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  • 对称矩阵正定的条件
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    2021-09-30 21:58:11

    实对称矩阵合同于一个对角矩阵

    任何n元二次型xTAx ,都可以通过坐标变换化为标准型。

    n元二次型xTAx ,其中A是实对称矩阵,必存在正交变换x=Qy(Q是正交矩阵)使得xT A x 化为标准型。

    A正定<==>所有特征值为正

    > 设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.

    因为A是n阶正定阵,所以其特征值均大于0.
    设λ为A的一个特征值,ξ为对应与λ的一个特征向量, 则:
    (A+E)ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=(λ+1)ξ, 即λ+1为A+E的特征值.
    注意到λ>0, 故:A+E的特征值均大于1.
    设A+E的特征值为:λ 1 ,λ 2 ,…,λ n , 则 λ i >1,
    从而:|A+E|=λ1 λ2 …λn >1.

    设A为n阶实对称阵,且A3-3A2+5A-3E=O,证明A正定

    证:设λ为A的任意一个特征向量ξ对应的特征值,则
    (A³-3A²+5A-3E)ξ=(λ³-3λ²+5λ-3)ξ
    =(λ³-λ²-2λ²+2λ+3λ-3)ξ
    =(λ-1)(λ²-2λ+3)ξ=0
    特征向量ξ≠0,故(λ-1)(λ²-2λ+3)=0,
    得唯一实根λ=1(实对称矩阵的特征值都是实数)
    即A的所有特征值都是正数,故实对称矩阵A正定。

    设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A-1为正定矩阵

    Aξ=aξ,a>0
    (A-E)ξ=(a-1)ξ,a-1>0
    (E-A-1)ξ=(1-1/a)ξ,有1-1/a>0
    特征值均大于0,故正定

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    本文是为了在学习凸优化的时候遇到的一个问题展开讨论的。目的是能够明白凸优化的理论基础,或者尽可能的明白它的理论基础。

    1,对称矩阵的特征值是实数。

    证明如下:(我是用latex编辑的,这里不能显示公式,所以我只能用图片了。
    在这里插入图片描述

    上面的证明可以说明对称矩阵的特征值一定是实数!

    2、n阶方阵一定有n个特征跟(重跟按重数计算)

    证明:

    设A是一个n阶的方阵,它的特征多项式是一个关于符号lambda的一个n次多项式,根据代数基本定理,它可以唯一的分解成一次因式的乘积。所以在这里插入图片描述一定有n个复数跟。

    3、n阶实对称矩阵一定有n个实特征跟(重跟按重数计算)

    由1和2便可以得到这个结论。

    4、对称矩阵,从属于不同特征值的特征向量正交。

    证明:

    在这里插入图片描述

    5、设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使得P^{-1}AP = P’AP = B,其中B是以A的特征值为对角线元素的对角矩阵。

    这个不证明。

    6、n阶对称阵的k重特征值的特征空间的维数是k。

    7、对称矩阵所有特征向量以及零向量可以组成的线性空间还是原空间!

    8、总上结论,我们可以得到结论:

    实对称矩阵是非负定矩阵的充分必要条件是它的所有特征值都非负!!!
    
    实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件是它的所有特征值都大于0!!!
    

    上面两个结论只需要用正定矩阵的定义和实对称矩阵的性质证明。

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  • 即当我们说一个矩阵是正定的,就已经默认它是一个对称矩阵。这一点似乎很多教材上存在不同的说法,或者并没有明确指出,但其实已经暗含了这个条件,因为在正定矩阵这一块,都是说有一个二次型。......

    问题提出

      今天做到一道线性代数的证明题,如下:

    A , B A, B A,B都是 n n n阶正定矩阵,且 A B = B A AB=BA AB=BA,证明: A B AB AB也是正定矩阵。

    想了好半天没想出来,结果一翻答案,竟然是按照特征值证明的,两个矩阵相乘,特征值也相乘吗? 一开始没想明白,顺着这个思路在网上找了半天,没找到答案,反倒是直接搜这个问题得到了一个能够理解的证明思路,下面记录一下证明过程,顺带这道题的一些扩展思路

    理论准备

    1 对称矩阵与反对称矩阵

      首先需要明确的是,对称矩阵和反对称矩阵都是指方阵。另外,一般讨论的对称矩阵和反对称矩阵都是在定义在实数域的,即都是实矩阵

    • 对称矩阵
      A A A n n n阶矩阵,且满足 A T = A A^T=A AT=A,则 A A A为对称矩阵。因此,对于对称矩阵 A A A,应该满足 a i j = a j i ,       i , j = 1 , 2 , . . . , n . a_{ij}=a_{ji}, \, \, \space \space i,j=1,2,...,n. aij=aji,  i,j=1,2,...,n.
    • 反对称矩阵
      A A A n n n阶矩阵,且满足 A T = − A A^T=-A AT=A,则 A A A为反对称矩阵。因此,对于反对称矩阵 A A A,应该满足 a i j = − a j i ,       i , j = 1 , 2 , . . . , n . a_{ij}=-a_{ji}, \, \, \space \space i,j=1,2,...,n. aij=aji,  i,j=1,2,...,n.反对称矩阵的对角元素都为0

      根据对称矩阵和反对称矩阵的定义,可以得到一个重要的结论:

    任意一个 n n n阶矩阵(方阵),都可以分解为一个 n n n阶对称矩阵 S S S和一个 n n n阶反对称矩阵 M M M之和

    这个命题的证明思路非常简单:
    A = A + A T 2 + A − A T 2 ,    令 S = A + A T 2 , M = A − A T 2 A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2},\space \space \space 令S=\frac{A+A^T}{2},M=\frac{A-A^T}{2} A=2A+AT+2AAT,   S=2A+ATM=2AAT
    显然, S T = S , M T = − M S^T=S, M^T=-M ST=S,MT=M,故 M M M为对称矩阵, S S S为反对称矩阵,证毕。

      其实对称是矩阵的一个非常重要的性质,但是从它的定义来看,似乎也没有什么能够得到的性质或推论,尤其是在矩阵乘法方面,即使是对称矩阵,乘了一个矩阵之后就不一定对称了,但是对于对称矩阵相乘,有一个可能会有用的结论。

    A , B A, B A,B为对称矩阵,则 A B AB AB为对称矩阵 ⇔ \Leftrightarrow A , B A, B A,B可交换(即 A B = B A AB=BA AB=BA

    证明思路如下:
    在这里插入图片描述

    2 正定矩阵

      首先需要明确的一点的是,正定矩阵是定义在实对称矩阵上的,即当我们说一个矩阵是正定的,就已经默认它是一个对称矩阵。这一点似乎很多教材上存在不同的说法,或者并没有明确指出,但其实已经暗含了这个条件,因为在正定矩阵这一块,都是说有一个二次型 A A A…即已经将讨论范围限定在二次型了,即对称矩阵。

      值得一提的是,为什么正定矩阵要定义在对称矩阵上?因为根据其特征值都大于0的判别方式,其实也有很多非对称矩阵满足这个条件。
      在知乎上找到一个链接,虽然它底下的答案都是回答“正定矩阵是否都是对称矩阵” 这个问题,但个人觉得这些答案或许用来解释 “为什么正定矩阵都定义在对称矩阵上”。其中一个利用了上面证明的那个矩阵拆解的定理,其中值得注意的是,反对称矩阵的二次型为0(根据定义可以推得),因此,讨论一个 n n n阶矩阵的二次型问题,即使它对应的矩阵不是对称矩阵(即交叉项没有对半拆),最后都可以转化为对称矩阵的二次型问题,因此正定矩阵索性就定义在对称矩阵上。

    如果加上对称这个条件,那么正定矩阵的判定与性质可以总结为以下几点:

    • 常用的两种判别方式
      • 特征值法:矩阵 A A A为对称矩阵 + A A A的所有特征值都大于0;
      • 顺序主子式法:矩阵 A A A为对称矩阵 + A A A的各阶顺序主子式都大于0 ;
    • 其他在证明题中常用的等价结论
      • A A A为正定矩阵 ⇔ \Leftrightarrow 存在可逆矩阵 B B B, 使得 A = B T B A=B^TB A=BTB
      • A A A为正定矩阵 ⇔ \Leftrightarrow A ⋍ E A\backsimeq E AE E E E为单位矩阵,有些教材用的是 I I I
      • A A A为正定矩阵 ⇔ \Leftrightarrow A A A的正惯性指数为 n n n

    问题证明

      有了上述理论知识储备,我们再来看一下最开始提出的问题:

    A , B A, B A,B都是 n n n阶正定矩阵,且 A B = B A AB=BA AB=BA,证明: A B AB AB也是正定矩阵。

    下面是证明过程:

    证:
      因为 A , B A, B A,B n n n阶矩阵,则 A T = A , B T = B A^T=A, B^T=B AT=A,BT=B,又因为 A B = B A AB=BA AB=BA,故 A B AB AB为对称矩阵,即满足正定矩阵的前提条件。
      因 A , B A, B A,B为正定矩阵,故存在可逆矩阵 P P P Q Q Q,使得 A = P T P ,     B = Q T Q A=P^TP, \space \space \space B=Q^TQ A=PTP,   B=QTQ.
    由此得到:
    Q A B Q − 1 = Q ( P T P ∗ Q T Q ) Q − 1 = Q ( P T P ) Q T = ( P Q T ) T ∗ ( P Q T ) QABQ^{-1}=Q(P^TP*Q^TQ)Q^{-1}=Q(P^TP)Q^T=(PQ^T)^T*(PQ^T) QABQ1=Q(PTPQTQ)Q1=Q(PTP)QT=(PQT)T(PQT)
      显然, P Q T PQ^T PQT为可逆矩阵,故 ( P Q T ) T ∗ ( P Q T ) (PQ^T)^T*(PQ^T) (PQT)T(PQT)为正定矩阵,其特征值都大于0,而 A B AB AB与矩阵 ( P Q T ) T ∗ ( P Q T ) (PQ^T)^T*(PQ^T) (PQT)T(PQT)相似,故其特征值相同,都大于0。故 A B AB AB为正定矩阵,证毕。

    展开全文
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    从酉相似的角度证明实对称矩阵一定可以对角化,对角化之后对应的二次型一定大于0,因此实对称矩阵一定是正定矩阵。
    第一张图说明了一个方阵A必定酉相似于一个上三角矩阵T,T的对角线元素就是A的特征值。且这里可以无论特征值重复与否。
    在这里插入图片描述
    第二张图证明了对于正规矩阵(就是AA=AA,*表示共轭转置)的矩阵来讲,A必定可以酉对角化。
    在这里插入图片描述

    在第一张图中,如果限定实数矩阵范围,同样也成立,其实也就是矩阵化为行阶梯矩阵的高级表达。
    在第二张图中,如果A是正规矩阵(实对称矩阵是正规矩阵的一种),则其相似的上三角矩阵也是正规矩阵,上三角矩阵是正规矩阵,则这个上三角矩阵就是一个对角矩阵(见铅字笔记)。

    开始写了一大段发现自己不能给出实对称矩阵的代数重数为k的特征值对应有k个线性无关的特征向量的证明,不过写了好大一段不想删了,将就看吧。

    一、实对称矩阵一定可以对角化

    1.1 构造性证明与非构造性证明

    数学证明方法可以分为构造性证明和非构造性证明,对于某个证明命题“存在 x x x,使得命题 F ( x ) F(x) F(x)成立”,构造性证明是提出一种如何构造 x x x的方法,即遵循该方法,一定可以找到一个 x x x满足命题 F ( x ) F(x) F(x),而非构造性证明,则从逻辑上证明 x x x一定存在,至于如何得到 x x x则不再关心。

    1.2 什么是对角化

    对于实对称矩阵一定可以对角化这一命题,我们可以采用构造性证明的方法。
    首先说明什么是对角化,对于矩阵 A A A,如果存在可逆矩阵,满足 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ,其中 Λ \Lambda Λ是对角矩阵,将 A A A变换得到对角矩阵 Λ \Lambda Λ这一过程就叫做对角化。满足 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ条件的 A A A Λ \Lambda Λ矩阵其实就是满足 A A A Λ \Lambda Λ相似,只不过现在与A相似的 Λ \Lambda Λ是对角矩阵。

    1.3 如何对角化一个对称矩阵

    从1.2可以知道,将 A A A对角化就是需要找到一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ。如果我们可以找到一种对所有对称矩阵通用的方法来找到可逆矩阵P,其实也就证明了所有实对称矩阵可以相似对角化。
    我们只讨论其特征方程 ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-λE|=0 AλE=0的情况,因为在 ∣ A − λ E ∣ ≠ 0 |A-λE|\neq0 AλE=0的情况下,不能进行对角化操作,见3.1
    从3.1的推导中其实已经可以找到如何构造 P P P,就是将 P P P写成列向量分块矩阵。然后可以发现,求列向量 c o l i col_i coli和对角矩阵对角元的过程就是求解矩阵A的特征向量和特征值的过程。也就是说,将 A A A的特征向量作为 P P P的列向量,其实就可以构造出 P P P,但是 P P P需要满足可逆这一条件,也就是说 P P P的列向量需要线性无关。

    定理1 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m λ1,λ2,...,λm是方阵A的 m m m个特征值, p 1 , p 2 , . . . , p m p_1,p_2,...,p_m p1,p2,...,pm依次是与之对应的特征向量,如果 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m λ1,λ2,...,λm 各不相等,则 p 1 , p 2 , . . . , p m p_1,p_2,...,p_m p1,p2,...,pm线性无关,证明见3.2

    定理二 λ k \lambda_k λk是对称矩阵 A A A k k k重特征值,那么一定可以找到 k k k个对应于特征值 λ k \lambda_k λk的线性无关的特征向量证明见3.3

    从定理一和定理二可以知道,对于对称矩阵,我们可以找出 n n n个线性无关的特征向量来构造 P P P。因为对应于不同特征值的特征向量线性无关,对应于同一特征值的特征向量可以得到对应重数个线性无关向量。因此总共有 n n n个线性无关的特征向量用于构造矩阵 P P P。最后将 A A A进行对角化。

    二、实对称矩阵一定是正定矩阵

    从前面我们可以知道实对称矩阵可以通过构造可逆矩阵P进行对角化,但是实对称矩阵

    三、后注

    3.1 特征方程只有零解的情况无法对角化

    ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-λE|=0 AλE=0,也即(A-λE)x=0这一齐次方程只有零解(翻一翻线性代数书中齐次线性方程组零解非零解的条件,题外话:也就意味着矩阵A对于任何向量x进行变换都会改变其方向,从这个意义上来说,这个矩阵就不存在特征向量和特征值,因为特征向量的几何意义就是经过这个矩阵变换不改变方向的向量,零向量不存在方向,因此对于此类矩阵讲特征值和特征向量是没有意义的)。将前面的相似对角化矩阵 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ可以变换成 A P = P Λ AP=P\Lambda AP=PΛ,将P写成列向量组合成的分块矩阵形式,\Lambda写成元素组合形式得到:
    A [ c o l 1 , c o l 2 , . . . , c o l n ] = [ c o l 1 , c o l 2 , . . . , c o l n ] ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) A[col_{1}, col_2,...,col_n]=[col_1,col_2,...,col_n]\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) A[col1,col2,...,coln]=[col1,col2,...,coln]λ1λ2λn
    $$ [ A c o l 1 , A c o l 2 , . . . , A c o l n ] = [ λ 1 c o l 1 , λ 2 c o l 2 , . . . , λ n c o l n ] [Acol_1,Acol_2,...,Acol_n]=[\lambda_1col_1, \lambda_2col_2,...,\lambda_ncol_n] [Acol1,Acol2,...,Acoln]=[λ1col1,λ2col2,...,λncoln]
    即有 A c o l i = λ i c o l i Acol_i=\lambda_icol_i Acoli=λicoli,由于 A A A不存在特征值和特征向量,对于 A c o l i = λ i c o l i Acol_i=\lambda_icol_i Acoli=λicoli只有零解,因此 c o l i = 0 col_i=\bold{0} coli=0零向量。因此P为零矩阵。而零矩阵不存在逆矩阵,与前面的逆矩阵使用矛盾,因此当矩阵A的特征方程只有零解时,不能进行对角化。

    3.2 定理一的证明

    定理1 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m λ1,λ2,...,λm是方阵A的 m m m个特征值, p 1 , p 2 , . . . , p m p_1,p_2,...,p_m p1,p2,...,pm依次是与之对应的特征向量,如果 λ 1 , λ 2 , . . . , λ m \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m λ1,λ2,...,λm 各不相等,则 p 1 , p 2 , . . . , p m p_1,p_2,...,p_m p1,p2,...,pm线性无关,证明见3.2
    证明出处见同济大学出版的工程数学线性代数第六版P123
    在这里插入图片描述

    3.3 定理二的证明

    定理二 λ k \lambda_k λk是对称矩阵 A A A k k k重特征值,那么对应于 λ k \lambda_k λk的特征向量构成的向量组的秩为 k k k证明见3.3

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