先上一道题，来自xqh博客每周一题
 
设 
 

   为 
 
 

   阶实反对称矩阵， 
 
 

   为 
 
 

   阶实对称矩阵，证明： 
 
 

   均为非奇异阵
 
 
（亦即： 
 

   ）
 
 

 
这道题有两种考虑方式
 
一是考虑证明直接矩阵满秩，二是转化为求解特征值（即 证明
 

   不是 
 
 

   的特征值）
 
 
下面按两种思路都给出证明
 
【证一：秩】
 
若不然，即 
 

   不满秩
 
 
设 
 

  
 
 
因此 
 

   的行向量、列向量分别线性相关，即：
 
 
即 
 

   线性相关（行向量，列向量同理）
 
 
记： 
 

   为行向量， 
 
 

   为列向量， 
 
 

   代表所在的行/列数
 
 
注意到： 
 

   为标准基的第 
 
 

   个基向量
 
 
若 
 

   ,取 
 
 

  
 
 
考虑 
 

  
 
 
这与标准基间线性无关矛盾
 
因此 
 

   行/列均满秩，即 
 
 

   为非奇异阵
 
 
【证二：特征值】
 
事实上，我们可以证明 
 

   的特征值均为纯虚数， 
 
 
 

   的特征值均为实数
 
 
 
下面证明 
 

   的特征值均为纯虚数， 
 
 

   可同理
 
 
若 
 

  
 
 
两边同乘 
 

   的共轭转置向量，得： 
 
 

  
 
 
两侧同取共轭转置，得： 
 

  
 
 
由于 
 

   为实反对称矩阵，因此 
 
 

  
 
 
代入，得： 
 

  
 
 
与第一个式子相加，得： 
 

  
 
 
不难验证 
 

  
 
 
即 
 

   为纯虚数
 

 
对称矩阵
 
对称矩阵（Symmetric Matrix）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：
 

 

  
 
 
可以看到，对称矩阵的转置等于其自身，即：
 

 

  
 
 
对角矩阵
 
对角矩阵（Diagonal Matrix）是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵，例如：
 

 

  
 
 
三角矩阵
 
三角矩阵（Triangular Matrix）分为上三角矩阵和下三角矩阵。
 
上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：
 

 

  
 
 
下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：
 

 

  
 
 
可以看到，对角矩阵一定是三角矩阵。
 
对称矩阵对角化
 
若 
 

   是实对称矩阵（元素都是实数），则一定存在正交矩阵
 
 

  ，对角矩阵 
 
 

   ，使得下式成立：
 
 

 

  
 
 
例子：
 

 

  
 
 
证明暂且参考：为什么实对称矩阵一定能对角化？
 
两边同时左乘 
 

   ，右乘 
 
 

   ，得：
 
 

 

  
 
 
又因为 
 

   是正交矩阵，所以：
 
 

 

  
 
 
这就叫做对称矩阵的对角化。
 
对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积，所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解（Eigendecomposition）、谱分解（Spectral Decomposition），在上面的例子中，矩阵 
 

   的特征值为4、1、-2，对应的特征向量为 
 
 

   、 
 
 

   、 
 
 

   。
 
 
总结
 
可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵，所以都是方阵。

 
本文研究实对称矩阵特征值的最大值与最小值。
 
定理
 
设 
 

   是 
 
 

   阶实对称矩阵，记 
 
 

   分别是 
 
 

   中所有特征值中的最大值与最小值，则 
 
 

  
 
 
证明：这里只证关于最大值的那部分。最小值的证明是完全类似的。
 
因为 
 

   是实对称矩阵，所以 
 
 

   有由 
 
 

   中标准正交基 
 
 

   组成的特征向量。这句话的意思是， 
 
 

   ，其中 
 
 

   是 
 
 

   的第 
 
 

   个特征值，并且 
 
 

   。因此，对于 
 
 

   中任意向量 
 
 

   ，都有 
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 

  
 
 
推论
 
设 
 

   是 
 
 

   阶实对称矩阵，记 
 
 

   分别是 
 
 

   中所有特征值中的最大值与最小值，则 
 
 

   ， 
 
 

  
 
 
证明：这里还是只证关于最大值的命题。事实上，上述定理已得到 
 

   。另一方面，特别取 
 
 

   属于 
 
 

   的特征向量 
 
 

   ，就有 
 
 

   ，从而两者是相等的。 
 
 

  
 
 
例1
 
设 
 

   为 
 
 

   阶实对称矩阵，求二次型函数 
 
 

   在 
 
 

   上的单位球面 
 
 

   上的最大值与最小值。
 
 
解：设 
 

   ，由题意， 
 
 

   ，故根据本文定理， 
 
 

   ，当 
 
 

   分别为 
 
 

   属于 
 
 

   的特征向量时取到等号，所以 
 
 

   的最大值与最小值就是 
 
 

  
 
 

  
 
 
例2
 
设 
 

   ，求证： 
 
 

   所有特征值都大于 
 
 

   ，小于等于 
 
 

  
 
 
证明：（该解法来自@希尔伯特23）
 
设 
 

   ， 
 
 

   ，则 
 
 

  
 
 
由 
 

   知 
 
 

   是正定矩阵，故所有特征值都大于 
 
 

  
 
 
设 
 

   的最大特征值是 
 
 

   ，则由本文定理知：对于 
 
 

   中任意的 
 
 

   ，都有
 
 

   ，即 
 
 

   ；同理，由 
 
 

   的最大特征值是 
 
 

   知：对于任意 
 
 

   ，
 
 

  
 
 
由三角不等式，对于任意 
 

   ， 
 
 

  
 
 
特别取 
 

   为 
 
 

   属于 
 
 

   的特征向量，则有 
 
 

   ，代入上述不等式就得到 
 
 

   ，解得 
 
 

  
 
 

  
 

 
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