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  • 实对称矩阵必可正交对角化证明

    万次阅读 2018-08-05 13:36:26
    n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。 首先,有以下定理: 若的特征值为,且,则存在正交矩阵Q,使A相似于如下三角矩阵: 证明如下(数学归纳法): 设n*n阶...

    n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。

    首先,有以下定理:

    A\in R^{n*n}的特征值为\lambda _{1},\lambda _{1},...,\lambda _{n},且\lambda {i}\in R(i=1,2,...,n),则存在正交矩阵Q,使A相似于如下三角矩阵:

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  • 今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,实对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。 最后的结论就是...

    今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么对一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,对实对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。


    最后的结论就是:如果不做正交单位话,我们一样可以通过U(把特征向量按照列写成的矩阵),把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵

    我们知道,对应一个特征值的特征向量乘以任何一个非零的系数,仍然还是对应着这个特征值的特征向量,如果一个特征值对应多个特征向量,那在它们张成的空间里找出同样数量的线性不相关的向量,也都是这个特征值的特征向量,所以说特征向量并不唯一,也就是说这里的U是不唯一的

    而对于一个实对称矩阵,它的属于不同特征值的特征向量天生就是正交的,这使得我们只要在每个特征值内部选取合适的互相正交的特征向量,就能保证所有的特征向量都正交。而我们刚刚说过,特征向量乘以一个系数,仍然还是特征向量。所以,对于实对称矩阵来说,我们完全可以在诸多的U中选出一个特殊的Q,让Q的每一个列向量都互相正交而且长度为1。这时我们就惊喜的发现,这样的相当于由一组标准正交基当做列向量组成的矩阵Q,正是一个正交矩阵

    于是,我们就清楚的知道了,对实对称矩阵对角化的时候,正交单位化不是必须的,只有当我们想在实对称矩阵的诸多U里选取一个正交矩阵Q时,才需要做。正交矩阵有很多很好的性质,于是乎想从U里找到一个Q也变得情有可原了不是?


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  • 可逆矩阵(定义、充要条件、初等矩阵)、分块矩阵相似对角化正交矩阵(定义、充要条件及性质)

    一、可逆矩阵

    1. 定义

    给定一个n方阵A,若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=EBA=E任满足一个),E是单位矩阵,则称A可逆,B是A的逆矩阵。

    2. 充要条件

    (⇔表示等价于,在这里把类似角度的条件放一起了)

    (1)定义。AB=E;

    (2)r(A)=n(满秩矩阵)  ⇔   |A|≠0       λ 全不为0;

    (3)PAQ=E(A等价于n阶单位矩阵)       A=P1P2…Pn(可表示成初等矩阵的乘积);

    (4)AX=0 仅有零解   ⇔    AX=b 有唯一解;

    (5)A的行(列)向量组线性无关   ⇔    任一n维向量可由A的行(列)向量组线性表示。

    注:实对称矩阵未必可逆!如对角矩阵diag(1,1,0)。

    《方阵A可逆的充要条件是》https://zhidao.baidu.com/question/513426402.html

    二、初等矩阵

    1. 定义

    指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

    2. 可逆矩阵与初等矩阵

    (1)初等矩阵都是可逆矩阵。

    (2)判断 A 是否是可逆矩阵,有一个充要条件是,A可表示成初等矩阵的乘积。(见1.中链接)现对此做出说明。

    充分性:初等矩阵都是可逆矩阵,是满秩的。而初等矩阵的乘积相当于,对一个最开始的初等矩阵B做了一系列初等行/列变换,而初等变换不改变矩阵的秩,所以该乘积所得矩阵是满秩的,即A可逆。

    必要性:考虑初等行变换法求某矩阵 C 的可逆矩阵,则需要写成 (C | E),然后将左侧变为E,此时右侧的C-1是E经过了多步初等行变换而得,也即是多个初等矩阵的乘积,那么也就是逆矩阵可以表示为多个初等矩阵的乘积。不妨将C-1看作可逆矩阵D,所以可逆矩阵一定可以表示为初等矩阵的乘积。

    《可逆矩阵A总可以表示若干初等矩阵的乘积,怎么证明》https://zhidao.baidu.com/question/985682018865592779.html

    三、分块矩阵

    针对分块矩阵能否相似对角化问题,有如下结论。(证明及例题见链接)

    分块矩阵相似对角化的充要条件是,子块可对角化。所以转为分别求子块的特征值和特征向量,最终将特征向量拼成分块矩阵。

    《分块矩阵的对角化分析》http://mtoutiao.xdf.cn/kaoyan/201611/10564800.html

    四、正交矩阵

    1. 定义

    满足 PP^T=P^{T}P=E 的矩阵。

    2. 充要条件

    (1)定义。PP^T=P^{T}P=E   ⇔   P^{-1}=P^T ;

     

    (2)P由规范正交基组成;

    (3)P^T,P^{-1},P^*,-P 都是正交矩阵。

    3. 性质

    (1)|P|=1 或 -1(由定义得);

    (2)\alpha ^T\alpha =1\alpha ^T\beta =0(由规范正交基得);

    (3)λ=1 或 -1,但具体几重需要另求。

    证明思路[1]. 由P^{-1}=P^T,得\lambda _{P^{-1}}=\lambda _{P^{T}},即1/λ=λ;

    [2]. 逐步化简。

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  • A是一个实正交矩阵,给出了n维复向量组线性相关和线性无关的定义,证明了二阶正交矩阵的对角化,以及某些三阶正交矩阵对角化
  • 基于非正交联合对角化的DOA估计新算法
  • 两个实对称阵同时正交对角化的MATLAB程序.pdf
  • 对称矩阵的SVD分解和正交对角化的区别
    • SVD对角阵总是正的
    • 而正交对角化不一定呢!
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  • 实对称矩阵必可正交相似对角化

    千次阅读 2020-05-22 11:35:02
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  • 将实对称矩阵正交对角化的流程

    千次阅读 2020-11-15 16:45:21
    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52
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    千次阅读 2019-12-08 11:52:50
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    千次阅读 2019-09-20 12:18:39
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    万次阅读 2015-10-16 16:52:47
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空空如也

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对角化与正交化