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问答
  • 针对带“*”值的不完备决策系统,提出一种基于非对称选择相似关系的扩充粗糙模型,通过定义“选择相似”的概念来合理地控制未知值和已知值的相似程度,克服了“*”值可与任意值相似的不足。理论分析表明,该模型...
  • 在本文中,我们研究了由Σ8(X,n + k +1)类的X半对称联合定义的二元关系的完整半群的生成,并找到了给定半群的唯一不可约生成
  • 在本文中,我们研究了由Σ2(X,4)类的X半对称定义的完整半群的生成
  • 思路 这个题就是考验对于图...定义一个一维数组,对于无向图,只保存方法1中二维数组的下三角矩阵(每个边保存一次)相对于第一种可以节省很大的空间。 对于第二种方法,两个结点之间的边在这个一维数组中的下标是 ...

    思路

    这个题就是考验对于图的存储和遍历(BFS,DFS)操作

    图的保存有邻接矩阵和邻接表,而在这个题中我使用的是邻接矩阵,在这个邻接矩阵也有两种保存的办法:

    1. 定义一个二维数组全部保存每个点的边,对于无向图,每个边要保存两边
    2. 定义一个一维数组,对于无向图,只保存方法1中二维数组的下三角矩阵(每个边保存一次)相对于第一种可以节省很大的空间。
    3. 对于第二种方法,两个结点之间的边在这个一维数组中的下标是在这里插入图片描述

    错误代码

    void DFS(int* G, int* visit, int N, int V) {
    	visit[V] = 1;
    	printf("%d ", V);
    	//错误地方
    	for (int i = V; i < N; i++) { //遍历每个临界点 对某个点的临界点来说,要按下三角矩阵遍历列
    		if (G[i * (i + 1) / 2 + V] == 1 && visit[i] != 1) {
    			DFS(G, visit, N, i);
    		}
    	}
    }
    
    void BFS(int* G, int* visit, int N, int V) {
    	visit[V] = 1;
    	printf("%d ", V);
    	Enquee(V);
    	while(!IsEmpty()) {
    		V = Dequee();	//以下遍历V的临接点
    		//错误地方
    		for (int i = V; i < N; i++) { //遍历每个临接点 对某个点的临接点来说,要按下三角矩阵遍历列
    			if (G[i * (i + 1) / 2 + V] == 1 && visit[i] != 1) {
    				visit[i] = 1;
    				printf("%d ", i);
    				Enquee(i);
    			}
    		}
    	}
    }
    
    
    
    解释错误

    很奇怪,为什么错误代码还要发出来?
    那是因为在错误代码中我的图的保存办法使用的第二种节约空间的办法,你会问使用了第二种方法那又怎样???
    我们看一个案例:

    10	7
    1	4
    1	3
    1	5
    4	2
    6	7
    6	9
    7	8
    

    这个案例中出现问题的是 4 2 这条边,你画出这个案例的图(我画的太丑就不画了),你会发现结点1 与 结点4 有条边, 结点4 与 结点2 有条边。

    • 换句话说:
      当我们遍历的时候应该先遍历到结点1,再遍历到结点4,最后才遍历到结点2
    • 然而 在第二种保存方法中当我们遍历一个结点的邻接矩阵时,是遍历下三角矩阵对应的列查找为1的值(比如遍历v3的邻接点,是从v3开始而非v0)这样就导致了当我们遍历结点4的邻接点时,是从结点4开始的,而没有查找结点2

    正确代码

    使用的第一种保存图的方法—用一个二维矩阵保存,这样查找某个结点的邻接矩阵时就简单的遍历对应的列即可,因为为二维,所以每次遍历都是从v0开始的

    注意

    在使用二维数组传参时,形参会使用数组指针 int(* G)[10]

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    
    void DFS(int(* G)[10], int* visit, int N, int V) {
    	visit[V] = 1;
    	printf("%d ", V);
    	for (int i = 0; i < N; i++) { //遍历每个临界点 对某个点的临界点来说,要按下三角矩阵遍历列
    		if (G[i][V] == 1 && visit[i] != 1) {
    			DFS(G, visit, N, i);
    		}
    	}
    }
    
    struct quee {
    	int q[10];
    	int front = 0;
    	int rear = 0;
    }Pq;
    
    void Enquee(int V) {
    	Pq.q[Pq.rear++] = V;
    }
    
    int Dequee() {
    	return Pq.q[Pq.front++];
    }
    
    int IsEmpty() {
    	if (Pq.front == Pq.rear)
    		return 1;
    	else
    		return 0;
    }
    
    void BFS(int(* G)[10], int* visit, int N, int V) {
    	visit[V] = 1;
    	printf("%d ", V);
    	Enquee(V);
    	while(!IsEmpty()) {
    		V = Dequee();	//以下遍历V的临接点
    		for (int i = 0; i < N; i++) { //遍历每个临接点 对某个点的临接点来说,要按下三角矩阵遍历列
    			if (G[i][V] == 1 && visit[i] != 1) {
    				visit[i] = 1;
    				printf("%d ", i);
    				Enquee(i);
    			}
    		}
    	}
    }
    
    int main() {
    	int N, E;
    	int a1, a2;
    	scanf("%d %d", &N, &E);
    	int G[10][10];
    	for (int i = 0; i < E; i++) {
    		scanf("%d %d", &a1, &a2);
    		G[a1][a2] = 1;
    		G[a2][a1] = 1;
    	}
    	//for (int i = 0; i < 44; i++) {
    	//	printf("%d ", G[i]);
    	//}
    	int visit[10];
    	for (int i = 0; i < N; i++) {
    		visit[i] = 0;
    	}
    	for (int i = 0; i < N; i++) {
    		if (visit[i] == 0) {
    			printf("{ ");
    			DFS(G, visit, N, i);
    			printf("}\n");
    		}
    	}
    	for (int i = 0; i < N; i++) {
    		visit[i] = 0;
    	}
    	for (int i = 0; i < N; i++) {
    		if (visit[i] == 0) {
    			printf("{ ");
    			BFS(G, visit, N, i);
    			printf("}\n");
    		}
    	}
    }
    
    展开全文
  • 是群,a∈G,a的整数次幂可归纳定义为: a0 = e an+1 = an· a, n∈N a-n = (a-1)n, n∈N 容易证明,∀m,n∈I,am··an = am+n, (am)n = amn. 定义:设<G,·>是群,a∈G,若∀n∈I+,an≠ e,则称a的阶是...

    元素的阶

    设<G,·>是群,a∈G,a的整数次幂可归纳定义为:

    1. a0 = e
    2. an+1 = an· a, n∈N
    3. a-n = (a-1)n, n∈N

    容易证明,∀m,n∈I,am··an = am+n, (am)n = amn.

    定义:设<G,·>是群,a∈G,若∀n∈I+,an ≠ e,则称a的阶是无限的;否则称使得an = e的最小整数n为a的阶,此时a的阶也称为a的周期,常用|a|表示

    • 在群<I,+>中,∀i∈I - {0},i的阶都是无限的
    • 在群<N4,+4>中,|0| = 1|,|1| = 4,|2| = 2,|3| = 4

    定理:设<G,·>是群,a∈G,且|a| = n,k∈I,则$|a^k| = \frac{n}{(k,n)}$.特别地,|a-1| = |a|

     

    循环群

    循环群:在群(G,·)中,若存在a∈G,使得G = {an | n∈G},则称(G,·)为循环群。

    • (Z,+)是一个无限阶循环群,生成元是1和-1
    • <Nm,+m>是m阶循环群,生成元是1

    循环群的结构相当简单,我们完全可以刻画出全部循环群的同构类

    定理:设群G = (a),则循环群只有两种。若|a|无限,则G≌<I,+>;若|a|=n∈I+,则 G≌<Nn,+n>

    由本定理有,同阶的循环群必同构,因此把n阶循环群记作Cn

    推论:设G是n阶有限群,a∈G,则G = (a)当且仅当|a| = n。

    就是上面定理的推论,此推论说明循环群生成元的阶与群的阶是相同的

     

    定理:设群G=(a)

    • 若G是无限群,则G只有两个生成元a和a-1
    • 若|G| = n∈I+,则G=(ar)当且仅当(r,n) = 1,即生成元有φ(n)个,其中φ(n)为欧拉函数

    证:

    (1)必要性:已知a是生成元,因为a = (a-1)-1,所以a-1也是生成元。充分性:设am∈G是生成元,即G = (am),因为a∈G,所以∃t∈I,使得a = (am)t,所以amt-1=e.因为G是无限群,mt-1=0,故m=t=1或m=t=-1,故只有两个生成元a和a-1.

    (2)必要性:设G=(ar),由前面的推论知|ar| = n,由前面关于元素的阶的定理得$|a^r| = \frac{n}{(r,n)}$,故(r,n) = 1。充分性:设(r,n) = 1,则∃s,t∈I使得rs + nt = 1,于是$a = a^{rs+nt} = {(a^r)}^s·{(a^n)}^t$,因为|a| = n,an = e,所以a = (ar)s,故G = (ar).

    例如:设G为12阶循环群{e,a,a2,...,a11},因为与12互质的12以内的数有1,5,7,11,所以G有4个生成元,分别是a,a5,a7,a11.

     

    定理:设群G=(a),|G|=n,则对于n的每个正因子d,有且仅有一个d阶子群,因此,n阶循环群的子群的个数恰为n的正因子的个数.

    例如:12阶循环群有6个子群,分别是(a),(a2),(a3),(a4),(a6),(a12).

     

    变换群

    我们知道,给定一个集合A,<AA,°>是亚群,其中°是函数合成运算,令PA为A到A的所有双射的集合,则<PA,°>是群,其中1A是单位元,每个f∈PA的逆元是其逆函数f-1.

    变换群:设A为集合,群<PA,°>的子群称为A的变换群

    Cayley定理:任意一个群都与某个变换群同构。证明略

     

    置换群是特殊的变换群,在代数中有重要地位

     

    对称群和置换群

    对称群:设S是非空有限集,Sn是S的所有置换的集合(n是集合的基数),°是函数的复合运算,则<Sn,°>是一个群,称作n次对称群。易知|Sn| = n!

    置换群:对称群的子群称为置换群,含有n个元素的子群称为n次置换群

    作为Cayley定理的直接推论,我们有

    推论:任意一个有限群都与某个置换群同构

     

    置换还有第二种表示方法,为此需要引入循环的概念

    定义:把S中的元素i1变成i2,i2变成i3,... ik又变成i1,并使S中的其余元素保持不变的置换称为循环,也称轮换,记(i1 i2  ... ik),k称为循环长度。特别的,长度为2的循环称为对换.

    注意,同一循环的表示并不唯一。长度为1的循环是恒等置换。

    例如:$$\bigl(\begin{smallmatrix}
    1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 & \\
    4 \, 2 \, 5 \, 3 \, 1 &
    \end{smallmatrix}\bigr)$$

    定理:

    • 任意置换都可表示成若干无公共元素的循环之积
    • 任意置换都可表示成若干个对称之积,且对换个数的奇偶性不变

     

    陪集

    定义:设H是群G的子群,a∈G.

    1. 集合a·H = {a·h | h∈H} 称为H关于a的左陪集
    2. 集合H·a = {h·a | h∈H} 称为H关于a的右陪集

    定理:设H是群G的子群,在G上定义二元关系R为:对任意a,b∈G,(a,b)∈R当且仅当b-1a∈H,则R是G上的等价关系,且其对应的等价类与左陪集相同,为R(a) = a·H。类似的,在G上定义二元关系R为:对任意a,b∈G,(a,b)∈R当且仅当ab-1∈H,则R是G上的等价关系,且其对应的等价类与右陪集相同,为R(a) = H·a。

    证:(1)先证明R是等价关系,自反性:∀a∈G,因为a-1 · a = e∈H,所以aRa。对称性::∀a,b∈G,若aRb,b-1 · a∈H,由于H是群,一个元素的逆元也在群中,所以(b-1 · a)-1∈H,所以bRa。传递性:∀a,b,c∈G,若aRb和bRc,即b-1 · a∈H,c-1 · b∈H,H是群,则满足封闭性,所以c-1 · a = (c-1 · b) · (b-1 · a) ∈H,即aRc。

    (2)再证明R(a) = aH,对∀x∈R(a),有aRx,由对称性知xRa,即a-1x∈H,因此存在h∈H,使得a-1x = h,即x=ah∈aH,得到R(a)⊆aH;反过来,假设x∈aH,则存在h∈H,使得x=ah,即a-1x=h,所以xRa,得到aH⊆R(a);综上的,R(a) = aH

    定理:H是G的有限子群,∀a∈H,|aH| = |Ha| = |H|.

    该定理说明同一子群的左陪集和右陪集的基数相等,且等于子群的基数

    定理:所有左陪集的个数等于所有右陪集的个数

    证:只需给出SL和SR之间的双射即可。

    该定理是指陪集本身的个数,上一个定理是指陪集中元素的个数,是不同的

     

    定义:设H是群G的子群,H在G中所有左(右)陪集的个数称为H在G中的指数,记作[G,H]

     

    拉格朗日定理

    Lagrange定理:设H设有限群G的子群,则|H|整除|G|,且|G| = |H| * [G:H]

    推论一:有限群G的每个元素的阶均能整除G的阶

    证:∀a∈G,(a)≤G,所以|(a)|整除|G|,即|a|整除|G|

    推论二:质数阶的群必为循环群

    证:设G是p阶群,其中p是质数,由(1),∀a∈G,|a|整除p,若a≠e,则|a| ≠ 1,所以|a| = p,故G = (a).

     

    正规子群与商群

    正规子群:设H是G的子群,若∀a∈G,aH = Ha,则称H是G的正规子群,或正则子群、不变子群,记作H◁G

    在正规子群中左陪集和右陪集相等,因此统称为陪集

    例如:

    • Abel群的子群都是正规子群
    • 任意群都有两个平凡正规子群,即{e}和它本身

    定理:设H ≤ G,H◁G当且仅当∀a∈G,aHa-1⊆H

    该定理可用来判定是否为正规子群

    定理:设H ≤ G,则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系

    证:前面已经证明过R是等价关系,下面证明R关于·满足置换性质.

    ∀a,b,c,d∈G,若aRb,cRd,则aH = Hb,cH = Hd,所以(ac)H = a(cH) = a(Hd) = (aH)d = (Hb)d = H(bd).故(ac)R(bd)。

    注:

    • 群的任意子群的左(右)陪集关系不一定是群上的同余关系,但是正规子群的陪集关系一定是
    • 正规子群可诱导出同余关系,反之,同余关系也可以诱导出正规子群

     

    商群:设(H,·)是(G,·)的一个正规子群,定义G/H为{Ha |a∈G},对任意的Ha,Hb∈G/H,定义G/H上的运算°为Ha ° Hb = Hab,(补充完整是(H·a) ° (H·b) = H·a·b),则(G/H,°)构成一个群,称为G关于H的商群

    证:证明其是一个群,良性的、封闭性、结合性、有单位元、有逆元。略。

    例如:

     

     

    参考链接:中国大学mooc 刘铎 离散数学

    转载于:https://www.cnblogs.com/lfri/p/10083976.html

    展开全文
  • 定义:给定一个大小为 的实对称矩阵 ,若对于任意长度为 的非零向量 ,有 恒成立,则矩阵 是一个正定矩阵。③ 例如:单位矩阵 是正定矩阵。注:设向量 为非零向量,则 注:由于 ,故 恒成立,即单位矩阵 是正定...

    什么是正定矩阵?

    ① 在不考虑复数构成的矩阵情况下,正定矩阵还是很简单的。

    ② 定义:给定一个大小为

    的实对称矩阵
    ,若对于任意长度为
    的非零向量
    ,有
    恒成立,则矩阵
    是一个正定矩阵。

    ③ 例如:单位矩阵

    是正定矩阵。

    注:设向量

    为非零向量,则
    注:由于
    ,故
    恒成立,即单位矩阵
    是正定矩阵。

    注:对于任意单位矩阵

    而言,给定任意非零向量
    ,恒有

    ④ 例如:正定矩阵一定是对称矩阵。

    注:例如:实对称矩阵为

    ,设向量
    为非零向量。

    注:则,

    因此,任意非零向量 x ,该方程恒大于0,因此实对称矩阵
    是正定矩阵。

    注:正定矩阵的前提一定是对称矩阵,对称矩阵不一定是正定矩阵。

    Python基础积累(pandas)

    表格添加多级索引

    import pandas as pd
    tuples = list(zip(*[['bar', 'bar', 'baz', 'baz',
                         'foo', 'foo', 'qux', 'qux'],
                        ['one', 'two', 'one', 'two',
                         'one', 'two', 'one', 'two']]))
    print(tuples)

    运行结果:

    [('bar', 'one'), ('bar', 'two'), ('baz', 'one'), ('baz', 'two'), ('foo', 'one'), ('foo', 'two'), ('qux', 'one'), ('qux', 'two')]

    注:zip函数接受任意多个(包括0个和1个)序列作为参数,返回一个tuple列表。

    注:x = [1, 2, 3]

    注:y = [4, 5, 6]

    注:z = [7, 8, 9]

    注:xyz = zip(x, y, z)

    注:print xyz

    注:运行结果为:[(1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9)]

    index = pd.MultiIndex.from_tuples(tuples, names=['first', 'second'])
    print(index)

    运行结果:

    MultiIndex([('bar', 'one'),
    ('bar', 'two'),
    ('baz', 'one'),
    ('baz', 'two'),
    ('foo', 'one'),
    ('foo', 'two'),
    ('qux', 'one'),
    ('qux', 'two')],
    names=['first', 'second'])

    注:MultiIndex创建多级索引,它是从Index继承过来的。

    注:tuples索引为 names=['first', 'second']。

    import numpy as np
    df = pd.DataFrame(np.random.randn(8, 2), index=index, columns=['A', 'B'])

    注:创建的多级索引继承到index上了。

    df2 = df[:4]
    df2

    运行结果:

    de6cb445b15cab8e09e5c5a81f7c1885.png

    注:取首行到第四行。

    stacked = df2.stack()
    stacked

    运行结果:

    06e93699ee226c3bf817198176af414a.png

    注:stack()方法对DataFrame的列“压缩”一个层级,一组一组表示数据。

    stacked.unstack()

    运行结果:

    b4ac06a826f737ea9cd62e622807d5bc.png

    注:对于一个“堆叠过的”DataFrame或者Series(拥有MultiIndex作为索引),stack()的逆操作是unstack(),默认反堆叠到上一个层级

    stacked.unstack(1)

    运行结果:

    8c2c06d0a274ad9dd3b32b922e493647.png

    注:stacked.unstack(1)等价于stacked.unstack(),反堆叠为原来数据。

    stacked.unstack(0)

    运行结果:

    3999c5b7418e75fbb22d142d8f502c0d.png

    注:类似于反堆叠的转置。

    参考文献:

    1. 知乎 / Xinyu Chen / 浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」

    "♥每天积累一点点♥"

    展开全文
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  • 基于模糊理论, 设计对称局部二值模式算子, 获取稳健特征; 定义数据投影降维机制与量化规则, 生成紧凑的中间Hash比特序列; 构造一维组合混沌映射, 建立加密模型, 完成比特序列扩散, 以生成图像Hash; 并引入汉明...
  • 这种方法的假设是,缺少的属性值不是不确定的,而是不存在。... 根据定义4,我们可以得出两个相似,如随后在定义5和6中给出的: **定义5:**令S*={U,A,V*,f}为不完整信息系统,并且B⊆A。与SimB(x)

    这种方法的假设是,缺少的属性值不是不确定的,而是不存在。 它们不能与任何其他对象的该属性值进行比较。仅当对象x的所有已知属性值都与y的对应属性值相同时,才认为对象x与对象y相似。因此,即使一个对象可能比另一个对象具有更完整的描述,反关系也不成立。以下定义给出了NSSR的概念:

    **定义4:**NSSR的概念:
    在这里插入图片描述
    显然,S是传递的和自反的,但不是对称的。 根据定义4,我们可以得出两个相似集,如随后在定义5和6中给出的:
    **定义5:**令S*={U,A,V*,f}为不完整信息系统,并且B⊆A。与SimB(x)表示相似于对象x的对象集定义为:
    在这里插入图片描述
    **定义6:**令S*={U,A,V*,f}为不完整信息系统,并且B⊆A。其中x相似于SimB-1(x)的对象集定义为:
    在这里插入图片描述

    显然,SimB(x)和SimB-1(x)是两个不同的集合。

    **定义7:**令S*={U,A,V*,f}为不完整信息系统,并且B⊆A。一个对象集X关于一个属性集B⊆A的上近似和下近似被定义如下:
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    为了清楚地描述先前定义的两个相似性集,表1中显示了一个示例。

    **示例1:**从表一,β和Ω的下近似包含一些对象,这些对象直观的被分类为β和Ω。然而,对象α1和α12看起来相似,但在NSSR却不相似

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    NSSR的结果如下:
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    由非对称相似关系得出的近似值比由容差关系得出的近似值更有意义。此外,集合β和Ω的较低近似包括一些对象,这些对象被直观地期望分别分类为β和Ω。 显然,这种方法不如基于公差关系的方法安全,因为某些信息很少的对象肯定可以分类为一组(例如,对象a10)。

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    2009-01-18 17:36:00
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  • 定义了基于相关的频繁术语,以进一步扩展术语。 同时,将信息增益引入到传统的TF-IDF中,更好地表达了类别分布信息,并增强了每个类别的单词权重。 提取所有具有外部关系的术语对,并扩展常用术语。 最后,...
  • 分析了现有优势关系多粒度粗糙排序方法的优缺点,对现有排序公式进行改进,使其构造的优势关系矩阵满足对称互补性,且能有效克服方法失效问题。同时,基于相对优势度的视角提出优势关系多粒度粗糙排序新方法;...
  • 分析变分不等式问题的经典方法之一是通过间隙函数的概念将其转化为等效的优化问题。... 在定值对称和局部α-Holder假设下,在描述一个值向量拟变分不等式问题的解空间域的值图上获得了误差界限结果。
  • 矩阵及其运算合集1....对称矩阵 1.矩阵的基本概念以及意义 矩阵定义   m×nm\times nm×n个数排成如下m  m\;m行n  n\;n列的一个表格 A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn) \boldsymbo...
  • 本节书摘来自异步社区《现代体系结构上的UNIX系统:内核程序员的对称多处理和缓存技术(修订版)》一书中...程序(program)被定义为执行某项任务所需的指令和数据。进程(process)则是程序加上其执行状态的组合...
  • 并查Java实现

    千次阅读 2017-12-29 11:24:50
    定义就是有“合并集合”和“查找集合中的元素”两种操作的关于数据结构的一种算法。 连接两个对象 判断是否这两个对象是连接的 上例中,0,7是没有路径的;8,9之间有一条可达路径,因此是连接的。建模关于连接 * ...
  • 交集定义为同时出现在两个文件中的记录项,并集定义为出现在任何一个文件中的记录项,差集(A-B)定义为出现在A中而且不出现在B中的记录,对称差集定义为只出现在一个文件中的记录。 假设 a.txt 包括 a, c, b 三...
  • 文章目录摘要1....本文主要介绍在Python下求两个list的交集、并集、差(补)对称差集的方法,如何在Python中对变量名进行动态地定义,介绍以下两种常用的情况: 1.定义如a1=1,a2=2,a3=3这...
  • 并查实现等价类

    2014-03-25 10:51:53
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    千次阅读 2019-03-19 21:28:27
    如果集合S中的关系R是自反的、对称的和传递的,则称它是一个等价关系。 集合S上的关系R可定义为,集合SXS的笛卡尔积的子集,即关系是序对的集合。 设R是集合S上的等价关系,对任何x∈Sx∈Sx∈S,由[x]R={y∣y∈S∧...
  • 本文在著名的明科夫斯基距离的基础上,为基于非对称标度(Saaty的1/9-9标度)的直觉积性模糊集定义了几种通用的距离测度.随后通过多个算例分析和比较了所给的距离公式.在此基础上,将距离测度应用于解决决策问题,...

空空如也

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对称集定义