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  • 相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A...

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

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  • 对角化矩阵

    2010-07-13 18:37:00
     2010-07-13 在做数学建模的时候,遇到了点困难。谨记。...  V为矩阵M的相似对角化后求得。 下面是如何求矩阵P:(最后V也求出来了--最后)     <br /> <br

     2010-07-13

    在做数学建模的时候,遇到了点困难。谨记。

     

    给你个矩阵,怎么求它的N次幂呢?

    思路如下:

                 矩阵M的N次幂=P*V的N次幂*p的﹣1次幂

                 其中P为M的相似对角矩阵。

                      V为矩阵M的相似对角化后求得。

    下面是如何求矩阵P:(最后V也求出来了--最后)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

           

     矩阵V=

     

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  • 相似矩阵矩阵的相似对角化

    万次阅读 2016-10-19 19:12:47
    特殊的,如果A∼Λ,Λ是对角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵可相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向

    相似矩阵的定义

    A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称A相似于B,记作AB
    特殊的,如果AΛ,Λ, 则称A可以相似对角化。Λ是相似标准形。

    矩阵可相似对角化的充要条件

    • n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。

      注意这里说的不是A的秩为满,也不是λEA矩阵秩满时,可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程|λEA|=0可以取得n个特征值。
      一个特征值下有多少无关的特征向量呢?需要代入方程(λEA)x=0计算。

    • 不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关(相同特征值还有重数的概念)。即,若λ1λ2,则A的对应于λ1λ2的特征向量线性无关。

      由此引出的推论是:若A有n个互不相同的特征值,那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化,且主对角线元素是n个特征值。

    如果,A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话,将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。

    • λi是n阶矩阵A的ri重特征值,则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于ri个。

    推论:每一个ri重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时,等价于n阶矩阵A可以相似对角化。

    综合上面可以看到,矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值,这些特征值不必各个不同,可以部分相同,相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数,二者比较,可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。

    也就是说,充要条件的限制很大,或者说可选的范围很小。也因此,必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。

    矩阵相似的必要条件

    A simB=(1)|λEA|=|λEB|,(2)r(A)=r(B),(3)AB,(4)|A|=|B|=ni=1λi,(5)ni=1aii=ni=1bii=ni=1λi

    值得注意的是,当两个矩阵相似时,不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。

    初等行变换后,特征值一般会变化。这也是值得注意的点。

    基本上我们常常研究的秩,行列式,特征值,特征方程都相同,但也只是必要条件。

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  • 必有回响】昨日习题答例答案解析宇哥翻牌 ▲▲▲练练不忘,必有回响 ★211今天是相似对角化的判定及求可逆矩阵P相关内容看看今日的例题:(看不清的同学可以点击放大查看,但一定要自己做过再看答案哦)宇哥· 解析有...

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    嘴上说着 

    不看了不考了

    低下头来

    该做的题还是得做 

    该背的书还是得背 

    就剩50多天了

    请你

    给自己一个完整的交代

    ——张宇

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    大家来看看今天的【练练不忘,必有回响】

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    昨日习题

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    答案解析

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    宇哥  翻牌  ▲▲▲

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    练练不忘,必有回响 ★211

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    今天是相似对角化的判定及求可逆矩阵P相关内容

    看看今日的例题:

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    (看不清的同学可以点击放大查看,但一定要自己做过再看答案哦)

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    宇哥 · 解析

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    有疑问可在留言区留言

    掌握了这个题目的同学

    再来做道题巩固下吧

    练练不忘

    相似对角化的判定及求可逆矩阵P

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  • 矩阵对角化

    千次阅读 2015-03-29 10:16:53
    矩阵的对角化 讲解矩阵的对角化之前,先了解下相似矩阵。 相似矩阵的定义:A、B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得P-1AP = B,(注意全文中所有的P-1=P的逆矩阵)则定义矩阵B是矩阵A的相似矩阵或称矩阵A与矩阵B...
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    千次阅读 2019-09-20 12:18:39
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  • 矩阵对角化的充要条件及证明

    万次阅读 2018-08-04 22:37:04
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  • 每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得,且存在正交矩阵Q,使得 实对称矩阵化为对角矩阵的步骤: 1.找出全部特征...
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  • <p>为了提高高阶容积卡尔曼滤波器(CKF)的滤波性能, 提出一种基于矩阵对角化变换的高阶CKF 算法. 该算法基于高阶容积准则, 利用矩阵对角化变换代替标准高阶CKF 中的Cholesky 分解, 使得协方差矩阵分解后的平方根矩阵...
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  • 相似矩阵和相似对角化

    千次阅读 2018-05-24 19:34:48
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  • 不一定,可以直接用一般矩阵的方法求其对角阵,即可以不用正交单位化,直接用【p逆Ap=A的对角阵】来做,书上一上来就说用正交阵来对角化就是淡村为了体现这个方法而已,但是还是有好处的,比如正交单位化后,要求p逆...
  • 矩阵对角化条件

    千次阅读 2019-08-31 16:21:28
    AAA有nnn个线性无关的特征向量α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_nα1​,α2​,...,αn​,此时令P=(α1,α2,...,αn)P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P=(α1​,α2​,...,αn​)有P−1AP=diag{λ1,.....
  • 矩阵的相似对角化

    2019-02-26 23:14:00
    转载自:https://blog.csdn.net/LSGO_MYP/article/details/68483934 转载于:https://www.cnblogs.com/TAL2SCB/p/10440897.html
  • 在极分解的证明中使用过此定理,证明于此。 埃尔米特矩阵是指复对称矩阵,实对称矩阵是其特例。 转载于:https://www.cnblogs.com/zhixingr/p/8750210.html...
  • 可关注领取我的笔记pdf版哦~------------------------------------------------------------------------------一、相似矩阵及矩阵的可对角化1、矩阵的相似:设A,B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得 ,则称A相似...
  • 对于实对称矩阵AAA,有J=P−1APJ=P^{-1}APJ=P−1AP,JJJ为AAA的若当标准型。 而 JT=PTAP−T=PTPP−1APP−1(P−1)T=(PTP)J(PTP)−1J^{T}=P^{T}AP^{-T}=P^TPP^{-1}APP^{-1}(P^{-1})^T=(P^TP)J(P^TP)^{-1}JT=PTAP−T=...
  • 对角化+特征分解比朴素矩阵乘法花费更多的时间问题描述 投票:2回答:2假设我们正在运行一些粒子模拟。我们有一个点p,例如(1, 1, 2)我们想应用一次线性变换N次。如果转换用矩阵A表示,那么最终的变换将由A^N . p给...
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  • 线代---相似矩阵与相似对角化

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  • 转载于:https://www.cnblogs.com/invisible2/p/10728044.html
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空空如也

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对角化矩阵p