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  • 矩阵空间将矩阵看做是“向量”,我们可以得出一个矩阵空间的概念,空间内的矩阵可以做加法和数乘后仍...则 的维数为9。我们称对称矩阵子空间为 ,则 。其中的一组为, 、 、 、 、 、 。若上三角矩阵子空间为 ,则...

    矩阵空间

    将矩阵看做是“向量”,我们可以得出一个矩阵空间的概念,空间内的矩阵可以做加法和数乘后仍在空间内。我们以所有

    equation?tex=3%5Ctimes3 矩阵组成的空间
    equation?tex=M 为例。它的子空间,比如
    equation?tex=3%5Ctimes3 对称矩阵子空间,
    equation?tex=3%5Ctimes3 上三角矩阵子空间。

    equation?tex=M 的一组基:
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%261%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%261%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C1%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%261%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%261%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C1%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%261%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%261%5Cend%7Bbmatrix%7D 。则
    equation?tex=M 的维数为9。

    我们称对称矩阵子空间为

    equation?tex=S ,则
    equation?tex=dimS%3D6 。其中的一组基为,
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%261%260%5C%5C1%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%261%5C%5C0%260%260%5C%5C1%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%261%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%261%5C%5C0%261%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%261%5Cend%7Bbmatrix%7D

    若上三角矩阵子空间为

    equation?tex=U ,则
    equation?tex=dimU%3D6 。其中的一组基为,
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%261%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%261%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%261%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%261%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%261%5Cend%7Bbmatrix%7D

    equation?tex=S%5Ccap+U (对称矩阵交上三角矩阵)的维度为
    equation?tex=3 ,事实上两个的交集是对角矩阵
    equation?tex=D 。一组基为,
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%261%260%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D0%260%260%5C%5C0%260%260%5C%5C0%260%261%5Cend%7Bbmatrix%7D

    但是

    equation?tex=S%5Ccup+U 并不是一个子空间。这两个子空间就像是高维空间上的两个平面,这两个平面相交,但是这两个平面的并集无法构成一个新的子空间。

    所以我们要换一种方法表示包含这两个子空间的子空间,即和

    equation?tex=S%2BU 。它表示,
    equation?tex=S (对称矩阵)中的任意元素加上
    equation?tex=U (上三角矩阵)中的任意元素。事实上,
    equation?tex=S%2BU 得到的就是全部的
    equation?tex=3%5Ctimes3 矩阵,即
    equation?tex=M 这个空间。维数自然就是9。通过观察,我们还可以得到一个巧妙的结论:
    equation?tex=dimS%2BdimU%3Ddim%28S%5Ccap+U%29%2Bdim%28S%5Ccup+U%29

    补充知识:

    接下来,我们以另一种没有向量的向量空间(来自微分方程)为例。

    设有微分方程

    equation?tex=%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2By%3D0 ,求解。

    equation?tex=y%3D%5Ccos+x%EF%BC%8C%5Csin+x 均为方程的解。该过程其实就是求解零空间的过程。则方程的通解,就是这些特殊解的组合,即构成了一个向量空间,该空间的基就是两个特殊解,维数为2。

    我们把关注点聚焦在秩为1的矩阵上。

    e.g.

    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%264%265%5C%5C2%268%2610%5Cend%7Bbmatrix%7D

    矩阵

    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D 的秩
    equation?tex=r%3D1 ,同时矩阵还可以另一种方式表示,即主列乘以主行
    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%5C%5C2%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Ctimes%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%264%265%5Cend%7Bbmatrix%7D 。所以一列乘以一行其结果是一个矩阵。而且所有秩1矩阵均可以表示成一列乘以一行的形式:
    equation?tex=%5C%5C+%5Cmathbf%7BA%7D%3D%5Cmathbf%7Bu%7D%5Cmathbf%7Bv%7D%5ET+ 如果我们有一个
    equation?tex=5%5Ctimes17 的矩阵,秩为
    equation?tex=4 ,这个矩阵我们是可以通过若干秩1矩阵组合得到的,只需要4个秩1矩阵。

    那么是否所有的秩小于等于4的矩阵可以组成一个子空间呢?我们在所有

    equation?tex=5%5Ctimes17 矩阵中挑选出秩小于等于4的矩阵组成的子集。答案是不一定。

    我们让

    equation?tex=M 表示所有的
    equation?tex=5%5Ctimes17 矩阵,如果两个秩4矩阵相加,和的秩不一定也为4,通常两个矩阵和的秩不大于两个矩阵的秩的和。

    同理所有秩1矩阵的子集也不一定构成一个子空间。

    e.g. 假设在

    equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E4 中,向量都具有4个分量,我们各分量之和为零的所有向量构成一个集合
    equation?tex=S
    equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dv_1%5C%5Cv_2%5C%5Cv_3%5C%5Cv_4%5Cend%7Bbmatrix%7D%2CS%3D%5C%7B%5Cmathbf%7Bv%7D%7Cv_1%2Bv_2%2Bv_3%2Bv_4%3D0%5C%7D 。这样的集合
    equation?tex=S 是一个子空间。维数为3。事实上,这个空间可能是某个矩阵
    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D 的零空间,即
    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D%5Cmathbf%7Bv%7D%3D0
    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%261%261%261%5Cend%7Bbmatrix%7D 。矩阵的秩为1,根据上一讲的内容零空间的维数
    equation?tex=dimN%28%5Cmathbf%7BA%7D%29%3Dn-r 。因此我们得到
    equation?tex=S 的维数为3。
    equation?tex=S 的一组基为
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-1%5C%5C1%5C%5C0%5C%5C0%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-1%5C%5C0%5C%5C1%5C%5C0%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D-1%5C%5C0%5C%5C0%5C%5C1%5Cend%7Bbmatrix%7D 。让我们继续找到矩阵
    equation?tex=%5Cmathbf%7BA%7D 的其他基本空间,
    equation?tex=C%28%5Cmathbf%7BA%7D%5ET%29 的基为
    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%5Cend%7Bbmatrix%7D
    equation?tex=C%28%5Cmathbf%7BA%7D%29%3D%5Cmathbb%7BR%7D%5E1
    equation?tex=N%28%5Cmathbf%7BA%7D%5ET%29%3D%7B0%7D

    小世界图

    图,即结点和边的集合,边连接各个结点。

    如图,

    85b171ff22c0510529008ddeca44957e.png

    这个图共有5个结点,6条边。我们可以以一个

    equation?tex=5%5Ctimes6 的矩阵表示这个图的全部信息(留到下一讲)。
    展开全文
  • 本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多是个人见解,也算一种学习复习与总结,望善始善终吧~矩阵空间...很明显矩阵MM可以有九个线性无关元素,维数dimension为9一些子空间对称矩阵 symmetric对于对称矩阵,由

    本系列笔记为方便日后自己查阅而写,更多的是个人见解,也算一种学习的复习与总结,望善始善终吧~

    矩阵空间

    和之前学习的空间差不多,我们把矩阵当做向量,矩阵空间也是在空间内对一个矩阵进行加法或者scalar后仍然在空间内。
    对于一个在R33的矩阵空间,它的基如下:
    这里写图片描述
    很明显矩阵M可以有九个线性无关的元素,维数dimension为9

    一些子空间

    对称矩阵 symmetric

    对于对称矩阵,由于其对角线有三个线性无关元素,左上角的三个元素与右下角三个元素有线性关系,其维度dimension为6

    上三角 upper triangular

    对角线以下全为0,对角线以上6个元素可以线性无关,维度dimension为6。

    矩阵空间的交与和

    对于对称矩阵空间SUSU的维数只有3
    相对于SU,S+U,因为SUS+U,其纬度为9
    引出性质:
    dim(S)=6+dim(U)=6==dim(SU)=3+dim(SU)=9
    如何理解矩阵空间?
    这里写图片描述
    对于这样的微分方程,其有两个特解方程,这二个就是解空间的基,方程就是矩阵。

    秩1矩阵

    为什么我们关注rank为1的矩阵,因为其为矩阵最基本形式,也最为简单,是矩阵的基本组成元素

    所有的秩1矩阵都可以表示为一列乘以一行的形式,列就是其的基,行就是线性组合的系数。

    秩1矩阵可以就像搭建其他矩阵的积木一样,如果有5×17的矩阵,秩为4,可以把这5×17的矩阵分解为4个秩1矩阵的组合。

    以上引言不知道为什么,求解。
    之后的一些小问题看文末PS的博客链接
    最后老师还引出了图和矩阵的关系,编程的人应该都很熟悉,点边关系可以有邻接矩阵表示。
    PS:更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13354503

    展开全文
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    2019-01-23 20:40:53
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    这里第十一课-矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

    矩阵空间

    • 想像一个新的向量尺度,不再是 一列,可以是二维的,即 m*n 表示一个向量
    • 矩阵空间是一种新的向量空间,满足单个矩阵向量之间的数乘、相加 封闭性
    • 对于 3 * 3 的矩阵空间来说,我们可以知道一共有9个基,对称矩阵有6个,上三角矩阵有6个,我们分析:
      Symmetric: 对称矩阵
      Upper:上三角矩阵
      SU3 S\cap U 的矩阵空间的维度为3个
      SUS\cup U 的集合不一定是一个空间
      S+US+U定义 S + U 为表示 任意一个 S中元素 + 任意一个U中元素的结果集合组成的空间
      dim(S)+dim(U)=dim(SU)+dim(S+U) dim(S) + dim(U) = dim(S\cap U)+dim(S+U)

    理解空间的概念

    • 比如dy2/dx2+y=0d^2_y/d^2_x + y = 0中,y的解,可以表示为
      y=c1cosx+c2sinxy = c_1 cosx + c_2 sinx,也可以认为解也可以是一个空间,基为 cosx,sinx。空间里面的元素 都是基的线性组合,空间的维度为基的数目,2
    • 线性代数、基、不仅仅是可以指m * n 的矩阵!

    秩1矩阵

    • 指秩为1的矩阵,满足的一个特性是:可以由一列 * 一行
      如:
      [1452810]=[12]×[145] { \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{array} \right ]} = { \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right ]} \times { \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \end{array} \right ]}
    • 秩1矩阵可以看成是一个积木一样,如 M = 所有的5 * 17的矩阵,一个由秩4矩阵组成的集合,可以由4个秩1矩阵相乘得到,注意,秩4矩阵的所有集合不能构成空间的原因有:
      1、不包含 0向量
      2、4+4=4秩 4 + 秩 4 \neq = 秩 4

    思考题

    R4空间中,满足四个分量之和为0的向量组成的集合是不是一个空间?

    • 是,原因是可以满足 v1 + v2 仍然在集合中,v1 * c 仍然在集合中,包含零向量。

    找出该空间的基以及维度?
    v1+v2+v3+v4=0 {v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0}
    [1111]×v=0 { \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right ]} \times v = 0
    所以有 该空间即为 [1111] { \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right ]}的零空间
    所以有
    该零空间基为 [1100][1010][1001] { \left[ \begin{array}{ccc} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right ]}、{ \left[ \begin{array}{ccc} -1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right ]}、{ \left[ \begin{array}{ccc} -1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right ]}维度为2

    上面对应矩阵的四个子空间
    1、零空间:
    R4空间内的子空间,维度维3 = 4- rank
    2、行空间:
    R4 空间内的子空间,维度为1 = rank [1,1,1,1]
    3、列空间:
    R1 空间内的子空间,维度为1 = rank,[1]
    4、左零空间
    R1 空间内的子空间,维度为0 = 1-rank,基为0向量

    小世界图:

    图论、线性代数
    图:
    结点和边的集合,边连接各个结点

    人与人之间的最大距离不超过6,是指可以最远通过6个结点找到另一个人~

    展开全文
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对称矩阵的维数和基