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  • 基于MATLAB的复对称矩阵对角化.pdf
  • 假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?本例中数据如下:A=[0.287402 0 00 0.483209 00 0 0.000025];B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727-0.028039 0.483209 0....

    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X?

    本例中数据如下:

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    下面是对一个对称矩阵求转换后的对角矩阵的matlab程序

    程序来自

    《基于Matlab的实对称矩阵对角化》一文,作者 计文军等

    其中a的对称矩阵,d是对角化后的矩阵,p是相应的合同变换,满足pTap=d

    function [p,d]=juzheng(a)

    [m,n]=size(a);

    a=[a eye(n)]';

    for k=1:n

    if a(k,k)==0

    for r=(k+1):n

    if a(k,r)~=0

    for i=k:n

    a(k,i)=a(k,i)+a(r,i);

    end

    for i=k:2*n

    a(i,k)=a(i,k)+a(i,r);

    end

    break

    end

    end

    end

    for i=k+1:n

    l=a(i,k)/a(k,k);

    for j=k:n

    a(i,j)=a(i,j)-l*a(k,j);

    end

    for j=k:2*n

    a(j,i)=a(j,i)-l*a(j,k);

    end

    end

    end

    p=a(n+1:2*n,1:n);

    d=a(1:n,1:n);

    return

    下面在脚本文件中调用juzheng.m函数

    A=[0.287402 0 0

    0 0.483209 0

    0 0 0.000025];

    B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727

    -0.028039 0.483209 0.001299

    -0.0000727 0.001299 0.000025];

    [p,d]=juzheng(B);

    X=(inv(p))';% 这一步是将计算的结果转成本例中我所需要的形式

    %你可以验证X*A*X'=B

    完毕!

    感谢文章作者

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  • 对称矩阵对角化,有两篇论文,内含Matlab实现代码,在文章里的,可以直接写下来使用。测试过,还可以。
  • 对称矩阵对角化

    2021-10-10 21:39:28
    矩阵与角形相似(P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ)的条件 定理1 AAA 相似于角形 Λ\LambdaΛ 的充要条件是 AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量。 推论 ...所有的实对称矩阵都能对角化!!! 向量

    矩阵与对角形相似( P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ)的条件

    定理1
    A A A 相似于对角形 Λ \Lambda Λ 的充要条件是 A A A n n n 个线性无关的特征向量

    推论
    如果 A A A n n n 个互异的特征值,则 A A A 一定相似于对角形 Λ \Lambda Λ。其中 Λ \Lambda Λ 对角线为 A A A 的特征值。

    定理2
    A ∼ Λ A \sim \Lambda AΛ 的充分必要条件是对每一个 K K K 重的特征根的基础解系有 K K K 个解

    所有的实对称矩阵都能对角化!!!

    实对称矩阵的对角化

    n n n 阶实对称矩阵,它的 n n n 个特征值都是实数,并且它的特征向量都是实向量。

    定理3
    实对称矩阵 A A A 的不同特征值对应的特征向量一定正交。(对称: A T = A A^T=A AT=A)

    正交相似
    如果 A A A B B B 为同阶的方阵,如果存在正交矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则 A A A B B B 正交相似。

    定理4
    假设 A A A 是实对称矩阵,一定存在正交矩阵 Q Q Q 使得 Q − 1 A Q = Λ Q^{-1}AQ = \Lambda Q1AQ=Λ

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    实对称矩阵都能对角化

    内积

    简单来说,内积就是两个向量的对应分量相乘再相加

    内积是个数!!
    在这里插入图片描述

    内积的性质

    注意最后一条性质

    两个向量和与第三个向量的内积 == 两个向量分别与第三个向量内积的和,这条性质可以与上面的性质配合使用
    在这里插入图片描述

    (向量)长度

    向量的长度等于与它自己做内积再开根号,即点到原点的距离

    若向量长度 == 1,则这个向量称为单位向量

    单位化

    有些向量长度并不是1,但是可以通过化简让它的长度变为1

    方法:乘长度分之一

    性质

    1. 向量的长度 >= 0 ||a|| == 0 等价于 a == 0
    2. 在长度运算里外提一个数,这个数需要加绝对值

    在这里插入图片描述
    3. 两个向量的内积 <= 两个向量的长度相乘
    4. 两个向量相加后的长度 <= 两个向量的长度再相加 (三角不等式)
    在这里插入图片描述

    正交

    两个向量内积 == 0 记作 α⊥β 和自身正交等于0的向量只能是0向量

    零向量与任意向量都正交

    正交向量组

    不含0向量的向量组,向量组内的向量两两正交

    标准正交向量组

    向量组里的向量和自己做内积时 = 1 和别人做内积的时候 = 0
    在这里插入图片描述

    定理

    在这里插入图片描述
    反过来不一定成立!!

    施密特正交化

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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空空如也

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对称矩阵的对角化的总结