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  • 矩阵等价、相似、合同的定义及性质

    万次阅读 多人点赞 2019-04-27 18:35:01
    定义 如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就成矩阵A与B行等价。 如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就成矩阵A与B列等价。 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。 性质 反身...

    矩阵等价

    定义

    如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B行等价。

    如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与B列等价。

    如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。

    性质

    1. 反身性:A~A
    2. 对称性:若A~B,则B~A
    3. 传递性:若A~B,B~C,则A~C

    推论:

    • 有两个m×n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=QAP(P是n×n阶可逆矩阵,Q是m×m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等价关系。
    • r(A)=r(B),且A与B为同型矩阵。

    矩阵相似

    定义

    设A、B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵,对A进行运算P^(-1)AP称对A进行的相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

    性质

    1.若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同

    2.n阶矩阵A与对角矩阵相似(A可以对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

    推论

    • 若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则λ1,λ2,λ3....λn即是A的n个特征值。
    • 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等,则A与对角矩阵相似。
    • A与某对角矩阵相似,B也与该对角矩阵相似,则A与B相似。
    • |A|=|B|,r(A)=r(B),A与B迹相等。

    矩阵合同

    一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知,合同矩阵等秩

    定义

    b两个n阶矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C使得C^(T)AC=B,则称A与B合同,并称由A到B的变换为合同变换,称C为合同变换的矩阵。

    • 一个二次型是半正定二次型,当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。对于半正定二次型其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。
    • 正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵,且行列式大于0。对于正定二次型,其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。一个n元二次型是正定二次型,当且仅当它的正惯性指数是n,同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。
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  • 我们像哟等价关系,在大学数学书中随处可见,大部分同学把等价关系理解为了自反性,对称性,传递性。然而对为什么要介绍等价关系,或者为何这么定义等价关系却不得而知。下面,我们就试着用最通俗语言告诉你如何...
    我们像哟b17bb5591c187cffa611bdd58c11560f.gif

    等价关系,在大学数学书中随处可见,大部分同学把等价关系理解为了自反性,对称性,传递性。然而对为什么要介绍等价关系,或者为何这么定义等价关系却不得而知。下面,我们就试着用最通俗的语言告诉你如何理解等价关系。

    引入等价关系可以分类

    01

    生活处处有分类

    在日常生活中,我们总会把各种事物进行分类。比如,岁月长河被分成

    周一,周二,..周日;

    一月,二月,…..十二月;

    ….2019年,2020年,2021年….;

    每个学校的学生可以按照男女分类,也可按照学院,班级分类...

    .......

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    垃圾分类

    数学中的分类常常见

    整数可以分成正整数,零,和负正数,也可分成奇数和偶数;

    实数分成有理数和无理数

    有理数又可以分成有限循环小数和无限循环小数

    直线可以按照斜率分类,矩阵可以按照秩分类,函数可以按照定义域分类,连续性分类….

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    分类应满足下面三个基本要求

    1、每个事物都要在某一类中;

    2、同一分类中的事物有相同的特点;

    3、不同分类之间没有重叠部分

    如果你同意分类应该满足上面三个基本要求,那等价关系中的自反性、对称性、传递性就很好理解了。下面就让我们一步一步通过上面三个基本要求过渡到等价关系的三个特性

    从事物的分类到集合的划分

    02

    生活中对事物的分类,可以用数学上对集合的划分来描述。一个集合的划分是指将这个集合分成一些彼此互不相交的非空子集的并集。

    例如,集合{1,2,3}有如下几种划分:

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    对于,每一个划分来说,这些非空子集叫这个划分的一个划分块。比如,第二个划分可以写成{1,2,3}={1}{2,3}.{1}与{2,3}为这个划分的两个划分块。

    与事物的分类类似,集合的划分也有下面三个性质:

    1、每个元素都包含在一个划分块中

    如上面例子的第二个划分中,1包含在划分块{1}中,2包含在划分块{2,3}中。类似一个整数一定包含在奇数块,或者偶数块中,每一个事物都有自己应该在的类中。

    2、划分块中的元素地位相同

    如上面例子的第二个划分中, 划分块{2,3}中的地位是一样的。类似,在所有的偶数中,2可以代表一个偶数,40也可以代表一个偶数。

    3、不同的划分块之间没有交集

    如上面的第二个划分中的两个划分块{1}与{2,3}是没有交集的。类似,奇数与偶数是没有交集的。

    为了将事物分类,必须首先决定如何分类。例如想对学生进行班级分类,可以给每个学生一个班级号码;为了给一个集合划分,必须先确定放在一个划分块中的元素间的联系。这就要求我们定义一类重要的关系:等价关系

    从划分到等价关系

    03

    当你确定了一个划分准则后,可以把包含在一个划分块的元素称为有关系的。例如,如果你想把整数分成奇数和偶数,你就可以定义2与4有关系,1与7有关系。

    一些记号

    如果a和b存在关系,我们用aRb表示。我们用a表示所有与a有关系的元素构成的集合(暂且成为关系类),并把a叫做a这个集合的代表元。我们想用这些关系类集合构成一个划分。

    为了达到划分的三个条件,元素间的关系需要满足相应的条件。下面,就通过对事物分类、集合划分的三个基本要求来分别理解等价关系中的自反性、对称性与传递性。

    等价关系的三条性质

    1、自反性:aRa

    事物分类要求每个事物都要在一个分类中;划分要求每个元素都要在一个划分块中;类似与你拿着中国护照,你就应该属于中国人。整数2,就应该站在整数的偶数类中。

    从而每个元素a都要在一个自己决定的类a中,即a∈a,也就是说a需要与自己有关系:aRa

    2、对称性:aRb-->bRa

    事物的分类要求同一类的事物要有共同的特性,划分需要保证每个划分块的元素地位相等。也就是说一个类中的元素都可以代表这一个类。就类似每个中国人都会代表中国,每个人都可以代表全人类。2020年中的任何一天都可以代表2020年。足球队的每个人都可以代表这个球队。

    也就说如果b∈a中 (bRa),那么a=b都代表这个类。也就说a∈b, ,必须得到aRb.

    3、传递性:aRb,bRc-->aRc

    事物的分类中要求不同的类之间不能有重叠,集合的划分要求不同的划分块不能有交集。就像不能存在即是可回收,又是不可回收的垃圾。一个整数不能即是奇数也是偶数。

    想要做到严格的分类,即ab,则有ab=Φ。利用对称性,并反向考虑ab≠Φ的情况, 我们就可以知道,确立传递性就能满足这个要求

    注意

    此文仅仅是从等价关系的分类目的出发,理解等价关系的三个性质的。等价关系在其它方面的涉及本文就不再介绍了。下面就一起看看几个关于等价关系的例子:

    不是等价关系的例子

    04

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    关系不满足自反性:元素(a,b)会不在与自己等价的集合中。

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    关系不满足对称性导致不同的类之间存在交集。例如横线集合中的点即与蓝色线上点有关系,也与红色线上的点有关系。而蓝色上的点与红色线上的点一般是没有关系的

    等价关系的例子

    05

    相信你在数学课本中可以发现很多等价关系的例子:整数的同余,矩阵的相抵,合同,相似等等。下面我就来举一些更加直观的例子吧

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    等价关系将平面分成无数条双曲线的集合

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    等价关系将除去x轴平面分为无数条直线的集合

    关于线性代数中的一些等价关系

    06

    线性代数中存在大量的等价关系,例如同解方程组、等价向量组、矩阵的(行、列)等价、合同、相似、线性空间的同构等。这些等价关系是如何将相应对象分类的呢?

    展开全文
  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    万次阅读 多人点赞 2018-11-02 19:49:11
    1.正定矩阵和半正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有&...根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法: 求出A的所有特征...

    1.正定矩阵和半正定矩阵

    若所有特征值均大于零,则称为正定。

    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    2.半正定矩阵

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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  • Gram 矩阵性质及应用

    2016-10-24 17:30:00
    v1,v2,…,vn 是内积空间一组向量,Gram 矩阵定义为: Gij=⟨vi,vj⟩,显然其是对称矩阵。 其实对于一个XN⋅d(N 个样本,d 个属性)样本矩阵而言,X⋅X′ 即为 Gram 矩阵; 1. 基本性质 半正定(positive ...
    • v1,v2,,vn 是内积空间的一组向量,Gram 矩阵定义为: Gij=vi,vj,显然其是对称矩阵。

    • 其实对于一个XNd(N 个样本,d 个属性)的样本矩阵而言,XX 即为 Gram 矩阵;

    1. 基本性质

    • 半正定(positive semidefinite)

    2. 应用

    • 如果 v1,v2,,vn 分别是随机向量,则 Gram 矩阵是协方差矩阵;

    3. 在 ML 中的应用

    对于感知机模型(perceptron)的对偶形式:

    • 输入:线性可分的数据集 T={(x1,y1),(x2,y2),,(xN,yN)},其中 xiRn,yi{1,+1} ,学习率为 η
    • 输出:α,b,感知机模型为 f(x)=sgn(j=1Nαjyjxjx+b),显然 α 是长度为 N 的向量;

    • 算法:

      • (1) α0,b0
      • (2) 在训练集中选取数据 (xi,yi)
      • (3) 如果 yi(j=1Nαjyjxjx+b)0
        • αiαi+η
        • b+ηyi
      • (4) 转至(2), 直至没有误分类数据;

    转载于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9423166.html

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  • 线性代数学习笔记24

    2019-02-01 12:47:03
    这里第二十五课-对称矩阵及正定性引言对称矩阵正定矩阵引言 引言 分析方阵,特征值和特征向量是两个很重要部分,例如马尔可夫矩阵矩阵就是具备特征值有一个为1特点,其他绝对值小于1。对于对称矩阵也具备一些...
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  • 2.矩阵的定义 2.矩阵的运算 1.矩阵的普通运算和分块运算 2.矩阵的行列式运算 3.矩阵的逆逆的运用 4.初等变换 3.矩阵的秩 1.秩的行列式定义 2.利用初等变换求秩 4.矩阵的应用举例 习题二 3.向量 1.向量的引入...
  • 2.2行列式的定义 2.3行列式的性质 2.4 Laplace展开 2.5 Cramer法则与矩阵乘法 2.6矩阵的乘积与行列式 2.7行列式的计算 习题2 第3章线性方程组 3.1 Gauss消元法 3.2方程组与矩阵的秩 3.3行向量空间和列向量空间 3.4...
  • 8.5.1NURBS曲线/曲面的定义 8.5.2有理基函数的性质 8.5.3NURBS曲线/曲面的特点 8.6曲线/曲面的转换和计算 8.6.1样条曲线/曲面的转换 8.6.2样条曲线/曲面的离散生成 8.7OpenGL生成曲线/曲面 8.7.1...
  • 2.11.2 指数型母函数的定义 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.14.1 stirling数 2.14.2 catalan数 2.14.3 举例 2.15 递推关系解法的补充 习题 第3章 容斥原理与鸽巢原理 3.1 ...
  • pytorch教程

    2019-01-18 00:34:18
    该协方差矩阵对称半正定,可以通过矩阵来进行奇异值分解(SVD), 然后对数据进行去相关性,再将其投影到一个特征空间,选取较大、主要向量来降低数据维度,这种方法叫做PCA,主成分分析 4.白噪声  与PCA...

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对称矩阵的定义及性质