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  • 矩阵维数

    千次阅读 2019-09-29 12:53:11
    向量的维数是指向量分量的个数,比如 (1,2,3,4)' 是一个4向量矩阵维数是指它的行数与列,比如1 2 34 5 6它的维数是 2*3,在数学中,矩阵维数就是矩阵的秩空间的维数是指它的所含向量的个数,比如 V = {(x1,...

    向量的维数是指向量分量的个数,比如 (1,2,3,4)' 是一个4维向量
    矩阵的维数是指它的行数与列数,比如
    1 2 3
    4 5 6
    它的维数是 2*3,在数学中,矩阵的维数就是矩阵的秩
    空间的维数是指它的基所含向量的个数,比如 V = {(x1,x2,0,0)' | x1,x2 为实数},(1,0,0,0)',(0,1,0,0)' 是它的一个基,所以它是2维向量空间

    转载于:https://www.cnblogs.com/chamie/p/4870135.html

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  • 特殊矩阵——n阶对称矩阵

    千次阅读 2017-04-15 15:33:12
    特殊矩阵指:矩阵中有许多值相同的元素(包括0),且这些元素的分布有一定规律。当矩阵的维数比较大时,矩阵占据的内存单元相当多...方法(1),比如对于n阶对称矩阵,行数都为n,元素以主对角线为中线对称,aij=

    特殊矩阵指:矩阵中有许多值相同的元素(包括0),且这些元素的分布有一定规律。当矩阵的维数比较大时,矩阵占据的内存单元相当多,这时,利用特殊矩阵数据元素的分布规律压缩矩阵的存储空间,对许多应用问题来说有重要是意义。

    特殊矩阵压缩存储的方法有两种:(1)只存储相同矩阵元素的一个副本;(2)采用不等长的二维数组。

    方法(1),比如对于n阶对称矩阵,行数和列数都为n,元素以主对角线为中线对称,aij=aji。那么我们可以只用一个一位数组来存储所有对称的两个值相同矩阵元素中的一个,这样n^2个元素的存储变成了n(n+1)/2个元素的存储。一维数组中元素下标k可由二维中的i和j映射为:k=i(i-1)/2+j-1(i>=j)和k=j(j-1)/2+i-1(i<j)(1<=i,j<=n)。

    方法(2),就是用二维数组但每一行元素的长度不相等,对于n阶对称矩阵就是对称重复的元素只存储一次,二维数组存完后看起来就像是下三角(上三角)形状。

    用代码实现n阶对称矩阵的存储,采用方法一,先建立矩阵类:

    package ArrayVectorSetMatrix;
    /**
    * @author sun
    * 创建时间:2017年4月15日上午11:16:34
    */
    //设计出n阶对称矩阵,采用只存储相同矩阵元素的一个副本的压缩存储方法。
    public class SynmeMatrix {
    	double[] a;//矩阵元素
    	int n;//阶数
    	int m;//一维数组个数
    	SynmeMatrix(int n){
    		m = n*(n+1)/2;
    		a = new double[m];
    		this.n = n;
    	}
    	
    	public void evaluateMatrix(double[][] b){//矩阵赋值
    		int k = 0;
    		for(int i=0;i<n;i++)
    			for(int j=0;j<n;j++)
    				if(i>=j)
    					a[k++] = b[i][j];//只保存下三角,按行
    	}
    	
    	public void evaluateMatrix(double[] b){//矩阵赋值
    		for(int k=0;k<m;k++){
    			a[k] = b[k];
    		}
    	}
    	
    	public SynmeMatrix add(SynmeMatrix myB){
    		SynmeMatrix t = new SynmeMatrix(n);
    		int k;
    		for(int i=1;i<=n;i++){
    			for(int j=1;j<=n;j++){
    				if(i>=j)
    					k = i*(i-1)/2+j-1;
    				else
    					k = j*(j-1)/2+i-1;
    				t.a[k] = a[k]+myB.a[k];
    			}
    		}
    		return t;
    	}
    	
    	public void print(){
    		int k;
    		for(int i=1;i<=n;i++){
    			for(int j=1;j<=n;j++){
    				if(i>=j)
    					k = i*(i-1)/2+j-1;
    				else
    					k = j*(j-1)/2+i-1;
    				System.out.print(" "+a[k]);
    			}
    			System.out.println();
    		}
    	}
    }
    

    接着进行测试:

    package ArrayVectorSetMatrix;
    /**
    * @author sun
    * 创建时间:2017年4月15日下午3:12:35
    */
    public class TestSynmeMatrix {
    	public static void main(String[] args) {
    		SynmeMatrix matrixA = new SynmeMatrix(3);
    		SynmeMatrix matrixB = new SynmeMatrix(3);
    		SynmeMatrix matrixC;
    		
    		double[][] a = {{1,0,0},{2,3,0},{4,5,6}};
    		double[] b = {1,2,3,4,5,6};
    		
    		matrixA.evaluateMatrix(a);
    		matrixB.evaluateMatrix(b);
    		
    		System.out.println("matrixA矩阵为:");
    		matrixA.print();
    		System.out.println("matrixB矩阵为:");
    		matrixB.print();
    		matrixC = matrixA.add(matrixB);//矩阵加
    		System.out.println("matrixC矩阵为:");
    		matrixC.print();
    	}
    }
    /*
    matrixA矩阵为:
     1.0 2.0 4.0
     2.0 3.0 5.0
     4.0 5.0 6.0
    matrixB矩阵为:
     1.0 2.0 4.0
     2.0 3.0 5.0
     4.0 5.0 6.0
    matrixC矩阵为:
     2.0 4.0 8.0
     4.0 6.0 10.0
     8.0 10.0 12.0
    */
    


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  • 对称矩阵和矩阵的SVD分解

    千次阅读 2020-06-18 11:30:57
    ⋆\star⋆ 对称矩阵的多重特征值,对应的特征空间的维度一定等于重 ⇔\Leftrightarrow⇔ 几何重 == 代数重 ⇔\Leftrightarrow⇔ 一定有n个线性无关的特征向量 ⇔\Leftrightarrow⇔ 一定可相似对角化 ...

    完美的对称矩阵

    A = A T A = A^T A=AT

    ⋆ \star 对称矩阵特征值一定是实数

    ⋆ \star 对称矩阵的多重特征值,对应的特征空间的维度一定等于重数 ⇔ \Leftrightarrow 几何重数 == 代数重数 ⇔ \Leftrightarrow 一定有n个线性无关的特征向量 ⇔ \Leftrightarrow 一定可相似对角化

    正交对角化

    对称矩阵可以被正交对角化(P可以是一个标准正交系)

    ⋆ \star 向量点乘(内积)与矩阵乘法之间的关系: v ⃗ 1 ⋅ v ⃗ 2 = ( v 1 ) T v 2 \vec{v}_1·\vec{v}_2 = (v_1)^T v_2 v 1v 2=(v1)Tv2(向量 = M 1 ∗ n M_{1*n} M1n

    ⋆ \star 对称矩阵,所有不同特征值:对应的特征向量相互垂直;相同特征值: k重特征值对应特征空间的维度为k

    ⇒ \Rightarrow 不同的 λ \lambda λ: 对应的特征向量相互正交,相同的 λ \lambda λ(k重):特征空间维度为k,所有在特征空间中也可以找到一组标准正交基

    ⇒ \Rightarrow 对称矩阵一定可以找到n个正交的特征向量(不仅仅是线性无关)

    如果A是对称矩阵: A = Q D Q − 1 = Q D Q T A = QDQ^{-1} = QDQ^T A=QDQ1=QDQT(正交对角化)

    Q: 正交矩阵(一个坐标系:只关注方向即可 → \rightarrow 将每个特征向量标准化, 形成标准正交矩阵,更方便)

    【注】标准正交矩阵Q: Q T = Q − 1 Q^T = Q^{-1} QT=Q1

    推论:如果一个矩阵可以被正交对角化,这个矩阵一定是对称矩阵 ,证明: A = ( Q D Q T ) T = A T A =(QDQ^T)^T = A^T A=QDQTT=AT

    谱(某些领域中,将特征值或奇异值称为谱)定理:

    A是对称矩阵 ⇔ \Leftrightarrow A可以被正交对角化 A = Q D Q T A = QDQ^T A=QDQT

    奇异值

    ⋆ \star 对于每个非方阵:都可以找到一个对称矩阵与其对应

    若A是一个 m ∗ n m*n mn 的矩阵, A T A A^TA ATA是一个 n ∗ n n*n nn 的对称矩阵

    A T A A^TA ATA 有n个实数特征值( λ 1 , λ 2 . . . λ n \lambda_1, \lambda_2 ... \lambda_n λ1,λ2...λn),n个相互垂直的标准特征向量 v ⃗ 1 , v ⃗ 2 . . . v ⃗ n \vec{v}_1, \vec{v}_2 ... \vec{v}_n v 1,v 2...v n

    ∣ ∣ A v ⃗ i ∣ ∣ 2 = ( A v ⃗ i ) ⋅ ( A v ⃗ i ) = ( A v i ) T ( A V i ) = v i T ( A T A v i ) = λ i ( v i T v i ) = λ i ||A\vec{v}_i||^2 = (A\vec{v}_i)·(A\vec{v}_i) = (Av_i)^T(AV_i) = v_i^T(A^TAv_i) = \lambda_i(v_i^Tv_i) = \lambda_i Av i2=(Av i)(Av i)=(Avi)T(AVi)=viT(ATAvi)=λi(viTvi)=λi :

    A T A A^TA ATA 的 特征值 ≥ \ge 0(保证奇异值可以开根号)

    ⋆ \star 奇异值(Singular Value) σ i = λ i \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} σi=λi , 就是 A v ⃗ i A\vec{v}_i Av i的长度

    奇异值的几何意义

    { A v ⃗ i } \{A\vec{v}_i\} {Av i}是A的列空间的一组正交基 ( 基不可是0向量,所以: λ i ≠ 0 \lambda_i \ne 0 λi=0,即 v ⃗ i \vec{v}_i v i A T A A^TA ATA非零特征值对应的特征向量)

    证明:先证正交,再证基

    A的列空间中任一向量 y ⃗ = A x ⃗ = k 1 A v ⃗ i + k 2 A v ⃗ 2 . . . k n A v ⃗ n \vec{y} = A\vec{x} = k_1A\vec{v}_i + k_2A\vec{v}_2 ... k_nA\vec{v}_n y =Ax =k1Av i+k2Av 2...knAv n ⇒ \Rightarrow 去掉 λ i = 0 \lambda_i = 0 λi=0 后: y ⃗ = A x ⃗ = k 1 A v ⃗ i + k 2 A v ⃗ 2 . . . k r A v ⃗ r + 0 + . . . + 0 \vec{y} = A\vec{x} = k_1A\vec{v}_i + k_2A\vec{v}_2 ... k_rA\vec{v}_r + 0 + ... + 0 y =Ax =k1Av i+k2Av 2...krAv r+0+...+0 ⇒ \Rightarrow { A v ⃗ 1 , A v ⃗ 2 . . . A v ⃗ r } \{A\vec{v}_1, A\vec{v}_2 ... A\vec{v}_r\} {Av 1,Av 2...Av r} 是A列空间的一组正交基

    如果A有r个非零奇异值:A的列空间的维度为r,rank(A) = r

    { A v ⃗ 1 σ 1 , A v ⃗ 2 σ 2 . . . A v ⃗ n σ n } \{\frac{A\vec{v}_1}{\sigma_1}, \frac{A\vec{v}_2}{\sigma_2} ... \frac{A\vec{v}_n}{\sigma_n}\} {σ1Av 1,σ2Av 2...σnAv n} 是A列空间的一组标准正交基,通常把奇异值从大到小排序

    【注】奇异值对应于A,特征值对应于 A T A A^TA ATA

    矩阵的SVD分解

    奇异值分解:Singular Value Decomposition

    对任意形状的矩阵都适用

    形式: A = U Σ V T A = U \Sigma V^T A=UΣVT

    【注】如果A是m*n的矩阵:

    U是m*m的矩阵, Σ \Sigma Σ 是m*n的的矩阵,V是n*n的矩阵

    V是: A T A A^TA ATA的特征向量矩阵进行标准化

    U是: { A v ⃗ 1 σ 1 , A v ⃗ 2 σ 2 . . . A v ⃗ m σ m } \{\frac{A\vec{v}_1}{\sigma_1}, \frac{A\vec{v}_2}{\sigma_2} ... \frac{A\vec{v}_m}{\sigma_m}\} {σ1Av 1,σ2Av 2...σmAv m},r ≤ \le m, n,剩余的m-r个向量使用Gram-Schmidt进行拓展

    U,V都是:标准正交矩阵

    Σ \Sigma Σ 是:奇异值矩阵 (“对角”放奇异值,其他部分添0)

    Σ = ( D   0 0    0 ) \Sigma = \left( \begin{array}{cc} D\ 0 \\ 0\ \ 0 \end{array} \right) Σ=(D 00  0)

    SVD分解算法:

    step1: 求 A T A A^TA ATA的特征值和特征向量

    step2: 求奇异值(sqrt( λ i \lambda_i λi))得到 m*m 的 Σ \Sigma Σ (奇异值从大到小)

    step3: 特征向量标准化后得到 n*n 的 V V V(与 Σ \Sigma Σ 的奇异值一一对应)

    step4: u ⃗ i = A v ⃗ i σ i \vec{u}_i = \frac{A\vec{v}_i}{\sigma_i} u i=σiAv i在经过Gram-Schmidt扩展得到 m*m 的 U U U

    实践scipy中的SVD分解

    main_svd

    SVD分解的应用

    A m ∗ n A_{m*n} Amn是一个变换,对n维向量做变换

    在这里插入图片描述

    A是数据:(机器学习)

    奇异值是权值,奇异值小的可以忽略(压缩,去噪,降维)

    定义伪逆

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  • 从正交矩阵开始正交矩阵 定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若 正交矩阵有几个重要性质: A的逆等于A的转置,即 A的行列式为±1,即 A的行(列)向量组为n单位正交向量组上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们...

    整理一下矩阵论学习中的相关概念。从正交矩阵开始

    正交矩阵

    定义1 称n阶方阵A是正交矩阵,若

    正交矩阵有几个重要性质:

    1. A的逆等于A的转置,即
    2. A的行列式为±1,即
    3. A的行(列)向量组为n维单位正交向量组

    上述3个性质可以看做是正交矩阵的判定准则,我们可以通过上述准则简单地判断一个矩阵是否是正交矩阵。下面,我们将从线性变换的角度,来看正交矩阵还有哪些独特的性质。首先给出正交变换的定义:

    定义2 欧氏空间V的线性变换T称为正交变换,若

    ,有

    注意,正交变换在任意标准正交基下的矩阵是正交阵,这也是我们通过正交矩阵研究正交变换的理论基础。

    我们知道,线性变换在不同基下的矩阵一般是不同的,但满足相似条件。因此,我们可以通过矩阵的相似不变量来对正交变换进行分类。正交变换有两种特殊的类型,分别是旋转变换和镜像变换,它们的区别也正好可以对应于两类不同的正交矩阵,它们具有不同的行列式取值。

    旋转矩阵

    首先我们来看旋转矩阵。旋转矩阵(Rotation matrix)是在乘以一个向量的时候,改变向量的方向但不改变向量长度的矩阵。对于旋转矩阵,我们有:

    性质1 一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是1

    旋转矩阵的行列式为1,那么它的特征值等于多少呢?我们知道矩阵的行列式等于特征值的乘积,即

    那么旋转矩阵的特征值可以有以下多种情况:

    1. 全为1,即恒等变换,它也看成是一个旋转变换,只不过旋转的角度是零。
    2. 1和-1,且-1的个数必须为偶数。
    3. 除了包含实数特征值1或-1,还包含非实数的特征值。这种情况下,可以证明,非实数的特征值总是成对出现的,即如果
      是一个特征值,那么它的共轭
      也是特征值,且满足

    这里引用维基百科中关于旋转矩阵的一个表述:“旋转矩阵不包括反演,反演可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。”这里的反演,就是我们所说的镜像。也就是说,偶数个-1的特征值保证了旋转矩阵不会将右手坐标系变为左手坐标系(或反之),这是旋转变换与镜像变换的根本区别。

    根据上面的分析,下面两个关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质2

    是正交矩阵A的一个特征值,则
    也是A的一个特征值,且有

    性质3 若奇数阶正交矩阵的行列式

    ,则1是A的一个特征值。

    镜像变换矩阵

    接下来,我们来看第二类正交矩阵,镜像变换矩阵(Reflection matrix),或Householder矩阵。Householder矩阵对应的正交变换称为镜像变换,它是一类在n维空间中沿n-1维平面做的一种线性变换。这个n-1维平面通常记为

    ,将其单位法向量记为
    。如果
    已知(一般来说这是问题的出发点),我们可以通过
    来构造镜像矩阵,计算公式为:

    注意,这里的单位法向量

    是一个列向量。

    Householder矩阵有n-1个特征值为1,余下一个特征值为-1。下面给出证明:设矩阵

    的特征值为
    ,则Householder矩阵
    的特征值必为
    是秩为1的幂等矩阵,可知它的特征值是
    ,所以,
    的特征值是

    Householder矩阵同时是对称矩阵。既正交又对称的矩阵有一个特殊性质是它的幂为I,即

    .

    根据上面的分析,下面关于正交矩阵的性质就非常容易理解了:

    性质4 若正交矩阵的行列式

    ,则-1是A的一个特征值。

    正交矩阵的几个一般性质

    了解了两种特殊的正交矩阵,我们来看一下正交矩阵几个更一般的性质。

    性质5 若A为正交矩阵,

    是矩阵A的特征值,则
    也是A的一个特征值。

    证明:由

    ,因为正交矩阵为实矩阵,
    ,又因为
    ,因此
    ,即
    也是A的一个特征值。

    性质6 若正交矩阵A的特征值为实数,则A一定为对称矩阵。

    这个性质的证明需要用到Schur定理,即任意方阵A都可以酉相似于上三角阵R,且这个上三角阵R的对角元素为矩阵A的特征值

    .

    证明:由Schur定理,A的特征值为实数,A可正交相似于上三角阵R,即

    ,对其转置,两式相乘得
    ,注意到
    ,于是得到
    ,可知R为对角阵,因此

    也可以通过正规矩阵来证明:A是正交矩阵

    A是正规矩阵
    A可酉对角化,又特征值为实数
    A为Hermite矩阵
    A为实对称矩阵。
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  • 对称矩阵的基本性质

    千次阅读 2021-07-01 22:40:01
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    千次阅读 2020-07-13 19:57:45
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空空如也

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对称矩阵的维数和基