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  • 对称矩阵和反对称矩阵的和
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    2019-04-17 22:10:17

    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等。
    反对称矩阵:矩阵的转置等于原来所有矩阵元素与-1相乘。
    反对称矩阵:设A为n维方阵,若有A′=−A,则称矩阵A为反对称矩阵。
    反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。

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    对称矩阵 A A A是一个其元素 a i j a_{ij} aij关于主对角线对称的实正方矩阵,即有:

    A T = A 或 a i j = a j i ( 2.1.1 ) \quad A^T=A \quad或\quad a_{ij}=a_{ji}\quad\quad\quad\quad (2.1.1) AT=Aaij=aji(2.1.1)

    对称矩阵具有以下性质,若 A A A B B B都是对称矩阵,则 A T = A A^T=A AT=A,且 A − 1 , A m A^{-1},A^m A1,Am(m为正整数)和 A + B A+B A+B仍是对称矩阵。

    满足条件 A T = − A A^T=-A AT=A的正方矩阵称为反对称矩阵。显然,为满足反对称性,主对角线上的元素必定等于零,即反对称矩阵的元素具有形式:

    a i j = { 0   i = j − a j i   i ≠ j ( 2.1.2 ) \quad a_{ij} = \begin{cases} 0 &\text{ } i=j \\ -a_{ji} &\text{ } i\ne j \end{cases}\quad\quad\quad\quad (2.1.2) aij={0aji i=j i=j(2.1.2)

    反对称矩阵具有以下性质:

    • A A A B B B都是反对称矩阵,则 A − 1 A^{-1} A1 A + B A+B A+B仍是反对称矩阵,而且 A k A^k Ak为对称矩阵(k为偶数时)或反对称矩阵(k为奇数时)
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    在这里插入图片描述

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    在这里插入图片描述

    二、对称矩阵

    若矩阵 B 与其转置矩阵相等,则称矩阵 B 为对称矩阵,如:

    在这里插入图片描述

    三、反对称矩阵

    若矩阵 C 与其转置矩阵取负后相等,则称矩阵 C 为反对称矩阵,其对角线元素的值为0,如:

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    分别定义两个向量如下:

    在这里插入图片描述

    对两个向量进行叉乘得到:

    在这里插入图片描述

    则向量的反对称矩阵为:

    在这里插入图片描述

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    定义: 矩阵 A A A 称为反称的,如果 A T = − A A^T=-A AT=A
    定理: 任一 n × n n\times n n×n 矩阵都可表为一对称矩阵和反称矩阵之和
    证明:
    A = 1 2 A + 1 2 A = 1 2 ( A − A T ) + 1 2 ( A + A T ) \begin{aligned} A&=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A\\ &=\frac{1}{2}(A-A^T)+\frac{1}{2}(A+A^T)\\ \end{aligned} A=21A+21A=21(AAT)+21(A+AT)
    下证明: ( A − A T ) T (A-A^T)^T (AAT)T 是反称矩阵, ( A + A T ) T (A+A^T)^T (A+AT)T 是对称矩阵
    ( A − A T ) T = A T − A = − ( A − A T ) ( A + A T ) T = A T + A = A + A T \begin{aligned} (A-A^T)^T&=A^T-A=-(A-A^T)\\ (A+A^T)^T&=A^T+A=A+A^T \end{aligned} (AAT)T(A+AT)T=ATA=(AAT)=AT+A=A+AT
    证毕

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