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  • 对称矩阵反对称矩阵

    万次阅读 2019-04-17 22:10:17
    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等。 反对称矩阵:矩阵的转置等于原来所有矩阵元素与-1相乘。 反对称矩阵:设A为n维方阵,若有A′=−A,则矩阵A为反对称矩阵。 反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角...

    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等。
    反对称矩阵:矩阵的转置等于原来所有矩阵元素与-1相乘。
    反对称矩阵:设A为n维方阵,若有A′=−A,则称矩阵A为反对称矩阵。
    反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。

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  • 对称矩阵AAA是一个其元素aija_{ij}aij​关于主对角线...对称矩阵具有以下性质,若AAABBB都是对称矩阵,则AT=AA^T=AAT=A,且A−1,AmA^{-1},A^mA−1,Am(m为正整数)A+BA+BA+B仍是对称矩阵。 满足条件AT=−AA^T=-AA

    对称矩阵AA是一个其元素aija_{ij}关于主对角线对称的实正方矩阵,即有:

    AT=Aaij=aji(2.1.1)\quad A^T=A \quad或\quad a_{ij}=a_{ji}\quad\quad\quad\quad (2.1.1)

    对称矩阵具有以下性质,若AABB都是对称矩阵,则AT=AA^T=A,且A1,AmA^{-1},A^m(m为正整数)和A+BA+B仍是对称矩阵。

    满足条件AT=AA^T=-A的正方矩阵称为反对称矩阵。显然,为满足反对称性,主对角线上的元素必定等于零,即反对称矩阵的元素具有形式:

    aij={0 i=jaji ij(2.1.2)\quad a_{ij} = \begin{cases} 0 &\text{ } i=j \\ -a_{ji} &\text{ } i\ne j \end{cases}\quad\quad\quad\quad (2.1.2)

    反对称矩阵具有以下性质:

    • AABB都是反对称矩阵,则A1A^{-1}A+BA+B仍是反对称矩阵,而且AkA^k为对称矩阵(k为偶数时)或反对称矩阵(k为奇数时)
    • 任意正方矩阵AA都可以分解为一个对称矩阵12(A+AT){1\over2}(A+A^T)和一个反对称矩阵12(AAT){1\over2}(A-A^T)之和
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  • 对称和反对称矩阵

    千次阅读 2018-09-05 19:18:47
    特征值分解 如果AAA是一个实对称矩阵,那么AAA可以分解为A=UDUTA=UDUTA=UDU^T...可通过Jacobi方法求实对称矩阵的特征值特征向量 叉乘 a=(a1,a2,a3)T,  [a]×=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤...

    特征值分解

    • 如果A是一个实对称矩阵,那么A可以分解为A=UDUT,其中U是正交矩阵,D是实对角矩阵,因此一个实对称矩阵有实特征值,其特征向量两两正交

    实对称矩阵的其他性质:

    可通过Jacobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量

    叉乘

    a=(a1,a2,a3)T,  [a]×=[0a3a2a30a1a2a10]

    a×b=[a]×b

    余因子和伴随矩阵

    M是一个方阵,用M表示M的余因子矩阵,则Mij=(1)i+jdetM^ij,其中M^ij是把M的第i行和第j列所得到的矩阵。余因子矩阵M的转置称为M的伴随矩阵,记为adj(M)

    Madj(M)=adj(M)M=det(M)I

    正定对称矩阵

    • 对称矩阵A正定xTAx>0恒成立
    • 正定对称矩阵A可以唯一地分解为A=KKTK是对角元素全为正的上三角实矩阵
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  • 对称矩阵:一个方形矩阵,其转置矩阵自身相等。 对称矩阵是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。用线性代数书上的解释是:对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵自身相等。 反对称矩阵:反对称矩阵,它...

    用C语言实现离散数学中对矩阵的简单操作及对矩阵的判断

    判断是否输入的矩阵是否为方阵,在是方阵的基础上判断是否具有对称性,反对称性和自反性。

    对称矩阵:一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。
    对称矩阵是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。用线性代数书上的解释是:对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。
    在这里插入图片描述

    反对称矩阵:反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为零,而位于主对角线两侧对称的元素反号。线性代数书上解释为:
    在这里插入图片描述

    自反性:关系矩阵的主对角线上元素值全部为1
    反自反性:关系矩阵的主对角线上元素全部为0

    C语言代码实现如下:

    #include<stdio.h>
    #define MAXSIZE 100
    
    void Interrupt(void)//创建一个中断函数 
    {
    	while(1)//用于检测换行符,使函数脱离scanf的连续输出 
    		if(getchar()=='\n')
    			break;
    } 
    
    
    int CreateMatrix(int &m,int &n,int a[MAXSIZE][MAXSIZE])
    {
    	int i,j;
    	printf("请输入矩阵的行数");
    	scanf("%d",&m);
    	Interrupt();
    	printf("请输入矩阵的列数");
    	scanf("%d",&n);
    	Interrupt();
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<m;j++)
    		{
    			printf("请输入矩阵关系中第%d行第%d列的数字:",i,j);
    			scanf("%d",&a[i][j]);
    			Interrupt();
    		}
    	}
    	printf("关系矩阵M为:\n");
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<m;j++)
    			printf("%d ",a[i][j]);
    		printf("\n");
    	}
    	if(m != n)
    	{
    		printf("不是方阵,不能进行操作!\n");
    		return 0;
    	} 
    	return 1;
    }
    
    void Symmetry(int m,int n,int a[MAXSIZE][MAXSIZE])
    {
    	int i,j,c,b,d;
    	c=0;
    	d=0;
    	b=0;
    	d=1;
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<m;j++)
    		{
    			if(a[i][j]!=a[j][i])
    			{
    				c=1;
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	if( c == 0 ) 
    		printf("该矩阵是对称性的\n");
    	else
    		printf("该矩阵不是对称性的\n");
    }
    void AntiSymmetric(int m,int n,int a[MAXSIZE][MAXSIZE])
    {
    	int i,j,c,b,d;
    	c=0;
    	d=0;
    	b=0;
    	d=1;
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		if(a[i][i]!=0)
    		{
    			c=1;
    			break;
    		}
    	}
    	if(c == 0) 
    		for(i=0;i<n;i++)
    		{
    			for(j=0;j<m;j++)
    			{
    				if(i == j)
    					continue;
    				if(a[i][j] != -a[j][i])
    				{
    					c=2;
    					break;
    				}
    			}
    		}
    	if( c == 0 ) 
    		printf("该矩阵是反对称性的\n");
    	else
    		printf("该矩阵不是反对称性的\n");
    }
    void Reflexivity(int m,int n,int a[MAXSIZE][MAXSIZE])
    {
    	int i,j,c;
    	c=0;
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		if(a[i][i]!=0)
    		{
    			c=1;
    			break;
    		}
    	}
    	if(c==0) 
    		printf("该矩阵是自反性的\n");
    	else 
    	{
    		for(i=0;i<n;i++)
    		{
    			if(a[i][i]!=1)
    			{
    				c=2;
    				break;
    			}
    		}
    		if(c==1) 
    			printf("该矩阵是反自反性的\n");
    		else
    			printf("该矩阵既不是自反性的也不是反自反性的\n");
    	}	
    }
    
    int main()
    {
    	int a[MAXSIZE][MAXSIZE];
    	int m, //行数 
    		n,//列数 
    		d;//循环条件 
    	printf("欢迎使用关系性质的判断系统\n\n 1. 对称关系的判断  2. 反对称关系的判断  3. 自反关系的判断\n\n请输入选项:");
    	d = CreateMatrix(m,n,a);
    	while(d)
    	{
    		printf("请选择: ") ;
    		scanf("%d",&d);
    		Interrupt();
    		switch(d)
    		{
    			case 1: Symmetry(m,n,a);break;
    			case 2: AntiSymmetric(m,n,a);break;
    			case 3: Reflexivity(m,n,a);break;
    			case 0: break;
    		}
    	printf("\n");
    	printf("是否还继续?   是请输入1,否请输入0:");
    	scanf("%d",&d);
    	Interrupt();
    	printf("\n\n");
    	}
    }
    

    (完)

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  • 对任意n阶方阵A,有 A=(A+T(A))/2+(A-T(A))/2,其中T(A)是A的转置,(A+T(A))/2是一个对称矩阵,(A-T(A))/2是一个反矩阵。 2.求出对称矩阵部分的函数 /// <summary> /// 把矩阵分解为对称矩阵与反矩阵...
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  • 对称矩阵与实对称矩阵

    千次阅读 2019-09-24 11:03:09
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  • 特殊矩阵——对称矩阵(Symmetric Matrix) 注:压缩存储的矩阵可以分为特殊矩阵稀疏矩阵。对于那些具有相同元素或零元素在矩阵中分布具有一定规律的矩阵,被之为特殊矩阵。对于那些零元素数据远远多于非零元素...
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  • 对称矩阵

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  • 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵

    万次阅读 2019-09-03 15:04:43
    必须对称。直接上图:
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  • 对称矩阵及稀疏矩阵浅谈

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    千次阅读 2019-09-11 14:36:58
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对称矩阵和反对称矩阵的和