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  • 今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。 最后的结论就是...

    今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么对一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,对实对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。


    最后的结论就是:如果不做正交单位话,我们一样可以通过U(把特征向量按照列写成的矩阵),把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵

    我们知道,对应一个特征值的特征向量乘以任何一个非零的系数,仍然还是对应着这个特征值的特征向量,如果一个特征值对应多个特征向量,那在它们张成的空间里找出同样数量的线性不相关的向量,也都是这个特征值的特征向量,所以说特征向量并不唯一,也就是说这里的U是不唯一的

    而对于一个实对称矩阵,它的属于不同特征值的特征向量天生就是正交的,这使得我们只要在每个特征值内部选取合适的互相正交的特征向量,就能保证所有的特征向量都正交。而我们刚刚说过,特征向量乘以一个系数,仍然还是特征向量。所以,对于实对称矩阵来说,我们完全可以在诸多的U中选出一个特殊的Q,让Q的每一个列向量都互相正交而且长度为1。这时我们就惊喜的发现,这样的相当于由一组标准正交基当做列向量组成的矩阵Q,正是一个正交矩阵

    于是,我们就清楚的知道了,对实对称矩阵对角化的时候,正交单位化不是必须的,只有当我们想在实对称矩阵的诸多U里选取一个正交矩阵Q时,才需要做。正交矩阵有很多很好的性质,于是乎想从U里找到一个Q也变得情有可原了不是?


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  • 基于Matlab的实对称矩阵对角化

    千次阅读 2013-06-18 20:16:30
    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X? 本例中数据如下: A=[0.287402 0 0  0 0.483209 0  0 0 0.000025]; B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727  -0....

    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X,
    XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?

    本例中数据如下:

    A=[0.287402 0 0
       0 0.483209 0
       0 0 0.000025];
    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727
        -0.028039 0.483209 0.001299
        -0.0000727 0.001299 0.000025];

    下面是对一个对称矩阵求转换后的对角矩阵的matlab程序

    程序来自

    《基于Matlab的实对称矩阵对角化》一文,作者 计文军等

    其中a的对称矩阵,d是对角化后的矩阵,p是相应的合同变换,满足pTap=d

    function [p,d]=juzheng(a)
    [m,n]=size(a);
    a=[a eye(n)]';
    for k=1:n
        if a(k,k)==0
            for r=(k+1):n
                if a(k,r)~=0
                    for i=k:n
                        a(k,i)=a(k,i)+a(r,i);
                    end
                    for i=k:2*n
                        a(i,k)=a(i,k)+a(i,r);
                    end
                    break
                end
            end
        end
        
        for i=k+1:n
            l=a(i,k)/a(k,k);
            for j=k:n
                a(i,j)=a(i,j)-l*a(k,j);
            end
            for j=k:2*n
                a(j,i)=a(j,i)-l*a(j,k);
            end
        end
     
    end
    p=a(n+1:2*n,1:n);
    d=a(1:n,1:n);
    return

     

    下面在脚本文件中调用juzheng.m函数

    A=[0.287402 0 0
       0 0.483209 0
       0 0 0.000025];
    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727
        -0.028039 0.483209 0.001299
        -0.0000727 0.001299 0.000025];
    [p,d]=juzheng(B);
     X=(inv(p))';% 这一步是将计算的结果转成本例中我所需要的形式
    %你可以验证X*A*X'=B

     

    完毕!

    感谢文章作者

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  • 对称矩阵对角化

    千次阅读 2019-09-04 18:09:33
    原来,实对称矩阵对角化是为解决解析几何中二次曲面是何类型而提出的,因为二次曲面的方程可以写成(x,y,z)A(xyz)(x,y,z)A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}(x,y,z)A⎝⎛​xyz​⎠⎞​的形式,而这里的A就是一个实...


    原来,实对称矩阵对角化是为解决解析几何中二次曲面是何类型而提出的,因为二次曲面的方程可以写成(x,y,z)A(xyz)(x,y,z)A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}的形式,而这里的A就是一个实对称矩阵,为了更好的看出曲线的类型,需要把二次项给消掉,使得变成(x,y,z)T1AT(xyz)(x^*,y^*,z^*)T^{-1}AT\begin{pmatrix}x^*\\y^*\\z^*\end{pmatrix}的形式,而T1ATT^{-1}AT是一个对角矩阵。不过为什么这里的T一定是正交矩阵?虽然后面证明了能将实对称矩阵对角化的可逆矩阵一定是正交矩阵,不过这里好像还有一个从几何上证明的定理??

    实对称矩阵是指:实数域上的对称矩阵

    正交相似

    • 大概就是对于矩阵A,BA,B,若存在一正交矩阵TT使得T1AT=BT^{-1}AT=B就说AA正交相似于BB
    • 正交相似是nn级实矩阵组成的集合的一个等价关系,拥有以下三个性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性

    定理1

    实对称矩阵的特征多项式的每一个复根都是实数,从而它们都是特征值。

    证明

    • λ0\lambda_0nn级实对称矩阵A的任一复根,只需证明λ0ˉ=λ0\bar{\lambda_0}=\lambda_0,便能证明其为实数
    • 把A看成复矩阵,从而αCnα0\exist\alpha\in C^n,且\alpha\ne 0,有(1)Aα=λ0αA\alpha=\lambda_0\alpha\tag{1}
    • 由于A是实矩阵,所以λ0ˉ\bar{\lambda_0}也是A的一个特征值,αˉ\bar{\alpha}λ0ˉ\bar{\lambda_0}的一个特征向量P2732P_{273}例2AA是复数域上的n级实矩阵,若虚数λ0\lambda_0是A的属于λ0\lambda_0的一个特征向量,那么λ0ˉ\bar{\lambda_0}也是A的一个特征值,且特征向量为αˉ\bar{\alpha}
    • 所以就有Aαˉ=λ0ˉαˉA\bar{\alpha}=\bar{\lambda_0}\bar{\alpha}对其转置有αˉA=λ0ˉαˉ\bar{\alpha}'A'=\bar{\lambda_0}\bar{\alpha}'在上式右乘α\alpha,得(2)αˉAα=λ0ˉαˉα\bar{\alpha}'A'\alpha=\bar{\lambda_0}\bar{\alpha}'\alpha\tag{2}
    • 在(1)式左边乘上αˉ\bar{\alpha}',得(3)αˉAα=λ0αˉα\bar{\alpha}'A\alpha=\lambda_0\bar{\alpha}'\alpha\tag{3}
    • (2)=(3)\Rightarrow (λ0ˉλ0)αˉα=0(\bar{\lambda_0}-\lambda_0)\bar{\alpha}'\alpha=0 αˉα0\bar{\alpha}'\alpha\ne0,So,λ0ˉ=λ0\bar{\lambda_0}=\lambda_0

    定理2

    实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

    证明

    • λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2分别是A的两个不同的特征值,α,β\alpha,\beta分别是它们 的一个特征向量(1)Aα=λ1αA\alpha=\lambda_1\alpha\tag{1} (2)Aβ=λ2βA\beta=\lambda_2\beta\tag{2}要证αβ=0\alpha'\beta=0
    • 让(1)转置,得αA=λ1α\alpha'A=\lambda_1\alpha'右乘β\beta,得αAβ=λ2αβ=λ1αβ\alpha'A\beta=\lambda_2\alpha'\beta=\lambda_1\alpha'\beta \Rightarrow αβ=0\alpha'\beta=0
      是不是觉得哪里有点奇怪,αAβ=λ2αβ\alpha'A\beta=\lambda_2\alpha'\beta这样可以吗,不是矩阵相乘才有结合律吗?
      啧啧啧,一看就是矩阵运算没有学好,刚刚翻到P143P_{143}矩阵的运算,第一个性质就是说的矩阵的结合律!
    • A=(aij)s×n,B=(bij)n×m,C=(cij)m×rA=(a_{ij})_{s×n},B=(b_{ij})_{n×m},C=(c_{ij})_{m×r},则满足(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)

    定理3

    实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵
    这表明\Rightarrow实对称矩阵一定可对角化(真是上帝的宠儿,一出生就自带可对角化的光环)

    证明

    这个证明有难度了,从一开始就意想不到

    • 首先,这里用的是数学归纳法
    • n=1n=1时,(1)1(a)(1)=(a)(1)^{-1}(a)(1)=(a),命题真
    • 假设对n1n-1级矩阵都满足以上命题,现在看nn级实对称矩阵A
      • 由定理1得,实对称矩阵必有特征值,故取A的一个特征值λ1\lambda_1,再取λ1\lambda_1的一个特征向量η1\eta_1,取的η1\eta_1要满足η1=1|\eta_1|=1
      • 然后!!把η1\eta_1扩充为RnR^n的一个基,经过施密特正交化和标准化,得到RnR^n的一组标准正交鸡η1,η2,...,ηn\eta_1,\eta_2,...,\eta_n,令T1=(η1,η2,...,ηn)T_1=(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)T1T_1是正交矩阵
      • 于是T11AT1=T11(Aη1,Aη2,...,Aηn)T_1^{-1}AT_1=T_1^{-1}(A\eta_1,A\eta_2,...,A\eta_n) =(λ1T11η1,T11Aη2,...,T11Aηn)=(\lambda_1T_1^{-1}\eta_1,T_1^{-1}A\eta_2,...,T_1^{-1}A\eta_n)由于正交矩阵有T=T1T'=T^{-1},所以T11=T1=(η1η2...ηn)T_1^{-1}=T_1'=\begin{pmatrix}\eta_1'\\\eta_2'\\...\\\eta_n'\end{pmatrix} 所以T11η1=(10...0)=ε1T_1^{-1}\eta_1=\begin{pmatrix}1\\0\\...\\0\end{pmatrix}=\varepsilon_1
      • 所以T11AT1=(λ1α0B)T_1^{-1}AT_1=\begin{pmatrix}\lambda_1&\alpha\\0&B\end{pmatrix}由于A是实对称,则T11AT1T_1^{-1}AT_1也是实对称(正交矩阵节P218P_{218}第一题就证明的是这个!!)α=0\Rightarrow \alpha=0所以T11AT1=(λ100B)T_1^{-1}AT_1=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&B\end{pmatrix}B也是实对称矩阵
    • 由设,得T2\exist 正交矩阵T_2,使得T21BT2=diag{λ2,...,λn}T_2^{-1}BT_2=diag\{\lambda_2,...,\lambda_n\}
    • 所以,只需令T=T1(100T2)T=T_1\begin{pmatrix}1&0\\0&T_2\end{pmatrix}就有T1AT=diag{λ1,λ2,...,λn}T^{-1}AT=diag\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\}

    命题1

    • 若矩阵A是nn实矩阵
    • 且A正交相似于一个对角矩阵D
    • \RightarrowA绝对是实对称矩阵

    所以只有实对称矩阵才有正交相似的权利,非常霸道了
    (有一个蒙面人说,我是实的且能正交相似,你们知道我是谁吗?)
    (众人:哎哟你可拉到吧!还蒙面呢,只有实对称矩阵才能这样,你肯定是实对称矩阵家族的!)

    命题2

    A,BA,B是两个实对称矩阵,则
    A,BA,BA,B相似\Leftrightarrow A,B正交相似

    展开全文
  • 1 ,对称矩阵 : 定于 : 1 ,如果 :矩阵 A = A 的转置 2 ,那么 :A 为对称矩阵 如图 : 2 ,角矩阵 : ...1 ,主角线的元素不为 0 ...5 ,对角化 : ...1 ,如果一个矩阵的像是矩阵是一个...2 ,则称这个过程是对角化

    1 ,对称矩阵 :

    1. 定于 :
      1 ,如果 :矩阵 A = A 的转置
      2 ,那么 :A 为对称矩阵
    2. 如图 :
      在这里插入图片描述

    2 ,对角矩阵 :

    1. 定义 :
      1 ,主对角线的元素不为 0
      2 ,其他元素都为 0
    2. 例如 :
      在这里插入图片描述

    3 ,正定矩阵 :

    1. 定义 :
      1 ,可以让非零实向量乘以他自己的转置 > 0 ,这样的矩阵叫正定矩阵
      2 ,理解 : 把它的方向正过来
    2. 如图 :
      在这里插入图片描述

    4 ,相似矩阵 :

    1. 定义 :
      在这里插入图片描述

    5 ,对角化 :

    1. 定义 :
      1 ,如果一个矩阵的像是矩阵是一个对角矩阵
      2 ,则称这个过程是对角化
    展开全文
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空空如也

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对称矩阵的对角化应用