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  • 对称矩阵特征值求法_梳理:矩阵对角
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    2020-10-21 22:12:47

    设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。

    相关结论

    1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

    2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

    3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

    4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。

    5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。

    6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

    7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A)=0。

    8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

    9.若A的n个特征值互不相同,则A可对角化。

    10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量,则A可对角化。

    11.若A有k重特征值μ,齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k,则A可对角化。

    12.若A有k重特征值,矩阵A−μE的秩为n−k,则A可对角化。

    13.若A是对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量正交。

    14.若A是对称矩阵,则A必可对角化。

    矩阵A对角化的步骤

    1.求可逆矩阵P,使得

    P^−1AP=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

    2.若A对称,求正交矩阵Q,使得

    Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化;

    ④将所有n个特征向量单位化;

    ⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn,写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

    典型例子

    8632947afd37260651408175744e6487.png
    df60c7cff9397e6c697e75c5420902ab.png
    f4d3a95c93b7071f082e750259fe124a.png
    097bdbd54556897e1daf96b8a1d31b4d.png
    71271a4519a6232c53baaaedf96a10f3.png
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    对称矩阵

    对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:

    可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即:

    对角矩阵

    对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如:

    三角矩阵

    三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。

    上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)是指主对角线以下元素全为0的矩阵,如:

    下三角矩阵(Lower Triangular Matrix)是指主对角线以上元素全为0的矩阵,如:

    可以看到,对角矩阵一定是三角矩阵。

    对称矩阵对角化

    是实对称矩阵(元素都是实数),则一定存在正交矩阵
    ,对角矩阵
    ,使得下式成立:

    例子:

    证明暂且参考:为什么实对称矩阵一定能对角化?

    两边同时左乘

    ,右乘
    ,得:

    又因为

    是正交矩阵,所以:

    这就叫做对称矩阵的对角化

    对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积,所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解(Eigendecomposition)、谱分解(Spectral Decomposition),在上面的例子中,矩阵

    的特征值为4、1、-2,对应的特征向量为

    总结

    可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵,所以都是方阵

    展开全文
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    第三十篇 雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值

    对于标准特征值方程
    在这里插入图片描述
    特征值问题编程基础可知,对于任何非0解矩阵[P],标准方程可以转化为具有相同特征值的方程
    在这里插入图片描述
    其中
    在这里插入图片描述
    这种转换技术的关键核心在于[A *]的特征值比原始[A]的特征值更容易找到。
    然而,如果[A]是对称的,则变换后的矩阵不太可能保持对称。很容易证明下面变换
    在这里插入图片描述
    将保持[A∗]的对称性。为了使上面方程中给出的特征值[A∗]与[A]的特征值相同,必须把这两个性质综合起来
    在这里插入图片描述
    这种类型的矩阵称为“正交矩阵”,具有这种性质的矩阵称为“旋转矩阵”。
    在这里插入图片描述
    将此变换应用于下面的矩阵,我们有
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    其中很明显[A∗]对于任何α值都是对称的。这种情况,明显可以选择一个α值使得[A∗]成为一个对角矩阵,因为如果这样,对角线就是特征值。下面的情况,非对角线项将被消除
    在这里插入图片描述
    得出,tan α = 1和α = π/4,给出sin α = cos α = 1/√2。
    得到的变换矩阵是
    在这里插入图片描述
    即[A]的特征值分别为3和1。
    对于大于2 × 2的矩阵[A],变换矩阵[P]必须通过在其他主对角线上放1,在所有非对角线上放0来“填充”,被消去的行和列选择上面的矩阵。例如,如果[A]是4 × 4,则变换矩阵可以选择6种形式中的一种,这取决于要消去初始矩阵中的哪些非对角项,例如:
    在这里插入图片描述
    上面第一个矩阵经过[P]T [A][P]变换后将原矩阵[A]中的a12和a21项消去,而第二个矩阵将消去a24和a42项。1和0的作用是让[A]的其他行和列保持不变。这意味着在一次转换中变为零的非对角线项在随后的转换中会恢复为非零值(尽管通常是很“小”的值),因此正如期望的那样,该方法是迭代的。
    这种类型的迭代的最早形式称为“雅可比对角化”,它通过消除每一次迭代剩余的“最大的”非对角项连续进行迭代。
    对于任何对称矩阵[A],得到广义方程为
    在这里插入图片描述
    得到[A∗]形式的非对角线项为
    在这里插入图片描述
    求α使这一项等于零
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    因此,为了建立一个雅可比对角化的简单程序,必须在[a]中搜索“最大的”非对角线项,并找到它所在的行和列。“旋转矩阵”α按照之前的方法构建。矩阵[P]可以使用一个numpy库的transpose转化,然后矩阵乘积形成方程的[A *]。重复这个过程,直到[A∗]的主对角线在可接受的公差内收敛到[A]的特征值为止。
    计算实例:
    使用雅可比对角化去估算下面对称矩阵的特征值
    在这里插入图片描述
    下面的结果保留到小数点后四位,但实际计算的精确度更高。
    第一次迭代
    最大的非主对角项为a23 = a32 = −9.0,因此根据之前方程
    在这里插入图片描述
    第一次转换矩阵将包含下面的项
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    通过转化矩阵得到
    在这里插入图片描述
    详细的数值为
    在这里插入图片描述
    最后
    在这里插入图片描述
    第二次迭代
    最大的非主对角项为a12 = a21 = −7.7782,因此
    在这里插入图片描述
    第二次转化矩阵将包括下面的项
    在这里插入图片描述
    因此,
    在这里插入图片描述
    同上面一样,矩阵乘积将等于
    在这里插入图片描述
    可以看到,虽然位置(2,3)和(3,2)不再为零,但与初始矩阵中的值相比足够“小”。随着迭代的进行,旋转角度αk→0,变换矩阵[Pk]→[I]和变换矩阵[Ak]趋向于一个对角矩阵,特征值在对角线上。
    对于这个例子,经过六次迭代,容差为1.0e-5
    得到
    在这里插入图片描述
    因此[A]的特征值λ = 0.4659, 20.9681,−0.9340。特征向量将通过将每个特征值代入求线性方程的解。
    程序如下
    分为一个主程序和两个子程序,分别为判断收敛的子程序checkit,和高斯消元求特征向量的子程序eliminate。详情可参照之前文章的线性方程求解部分
    主程序:

    #雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值
    import numpy as np
    import B
    import math
    n=3;tol=1.0e-5;limit=100
    enew=np.zeros((n,1))
    eold=np.zeros((n,1))
    p=np.zeros((n,n))
    a1=np.zeros((n,n))
    a=np.array([[10,5,6],[5,20,4],[6,4,30]],dtype=np.float)
    a2=a
    pi=math.acos(-1)
    x=np.zeros((n,1))
    x=np.ones((3,1),dtype=np.float)
    print('雅可比主对角线化求对称矩阵的特征值')
    print('矩阵A')
    print(a[:])
    print('前几次迭代值')
    iters=0;eold[:]=0
    while(True):
        iters=iters+1
        big=0
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(i+1,n+1):
                if abs(a[i-1,j-1]>big):
                    big=abs(a[i-1,j-1]);hold=a[i-1,j-1];nr=i;nc=j
        if abs(big)<1.0e-20:
            break
        den=a[nr-1,nr-1]-a[nc-1,nc-1]
        if abs(den)<1.0e-20:
            alpha=pi/4.0
            if hold<0:
                alpha=-alpha
        else:
            alpha=math.atan(2.0*hold/den)/2.0
        ct=math.cos(alpha);st=math.sin(alpha);p[:]=0
        for i in range(1,n+1):
            p[i-1,i-1]=1.0
        p[nr-1,nr-1]=ct;p[nc-1,nc-1]=ct;p[nr-1,nc-1]=-st;p[nc-1,nr-1]=st
        a=np.dot(np.dot(np.transpose(p),a),p)
        if iters<5:
            for i in range(1,n+1):
                for j in range(1,n+1):
                    print('{:13.4e}'.format(a[i-1,j-1]),end='')
                print(end='\n')
            print(end='\n')
        for i in range(1,n+1):
            enew[i-1,0]=a[i-1,i-1]
        if B.checkit(enew,eold,tol) or iters==limit:
            break
        eold[:,0]=enew[:,0]
    print('迭代到收敛次数',iters)
    print('最后的转化矩阵A')
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,n+1):
            print('{:13.4e}'.format(a[i-1,j-1]),end='')
        print(end='\n')
    for i in range(1,n+1):
        a1[:]=a2[:]
        for j in range(1,n+1):
            a1[j-1,j-1]=a1[j-1,j-1]-a[i-1,i-1]
        x[:]=0;a1[i-1,i-1]=1.0e20;x[i-1]=1.0e20;x[:]=B.eliminate(a1,x)
        l2=np.linalg.norm(x)
        print('特征值','{:13.4e}'.format(a[i-1,i-1]))
        print('特征向量')
        for i in range(1,n+1):
            print('{:13.4e}'.format(x[i-1,0]/l2),end=' ')
        print()
        
        
    
    
    checkit
    
    def checkit(loads,oldlds,tol):
    #检查多个未知数的收敛
      neq=loads.shape[0]
      big=0.0
      converged=True
      for i in range(1,neq+1):
        if abs(loads[i-1,0])>big:
          big=abs(loads[i-1,0])
      for i in range(1,neq+1):
        if abs(loads[i-1,0]-oldlds[i-1,0])/big>tol:
          converged=False
      checkit=converged
      return  checkit
    
    eliminate
    
    def eliminate(a,b):
      n=a.shape[0]
    ##确定主对角线最大值
      for i in range(1,n):
        big=abs(a[i-1,i-1]);ihold=i
        for j in range(i+1,n+1):
          if abs(a[j-1,i-1])>big:
            big=abs(a[j-1,i-1]); ihold=j
        if ihold!=i:
          for j in range(i,n+1):
            hold=a[i-1,j-1]; a[i-1,j-1]=a[ihold-1,j-1]; a[ihold-1,j-1]=hold
          hold=b[i-1,0]; b[i-1,0]=b[ihold-1,0]; b[ihold-1,0]=hold
    ##消元阶段
        for j in range(i+1,n+1):
          fac=a[j-1,i-1]/a[i-1,i-1]
          for l in range(i,n+1):
            a[j-1,l-1]=a[j-1,l-1]-a[i-1,l-1]*fac
          b[j-1]=b[j-1]-b[i-1]*fac
    ##从后迭代
      for i in range(n,0,-1):
        hold=0.0
        for l in range(i+1,n+1):
          hold=hold+a[i-1,l-1]*b[l-1]
        b[i-1]=(b[i-1]-hold)/a[i-1,i-1]
      return b
    

    终端输出结果如下:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 如果一个方阵 相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵 使得 是对角矩阵,则就被称为可以相似对角化的。下面,我们就通过矩阵的相似对角化:来简单从数学角度解释下面几个问题:为什么要进行矩阵的相似对角化?...
    相似对角化是线性代数中最重要的知识点之一。如果一个方阵
    相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵
    使得
    是对角矩阵,则
    就被称为可以相似对角化的。

    下面,我们就通过矩阵

    的相似对角化:

    来简单从数学角度解释下面几个问题:

    • 为什么要进行矩阵的相似对角化?
    • 什么样的矩阵可以相似对角化?
    • 如何进行矩阵的相似对角化?
    • 矩阵的相似对角化的几何理解。

    在这之前你必须了解之前的推送内容:

    • 如何理解线性变换
    • 线性变换的矩阵
    • 如何理解等价关系?
    • 如何理解相似矩阵
    • 如何理解特征值与特征向量

    1 为什么要进行矩阵的相似对角化

    1.1 相似对角化使得同一个线性变换表达方式变的简单

    一个矩阵可以看作是一个线性变换在某组基下的矩阵(线性变换的矩阵 ),如果矩阵中非零元素过多,那么线性变换的表现形式就相对复杂。用本文开头的

    矩阵举例:

    f2d1d33451286e100e0615838ce90abd.png

    而如果能选取不同基,使线性变换的矩阵变成对角矩阵。那么,线性变换的形式就会变得相对简单。注意:相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表现(详情点击如何理解相似矩阵)。用本文开头的

    的对角矩阵举例:

    516fa79838ac495610e8c95e8ec6ca35.png

    是不是能感觉到在选择了对角矩阵之后,线性变换的表现形式变得更加简单了。用 (如何理解相似矩阵)推送中的语言来说的话,对角矩阵一定是观看演出时的“最佳视角”。

    1.2 一些特殊矩阵的对角化可以解决不同的实际问题。

    例如实对称矩阵的相似对角化,可以解决一些二次型的图像问题(后期会详细介绍,敬请期待)。在物理学、图像处理方面都有应用。让我们继续用开头的矩阵,看看实对称矩阵的相似对角化是如何帮助我们了解这个二次型的图像吧。

    一般情况下,是不容易确定一个带有交叉项的二次方程的图像的,例如

    的图像(注意这里的矩阵就是文章开头的矩阵哦)。但通过相似对角化(实际为坐标轴旋转)可以消去二次型中的交叉项,并得到新的坐标系(

    坐标系)。从而利用新的坐标系中对角矩阵所对应的二次型得到原方程的图像(更多详情,敬请期待):

    d41e35f24a5fa0859e7976910e4b9668.gif

    1.3 相似对角化是可对角化矩阵的方幂运算的工具

    计算一个对角矩阵的任意次方幂是简单的,只需要将对角元素做方幂运算即可。然而对于一般矩阵进行方幂运算并不是一件容易的事情。相似对角化给了一个可对角化矩阵算方幂的办法:

    从而,可以轻松得到:

    1.4 期待你的更多相似对角化的应用

    .....

    2、什么样的矩阵可以对角化

    并不是所有矩阵都可以对角化。一个

    阶矩阵
    可以对角化当且仅当
    个线性无关的特征向量。因此,最大可能多的找出这个矩阵的线性无关的特征向量,是能否使这个矩阵相似对角化的主要途径。来看看下面几个例子:

    2.1 可以对角化的例子

    继续用文章开头的矩阵为例,(其它更多例子可点击如何理解特征值与特征向量了解)。 下面两个矩阵所对应的线性变换都可以轻松找到两个线性无关的特征向量,因此是可以相似对角化的。

    d0081230b4adee9ec87d555a4bea6e25.gif

    4baa518595f4dfebbb30d04fc1754132.gif

    2.2 不能对角化的例子

    下面的线性变换中,仅仅有一个线性无关特征向量,从而不能相似对角化(更多详情,点击如何理解特征值与特征向量了解)。

    15025f7423e3ba1f821a41cf336621f7.png

    2.3 对角化还需要注意线性空间的基域的选择。

    考虑下面的线性变换:平面上的逆时针旋转90度的变换:

    87ed9a1bc0414a2a1be87905e61a0e73.png

    从图中可以看出这个旋转变换没有实特征向量,然而这个矩阵是可以对角化的。因为,它存在两个线性无关的复特征向量。因此,把这个矩阵看作复数域上的二维线性空间的变换,他是可以相似对角化的:

    3、如何进行矩阵的相似对角化

    如果一个

    矩阵
    可以对角化,这
    个线性无关的特征向量便构成了一个相似变换矩阵
    ,特征值按照相应的位置排列,即构成了相似对角矩阵

    需要注意的是,相似变换矩阵

    并不是唯一的,因为对应一个特征值的特征向量的选择有无数多个。而在实对称矩阵情况下,相似变换矩阵往往会选择为正交矩阵,因为正交矩阵有更好的性质(更多详情,敬请期待)。

    4 矩阵的相似对角化的几何理解

    如何理解相似矩阵中,我们已经讨论过相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的矩阵。而对角矩阵则是所有这些相似等价类中,最简单的代表(更多内容,点击如何理解等价关系?)

    下面我们用前面两个可对角化的矩阵所对应的线性变换为例,一起来从变换的角度看看,相似对角矩阵是如何使线性变换看起来更容易的:

    d0081230b4adee9ec87d555a4bea6e25.gif

    3fce52d7b6e0be75c1ee7e94d112d4a5.png

    4baa518595f4dfebbb30d04fc1754132.gif

    f32f2804c8c1bf3e5364606414fd9e3d.gif

    下面再把对角化前后放到一起来看看:

    f40ca5e16e6796dd7ea31bac66c89735.png

    其实,可以看到对角矩阵对应的线性变换就是将网格线做平行移动即可。 希望这篇文章能帮助你理解相似对角化的意义。

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  • 实际上是特征值的几何应用,概念仍需加强理解二次型:实际上是特征值的几何应用1、二次型化标准形:特征值、特征向量、相似对角化2、二次型的正定性3、合同:坐标变换正交变换化二次型为标准形,标准为求二次型矩阵 ...
  • 运用递归的方法求解对称对角矩阵特征值
  • 我在使用matlabeig函数计算对称矩阵特征值和特征向量时遇到了一个问题。在矩阵D是10x10所有对角线元素=0.45所有非对角线元素=-0.05当使用[vec,val]=eig(D)时,一些得到的特征向量包含复数(即0.3384+0.0052i)。我...
  • 绕坐标轴的旋转绕着z轴旋转的3d矩阵写出来(推导过程可以见之前的文章): 类似可以写出绕x,y轴旋转的矩阵: 绕向量u旋转假设物体绕单位向量 旋转 θ, 可以写出旋转矩阵: 具体推导过程可以参见这篇文章9.2部分....
  • 把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A’或ATA^TAT。 矩阵转置的运算律(即...由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等,即aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij​...
  • 线性代数之 实对称矩阵,正交对角化,二次型与正定矩阵前言实对称矩阵正交对角...实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,n重特征值有n个线性无关的特征向量。因此实对称矩阵必然能够对角化。 实对称矩阵是n×nn\times n
  • 矩阵特征值

    千次阅读 2019-01-01 15:43:07
    矩阵是一种计算工具,研究矩阵特征值可以简化矩阵的计算,至于到底能简化什么计算,请往后看。 已知序列F是Fibonacci序列: 1,1,2,3,5,8,...1,1,2,3,5,8,...1,1,2,3,5,8,... Fk=Fk−1+Fk−2F_k=F_{k-1}+F_{k-2}...
  • 第三十二篇 Lanczos转化到三对角形式 ...通常我们求对称矩阵特征值由下式开始: 确保[P]T [P]=[I]的一种方法是构造互相正交的,单位长度的正交化向量,如{P}, {q}和{r}构造[P]。以3 × 3矩阵为例,
  • 矩阵的相似(5.4) 1.相似矩阵 (1)概念: (2)性质: 性质1:如果B1=P−1A1P,B2=P−1A2PB_1=P^{-1}A_1P,B_2=P^{-1}A_2PB1​=P−1A1​P,B2​=P−1A2​P,那么B1+B2=P−1(A1+A2)PB1B2=P−1(A1A2)PB1m=P−1A1mPB_1+B_2=P^{-...
  • 对称矩阵对角

    千次阅读 2021-10-10 21:39:28
    矩阵与对角形相似(P−1AP=ΛP^...其中 Λ\LambdaΛ 对角线为 AAA 的特征值。 定理2 A∼ΛA \sim \LambdaA∼Λ 的充分必要条件是对每一个 KKK 重的特征根的基础解系有 KKK 个解。 所有的实对称矩阵都能对角化!!! 向量
  • 将N*N的矩阵对角线为轴翻转

    千次阅读 2021-04-25 01:51:05
    matlab 怎么编程 输出n*n矩阵对角线元素?使用diag命令例如>>a=magic(5)a=17241815235714164613202210121921311182529>>aa=diag(a)aa=17513219c语言 求N*N矩阵中主对角线和次对角线的元素之和#defineN...
  • 一、对称矩阵(Symmetric Matrices)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。 如果有n阶矩阵A,其矩阵的元素都为实数,且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,...
  •   参考书:《矩阵论》第3版,... 1)特征值估计的意义:复数域上矩阵特征值的计算一般比较困难;在大量应用中,往往不需精确计算特征值,只需估计出它们所在的范围;所以从矩阵的元素出发,若能用较简便的运算...
  • 主要分享了考研数学中求解矩阵特征值的方法,并且梳理了一下有关矩阵对角化的问题。并且会在结尾左右会引出一个特别特别特别重要的点,如果不看到最后那你真的吃了大亏。PART 01大家求解特征值的方法,应该就是要不...
  • 矩阵的特殊性也表现在特征值和特征向量上,比如马尔可夫矩阵的有一个值为1的特征值对称矩阵特征值又有哪些特性呢?  本文的相关知识:  正交向量和正交矩阵(线性代数20——格拉姆-施密特正...
  • 1、特征值分解主要还是调包:from numpy.linalg import eig特征值分解: A = P*B*PT 当然也可以写成 A = QT*B*Q其中B为对角元为A的特征值对角矩阵,P=QT,首先A得对称正定,然后才能在实数域上分解,>...

空空如也

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对称矩阵的特征值是对角线