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  • 对称矩阵的对角化应用
    千次阅读
    2021-04-20 14:06:23

    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?

    本例中数据如下:

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    下面是对一个对称矩阵求转换后的对角矩阵的matlab程序

    程序来自

    《基于Matlab的实对称矩阵对角化》一文,作者 计文军等

    其中a的对称矩阵,d是对角化后的矩阵,p是相应的合同变换,满足pTap=d

    function [p,d]=juzheng(a)

    [m,n]=size(a);

    a=[a eye(n)]';

    for k=1:n

    if a(k,k)==0

    for r=(k+1):n

    if a(k,r)~=0

    for i=k:n

    a(k,i)=a(k,i)+a(r,i);

    end

    for i=k:2*n

    a(i,k)=a(i,k)+a(i,r);

    end

    break

    end

    end

    end

    for i=k+1:n

    l=a(i,k)/a(k,k);

    for j=k:n

    a(i,j)=a(i,j)-l*a(k,j);

    end

    for j=k:2*n

    a(j,i)=a(j,i)-l*a(j,k);

    end

    end

    end

    p=a(n+1:2*n,1:n);

    d=a(1:n,1:n);

    return

    下面在脚本文件中调用juzheng.m函数

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    [p,d]=juzheng(B);

    X=(inv(p))';% 这一步是将计算的结果转成本例中我所需要的形式

    %你可以验证X*A*X'=B

    完毕!

    感谢文章作者

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    矩阵与对角形相似( P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ)的条件

    定理1
    A A A 相似于对角形 Λ \Lambda Λ 的充要条件是 A A A n n n 个线性无关的特征向量

    推论
    如果 A A A n n n 个互异的特征值,则 A A A 一定相似于对角形 Λ \Lambda Λ。其中 Λ \Lambda Λ 对角线为 A A A 的特征值。

    定理2
    A ∼ Λ A \sim \Lambda AΛ 的充分必要条件是对每一个 K K K 重的特征根的基础解系有 K K K 个解

    所有的实对称矩阵都能对角化!!!

    实对称矩阵的对角化

    n n n 阶实对称矩阵,它的 n n n 个特征值都是实数,并且它的特征向量都是实向量。

    定理3
    实对称矩阵 A A A 的不同特征值对应的特征向量一定正交。(对称: A T = A A^T=A AT=A)

    正交相似
    如果 A A A B B B 为同阶的方阵,如果存在正交矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则 A A A B B B 正交相似。

    定理4
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    前言

    终于快到矩阵分解了。在矩阵分解前,最后一个内容是实对称矩阵,二次型和正定矩阵。这三个概念与矩阵分解相关。

    实对称矩阵

    对于矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,如果 A T = A A^T=A AT=A,则称 A A A为实对称矩阵。

    实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,n重特征值有n个线性无关的特征向量。因此实对称矩阵必然能够对角化。

    实对称矩阵是 n × n n\times n n×n矩阵能够正交对角化的充分必要条件。

    正交对角化

    如果存在一个正交矩阵 Q Q Q,使得方阵 A = Q Λ Q − 1 = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^-1=Q\Lambda Q^T A=QΛQ1=QΛQT能够对角化,称为正交对角化。

    能够正交对角化的矩阵都是对称矩阵。
    证明:
    A = Q Λ Q T A T = Q Λ T Q T = Q Λ Q T = A A=Q\Lambda Q^T \\ A^T=Q\Lambda^T Q^T=Q\Lambda Q^T=A A=QΛQTAT=QΛTQT=QΛQT=A

    二次型

    A A A是实对称矩阵,将一个变量满足 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx函数称为二次型。

    对于 f ( x ) = x T A x f(x)=x^TAx f(x)=xTAx,替换变量 x = P y , f ( x ) = f ( P y ) = y T P T A P y x=Py,f(x)=f(Py)=y^TP^TAPy x=Py,f(x)=f(Py)=yTPTAPy,而 A A A是实对称矩阵,因此存在正交矩阵 Q , f ( Q y ) = y T Λ y Q,f(Qy)=y^T\Lambda y Q,f(Qy)=yTΛy,使得二次型化为标准型。

    正定矩阵

    广义的正定矩阵:对于矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,函数 f ( x ) = x T A x > 0 f(x)=x^TAx>0 f(x)=xTAx>0对任意非零向量 x ∈ R n x\in R^n xRn都成立,则称 A A A为正定矩阵。如果 f ( x ) = x T A x ≥ 0 f(x)=x^TAx\ge0 f(x)=xTAx0,则称 A A A为半正定矩阵。

    狭义的正定矩阵:对于对称矩阵 A ∈ R n × n A\in R^{n\times n} ARn×n,函数 f ( x ) = x T A x > 0 f(x)=x^TAx>0 f(x)=xTAx>0对任意非零向量 x ∈ R n x\in R^n xRn都成立,则称 A A A为正定矩阵。如果 f ( x ) = x T A x ≥ 0 f(x)=x^TAx\ge0 f(x)=xTAx0,则称 A A A为半正定矩阵。也把这种正定矩阵称为对称正定矩阵。

    实对称矩阵的正定判断条件

    如果实对称矩阵的特征值都大于0,则是对称正定矩阵;如果特征值都非负,则是对称半正定矩阵。

    证明:
    f ( x ) = x T A x Q Q T = E x = Q y f ( x ) = f ( Q y ) = y T Q T A Q y = y T Λ y = ∑ i = 1 n λ i y i 2 i f λ i > 0 , f ( x ) > 0 i f λ i ≥ 0 , f ( x ) ≥ 0 f(x)=x^TAx \\ QQ^T=E \\ x=Qy\\ f(x)=f(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \\ if \quad \lambda_i>0,f(x)>0 \\ if \quad \lambda_i\ge0,f(x)\ge 0\\ f(x)=xTAxQQT=Ex=Qyf(x)=f(Qy)=yTQTAQy=yTΛy=i=1nλiyi2ifλi>0,f(x)>0ifλi0,f(x)0

    一个常见的半正定矩阵

    对于任意矩阵 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} ARm×n矩阵 A T A A^TA ATA是半正定矩阵

    证明:
    x T A T A x = ( A x ) T A x = ( A x ) ⋅ ( A x ) = ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 ≥ 0 x^TA^TAx=(Ax)^TAx=(Ax)\cdot(Ax)=||Ax||^2_2\ge0 xTATAx=(Ax)TAx=(Ax)(Ax)=Ax220

    如果 A ∈ R m × n A\in R^{m\times n} ARm×n列满秩,则 A T A A^TA ATA是正定矩阵

    证明:
    A x = 0 → A T A x = 0 A T A x = 0 → x T A T A x = 0 → ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 = 0 → A x = 0 ∴ N U L ( A ) = N U L ( A T A ) ∵ d i m N U L ( A ) + r a n k ( A ) = n ∴ r a n k ( A T A ) = r a n k ( A ) r a n k ( A ) = n , d i m N U L ( A ) = 0 ∴ ∀ x ≠ 0 , A x ≠ 0 ∴ ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 2 > 0 i . e . x T A T A x > 0 Ax=0 \to A^TAx=0 \\ A^TAx=0 \to x^TA^TAx=0 \to ||Ax||^2_2=0\to Ax=0 \\ \therefore NUL(A)=NUL(A^TA) \\ \because dimNUL(A)+rank(A)=n \\ \therefore rank(A^TA)=rank(A) \\ \quad \\ rank(A)=n,dimNUL(A)=0 \\ \therefore \forall x\ne 0, A x\ne0 \\ \therefore ||Ax||_2^2>0 \\ \quad \\ i.e. \quad x^TA^TAx>0 Ax=0ATAx=0ATAx=0xTATAx=0Ax22=0Ax=0NUL(A)=NUL(ATA)dimNUL(A)+rank(A)=nrank(ATA)=rank(A)rank(A)=n,dimNUL(A)=0x=0,Ax=0Ax22>0i.e.xTATAx>0

    后记

    线性代数的矩阵性质部分大概就记录完了。下一篇就进入到了矩阵计算的内容——矩阵分解。

    展开全文
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