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    我的公众号“每日晴天”,可关注领取我的笔记pdf版哦~

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    一、相似矩阵及矩阵的可对角化

    1、矩阵的相似:设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得

    ,则称A相似于B,记为A~B。

    性质:

    (1)反身性:A~A

    (2)对称性:如果A~B,则有B~A。

    (3)传递性:如果A~B,B~C,则A~C。

    2、矩阵相似的一些特点:如果A,B相似,即存在可逆矩阵P,使得

    ,则有如下特点:

    (1)行列式的关系:|A|=|B|。

    (2)特征值和特征向量的关系:A和B有相同的特征多项式和特征值。

    (3)迹和秩的关系:

    且有

    (4)如果f(x)是一个多项式,那么

    (5)

    ~
    ,若A可逆,则
    ~

    3、可对角化矩阵:设B是n阶方阵,若存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵Λ,使得

    ,则称
    B是可以对角化的矩阵,简称可对角化,并称矩阵P对角化B

    4、矩阵可对角化的充要条件n阶矩阵A与一个对角矩阵相似,即A可对角化的充要条件是A有n个线性无关特征向量

    ,其中
    P是以n个特征向量组成,(后面可以证明到,这个P其实就是正交矩阵

    。其中
    α是列向量

    推论:

    (1)如果n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A可对角化

    (2)如果n阶复矩阵A的特征多项无重根,则A可对角化

    二、实对称矩阵的对角化

    1、并不是所有n阶矩阵都可以对角化,但是实对称矩阵必定可以对角化。

    2、

    中向量的
    内积:设
    ,定义
    是α与β的内积,且

    3、内积的运算规律:

    (1)

    ;(2)

    (3)

    (4)

    ,当且仅当α=0时,

    4、向量长度:若

    ,实数
    称为α的长度,即有

    单位向量:长度为1的向量称为单位向量。

    性质:

    (1)

    ,当且仅当α=0时,

    (2)

    (3)柯西——施瓦茨不等式:若

    ,则
    (内积的模≤模的乘积)

    (4)三角不等式:

    5、两向量的夹角:设α,β为

    中的两个非零向量,规定α,β的夹角为满足条件:
    的角度θ。向量α和β的夹角
    记作

    6、垂直或正交:

    ,而
    ,则α,β垂直或正交。

    (零向量与任何向量正交。)

    此时,有(α,β)=0

    7、正交向量组:一组由两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组。

    8、定理:内积空间

    中,正交向量组
    线性无关

    9、正交基和标准正交基:在内积空间

    中,若n个向量
    为正交向量组,则他们构成
    的一组基称为
    一组正交基。若正交基
    为单位向量,则
    称为
    标准正交基

    10、正交基的求法:设

    为内积空间
    中的一组基,令

    ····

    是内积空间
    的一组正交基。

    11、正交基变标准正交基:其实只是把正交基单位化,设正交基

    ,则单位化后
    ····

    12、正交矩阵:若n阶实矩阵A满足

    ,则称其为正交矩阵。

    性质:

    (1)A可逆,且

    (2)

    也是正交矩阵。

    (3)

    (4)正交矩阵乘积仍是正交矩阵

    13、正交矩阵的构成:设A为n阶实矩阵,且

    ,则A是正交矩阵的
    充分必要条件列向量
    构成
    的一组
    标准正交基

    一般用来求正交矩阵

    14、实对称矩阵的对角化

    (1)实对称矩阵的特征值都是实数。

    (2)实对称矩阵A属于不同特征值特征向量必正交。

    (3)设A是一个n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵T,使得

    对角矩阵

    (且有

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  • 在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称...

    对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

    实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

    实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化:

    (1)实对称矩阵的特征值全部是实数;

    (2)实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化;

    (3)实对称矩阵必相似于对角矩阵。

    求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤:

    173350e10233a595b1228495d141d51a.png

    求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤

    题型一:实对称矩阵的正交相似对角矩阵

    例1:

    dd2f158f7316f1c9c178b469275547ba.png

    解题思路:(1)非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.

    (2)利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解

    解:

    33ed9164913712d4cead5cd048fcf53d.png

    题型二:相似对角矩阵的应用

    例2:设A是n阶矩阵,有特征值1,2,3,....,n,求|3E+A|

    分析:可以利用特征值和行列式的性质的计算。

    解:

    78abbd8d58ec6810e888d1c207610538.png
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  • 正定性与对称矩阵对称矩阵对称矩阵的对角化正定性正定矩阵 对称矩阵 对称矩阵A=ATA=A^TA=AT,其特征值都是实数,且其特征向量是相互正交的(严格来说是可以找到一组相互垂直的特征向量) Ax=λxAx=\lambda xAx=λx ...

    作者水平有限,欢迎大家提出文中错误

    对称矩阵

    对称矩阵A=ATA=A^T其特征值都是实数,且其特征向量是相互正交的(严格来说是可以找到一组相互垂直的特征向量)
    Ax=λx Ax=\lambda x
    取共轭(其中A=AˉA=\bar A)
    Axˉ=λˉxˉ A \bar x= \bar \lambda \bar x
    取转置(其中AT=AA^T=A)
    xˉTA=λˉxˉT \bar x^T A=\bar \lambda \bar x^T
    两边同乘xx
    xˉTAx=xˉTλˉx=xˉTλx \bar x^T Ax= \bar x^T\bar \lambda x=\bar x^T\lambda x
    xˉTx=length2(xˉ)>0\bar x ^T x=length^2(\bar x)>0,所以
    λ=λˉ(λ is real!) \lambda=\bar \lambda(\lambda\ is\ real!)
    同理,反对称矩阵A=ATA=-A^T,其特征值都是纯虚数

    对称矩阵的对角化

    对于一般矩阵AAA=SΛS1A=S\Lambda S^{-1}
    对于对称矩阵存在标准正交的特征向量矩阵QQ,而对于标准正交矩阵QQ,有Q1=QTQ^{-1}=Q^T,所以如果A=ATA=A^T
    A=QΛQT A=Q\Lambda Q^T
    对称矩阵的特征值特征向量,以及其对称性在上式均有体现。
    进一步分解
    A=λ1q1q1T+λ2q2q2T++λnqnqnT A=\lambda_1q_1q_1^T+\lambda_2q_2q_2^T+\dots+\lambda_nq_nq_n^T
    注意到,qiqiTq_iq_i^T是一个投影矩阵,所以每个对称矩阵都是相互正交的投影矩阵的线性组合。

    正定性

    对于对称矩阵
    # positive pivots=# positive eigenvalues \# \ positive\ pivots=\# \ positive\ eigenvalues
    # negative pivots=# negative eigenvalues \# \ negative\ pivots=\# \ negative\ eigenvalues
    所有特征值都是正值的对称矩阵被称为是正定的
    所有特征值都是负值的对称矩阵被称为是负定的
    一些特征值是正值且一些为0的矩阵被称为是半正定的
    一些特征值是负值且一些为0的矩阵被称为是半负定的

    正定矩阵判据

    1. 所有特征值都是正值对称矩阵
    2. 所有子行列式都是正值对称矩阵
    3. 所有主元都是正值对称矩阵
    4. xTAx>0,x0x^TAx>0,x\not= 0

    正定矩阵的性质

    如果A,BA,B是正定矩阵,那么
    6. ABAB是正定矩阵
    7. A+BA+B是正定矩阵

    正定性与最小二乘法

    对任意列满秩矩阵AmnA_{m*n}ATAA^TA是正定的
    证明
    首先ATAA^TA是对称矩阵。
    xTATAx=(Ax)T(Ax)=Ax>0,if x0x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=\left\|Ax\right\|>0,if\ x\not=0
    注意,只有AA列满秩的时候,即N(A)={0}N(A)=\{0\}的时候,ATAA^TA才是正定的。

    二次型

    由于同正定性的不同矩阵只是图形的偏心率和姿态有所不同,所以这里先只讨论标准情况,对于对称矩阵A22A_{2*2},将绘制二次型图像z=xTAxz=x^TAx
    A=[1001],(A is positive definite) A= \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right],(A\ is \ positive\ definite)
    在这里插入图片描述
    A=[1000],(A is positive semidefinite) A= \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right],(A\ is \ positive\ semi-definite)
    在这里插入图片描述
    A=[1000],(A is negative semidefinite) A= \left[ \begin{matrix} -1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right],(A\ is \ negative\ semi-definite)
    在这里插入图片描述
    A=[1001],(A is negative definite) A= \left[ \begin{matrix} -1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{matrix} \right],(A\ is \ negative\ definite)
    在这里插入图片描述
    A=[1001],(A is neither positive definite nor negative definite) A= \left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{matrix} \right],(A\ is\ neither\ positive\ definite\ nor\ negative\ definite)
    在这里插入图片描述
    以上这些图形都有最佳的观测方向,这种最佳观测方向都是沿着特征向量方向,以负定情况举例
    沿[10] 沿 \left[ \begin{matrix} 1\\ 0\\ \end{matrix} \right]方向
    在这里插入图片描述
    沿[01] 沿 \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ \end{matrix} \right]方向
    在这里插入图片描述
    而根据特征向量几何意义,矩阵QQ指示了这些轴的方向,而Λ\Lambda则对图形在特征向量的方向进行拉伸
    如果
    Q=[cosθsinθsinθcosθ] Q= \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta\\ \end{matrix} \right]
    则图形被旋转θ\theta
    在这里插入图片描述

    对称矩阵的LU分解与二次型的配方


    A=[26620] A= \left[ \begin{matrix} 2 & 6\\ 6 & 20\\ \end{matrix} \right]
    为例
    A=[131][262] A= \left[ \begin{matrix} 1 & \\ 3 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & 6\\ & 2\\ \end{matrix} \right]
    同时
    xTAx=2x12+12x1x2+20x22=2(x+3y)2+2y2 x^TAx=2x_1^2+12x_1x_2+20x_2^2=2(x+3y)^2+2y^2
    二次型被配方为两平方项之和,可以观察到x+3yx+3y对应了[1 3]T[1\ 3]^Tyy对应了[0 1]T[0\ 1]^T,而两项前面的因子,分别是两个主元,同时也可以得到,为什么说负主元会导致xTAx>0x^TAx>0不总成立了

    连续多元函数在某点存在极小值的判据

    以二元函数f(x,y)f(x,y)为例

    1. fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0
    2. 二阶导数矩阵在该点是正定的
      [fxxfxyfyxfyy]x=x0,y=y0is a positive definite matrix \left[ \begin{matrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\\ \end{matrix} \right]_{x=x_0,y=y_0}is\ a\ positive\ definite\ matrix

    同理如果二阶导数矩阵是负定的,则会有极大值;如果二阶导数矩阵二次型是鞍面(行列式小于0),则此出不存在极值
    此条件很容易推广到n元函数

    展开全文
  • 矩阵总结

    2020-07-03 13:43:12
    对称矩阵 满足A=的矩阵,称为对称矩阵。(=意思就是里边的每一个元素都想等)性质如下: 对称矩阵的特征值一定是实数。... 对称矩阵一定可以对角化。(对角化) 对称矩阵可以正交对角化。(正交对角化) ...

    对称矩阵

    满足A=A^{T}的矩阵,称为对称矩阵。(=意思就是里边的每一个元素都想等)性质如下:

    1. 对称矩阵的特征值一定是实数。
    2. 对称矩阵的几何重数等于代数重数。(???)
    3. 对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。(此处的n就是矩阵中的nxn???)
    4. 对称矩阵一定可以对角化。(对角化)
    5. 对称矩阵可以正交对角化。(正交对角化)
    展开全文
  • 把近期的总结以专题形式公布出来,初步目录为:欢迎大家关注此公众号:ai_portumo【目录预告】【第一章 线性代数】矩阵、迹、转置行列式、三角矩阵、行列式的性质、余子式克拉姆法则、齐次线性方程组逆矩阵、矩阵的...
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    2015-09-25 20:01:00
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