩阵

    接下来,我们来看第二类正交矩阵,镜像变换矩阵(Reflection matrix),或Householder矩阵。Householder矩阵对应的正交变换称为镜像变换,它是一类在n维空间中沿n-1维平面做的一种线性变换。这个n-1维平面通常记为

    ,将其单位法向量记为
    。如果
    已知(一般来说这是问题的出发点),我们可以通过
    来构造镜像矩阵,计算公式为:

    注意,这里的单位法向量

    是一个列向量。

    Householder矩阵有n-1个特征值为1,余下一个特征值为-1。下面给出证明:设矩阵

    的特征值为
    ,则Householder矩阵
    的特征值必为
    是秩为1的幂等矩阵,可知它的特征值是
    ,所以,
    的特征值是

    Householder矩阵同时是对称矩阵。既正交又对称的矩阵有一个特殊性质是它的幂为I,即

    .

    根据上面的分析,下面关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质4 若正交矩阵的行列式

    ,则-1是A的一个特征值。

    正交矩阵的几个一般性质

    了解了两种特殊的正交矩阵,我们来看一下正交矩阵几个更一般的性质。

    性质5 若A为正交矩阵,

    是矩阵A的特征值,则
    也是A的一个特征值。

    证明:由

    ,因为正交矩阵为实矩阵,
    ,又因为
    ,因此
    ,即
    也是A的一个特征值。

    性质6 若正交矩阵A的特征值为实数,则A一定为对称矩阵。

    这个性质的证明需要用到Schur定理,即任意方阵A都可以酉相似于上三角阵R,且这个上三角阵R的对角元素为矩阵A的特征值

    .

    证明:由Schur定理,A的特征值为实数,A可正交相似于上三角阵R,即

    ,对其转置,两式相乘得
    ,注意到
    ,于是得到
    ,可知R为对角阵,因此

    也可以通过正规矩阵来证明:A是正交矩阵

    A是正规矩阵
    A可酉对角化,又特征值为实数
    A为Hermite矩阵
    A为实对称矩阵。
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  • 对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵... 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,...

    转载自:https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50596604

            看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)


    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)


    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)


    参考文献:

    【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社,2007.

    【2】史荣昌, 魏丰. 矩阵分析[M]. 3版.北京:北京理工大学出版社, 2010.

    展开全文
  • 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。 1、对称矩阵(文献【1】...

            看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)


    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)


    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)


    参考文献:

    【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社,2007.

    【2】史荣昌, 魏丰. 矩阵分析[M]. 3版.北京:北京理工大学出版社, 2010.

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