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  • 对角三角形的面积关系
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    2019-07-29 17:37:10
    三角形面积
    小明最近在玩一款游戏。对游戏中的防御力很感兴趣。
    我们认为直接影响防御的参数为“防御性能”,记作d,而面板上有两个防御值A和B,与d成对数关系,A=2^d,B=3^d(注意任何时候上式都成立)。
    在游戏过程中,可能有一些道具把防御值A增加一个值,有另一些道具把防御值B增加一个值。
    现在小明身上有n1个道具增加A的值和n2个道具增加B的值,增加量已知。
    
    现在已知第i次使用的道具是增加A还是增加B的值,但具体使用那个道具是不确定的,请找到一个字典序最小的使用道具的方式,使得最终的防御性能最大。
    
    初始时防御性能为0,即d=0,所以A=B=1。
    
    【输入格式】
    输入的第一行包含两个数n1,n2,空格分隔。
    第二行n1个数,表示增加A值的那些道具的增加量。
    第三行n2个数,表示增加B值的那些道具的增加量。
    第四行一个长度为n1+n2的字符串,由0和1组成,表示道具的使用顺序。0表示使用增加A值的道具,1表示使用增加B值的道具。输入数据保证恰好有n1个0,n2个1。
    
    【输出格式】
    对于每组数据,输出n1+n2+1行,前n1+n2行按顺序输出道具的使用情况,若使用增加A值的道具,输出Ax,x为道具在该类道具中的编号(从1开始)。若使用增加B值的道具则输出Bx。最后一行输出一个大写字母E。
    
    【样例输入1】
    1 2
    4
    2 8
    101
    
    【样例输出1】
    B2
    A1
    B1
    E
    
    【样例输入2】
    3 0
    7 11 13
    
    000
    
    【样例输出2】
    A1
    A2
    A3
    E
    
    【样例说明】
    对于第一组测试数据,操作过程如下:
    操作  d         A              B
    初始  0            1              1
    B2    2         4              9
    A1    3            8              27
    B1   log3(29)   2^(log3(29))   29
    
    可以证明,这个值是最大的。
    对于第二组测试数据,可见无论用什么顺序,A最后总为32,即d总为5,B总为243。 
    
    【数据规模】
    对于20%的数据,字符串长度<=10000;
    对于70%的数据,字符串长度<=200000;
    对于100%的数据,字符串长度<=2000000,输入的每个增加值不超过2^30。
    
    
    资源约定:
    峰值内存消耗(含虚拟机) < 256M
    CPU消耗  < 1000ms
    
    
    请严格按要求输出,不要画蛇添足地打印类似:“请您输入...” 的多余内容。
    
    所有代码放在同一个源文件中,调试通过后,拷贝提交该源码。
    不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
    主类的名字必须是:Main,否则按无效代码处理。
    
    
    import java.io.BufferedInputStream;
    import java.io.BufferedReader;
    import java.io.IOException;
    import java.io.InputStream;
    import java.io.InputStreamReader;
    import java.io.PrintWriter;
    import java.math.BigInteger;
    import java.util.*;
     
    public class MainB {
        public static InputReader in = new InputReader(new BufferedInputStream(System.in));
        public static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        public static int n1, n2, d, a, b, len, ka, kb, k;
        public static String s;
        public static A[] ai = new A[2000010];
        public static B[] bi = new B[2000010];
        public static int[] order;
     
        public static void main(String[] args) {
            d = 0;
            a = 1;
            b = 1;
            n1 = in.nextInt();
            n2 = in.nextInt();
            if (n1 == 0) s = in.nextLine();//吸取空行
            for (int i = 1; i <= n1; i++) {
                ai[i] = new A();
                ai[i].id = i;
                ai[i].value = in.nextInt();
            }
            if (n2 == 0) s = in.nextLine();
            for (int i = 1; i <= n2; i++) {
                bi[i] = new B();
                bi[i].id = i;
                bi[i].value = in.nextInt();
            }
            s = in.nextLine();
            Arrays.sort(ai, 1, n1+1);
            Arrays.sort(bi, 1, n2+1);
            len = s.length();
            ka = 1;
            kb = 1;
            for (int i = 0; i < len; i++) {
                if (s.charAt(i) == '0') {
                    if (s.charAt(i) == '1') {
                        out.println("A" + ai[ka++].id);
                        out.flush();
                    } else {//出现连续的0
                        order = new int[len-i+5];
                        k = 0;
                        order[k++] = ai[ka++].id;//将这一段连续的'0'对应的id存在一个数组里
                        int j = i + 1;
                        for (j = i+1; j < len; j++) {
                            if (s.charAt(j) != '0') break;
                            order[k++] = ai[ka++].id;
                        }
                        Arrays.sort(order, 0, k);//按id从小到大排(即字典序从小到大)
                        i = j - 1;//调整i,使i下一次循环是从后面第一个'1'处开始
                        for (j = 0; j < k; j++) {
                            out.println("A" + order[j]);
                            out.flush();
                        }
                    }
                } else {
                    if (s.charAt(i) == '0') {
                        out.println("B" + bi[kb++].id);
                        out.flush();
                    } else {//出现连续的1
                        order = new int[len-i+5];
                        k = 0;
                        order[k++] = bi[kb++].id;//将这一段连续的'1'对应的id存在一个数组里
                        int j = i + 1;
                        for (j = i+1; j < len; j++) {
                            if (s.charAt(j) != '1') break;
                            order[k++] = bi[kb++].id;
                        }
                        Arrays.sort(order, 0, k);//按id从小到大排(即字典序从小到大)
                        i = j - 1;//调整i,使i下一次循环是从后面第一个'0'处开始
                        for (j = 0; j < k; j++) {
                            out.println("B" + order[j]);
                            out.flush();
                        }
                    }
                }
            }
            out.println("E");
            out.flush();
            out.close();
        }
     
        static class A implements Comparable<A>{
            int id, value;
     
            @Override
            public int compareTo(A o) {
                if (o.value - this.value != 0) {
                    return o.value - this.value;
                } else {
                    return this.id - o.id;
                }
            }
        }
     
        static class B implements Comparable<B>{
            int id, value;
     
            @Override
            public int compareTo(B o) {
                if (o.value - this.value != 0) {
                    return o.value - this.value;
                } else {
                    return this.id - o.id;
                }
            }
        }
     
        static class InputReader {
            public BufferedReader reader;
            public StringTokenizer tokenizer;
     
            public InputReader(InputStream stream) {
                reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(stream), 32768);
                tokenizer = null;
            }
     
            public String next() {
                while (tokenizer == null || !tokenizer.hasMoreTokens()) {
                    try {
                        tokenizer = new StringTokenizer(reader.readLine());
                    } catch (IOException e) {
                        throw new RuntimeException(e);
                    }
                }
                return tokenizer.nextToken();
            }
     
            public String nextLine() {
                String str = null;
                try {
                    str = reader.readLine();
                } catch (IOException e) {
                    e.printStackTrace();
                }
                return str;
            }
     
            public int nextInt() {
                return Integer.parseInt(next());
            }
     
            public long nextLong() {
                return Long.parseLong(next());
            }
     
            public Double nextDouble() {
                return Double.parseDouble(next());
            }
     
            public BigInteger nextBigInteger() {
                return new BigInteger(next());
            }
     
        }
    }
    
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  • python计算三角形面积题目

    千次阅读 2022-03-28 22:39:45
    题目—————— 代码—————— # 程序设计: # 一.编写一个三角形类(注意三边之间的关系)。...# 请设计合理的三角形类并该类进行测试。 import math class sjx: def __init__(self,a,b,c).

    题目——————

     代码——————

    # 程序设计:
    # 一.编写一个三角形类(注意三边之间的关系)。
    #    1.包含计算三角形的面积方法
    #      s=根号下:p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c)
    #
    #    2.判断三角形的类型(直角a*a+b*b=c*c,等边a=b=c,等腰a=b||b=c||a=c)方法
    #    请设计合理的三角形类并对该类进行测试。
    import math
    
    class sjx:
        def __init__(self,a,b,c):
            self.__a=a
            self.__b=b
            self.__c=c
    
        def __pdsjx(self):
            """判断三条边是否构成三角形(任意两边之和大于第三条边)"""
            pd=False #判断三角形默认为不构成   False
            if self.__a+self.__b>self.__c and self.__a+self.__c>self.__b and self.__c+self.__b>self.__a :
                pd=True
            return pd
    
        def __sjxnx(self):
            """三角形成立,判断什么类型三角形"""
            a=self.__a
            b=self.__b
            c=self.__c
            sjxgc=''
            if self.__pdsjx()==True :
                if (a*a==c*c+b*b) or (b*b==a*a+c*c) or (c*c==a*a+b*b) :
                    sjxgc="直角"
                elif (a*a>b*b+c*c) or (b*b>a*a+c*c) or (c*c>a*a+b*b) :
                    sjxgc="钝角"
                elif a==b and b==c :
                    sjxgc="等边"
                elif a==b or b==c or a==c :
                    sjxgc="等腰"
                else:
                    sjxgc="锐角"
            return sjxgc
    
    
        def __mj(self):
            """计算三角形面积"""
            p=(self.__a+self.__b+self.__c)/2
            s=math.sqrt(p*(p-self.__a)*(p-self.__b)*(p-self.__c))
            return s #返回面积
    
        def show(self):
            if self.__pdsjx()==True :
                print("这三条边能构成一个%s三角形,面积为:%f"%(self.__sjxnx(),self.__mj()))
    
            else:
                print("不好意思%.0f、%.0f、%.0f这三条边不能构成三角形"%(self.__a,self.__b,self.__c))
    
    
    
    while True :
        print("-----------三角形计算器--------------")
        a = float(input("请输入第一条边:"))
        b = float(input("请输入第二条边:"))
        c = float(input("请输入第三条边:"))
        s1=sjx(a,b,c)
        s1.show()
        tc=input("是否继续三角型计算器(y退出/任意字符继续):")
        if tc=='y' :
            print("感谢使用三角形计算器小黄【python版】")
            break
    
    
    

    运行结果————————

     

    展开全文
  • 1、用尺规作出一条直线,使其同时平分一个三角形面积和周长。这是一个引人入胜的经典问题。很多人都研究过她。例如顾森在文[1]中探讨过相关问题,不过尺规作图的过程不是很常见。即使有过程,基本也没有作图的思考...

    1、用尺规作出一条直线,使其同时平分一个三角形的面积和周长。

    997030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    这是一个引人入胜的经典问题。很多人都研究过她。例如顾森在文[1]中探讨过相关问题,不过尺规作图的过程不是很常见。即使有过程,基本也没有作图的思考过程。让读者感觉丈二和尚——摸不着头脑。本篇文章想展示一下本人对此题的思考和探索过程。

    9c7030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif

    我对这个问题印象也非常深刻,因为这是我1996年参加的初中数学联赛中的选择题第5题即和此问题有关,题目为:

    2、如果一条直线同时平分一个三角形的面积和周长,则此直线一定通过此三角形的___。

    A 内心    B外心     C重心      D垂心

    当时一卷中只有此题我答案不确定,最后因为时间关系我随意选了C,考完试我突然醒悟,正确答案是A,证明并不太困难。

    9f7030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    因为如果一条直线JK通过内心I且平分△ABC周长,

    即AJ+AK=BJ+BC+CK.

    则连接AI,BI,CI,

    我们知道内心到三边距离相等均为r,

    为了方便,我们用[ABC]表示△ABC面积,其他类似。

    这样我们得到

    [AJK]=[AJI]+[AKI]=0.5r(AJ+AK),

    [BJKC]=[BJI]+[BIC]+[CIK]=0.5r(BJ+BC+CK),

    从而[AJK]=[BJKC],

    即JK平分△ABC面积。

    这就基本上证明了此结论。

    a17030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif a17030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif

    但是这个证明答非所问,文不对题,

    因为它只是证明了如果一条直线通过三角形内心且平分三角形周长,则平分其面积。

    当然类似可证如果一条直线通过三角形内心且平分三角形面积,则平分其周长。

    我们需要证明的是如果一条直线平分三角形面积,且平分其周长,则此直线通过三角形内心。

    这个感觉更难一些,不过可以考虑如法炮制。相当于用同一法。

    a47030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    证明:设JK平分△ABC周长和面积,

    即AJ+AK=BJ+BC+CK,[AJK]=[BJKC],

    设角A内角平分线交JK于I,I到三边距离为r,r,x。

    因为[AJK]=[BJKC],

    即[AJI]+[AKI]=[BJI]+[BIC]+[CIK],

    即0.5r(AJ+AK)=0.5r(BJ+CK)+0.5x*BC,

    把AJ+AK=BJ+BC+CK代入上式得到

    0.5r(BJ+BC+CK)=0.5r(BJ+CK)+0.5x*BC,

    故x=r,

    则I为△ABC内心,

    即JK经过△ABC内心。

    a57030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    要用尺规作出JK,

    下面希望得到一个关于AJ,AK的等式,

    设△ABC边角为a,b,c;A,B,C。2p=a+b+c,

    ∠JAI=θ=0.5A,

    AJ+AK=p,

    则[AJI]+[AIK]=[AJK],

    即AJ*AIsinθ+AK*AIsinθ=AJ*AKsin2θ,

    则AJ*AK=p*AI/(2cosθ)为定值,

    这样由两线段和与积即可作出他们。

    最笨的作图方法是用求根公式,

    比较巧妙的办法是用初版于1959年,被誉为中国的几何原本的书[2]中的方法,

    利用韦达定理和切割线定理即可。

    基本思路就是在AB直线上作出AG=AJ+AK=p,

    在AC上作出AH=p,AN=AI/(2cosθ),

    设AG,NH中垂线交于M,

    以M为圆心MN为半径的圆交AB于O,J,

    JI交AC于K,则JK即为所求。

    9c7030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif

    这样就得到了如下作图方法:

    a97030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    尺规作图过程如下:

    1、作△ABC内心I,

    2、在AB、AC上作AG=AH=p,

    3 、过I作AI垂线交AC于P,

    4、作AP中点N,

    5、作AG、NH中垂线交于M,

    6、以M为圆心MN为半径画圆

    交AB于J,O,

    7、JI交线段AB于K。

    则JK即为所求的一条直线。

    这样算是得到了一种还算合理的作图方法,当然关键是得到的等式,熟悉几何的读者应该不陌生,因为这其实这就是张角定理的证明思路。

    至此显然还没有结束,因为还有很多疑问。

    首先的问题是这样的直线有几条?

    是不是一定存在呢?

    答案是肯定的。

    如果代数上证明,要么用均值不等式要么用判别式,都不太困难。

    如果从几何上看,过I的任意一条直线,不妨设直线上方的面积大,此直线绕着I旋转180°后,上下面积颠倒,下面的面积大了,因为旋转过程中面积是连续变化的,所以中间一定有一个时刻两边面积相等,从而这样的直线至少有一条。

    那这样的直线会不会更多呢?

    答案是有可能的,上述作法中圆与AB交点有两个J和O,JI满足。如果OI能和线段AC相交,由对称性则应该也满足,通过尝试可以发现,这样的直线最多有三条!如下图,就是满足条件的三条直线。

    ab7030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    要严格证明最多有三条,及什么条件下有一条、两条、三条,感觉还是比较困难的。

    容易联想到本公众号前面一篇相关的文章[3],里面探讨了过一定点作直线平分三角形面积问题,而本题可以转化为过内心I作直线平分三角形面积,根据[3]里面的结果可知这样的直线最多有三条。

    a17030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif a17030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.gif

    相关问题基本解决。我又想到一个问题:上述的作图过程是按我的理解,先证明此直线过内心,然后得到AJ、AK等式,尺规作图得到的。如果不知道此直线过内心,能否用尺规作图作出此直线呢?

    答案是肯定的。事实上,完全不需要引入三角形内心!

    因为依题意,此直线平分面积和周长,就能得到AJ,AK的两个天然的等式,即

    AJ+AK=p,

    AJ*AK=0.5bc,

    这样按照上面的思路,利用切割线定理,直接尺规作图即可。

    从而上述作图过程可以改进如下:

    af7030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    1、在AB延长线上截取AE=p,在AC截取AF=AB,

    2、作AC中点G,

    3、作AE、GF中垂线交于M,

    4、以M为圆心,MG为半径画圆交AB于J,O,AJ>AO,

    5、在AB上截取AK=AO,

    6、则JK即为所求的一条直线,

    这样,此题作图过程就大大简化了,此题的难度也大大降低了,几乎是一个小学或者初中的几何问题了。

    最后,对上述思考过程做一总结,刚开始我依据惯性思维,先入为主的以为作图必须要用过内心的条件。先证明此直线过三角形内心,又利用面积关系(本质是张角定理的证明),得到AJ,AK等量关系,最后利用韦达定理和切割线定理完成作图。

    通过最后的反思改进,发现我绕了很大的弯路,完全不需要证明此直线过内心,也不需要利用面积关系。其实只需要最基本的条件,平分面积,平分周长,即可得到两个等式,利用韦达定理和切割线定理很轻松就能完成作图!

    后来我在网上也找到一些作图方法,好像有很多[4],不过似乎都不够简洁明了。

    b07030ec-4c1f-eb11-8da9-e4434bdf6706.jpeg

    不过证明此直线过内心也不是完全没用的,毕竟这个结论对于探究此直线的存在条数有帮助,因为这样就转化为[3]中过一定点作直线平分三角形面积问题。也算是失之西隅,得之东墙吧^^

    参考文献

    1、 同时平分三角形的面积和周长的直线

    http://www.matrix67.com/blog/archives/5313

    2、《初等数学复习及研究(平面几何)》梁绍鸿  2008年 哈尔滨工业大学出版社

    3、直线平分多边形面积问题

    4 搜狗问答:怎样用一条直线将一个三角形的面积和周长同时平分?(尺规作图法)

    https://www.sogou.com/link?url=DSOYnZeCC_rZXVZCtvPXjmRFzFBIhMTs0L1-c45Uka7fPWMK2bFMa63mlRzfPLR2

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              正弦、余弦定理及解三角形

    【考纲要求】

    1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

    2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

    【知识网络】

    582053d4d0010a3df284cc396c6323ef.png

    【考点梳理】

    要点一、三角形中的边与角之间的关系

    约定:8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png的三个内角afea5d1e5b308987ac8c8710c668f915.png4b48b6bb6d5f712a62006459b1e81e38.png4c0e3c9dda43ebf597b975968e179a24.png所对应的三边分别为1f187690d884349531924b1401147002.pngfa69b469c7a78c140688c15fa0247ac8.pngdaebf287dd8d2942f1154f8423701a53.png.

    1.边的关系:

    (1) 两边之和大于第三边:0d43c7b70fd56b5c5bbb68cb07dbbbf4.pngfbe4f08b4511c8c997bc15398b695196.png11fbe5c30856f17613f3e6141a107668.png

    两边之差小于第三边:b29a0e555a225f0348b7b64cd8978b1f.pngc5030fa8c270f6c87f3394c36521b7e9.png161f548231e079b78d1c2894f8be8893.png

    (2) 勾股定理:8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,3dd4081ac543cbb62746c4b66b1166d5.png.

    2.角的关系:

     8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,b864271ec4b2d467880a10de86a6326f.png,31b581217573378f17b4995a7e5510c3.png=3421b6d3fb5903b6d016ce3f5bd16a1e.png

    (1)互补关系:

    9992a4cf7df3810b55b4b71cd99154a5.png

    1ac0d79a044e64e61372a8776d65e48c.png

    24ef6718b00fe58019bd5de57c2fbf65.png

    (2)互余关系:

    8b2ed48510cb65676dbde508cf2e667f.png

    97aaa0a8d6d2a3b29d3b25c6dd42c928.png

    f76ac8b2b7d412a10143dece272101f4.png

    915cb5cb778187bc19456af424873b4b.png3.直角三角形中的边与角之间的关系

    fd744bcb10c8673e199c06e09289fa93.png中,7767cb8a63fe9c772e5f8c747ae55c16.png(如图),有:

    b0818f2426cf17dbf21da35132360592.png

    60328cc226d6a4843c5e4575fd5bf17f.png.

    要点二、正弦定理、余弦定理

    1.正弦定理:在—个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即:

      5ffb9a04b4d1c0dfa5f25d5769cccdd3.png(8f33a5b0472f4b473a80573a36dbf0d8.png8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png的外接圆半径)8f747099bc6269b67d183032ccbe4a15.pngec9bc8a7159bb17076a286d36ba67538.png

    2. 余弦定理:三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即:

      4f20fffec56e95505241e7379710d53d.png8f747099bc6269b67d183032ccbe4a15.png4b860e6da0e9a0be2ba4191ec0f2ff3a.png

    要点诠释:

    (1)正弦定理适合于任何三角形;每个等式可视为一个方程:知三求一.

    (2)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:

       ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角;

        ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边.

    (3)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题:

    ①已知三角形的两条边及夹角,求第三条边及其他两个角;

    ②已知三角形的三条边,求其三个角.

    (4) 利用余弦定理判断三角形形状:

    ①勾股定理是余弦定理的特殊情况,2638ad1b66496f7b34856da152100f9b.png.

    ②在8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,5e0a1c7973f364def333e1faf214d6bd.png,所以afea5d1e5b308987ac8c8710c668f915.png为锐角;

    96ba75b89c3f9088ccc52d0d69af1318.png012d6f8ba3e2d6954231245790ae5197.png,同理可得角4b48b6bb6d5f712a62006459b1e81e38.png4c0e3c9dda43ebf597b975968e179a24.png为锐角.

    96ba75b89c3f9088ccc52d0d69af1318.png012d6f8ba3e2d6954231245790ae5197.pngbfc7154106779f99b6dd3d8b6986fa03.png都成立时,8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png为锐角三角形.

    ③在8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,若5d2669a7b18ebc4d2b64f3b1d8434ce1.png

    所以afea5d1e5b308987ac8c8710c668f915.png为钝角,则8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png是钝角三角形.

    同理:若af68960343b02d86658cc80a0fbc1d1a.png,则8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png是钝角三角形且4b48b6bb6d5f712a62006459b1e81e38.png为钝角;

        若908e988d8e29f0d9a09e9ff50cda6e59.png,则8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png是钝角三角形且4c0e3c9dda43ebf597b975968e179a24.png为钝角.

    要点三、解斜三角形的类型

    1.已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解.

    2.已知两边及其一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为以下情况,在8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,已知bfec5f0477f61e900136645e352b3e90.png和角afea5d1e5b308987ac8c8710c668f915.png时,解的情况如下:

     (1)若A为锐角时:3bf5cf3adbd848b1a35e41ef8dc1ed9f.png

    如图:

    2c6bd6e0a126e5e87996b40dc2d68e29.png

    (2)若A为直角或钝角时:a004a5cd193442139d147cf9e23db160.png

    3.已知三边,用余弦定理有解时,只有一解.

    4.已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.

    要点诠释:

    1.在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解或无解情况,应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍.

    2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系,再用三角变换或代数式的恒等变换(如因式分解、配方等)求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会漏掉一种形状的可能.

    要点四、三角形面积公式

    1.5d9e109b872d305dd11b986df56c17ef.png(63bc13a2e55aab6dd651c47402900437.png表示1f187690d884349531924b1401147002.png边上的高);

    2.95c63b4ec95abfe6f3fb3419d2fd6a41.png

    3.f28583698ea5b43d9e7873fe2ef49fc8.png

    4.df3e37f4f7a97a7af5524147481c8eff.png

    5. 4b0fef3a01599574c3b2eba4bee4e13c.png

    要点五、实际问题中的常用角

    1. 仰角和俯角

    与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示:

    6b24ba891e1bb3ae6a277a2a3ef26119.png

    2.方位角:一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.  方位角的取值范围为0°~360°.

    如图,点4b48b6bb6d5f712a62006459b1e81e38.png的方位角是72856b585979546ff5caeccee13e9a57.png

    a2be62b0ac04b77baccc1ce846bfffa7.png

    3. 坡角和坡度

    坡面与地平面所成的角度,叫做坡角;坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比,常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。

    【典型例题】

    类型一、利用正弦、余弦定理解三角形

    例1. 在8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,已知下列条件,解三角形.

    (1)8b771b64c1a0bc315e292ef6586f3233.png80db04dfa5edcd2235328be8990295ce.png6630164601f166f21879645895d16bbc.png

    (2)d0bb74b07f2ffcf9c0d4d0d7e314a145.png3bc9764ee9084eeac3b6d01d39fd8be7.png06381db953dda0272083484fdd998bf0.png.

    【思路点拨】画出示意图(1)正弦定理的运用;(2)余弦定理的运用.

    【解析】

    (1)∵d09b066ae4e436f93d7fade98597cba3.png

    法一:∵47abec112deb1e56dccd6cf4a2bf44ca.png, ∴9cca8aa6c188723529be6e3d337f46a0.pnga0f938a59a3a74e6ebc167516a5afa34.png

    ①当9cca8aa6c188723529be6e3d337f46a0.png时,3fe397633742e38f601f42f12c525b3b.pngaf25ff496d3041c5f1b086c82645c9e2.png

    ②当a0f938a59a3a74e6ebc167516a5afa34.png时,a3ffaf75915636a86bebfd586278071a.png(舍去).

    法二:∵620e69a1c1134a3cae4dbacb629a4e21.png,∴7d5a128a5226892e2a2e7a39cfe2895c.png,即2e983239052a24e9af2606329520ced2.png

    9cca8aa6c188723529be6e3d337f46a0.png3fe397633742e38f601f42f12c525b3b.pngaf25ff496d3041c5f1b086c82645c9e2.png.

    (2)∵c6ae9e60140cfd16eb25b740bbb159fe.png

    83d8f475ef459e9d10f7d24b23338d26.png

    d75bc64fb294189d8116b686cc189369.png

    法一:∵012c1c827adc1cd3485d8e3da8a458aa.png

    05e13943480ef5bc3d3811754d8061d7.png91f032fc21e62a38936ac5d70f48951c.png

    法二:∵dd5631a1595e4c19e7ac48cd51138349.png

    又∵7c6c202211e832bfeeef312b5a713d05.png,即c4989151b5dff13b3a26918f8ef95b85.png

    cb509a39312a2d07d887d1fa5968e273.png,有4b6b0ede678532102eb9a579256ab234.png

    05e13943480ef5bc3d3811754d8061d7.png91f032fc21e62a38936ac5d70f48951c.png.

    【总结升华】

    ①解三角形时,可以依据题意画出恰当的示意图,然后正确选择正、余弦定理解答;

    ②解三角形时,要留意三角形内角和为180°,同一个三角形中大边对大角等性质的应用.

    举一反三:

    【变式1】在△ABC中,a=fa1b9bb900c1ea600c8a594efc3b7d18.png,b=2b7a299a53479b7948b6d74009826d0c.png,B=45°.求角A,C和边c.

    【解析】由正弦定理得27246ff6b81de55a7cffa5e47ae6bbf4.pngfe088f259ea7221eb7d4408ea5013709.png

    ∴sin A=fbb189aa0f1e3c2a7031db0ae2fe92f3.png.∵a>b,∴A=60°或A=120°.

    当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=14078584f73d577d9f796e6567b3111a.png

    当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=bee61502c74286a42b83585d4c1cde00.png.

    【变式2】在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于(  ).

    A.1c80ab8283257e2ebd574724d8ebcc19.png B.cc19663d9f19033981f81c2f973bf22b.png

    C.  80c4e981dd4b9e5f66ec1d47c2760ed0.pngD.8f2b00671047aa9944f86d23fc1434d2.png

    【答案】C

    【解析】由A+B+C=180°,知C=45°,

    由正弦定理得:7f9d3bc6f142610c8a0f0624bc3c7a37.png,即fb2836788d485a1f777e1e7667d1e664.png∴c=80c4e981dd4b9e5f66ec1d47c2760ed0.png.

    【高清课堂:正、余弦定理及解三角形401223 例1】

    【变式3】 在△ABC中,AB=2,AC=3,6cab000ccad6f40f15c6ebc9a93250c8.png,则BC=(  )

    A.fa1b9bb900c1ea600c8a594efc3b7d18.png       B. ad35f96bd195ae518f8acff7724e06ae.png       C.f621d917c9cb739c9e63c8b251784d7d.png        D. 3480f0dd577151e2d9f4d738937133ae.png

    【答案】A

    【解析】∵6cab000ccad6f40f15c6ebc9a93250c8.png, ∴3d4f749dc459cb25f944ebad51dde5e5.png,

    6406a922e3b3699c10950593e5ffccb2.png

    由余弦定理有122faeee5da451760e2c232af04f0386.png

    b850ef03afd1917cb6f0e83e63a5ee62.png,从而BC=fa1b9bb900c1ea600c8a594efc3b7d18.png.

    例2. 在△ABC中,已知fc612deb1b43949d92a2e68c2bc7ce70.png,试判断△ABC的形状.

    【思路点拨】将等式左边正切化为正弦、余弦形式,右边运用正弦定理将边化为角的形式,化简再判断.也可以直接将等式左边化为边的形式判断.

    【解析】方法一:化边为角

    由题意得 7fb662d440610d4c90faab6ab63a0d3c.png,化简整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B

    ∴2A=2B或2A+2B=π ∴A=B或4b601c43eff17159797ebfdf67c56c3b.png

    ∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

    方法二:化角为边

    由已知得e3a6a3cbfef359db0964144cd531fe9c.png结合正、余弦定理得8241facdae4c2806f994dc6855c6e441.png

    整理得a6f7bde5b2b225950f72bf8b9b0bb8ea.png  ∴ 17fca64ba2da9db327ba419ab9de4489.png

    即三角形为等腰三角形或直角三角形

    【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点,若在式子中出现的为与边相关的一次式,则一般多用正弦定理,;若在式子中出现的为与边相关的二次式,则一般多用余弦定理.

    举一反三:

    【变式1】在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是(    )

    A.等腰直角三角形    B.等腰三角形    C.直角三角形    D.等边三角形

    【答案】B

    【解析】解法一:由已知结合正、余弦定理得

    8d614b474d1c60cf70bd491473bfc672.png,整理得a2=b2,∴a=b,∴△ABC一定是等腰三角形.

    解法二:∵174cc25f71e3a1a28af406f59a7fee51.png

    ∴由已知得sinAcosB―cosAsinB=0,即sin(A―B)=0。

    又A―B∈(-π,π),∴A-B=0,即A=B,∴△ABC为等腰三角形.

    【变式2】在8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png中,若b=asinC,c=acosB,试判断8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png的形状.

    【答案】8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.png为等腰直角三角形

    【解析】由b=asinC可知 bc681c1ba871b79aa07780e1bd88c117.png

    由c=acosB可知2dfc67825d4835359842e47e35b73a79.png整理得8c87c99d5820d1547ca9e887eea03615.png,即三角形一定是直角三角形,∠A=df4e358bf86c0c83d764b86f81fb0027.png,∴sinC=sinB∴∠B=∠C,∴△ABC为等腰直角三角形.

    类型二、解三角形及其综合应用

    例3. 在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知0772ff61bca2b04c5ef6ffff47b0cda4.png76ab7af888ec95b3edf400f68ee74cdd.png,且c=1。

    (1)求tanA;

    (2)求△ABC的面积.

    【思路点拨】(1)利用两角和的正切公式表示出5c45737543e56c9369b27030aea20486.png,由三角形的内角和定理及诱导公式得到f90b603514bef5d55baabfacc6090c4b.png的值;(2)由f90b603514bef5d55baabfacc6090c4b.png的值求得角A是一个特殊角,再由7ed5526fc7ee27ed1ecd9d5b935e1b92.png的值得到B和C的范围及大小关系,分别算出94d97ba638ce0ba7cd989029ce34a42c.png227557a7c90f6d39cfc9c051da0b8483.png的值,利用正弦定理可求得a的值,最后利用三角形面积公式可求出面积.

    【解析】(1)因为0772ff61bca2b04c5ef6ffff47b0cda4.png76ab7af888ec95b3edf400f68ee74cdd.png4bc13caa623fef63d912fc8ee536ca31.png

    代入得到a50ed33be1f7e750d4d8f9755b9ae2fb.png

    因为A=180°―B―C,

    所以0fa3ffc016969639bec80efff6275879.png

    (2)0°<A<180°,由(1)结论可得:A=135°.

    因为532424887591b55aaf381afeb60b322a.png,所以0°<C<B<90°.

    所以e79b4bdd160868aa8c59e9f0a1c49c4d.pnga219b58ac2067259f2083b34c3ae22fd.png.

    7f9d3bc6f142610c8a0f0624bc3c7a37.png4f5afb4e573485f19ad8550da15872fc.png

    所以△ABC的面积为e34c1c09edc534d10dcebd6fea163e37.png.

    【总结升华】有关三角形中的三角函数问题,灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化,然后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换,从而达到解题的目的.

    举一反三:

    【变式1】在8226b641eb386a01f88cc7160b0ae2c8.pnge2157fd8b063fa6ce9df9c7f6df84792.pnga273e851712795de714df669809858c9.pngc5861ca74e88f31dfb4cc01fddb815d5.png,求afea5d1e5b308987ac8c8710c668f915.png,4a271b88e51a29fa4c3b440bcb287aac.png.

    【解析】

    ffd444ba078825c12e99c6003cbfc3b0.png

    e65fe7cf398f1fce650b4ed30f77efdd.png

    由余弦定理得:

    77556db89648b78b8b65ec62f53394c3.png  

    63916cd1786af3a048c7d520cffe36ab.png

    由正弦定理得:

    6e8fd874eade61f123f207ee1313566f.png

    78d92a826efcfe17d262ba68674f3c10.png ,∴efce8f0b13a2e9aa886aed903f186d4a.png.

    【高清课堂:正、余弦定理及解三角形401223 例4】

    【变式2】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知c89eeaa5993fb821e4086903706d720f.png

       (I)求sinC的值;

    (Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.

    【答案】(I) b834733593ddc4be96a8072b0d3499ae.png   (Ⅱ) 5703d73b2d20a4c715e865a05386d15e.png

    469bdbe81de6763aae55b1447dd6ece3.png例4. 如图,A,B是海面上位于东西方向相距50d595da451555edf36e2c8cca22c02f.png海里的两个观测点.  现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距591b3b55c4e5a4e172090360e11e01c0.png海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多少时间?

    【思路点拨】在△DAB中,由正弦定理得8cf480219b549cc35691d70c2857a6a8.png,由此可求得4dc5c1562354164cefbcb59567f475b6.png;然后在△DAB中,由余弦定理可求得CD;最后根据时间=路程\速度,即可求得该救援船到达D点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处.

    【解析】由题意知5a3ae380d8d2f7023a469ead204bfe9f.png(海里),

    ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,

    ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,

    在△DAB中,由正弦定理得8cf480219b549cc35691d70c2857a6a8.png

    a71f700aea2c1cc7f1575d66912b5237.png

    6229e166042e05a0c4c410b6d9a12cc6.png(海里).

    又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,c8cb28ca1dc29ae1943cfeb273efd4f5.png海里,在△DBC中,由余弦定理得

    2fc0e88d86fc2eb79c106e1b10eb56f0.png

    ∴CD=30(海里),则需要的时间d2216c2a3554b6c384182e57181f3cbe.png(小时).

    【总结升华】对图形进行有效的分析,便于使用正弦、余弦定理.

    举一反三:

    【变式1】如图,甲船以每小时6623d6c89f73a822bc0fbff3a5525fe9.png海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于bfa10f993834a8c850df04a29935715b.png处时,乙船位于甲船的北偏西db40c8f1e24b056737cf8fa76aa169e4.png的方向6f055d71e1aec86fe7cf03fa0cb48955.png处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2d8b26e1634adfafdc2cf5c146193e77.png处时,乙船航行到甲船的北偏西0903b672c962a7cddb63cf616a3f197f.png方向的bfe24f60b52ff7134956c73361773031.png处,此时两船相距181caf75db7f0a4edef2d65847e12169.png海里,问乙船每小时航行多少海里?

    558634b7a8c90f0fef9ca1c1bde5db3a.png

    【解析】如图,连结9f7b8f344ac30a8ab8cd8f035cfd176c.png

    b1cc0c70443ab3248213d26b8db0f5bc.png

    07bfb912e0d39fa76d58004ac9e65d1e.pngc2b3800fda6a6e5460e4b95680b311aa.pngd57e766d5e415243643b00da97bc17b1.png

    28be3153b0048f926d62dfbfbc7f44a3.png是等边三角形,5de653032bdb104b3d165cd9a57bf564.png

    4a4f33ab055fc409f2cd85923e7e1d7a.png中,由余弦定理得:

    4afc311913ef58e2d5837d58f38006ef.png

    300ac7fcbaef5db1541acde99a30778e.png

    因此乙船的速度的大小为ff15c67f2852cc89f3bf755d96c50815.png

    答:乙船每小时航行6623d6c89f73a822bc0fbff3a5525fe9.png海里.

    【变式2】如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(    )

    A.a km    B.79753c4e55304cbbee95d863d91147a6.pngkm    C.16703a4617205e4a6700dd237754907b.png km    D.2a km

    【答案】B 

    【解析】利用余弦定理解△ABC.  易知∠ACB=120°,在△ABC中,由余弦定理得

    831eafb37ad7502e7f8cf04fd80a7258.png

    92c5d19730914be6eef6e3ae116987bd.pngkm.

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空空如也

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对角三角形的面积关系