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对角化求可逆矩阵_「线性代数」求可逆矩阵P,使得相似矩阵对角化
2020-12-30 20:10:59相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A...在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。
相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。
可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。
对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。
根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。
相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。
那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。
话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:
如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。
这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。
这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:
1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。
2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。
3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。
最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。
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对角化矩阵
2010-07-13 18:37:00 -
相似矩阵、矩阵的相似对角化
2016-10-19 19:12:47特殊的,如果A∼Λ,Λ是对角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵可相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向相似矩阵的定义
A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P,使得P−1AP=B,则称A相似于B,记作A∼B。
特殊的,如果A∼Λ,Λ是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ是相似标准形。矩阵可相似对角化的充要条件
n阶矩阵A可对角化 ⟺ A有n个线性无关的特征向量。
注意这里说的不是A的秩为满,也不是λE−A矩阵秩满时,可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程|λE−A|=0可以取得n个特征值。
一个特征值下有多少无关的特征向量呢?需要代入方程(λE−A)x=0计算。不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关(相同特征值还有重数的概念)。即,若λ1≠λ2,则A的对应于λ1和λ2的特征向量线性无关。
由此引出的推论是:若A有n个互不相同的特征值,那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化,且主对角线元素是n个特征值。
如果,A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话,将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。
- λi是n阶矩阵A的ri重特征值,则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于ri个。
推论:每一个ri重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时,等价于n阶矩阵A可以相似对角化。
综合上面可以看到,矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值,这些特征值不必各个不同,可以部分相同,相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数,二者比较,可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。
也就是说,充要条件的限制很大,或者说可选的范围很小。也因此,必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。
矩阵相似的必要条件
A simB=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⟹(1)|λE−A|=|λE−B|,⟹(2)r(A)=r(B),⟹(3)A和B有相同的特征值,⟹(4)|A|=|B|=∏ni=1λi,⟹(5)∑ni=1aii=∑ni=1bii=∑ni=1λi值得注意的是,当两个矩阵相似时,不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。
初等行变换后,特征值一般会变化。这也是值得注意的点。
基本上我们常常研究的秩,行列式,特征值,特征方程都相同,但也只是必要条件。
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对角化求可逆矩阵_【练练不忘,必有回响】相似对角化的判定及求可逆矩阵P...
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不看了不考了
低下头来
该做的题还是得做
该背的书还是得背
就剩50多天了
请你
给自己一个完整的交代
——张宇
大家来看看今天的【练练不忘,必有回响】
昨日习题
答
例答案解析
宇哥 翻牌 ▲▲▲练练不忘,必有回响 ★211
今天是相似对角化的判定及求可逆矩阵P相关内容
看看今日的例题:
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练练不忘
相似对角化的判定及求可逆矩阵P
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