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  • 对称矩阵的特征值求法_实对称矩阵、相似、标准型、合同的逻辑网
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    2020-11-20 15:49:53

    考虑充要条件==,

    矩阵A、B相似==A、B特征值相同且A、B均可相似标准化(特征对角阵化)——1

    矩阵A、B合同==A、B有相同正负惯性指数——2

    矩阵A、B均以正交变换进行相似对角化,即A、B均与各自相似标准型合同==A、B与各自对应的二次型,均可化为系数为特征值的标准二次型(特征标准二次型)——3

    上述一条,是因为:

    f(x1、x2、x3)=xTAx。对f进行变换,即对x进行线性变化,即x=Cy。代入左式,得f(y1、y2、y3)=yTCTACy=yT(CTAC)y。由此可见,对二次型做变换,必是对其矩阵做合同变换;对二次型的矩阵做合同变换,必可转换为对二次型做变换。而对二次型矩阵仅仅做相似变换C-1BC=A,不能转换为对相应二次型做变换。因为yTC-1ACy无法通过x=Cy转变为xTCx 。

    2+3,得:矩阵A、B均与各自相似标准型合同,且A、B的特征值的正负个数相同==矩阵A、B合同——4

    矩阵是实对称矩阵,则必可同时相似、合同于它的相似标准型。所以实对称矩阵A、B有相同特征值==A、B相似;实对称矩阵A、B正负特征值个数相同==A、B合同

    对于二次型,二次型的标准型不唯一,但特征标准型唯一,系数即为特征值。

    二次型的特征标准型唯一,但它的正交矩阵不唯一。原二次型矩阵以特征向量为基础,选择不同的施密特正交化方式(beta1=α1,α1可从不正交的一组向量中任意选择,因此施密特正交化可得不同的正交向量组),即可得不同的正交矩阵。

    二次型的标准型不唯一,但规范型必唯一,原因是标准型的系数可任意取,而规范型的系数只取1、-1、0。在向量、系数、二次型函数值三个相关量中,标准型有系数和向量两个自由度,减去相关性还有一个自由度,因此可以自由转换;而规范型的系数、二次型函数值都不自由,强迫第三个相关量,即向量也不自由,自由度为零,因此表达式唯一。

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    设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。

    相关结论

    1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

    2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

    3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

    4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。

    5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。

    6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

    7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A)=0。

    8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

    9.若A的n个特征值互不相同,则A可对角化。

    10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量,则A可对角化。

    11.若A有k重特征值μ,齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k,则A可对角化。

    12.若A有k重特征值,矩阵A−μE的秩为n−k,则A可对角化。

    13.若A是对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量正交。

    14.若A是对称矩阵,则A必可对角化。

    矩阵A对角化的步骤

    1.求可逆矩阵P,使得

    P^−1AP=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

    2.若A对称,求正交矩阵Q,使得

    Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化;

    ④将所有n个特征向量单位化;

    ⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn,写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

    典型例子

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    三角矩阵

    三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。

    上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)是指主对角线以下元素全为0的矩阵,如:

    下三角矩阵(Lower Triangular Matrix)是指主对角线以上元素全为0的矩阵,如:

    可以看到,对角矩阵一定是三角矩阵。

    对称矩阵对角化

    是实对称矩阵(元素都是实数),则一定存在正交矩阵
    ,对角矩阵
    ,使得下式成立:

    例子:

    证明暂且参考:为什么实对称矩阵一定能对角化?

    两边同时左乘

    ,右乘
    ,得:

    又因为

    是正交矩阵,所以:

    这就叫做对称矩阵的对角化

    对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积,所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解(Eigendecomposition)、谱分解(Spectral Decomposition),在上面的例子中,矩阵

    的特征值为4、1、-2,对应的特征向量为

    总结

    可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵,所以都是方阵

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空空如也

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对称矩阵求值