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问答
  • 将非正定对称矩阵转换为正定对称矩阵(即可逆矩阵)的函数。 一种特殊情况可能是协方差矩阵的求逆。 矩阵的特征分解用于向特征值 <= 0 添加一个小值。
  • M = input('请输入一个矩阵用来判断:') if M==M' disp('对称矩阵:是') else; disp('对称矩阵:不是') ... disp('正定对称矩阵:是') else; disp('正定对称矩阵:不是') end #运行结果 ...
    M = input('请输入一个矩阵用来判断:')
    
    if M==M'
         disp('对称矩阵:是')
     else;
        disp('对称矩阵:不是')
    end
    
    d = eig(M);%求矩阵baiA的全部特征值,构成向量E
    if all(d) > 0
        disp('正定对称矩阵:是')
         else;
        disp('正定对称矩阵:不是')
    end
    

    #运行结果
    在这里插入图片描述

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  • 对称矩阵正定矩阵

    千次阅读 2019-03-07 22:48:00
    凸优化:一个对称方阵是否正定[Copy from:https://zhuanlan.zhihu.com/p/32926848] 答:在凸优化中要用到,再细点就是在泰勒展开式的基础上判断一个函数是不是凸函数。矩阵正定就相当于实数是否大于0,但问...

    方便记忆Copy From:https://zhuanlan.zhihu.com/p/51187282

     

     

    凸优化:一个对称方阵是否正定[Copy from:https://zhuanlan.zhihu.com/p/32926848]

    答:在凸优化中要用到,再细点就是在泰勒展开式的基础上判断一个函数是不是凸函数。矩阵

    的正定就相当于实数是否大于0,但问题是矩阵不是实数啊,放心世界上聪敏人多的是,聪敏

    人就想办法变成实数,即 x^{T}Hx ,称二次型(结果是个实数,这就好与0比较了),当二次型对

    世界上所有的每一个 x 有x^{T}Hx>0,则H正定,但是世界上的x有无穷多,不可能一一试下去,所

    以就另辟捷径算H的特征值,当H中的最小特征值都大于0,则H为正定。H的正定乍一看没多大

    用处,但是对判断一个自变量很多的函数是否为凸函数特别灵,H大于0则该函数为凸函数,这

    时候H就是hessian矩阵。

     

    理解二:

    考虑矩阵的特征值。

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    若所有特征值均大于零,则称为正定。


    三:特征值为0是什么情况?

    Ax=\lambda x

    \lambda =0

    Ax=0

    特征值为0:A会压缩某个方向上的所有向量 到 0向量

    特征值不为0:A会缩放某个方向上的所有向量特征值倍

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/TAL2SCB/p/10493171.html

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  • ①实对称矩阵的特征值也为实数,我们主要讨论实对称矩阵 之前讲过旋转矩阵的特征值为复数,这里不会遇到了 ②特征向量也很特殊 特征向量是垂直的 why? 首先对于单位矩阵,特征值为1,是实数,①肯定成立 对于②,指...


    本讲关于对称矩阵
    对称矩阵是最重要的矩阵

    特征值和特征向量有何特殊之处,这里我就直接给出两点事实

    ①实对称矩阵的特征值也为实数,我们主要讨论实对称矩阵
    之前讲过旋转矩阵的特征值为复数,这里不会遇到了
    ②特征向量也很特殊
    特征向量是垂直的
    why?
    首先对于单位矩阵,特征值为1,是实数,①肯定成立
    对于②,指的是可以找出一组垂直的
    这时通常情况,如果特征值重复

    根据结论反推:

    如果有一套线性无关的特征向量,那么
    A=SΛS-1,这也是通常情况。
    如果矩阵A对称,A=QΛQ-1
    Q的列向量标准正交,
    同时QT=Q-1
    A=QΛQ-1=QΛQT
    这就是线性代数一个重要定理,如果给定一个对称矩阵,就能分解成正交矩阵乘以对角矩阵乘以正交矩阵的转置。
    反之,如果一个矩阵能写成正交矩阵乘以对角矩阵乘以正交矩阵的转置,那么它是 对称的,因为QΛQT的转置还是QΛQT,这称为谱定理在数学上,谱就是矩阵特征值的集合。称为主轴定理在物理上,
    现在我想问,为什么特征值是实数
    从我们仅知道Ax=λx开始推导
    据我所知,λ可能是复数
    Ax=λx 所有都取共轭→
    A’x’=λ’x’ A为实数矩阵→
    Ax’=λ’x’
    这说明如果一个实矩阵有一特征值λ和特征向量x,那么它一定另有x’和λ’
    对这个方程转置→
    x’TAT=x’Tλ’
    现在我要利用对称了 AT=A→
    x’TA=x’Tλ’ 两边乘以x →
    x’TAx=x’Tλ’x -----①
    根据前面的
    Ax=λx 得到 x’TAx=λx’Tx -----②
    对比①和②
    我们只需要证明x’Tx≠0,即可证明λ’=λ,即λ的共轭复数等于本身,即λ为实数
    而x’Tx=[ x1’ x2’ … xn’ ][x1;x2;…xn]=x1’x1+x2’x2+…xn’xn
    共轭复数相乘
    如果想得到一个好的结果就将向量乘上它的转置的共轭

    如果一个向量为复向量,那么x‘Tx就是它长度的平方
    但重点是对称矩阵的特征值

    让我们看看上面哪里用到对称了

    性质好的矩阵-λ为实数,特征向量互相垂直。
    对于实数矩阵即AT=A
    但是如果是复数矩阵,只有A=A’T,才能算是个好矩阵
    OK下面再写一遍
    A=AT:
    A=QΛQT
    假设我可以将这个分开,来展示对称矩阵的实质

    在这里插入图片描述

    结论:每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的组合
    知道了特征值是实数之后,我们对他的正负感兴趣
    绝对不想求出所有特征值,因为高阶的矩阵很难求特征值
    庆幸的是,对于对称矩阵而言,主元的符号与特征值的符号一致
    为什么主元的乘积等于特征值乘积,因为它们都等于行列式

    下面时间讲正定矩阵

    如果对称矩阵性质足够好(指特征值都为正数,所有主元都为正,所有子行列式都为正),那么他就是正定矩阵

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  • 1,对称矩阵的特征值是实数。 证明如下:(我是用latex编辑的,这里不能显示公式,所以我只能用图片了。 上面的证明可以说明对称矩阵的特征值一定是实数! 2、n阶方阵一定有n个特征跟(重跟按重数计算) 证明: 设A...

    本文是为了在学习凸优化的时候遇到的一个问题展开讨论的。目的是能够明白凸优化的理论基础,或者尽可能的明白它的理论基础。

    1,对称矩阵的特征值是实数。

    证明如下:(我是用latex编辑的,这里不能显示公式,所以我只能用图片了。
    在这里插入图片描述

    上面的证明可以说明对称矩阵的特征值一定是实数!

    2、n阶方阵一定有n个特征跟(重跟按重数计算)

    证明:

    设A是一个n阶的方阵,它的特征多项式是一个关于符号lambda的一个n次多项式,根据代数基本定理,它可以唯一的分解成一次因式的乘积。所以在这里插入图片描述一定有n个复数跟。

    3、n阶实对称矩阵一定有n个实特征跟(重跟按重数计算)

    由1和2便可以得到这个结论。

    4、对称矩阵,从属于不同特征值的特征向量正交。

    证明:

    在这里插入图片描述

    5、设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使得P^{-1}AP = P’AP = B,其中B是以A的特征值为对角线元素的对角矩阵。

    这个不证明。

    6、n阶对称阵的k重特征值的特征空间的维数是k。

    7、对称矩阵所有特征向量以及零向量可以组成的线性空间还是原空间!

    8、总上结论,我们可以得到结论:

    实对称矩阵是非负定矩阵的充分必要条件是它的所有特征值都非负!!!
    
    实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件是它的所有特征值都大于0!!!
    

    上面两个结论只需要用正定矩阵的定义和实对称矩阵的性质证明。

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  • 方法 1:尝试 Cholesky 分解检查矩阵是否为对称正定矩阵的最...此方法不要求矩阵为对称矩阵也能成功进行测试(如果矩阵不对称,则分解将会失败)。A = [1 -1 0; -1 5 0; 0 0 7]A = 3×31 -1 0-1 5 00 0 7try chol(A)di...
  • 通过分析对称正交矩阵对称正交对称正定矩阵的结构,利用矩阵的奇异值分解,导出了这种逆特征值问题的最小二乘解的表达式,以及这种逆特征值问题相容的充要条件和通解表达式。利用矩阵的极分解,导出了逆特征值...
  • 正定对称矩阵求逆

    2013-09-16 13:30:33
    做最小二乘法常常会遇到正定对称矩阵求逆的问题。 本程序只包含两个参数, 1、double *B //输入,正定对称矩阵的首地址;输出,存放逆矩阵 2、矩阵的阶数
  • 在很多问题(如非线性 LS)中,我们需要确保矩阵是正定的。 此函数返回一个正定对称矩阵
  • 前言本文主要针对线性代数中的正定矩阵、实对称矩阵、矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击如下卡片,查看完整博客分类与对应链接。【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内...
  • MATLAB -对称正定矩阵

    千次阅读 2019-10-07 11:18:09
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  • 对称正定矩阵的开方

    千次阅读 2020-03-23 12:12:20
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  • 对常规的正定矩阵的定义进行了再推广,由此得出非对称的广义正定矩阵及一些结果。
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  • 对称正定矩阵的Cholesky分解

    千次阅读 2020-11-08 21:27:42
    对称正定矩阵的三角分解 设 A\ A A为n阶对称正定矩阵,则 A\ A A可以分解为一个单位下三角矩阵 L~\ \tilde{L} L~和一个上三角矩阵 U~\ \tilde{U} U~的乘积:  A=L~U~\...
  • 黎曼流形上的对称正定矩阵的聚类
  • 本文考虑以下问题:问题Ⅰ:给定G∈Rn×p,X,B∈Rn×m,求A∈GSRn≥×0n使得AX = B,其中:GSRn≥×0n = {A∈Rn×n| xTAx≥0且xT( A- AT) =0,∨x∈...讨论了问题Ⅰ与问题Ⅱ有解的充要条件,并在有解时给出了通解的一般表达式。
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  • 讨论了主子阵约束下矩阵反问题的对称正定解存在的充要条件,并在有解的情况下给出了其通解的一般表达式。同时也把所得结论应用到相应的逆特征值问题,并给出了逆特征值问题的极小范数解。
  • 一个nXn实矩阵A称为半正定,如果对每个n维非零实向量x,均有xAx>0本文给出了两个半正定,未必对称矩阵为半正定的充要条件
  • 研究了下列问题:给定X∈Rn×p,B∈Rp×p,A0∈SRn>×0n( p

空空如也

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对称矩阵正定的条件