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  • 设AAA为n×nn\times nn×n实对称矩阵,则 AAA的特征值都是实数; 不同特征值对应的特征向量相互正交; AAA可对角化,即存在一个正交阵(orthogonal matrix)XXX(即X’X=I)和一个对角阵Λ=diag{λ1,…,λ2}\Lambda...

    A A A n × n n\times n n×n实对称矩阵,则

    • A A A的特征值都是实数;
    • 不同特征值对应的特征向量相互正交;
    • A A A可对角化,即存在一个正交阵(orthogonal matrix) X X X(即X’X=I)和一个对角阵 Λ = diag { λ 1 , … , λ 2 } \Lambda=\text{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_2\} Λ=diag{λ1,,λ2},使得 X ′ A X = Λ X'AX=\Lambda XAX=Λ
    • ∣ A ∣ = ∏ i = 1 n λ i \vert A\vert=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i A=i=1nλi
    • tr ( A ) = ∑ i = 1 n λ i \text{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i tr(A)=i=1nλi
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  • 对称矩阵性质

    2021-06-21 11:02:27
    对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的; 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量; n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值; 若λk\lambda_{k}λk​具有k重特征值, 必有k个...
    1. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的;
    2. 实对称矩阵特征值是实数, 特征向量都是实向量;
    3. n阶实对称阵必可以对角化, 且相似的对角阵的元素即是原矩阵的特征值;
    4. λ k \lambda_{k} λk具有k重特征值, 必有k个线性无关的特征向量, 或者说必有秩 r ( λ 0 E − A ) = n − k r(\lambda_{0}E-A)=n-k r(λ0EA)=nk.
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  • 对称矩阵及其几大性质

    万次阅读 多人点赞 2018-08-19 16:27:01
    定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 主要性质: 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的(网易笔试题曾考过)。 ...

    做机器学习的过程中,难免会与矩阵打交道,而实对称矩阵更是其中常用的矩阵之一。所以,下面将介绍一下什么是实对称矩阵,并介绍一下它的几个性质(这也是很多笔试题中常考的点)

    定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。

    主要性质:

    1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的(网易笔试题曾考过)。

    2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。

    3.n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

    4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。

     

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  • 对称矩阵性质速查 (来源于2019年李永乐线性代数辅导笔记P124页) 实对称矩阵必定与对角矩阵相似 实对称矩阵可用正交矩阵对角化 实对称矩阵不同特征值的特征向量必然正交 实对称矩阵A的特征值都是实数 实对称...

    实对称矩阵性质速查

    (来源于2019年李永乐线性代数辅导笔记P124页)

    • 实对称矩阵必定与对角矩阵相似
    • 实对称矩阵可用正交矩阵对角化
    • 实对称矩阵不同特征值的特征向量必然正交
    • 实对称矩阵A的特征值都是实数

    实对称矩阵可用正交矩阵对角化

    n阶实对称矩阵A必可对角化,且总存在正交阵Q,使得
    Q − 1 A Q = Q T A Q = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\left[ \begin{matrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & & \\ & &\ddots & & \\& & &\lambda_n \end{matrix} \right] Q1AQ=QTAQ=λ1λ2λn
    其中 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n λ1,λ2,...,λn是A的特征值。

    实对称矩阵必定与对角矩阵相似

    补充说明相似定义

    • 相似定义
      设A和B都是n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使得 P 1 A P = B P^{_1}AP=B P1AP=B,则称矩阵A和B相似,记作A~B.特别地,如果A能与对角矩阵相似,则称A可对角化。
      相似变换不改变矩阵的秩可以得出一个结论:实对称矩阵A的秩=A的特征值中不为零的个数。
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  • 以下就从实对称矩阵的角度出发,利用特征值的极小极大原理,从普通特征值问题Ax=λxAx=\lambda xAx=λx衍生到广义特征值问题Ax=λBxAx=\lambda BxAx=λBx逐步讨论其特征值的性质。 【广义特征值问题】设A=(aij)∈Rn...
  • 线性代数之——对称矩阵及正定性

    千次阅读 2018-11-29 20:34:29
    1. 对称矩阵的分解 A=SΛS−1A = S\Lambda S^{-1}A=SΛS−1 AT=(S−1)TΛSTA^T = (S^{-1})^T\Lambda S^{T}AT=(S−1)TΛST 如果 AAA 是对称矩阵,也就是 A=ATA=A^TA=AT。对比以上两个式子,我们可以得到 S−1=STS...
  • 2.8 转置矩阵及对称矩阵

    千次阅读 2020-03-20 12:28:06
    转置矩阵 内积具有重要意义,那么如何计算变换后两个向量的内积呢? 向量 v,w\mathbf{v},\mathbf{w}v,w 经变换矩阵 AAA 变换为向量 Av,AwA\mathbf{v},A\mathbf{w}Av,Aw ,内积按矩阵乘法计算,就是向量 AvA\mathbf{v...
  • 设A为方阵,若,则称A为斜对称矩阵。 特征: 设A为斜对称矩阵,则A有如下形式: 观察矩阵可以看出,斜对称矩阵主对角线元素均为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。 向量的斜对称矩阵: ...
  • 在次对称矩阵定义的基础上给出了K-(反)次对称矩阵的概念,利用次对称矩阵的研究方法特殊矩阵K的性质,推出了K-(反)次对称矩阵的若干性质,研究了几个与K-(反)次对称矩阵相关的问题,并讨论了K-次对称矩阵和K-次正交...
  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    正定矩阵 在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。...实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定矩阵; 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
  • 研究了中心对称矩阵定义、结构分块矩阵表示方法,利用分块矩阵的方法分别表示出偶数阶和奇数阶中心对称矩阵,以此为基础讨论偶数阶和奇数阶中心对称矩阵可逆的充分必要条件。找到对角相似分块矩阵,利用相似矩阵的...
  • 对称矩阵转置

    千次阅读 2021-07-03 13:37:45
    把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A’或AT。 矩阵转置的运算律(即性质):...由定义对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等,即aij=aji对任意i,j都成立。 ...
  • 矩阵等价、相似、合同的定义及性质

    万次阅读 多人点赞 2019-04-27 18:35:01
    定义 如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就成矩阵A与B行等价。 如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就成矩阵A与B列等价。 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。 性质 反身...
  •  对称矩阵是最重要的矩阵之一,对于对称矩阵来说,A=AT。矩阵的特殊性也表现在特征值和特征向量上,比如马尔可夫矩阵的有一个值为1的特征值,对称矩阵的特征值又有哪些特性呢?  本文的相关知识:  正交向量...
  • ①实对称矩阵的特征值也为实数,我们主要讨论实对称矩阵 之前讲过旋转矩阵的特征值为复数,这里不会遇到了 ②特征向量也很特殊 特征向量是垂直的 why? 首先对于单位矩阵,特征值为1,是实数,①肯定成立 对于②,指...
  • 对称矩阵

    万次阅读 2018-10-18 19:14:30
    对称矩阵定义,如果n阶矩阵A满足 则称A为实对称矩阵性质1:实对称矩阵的特征值都是实数 性质2:实对称属于不同特征值的特征向量正交 性质3:若是实对称矩阵A的k重特征值,则与对应的有k个线性无关的...
  • 2.1 对称矩阵与反对称矩阵

    千次阅读 2021-03-14 09:57:16
    对称矩阵AAA是一个其元素aija_{ij}aij​关于主对角线...对称矩阵具有以下性质,若AAA和BBB都是对称矩阵,则AT=AA^T=AAT=A,且A−1,AmA^{-1},A^mA−1,Am(m为正整数)和A+BA+BA+B仍是对称矩阵。 满足条件AT=−AA^T=-AA
  • 对称矩阵及正定性

    万次阅读 2017-10-25 08:50:05
    对称阵是非常重要的矩阵,对于实对称矩阵,其特征值也为实数,且特征向量是垂直的。注意这里的垂直是指:如果特征值互不相同,那么每个特征值对应的特征向量是在一条线上,那些线之间总是垂直的;如果特征值重复,那...
  • 正定矩阵及其系列性质

    千次阅读 2020-12-15 10:03:59
    狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有。 2. 正定矩阵的性质 正定矩阵的行列式恒为正: 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同 若A是正定矩阵,则A的逆矩阵...
  • 从正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n维单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...
  • 正定矩阵定义性质

    万次阅读 2017-03-14 10:54:20
    广义定义 设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有 z'Mz > 0,其中z' 表示z的转置,就称M正定矩阵。 例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。aE+B在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为
  • 邻接矩阵定义和例子

    万次阅读 多人点赞 2018-04-07 21:41:52
    根据图的定义可知,图的...在图的邻接矩阵表示法中:① 用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系② 用一个顺序表来存储顶点信息图的矩阵设G=(V,E)是具有n个顶点的图,则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵:【例】下图中...
  • 再利用转置的概念给出对称矩阵定义,并介绍关于对称矩阵的一些基本知识。(由于公式较多,故正文采用图片形式给出。) 一、矩阵转置的概念。 二、转置运算满足的运算律。(请读者结合转置的定义给出前三条运算律的...
  • 针对较高维数矩阵的特征值求解问题,定义对称矩阵的两个特征值函数,分别用来求解实对称矩阵的前p 个最大特征值和最小特征值的和;讨论了这两个特征值函数的性质,列举这两个函数在现代控制理论等领域中的应用;最后给...
  • 协方差矩阵定义性质与python实现

    千次阅读 2018-12-17 22:01:34
    最近写统计学习的作业,要用到降维方法,一股脑把 机器学习实战 上的代码敲上去就好了,要求中还要尝试其他降维方法,查了好多发现LDA可以,但是LDA要用到计算协方差矩阵,这玩意我之前就糊里糊涂的,协方差是变量...
  • 从机器学习、量子计算、物理到许多数学和工程的问题,都可以通过找到一个矩阵的特征值和特征向量来解决。根据定义(标量λ、向量v是特征值、特征向量A):视觉上,Av与特征向量v位于同一直线上。这里有些例子。然而,Ax...
  • 特殊矩阵——对称矩阵(Symmetric Matrix) 注:压缩存储的矩阵可以分为特殊矩阵和稀疏矩阵。对于那些具有相同元素或零元素在矩阵中分布具有一定规律的矩阵,被称之为特殊矩阵。对于那些零元素数据远远多于非零元素...
  • 定义:如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称A为实对称矩阵。 主要性质: 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。 2.实对称矩阵A的特征...
  • 正定矩阵性质

    千次阅读 2020-09-12 20:59:34
    正定矩阵的定义:若矩阵A是n阶方阵,并且它的二次型大于0,即 则矩阵A是正定矩阵。...5.实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同 6.正定矩阵A的一切顺序主子式均为正 7.正定矩阵A的一切主子式均为正 ...

空空如也

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对称矩阵的定义及性质