在讨论今天的主题之前，我们先给出三类矩阵的定义，分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。
相似矩阵：在线性代数中，相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵，设A、B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B。
可逆矩阵：存在n阶矩阵A和n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
对角矩阵：一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。
根据我的主题，大家也能够想到今天要谈的，便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。
相似矩阵不用多说，大家也清楚，证明两个矩阵相似，便是存在n阶可逆矩阵P，满足上面的定义。
那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢，我直接给出定理，这也是书本上提到的。
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。
话不多说，接下来就给出一道实际的例题，来让大家详细了解一下：
如图所示，这道例题便是告诉我们两个矩阵相似，其中各个矩阵之中都有未知数，让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。
这里笔者当时在做的时候，有个点没有注意到，那便是相似矩阵两者的迹数相等，也就是主对角线上所有元素之和相等，导致我没有列出第一个式子，至于第二个式子，大家也都知道，就是行列式的值相等。
这是第二小题的做法，它的目的是让我们求出可逆矩阵P，满足P^(-1)AP是对角矩阵，对于这类题型而言，正如图中所说，是有如下步骤的：
1、求出全部的特征值，这里因为矩阵A和矩阵B相似，所以求矩阵B的特征值更好求，得到1，1，5。
2、然后对每一个特征值求特征向量，写出基础解系。
3、然后代入到可逆矩阵P中，算出答案。
最后总结一下，对于求相似矩阵包含的未知数而言，最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质，而对于求可逆矩阵P而言，最重要的就是知道解题步骤，清楚特征值特征向量该如何使用。

 2010-07-13

在做数学建模的时候，遇到了点困难。谨记。
 
给你个矩阵，怎么求它的N次幂呢？
思路如下：
             矩阵M的N次幂=P*V的N次幂*p的﹣1次幂。
             其中P为M的相似对角矩阵。
                  V为矩阵M的相似对角化后求得。
下面是如何求矩阵P：（最后V也求出来了--最后）
 
 

 

 
 
 
 
 
 

 
       
 矩阵V=

 

相似矩阵的定义

A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P，使得P−1AP=B,则称A相似于B，记作A∼B。 

特殊的，如果A∼Λ,Λ是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ是相似标准形。



矩阵可相似对角化的充要条件

n阶矩阵A可对角化 ⟺ A有n个线性无关的特征向量。


  
注意这里说的不是A的秩为满，也不是λE−A矩阵秩满时，可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程|λE−A|=0可以取得n个特征值。 

  一个特征值下有多少无关的特征向量呢？需要代入方程(λE−A)x=0计算。

不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关（相同特征值还有重数的概念）。即，若λ1≠λ2,则A的对应于λ1和λ2的特征向量线性无关。


  
由此引出的推论是：若A有n个互不相同的特征值，那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化，且主对角线元素是n个特征值。

如果，A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话，将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。

λi是n阶矩阵A的ri重特征值，则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于ri个。

  
推论：每一个ri重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时，等价于n阶矩阵A可以相似对角化。


综合上面可以看到，矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值，这些特征值不必各个不同，可以部分相同，相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数，二者比较，可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。

也就是说，充要条件的限制很大，或者说可选的范围很小。也因此，必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。



矩阵相似的必要条件

A simB=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⟹(1)|λE−A|=|λE−B|,⟹(2)r(A)=r(B),⟹(3)A和B有相同的特征值,⟹(4)|A|=|B|=∏ni=1λi,⟹(5)∑ni=1aii=∑ni=1bii=∑ni=1λi
值得注意的是，当两个矩阵相似时，不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。

初等行变换后，特征值一般会变化。这也是值得注意的点。

基本上我们常常研究的秩，行列式，特征值，特征方程都相同，但也只是必要条件。

	

嘴上说着 
不看了不考了
低下头来
该做的题还是得做 
该背的书还是得背 
就剩50多天了
请你
给自己一个完整的交代
——张宇
大家来看看今天的【练练不忘，必有回响】
昨日习题
答
例
答案解析
宇哥  翻牌  ▲▲▲
练练不忘，必有回响 ★211
今天是相似对角化的判定及求可逆矩阵P相关内容
看看今日的例题：
(看不清的同学可以点击放大查看，但一定要自己做过再看答案哦)
宇哥 · 解析
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掌握了这个题目的同学
再来做道题巩固下吧
练练不忘
相似对角化的判定及求可逆矩阵P
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