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  • MIT线性代数1806(5) 对称矩阵 转置矩阵 向量空间空间

    MIT线性代数1806(5) 对称矩阵 转置矩阵  向量空间 子空间


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  • 文章目录1 完美的对称矩阵2 正交对角化3 什么是奇异值4 奇异值的几何意义5 矩阵的奇异值分解(SVD)6 在numpy中使用SVD分解参考资料 注:转载请标明原文出处链接:...

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    注:转载请标明原文出处链接:https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103947162


    1 完美的对称矩阵

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    为什么说对称矩阵是完美的?

    (1) 对称矩阵的特征值一定是实数;
    (2) 对称矩阵的多重特征值,其对应的特征空间的维度一定等于重数;
    (3 )对称矩阵的几何重数等于代数重数;
    (4) 对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量;
    (5) 对称矩阵一定可以被对角化;




    2 正交对角化


    (1) 对称矩阵的所有不同的特征值对应的特征向量互相垂直。

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    (2) 对称矩阵一定可以被正交对角化。

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    3 什么是奇异值

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    4 奇异值的几何意义

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    5 矩阵的奇异值分解(SVD)

    矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)对任意形状的矩阵都适用。


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    6 在numpy中使用SVD分解


    main_numpy_svd.py

    import numpy as np
    from scipy.linalg import svd
    
    if  __name__ == "__main__":
    
        A=np.array([[1,2],
                    [3,4],
                    [5,6]])
        print("A=",A)
    
        U, s, VT = svd(A)
        print("U=", U)
        print("s=", s)
        print("VT=", VT)
    
        print("--------------------------------------------")
    
        #验证
        Sigma=np.zeros(A.shape)
        for i in range(len(s)):
            Sigma[i][i]=s[i]
        print("Sigma=", Sigma)
    
        print("A=",U.dot(Sigma).dot(VT))
    

    运行结果


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    参考资料

    [1] https://coding.imooc.com/class/260.html#Anchor

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  • python 生成对称矩阵Prerequisite: 先决条件: Defining Matrix using Numpy 使用Numpy定义矩阵 Transpose Matrix 转置矩阵 Here, we will learn how to create a symmetric matrix using a non-symmetric matrix?...

    python 生成对称矩阵

    Prerequisite:

    先决条件:

    Here, we will learn how to create a symmetric matrix using a non-symmetric matrix? The following equation shows how a dot product of Matrix A and AT can result in a symmetric matrix.

    在这里,我们将学习如何使用非对称矩阵创建对称矩阵? 下面的等式说明了矩阵AA T的点积如何产生对称矩阵。

    S = A.AT

    S = A T

    Python代码创建对称矩阵 (Python code creating symmetric matrix)

    # Linear Algebra Learning Sequence
    # Creating a Symmetric Matrix
    
    import numpy as np
    
    M = np.array([[2,3,4], [3,45,8], [34,7,0.8], [21,31,41]])
    
    print('A : ', M)
    print('\n\nTranspose of A : ', M.T)
    
    S = np.matmul(M,M.T)
    
    print('\n\nSymmetric Matrix : \n', S)
    
    

    Output:

    输出:

    A :  [[ 2.   3.   4. ]
     [ 3.  45.   8. ]
     [34.   7.   0.8]
     [21.  31.  41. ]]
    
    
    Transpose of A :  [[ 2.   3.  34.  21. ]
     [ 3.  45.   7.  31. ]
     [ 4.   8.   0.8 41. ]]
    
    
    Symmetric Matrix : 
     [[  29.    173.     92.2   299.  ]
     [ 173.   2098.    423.4  1786.  ]
     [  92.2   423.4  1205.64  963.8 ]
     [ 299.   1786.    963.8  3083.  ]]
    
    
    

    翻译自: https://www.includehelp.com/python/creating-symmetric-matrices.aspx

    python 生成对称矩阵

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  • 本文主要针对线性代数中的正定矩阵、实对称矩阵、矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。 如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」,查看完整博客分类与对应...

    前言

    本文主要针对线性代数中的正定矩阵、实对称矩阵、矩阵特征值分解以及矩阵 SVD 分解进行总结。

    如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」,查看完整博客分类与对应链接。


    正定矩阵

    概念

    对于任意非零向量 x\textbf{x},若 xTAx>0\textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{x}>0 恒成立,则矩阵 A\textbf{\textit{A}} 为正定矩阵;若xTAx0\textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{x}\geq 0 恒成立,则矩阵 A\textbf{\textit{A}} 为半正定矩阵。

    物理意义

    任意非零向量 x\textbf{x} 经过矩阵 AA 线性变换后,与原先向量的夹角 90\leq 90 度。

    其他充要条件

    • 充要条件1: 矩阵 A\textbf{\textit{A}} 的全部特征值都是正数
      • 推论:A\textbf{\textit{A}} 正定,则 A>0|\textbf{\textit{A}}|>0,即 A\textbf{\textit{A}} 可逆(有时会根据矩阵正定来判断是否可逆)
      • 推论:A\textbf{\textit{A}} 正定,则 A\textbf{\textit{A}} 与单位阵合同,即存在可逆阵 C\textbf{\textit{C}},使得 CTAC=E\textbf{\textit{C}}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{C}}=\textbf{\textit{E}} 成立
    • 充要条件2: 矩阵 A\textbf{\textit{A}} 的各阶顺序主子式都是正数,即 Δi>0\Delta_i>0
      • 其中 Δi\Delta_i 表示矩阵 A\textbf{\textit{A}}ii 行与前 ii 列组成的子矩阵的行列式的值
      • 推论:A>0|A|>0AA 一定可逆

    实对称矩阵

    概念

    矩阵为方阵,其中元素均为实数,且 A=AT\textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{A}}^T

    性质

    • 性质1: 实对称矩阵的特征值都是实数。
      • 假设 λ\lambdax\textbf{x} 分别为矩阵 A\textbf{\textit{A}} 的特征值、特征向量,即 Ax=λx\textbf{\textit{A}}\textbf{x}=\lambda \textbf{x}
      • 等式两边取共轭,即 a+bi=abi\overline{a+bi}=a-biAx=λx\overline{\textbf{\textit{A}}}\overline{\textbf{x}}=\overline{\lambda} \overline{\textbf{x}}A\textbf{\textit{A}} 是实对称矩阵,因此 A=AT=A\textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{A}}^T=\overline{\textbf{\textit{A}}},即 Ax=λx\textbf{\textit{A}}\overline{\textbf{x}}=\overline{\lambda} \overline{\textbf{x}}
      • 等式两边取转置,则 xTA=λxT\textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}=\lambda \textbf{x}^T
      • xTAx=λxTx=λxTx\textbf{x}^T\textbf{\textit{A}}\overline{x}=\overline{\lambda}\textbf{x}^T\overline{\textbf{x}}=\lambda \textbf{x}^T\overline{\textbf{x}}
      • (λλ)x22=0(\lambda-\overline{\lambda})\left\|\textbf{x}\right\|_2^2=0,由于 x22>0\left\|\textbf{x}\right\|_2^2>0,因此 λ=λ\lambda=\overline{\lambda}λ\lambda 为实数
    • 性质2: 实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必定正交。
      • 假设 Ax1=λ1x1\textbf{\textit{A}}\textbf{x}_1=\lambda_1 \textbf{x}_1Ax2=λ2x2\textbf{\textit{A}}\textbf{x}_2=\lambda_2 \textbf{x}_2 成立
      • x1TA=λ1x1T\textbf{x}_1^T\textbf{\textit{A}}=\lambda_1 \textbf{x}_1^T
      • x1TAx2=λ1x1Tx2=λ2x1Tx2\textbf{x}_1^T\textbf{\textit{A}}\textbf{x}_2=\lambda_1 \textbf{x}_1^T\textbf{x}_2=\lambda_2\textbf{x}_1^T\textbf{x}_2
      • (λ1λ2)x1Tx2=0(\lambda_1-\lambda_2)\textbf{x}_1^T\textbf{x}_2=0,因此 x1\textbf{x}_1x2\textbf{x}_2 正交
    • 性质3: 实对称矩阵相同特征值所对应的特征向量必定线性无关。
      • 证明较繁琐,不详细展开
      • 线性无关的向量可以通过施密特正交化转为正交向量
        • 对于线性无关向量组 x1,x2,...,xn\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,...,\textbf{x}_n,转为正交向量组 y1,y2,...,yn\textbf{y}_1,\textbf{y}_2,...,\textbf{y}_n
        • y1=x1\textbf{y}_1=\textbf{x}_1
        • yi=xij=1i1xiTyjyjTyjyj\textbf{y}_i=\textbf{x}_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}\displaystyle\frac{\textbf{x}_i^T\textbf{y}_j}{\textbf{y}_j^T\textbf{y}_j}\textbf{y}_j
      • 由于新的正交向量都是原来线性无关向量的线性组合,而原先的线性无关向量对应的特征值均相同,因此新的正交向量也均为该相同特征值对应的特征向量
    • 性质4: 任何一个实对称矩阵,都可以正交对角化。
      • 正交对角化,即存在一个正交矩阵 Q(QT=Q1)\textbf{\textit{Q}}(\textbf{\textit{Q}}^T=\textbf{\textit{Q}}^{-1}) 使得 QTAQ=D\textbf{\textit{Q}}^T\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{Q}}=\textbf{\textit{D}},其中 D\textbf{\textit{D}} 是一个对角矩阵
      • 实对称矩阵,一定有 nn 个解,因为实对称矩阵特征值都是实数,因此一共有 nn 个实特征值(包括重特征值)—— 性质 11
      • 不同特征值对应的特征向量正交,相同特征值也一定存在对应的正交向量 —— 性质 2,32,3
      • 实对称矩阵,一定有 nn 个正交特征向量,因此可以特征值分解,即该性质成立
    • 性质5: 实对称矩阵的非零特征值个数等于矩阵的秩
      • 矩阵 A\textbf{\textit{A}} 相似于对角矩阵,P1AP=D\textbf{\textit{P}}^{-1}\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{P}}=\textbf{\textit{D}}
      • 对角矩阵 D\textbf{\textit{D}} 的秩 = 矩阵 A\textbf{\textit{A}} 的秩 = D\textbf{\textit{D}} 非零特征值个数
      • 矩阵 A\textbf{\textit{A}} 与 矩阵 D\textbf{\textit{D}} 相似,则特征值相同
    • 性质6:实对称矩阵不一定可逆,但若可逆,则一定是实对称矩阵
      • 0 矩阵对称不可逆
      • (A1)T=(AT)1=A1(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}

    矩阵特征值分解

    概念

    nnn*n 的方阵 A\textbf{\textit{A}},由 Ax=λx\textbf{\textit{A}}\textbf{x}=\lambda \textbf{x} 可以得到 AV=VΛ\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{V}}=\textbf{\textit{V}}\Lambda

    • 如果方阵 A\textbf{\textit{A}}nn 个线性无关的特征向量,则 V\textbf{\textit{V}} 可逆
    • A=VΛV1\textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{V}}\Lambda\textbf{\textit{V}}^{-1}
    • 其中矩阵 V\textbf{\textit{V}} 的列为方阵 A\textbf{\textit{A}} 的特征向量,Λ=diag(λ1,λ2,...,λn),λiλi+1\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n),\lambda_i\geq \lambda_{i+1}

    矩阵 SVD 分解

    概念

    任意一个矩阵 A\textbf{\textit{A}} 都可以分解为 A=UΣVT\textbf{\textit{A}}=\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T,其中 U,V\textbf{\textit{U}},\textbf{\textit{V}} 均为正交单位矩阵,Σ\Sigma 为对角矩阵。

    证明

    • ATA=(UΣVT)TUΣVT=VΣ2VT\textbf{\textit{A}}^T\textbf{\textit{A}}=(\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T)^T\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T=\textbf{\textit{V}}\Sigma^2\textbf{\textit{V}}^T,由于 ATA\textbf{\textit{A}}^T\textbf{\textit{A}} 为实对称矩阵,因此 V\textbf{\textit{V}} 为矩阵 ATA\textbf{\textit{A}}^T\textbf{\textit{A}} 对应特征向量组成的正交单位阵。
    • AAT=UΣVT(UΣVT)T=UΣ2UT\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{A}}^T=\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T(\textbf{\textit{U}}\Sigma\textbf{\textit{V}}^T)^T=\textbf{\textit{U}}\Sigma^2\textbf{\textit{U}}^T,由于 AAT\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{A}}^T 为实对称矩阵,因此 U\textbf{\textit{U}} 矩阵 AAT\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{A}}^T 对应特征向量组成的正交单位阵。
    • AV=UΣ\textbf{\textit{A}}\textbf{\textit{V}}=\textbf{\textit{U}}\Sigma,其中 Σ\Sigma 为对角阵,因此 Avi=σiui\textbf{\textit{A}}\textbf{v}_i=\sigma_i\textbf{u}_i,由此可以得到对角矩阵 Σ\Sigma,其中 σi\sigma_i 就是奇异值。
    • Amn=UmmΣmnVnnT\textbf{\textit{A}}_{m*n}=\textbf{\textit{U}}_{m*m}\Sigma_{m*n}\textbf{\textit{V}}_{n*n}^T

    几何角度

    矩阵 U,VU,V 仅负责旋转,Σ\Sigma 负责放缩,具体示意图如下:
    在这里插入图片描述

    SVD 压缩

    如下所示,仅选取前 rr 个不为零的奇异值,可以实现无损压缩。注意非零奇异值的个数等于矩阵 AA 的秩。

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    计算伪逆

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    LSI

    计算不同 queryquery 之间的相似程度,常用于推荐系统。
    在这里插入图片描述
    更多 SVD 的应用:

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对称矩阵线性空间的维数