2010-07-13
 
 
在做数学建模的时候，遇到了点困难。谨记。
 
 
 
给你个矩阵，怎么求它的N次幂呢？
 
思路如下：
 
             矩阵M的N次幂=P*V的N次幂*p的﹣1次幂。
 
             其中P为M的相似对角矩阵。
 
                  V为矩阵M的相似对角化后求得。
 
下面是如何求矩阵P：（最后V也求出来了--最后）
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 矩阵V=
 
 
 

 
文章目录
 
矩阵对角化
SVD分解
参考链接
 

 
矩阵对角化
 
矩阵的相似
 
 
 
设 $\mathbf{A}$、 $\mathbf{B}$ 为两个$n$阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得
 $${\mathbf{P}}^{{}^{-1}}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$
 则称 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似。特别的，如果 $\mathbf{B}$ 为对角形矩阵，则称 $\mathbf{A}$ 可(相似)对角化
 
 
$n$阶矩阵$A$可对角化的充要条件：$\mathbf{A}$ 有$n$个线性无关的特征向量 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,...{\mathbf{X}}_{\mathbf{n}}$。具体的证明我们不在此展开，只做几点说明：
 
设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 有 $m$ 个不同特征值（方程 $\left|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}\right|=0$ 有 $m$ 个不同实根），则不同特征值对应的特征向量线性无关
存在 $\mathbf{A}$ 属于某个特征值的线性无关特征向量
当 ${\mathbf{P}}^{{}^{-1}}\mathbf{A}\mathbf{P}=diag({\lambda }_1，{\lambda }_2，...{\lambda }_n)$ 时，$diag({\lambda }_1，{\lambda }_2，...{\lambda }_n)$ 的$n$个主对角元是 $\mathbf{A}$ 的$n$个特征值（含重根）；$\mathbf{A}$ 分别属于 ${\lambda }_1，{\lambda }_2，...{\lambda }_n$ 的线性无关特征向量 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,...{\mathbf{X}}_{\mathbf{n}}$ 构成了可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 的列向量
 
实对称矩阵的对角化
 
考虑实对称矩阵的对角化，有如下结论：
 
$n$阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值都是实数（证明思路：对表达式 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\lambda \mathbf{X}$ 左乘复特征向量的共轭转置 ${\bar{\mathbf{X}}}^{\mathbf{T}}$，推出 $\lambda$ 为实数）
实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 不同特征值对应的特征向量正交（证明思路：列出 $\mathbf{A}$ 两组不同的特征方程，分别左乘另一个复特征向量的共轭转置，两端取转置后方程相减）
属于 $\mathbf{A}$ 的同一个特征值的一组线性无关特征向量不一定正交，但可用施密特正交方法将其正交化
一定存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$ （满足 ${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^T$）,使得 ${\mathbf{Q}}^{{}^{-1}}\mathbf{A}\mathbf{Q}$ 为对角形矩阵
$n$阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 存在$n$个正交的单位特征向量
 
SVD分解
 
特征值分解只能用于可逆方阵，奇异值分解（SVD）适用于任意 $m\times n$ 矩阵，定义如下：
 
 
 
若 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，则存在一个分解，使得
 $$\mathbf{A}=\mathbf{U}\Sigma {\mathbf{V}}^{\ast }$$
 其中 $\mathbf{U}$ 是 $m\times m$ 酉矩阵（满足 ${\mathbf{U}}^{-1}={\mathbf{U}}^{\ast }$）, $\Sigma$ 是 $m\times n$ 非负实对称矩阵，${\mathbf{V}}^{\ast }$ 是 $\mathbf{V}$ 的共轭转置，是 $n\times n$ 酉矩阵.
 
 
求解 $\mathbf{U}$, $\Sigma$, $\mathbf{V}$ 矩阵
 
给定一个 ${\mathbf{A}}_{\mathbf{m}\times \mathbf{n}}$ 的奇异值分解，有：
 $${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=\mathbf{V}{\Sigma }^{\ast }{\mathbf{U}}^{\ast }\mathbf{U}\Sigma {\mathbf{V}}^{\ast }=\mathbf{V}({\Sigma }^{\ast }\Sigma ){\mathbf{V}}^{\ast }$$
 $$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=\mathbf{U}\Sigma {\mathbf{V}}^{\ast }\mathbf{V}{\Sigma }^{\ast }{\mathbf{U}}^{\ast }=\mathbf{U}(\Sigma {\Sigma }^{\ast }){\mathbf{U}}^{\ast }$$
 关系式右边描述了关系式左边的特征值分解，于是：
 
${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}$ 的$n$个特征向量（右奇异向量）组成了 $\mathbf{V}$ 的列向量
$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }$ 的$m$个特征向量（左奇异值向量）组成了 $\mathbf{U}$ 的列向量
$\Sigma$ 的非零对角元（非零奇异值）是 ${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}$ 或 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }$ 的非零特征值（为啥相同？）的平方根，即 $\Sigma ={\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & {\sigma }_r\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right]}_{m\times n}$，其中 $r=rank(\mathbf{A})$（思考为什么？）且 $m>r$，${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}(i=1,2\cdots r)$
 
补充1：$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$ 性质
 
对称性：$({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}{)}^T=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$
半正定性：对任意非零向量 $x_{n\times 1}$ ，有 ${\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A})\mathbf{x}=(\mathbf{A}\mathbf{x}{)}^T(\mathbf{A}\mathbf{x})⩾0$
 
补充2：奇异值分解 Vs.特征值分解
 
 
补充3：正定和半正定矩阵的性质
 
正定矩阵的行列式恒为正；
实对称矩阵$A$正定当且仅当$A$与单位矩阵合同；
对于$n$阶实对称矩阵$A$，下列条件是等价的：正定矩阵=一切主子式均为正=一切顺序主子式均为正=特征值均为正；
对于$n$阶实对称矩阵$A$，下列条件是等价的：半正定矩阵=所有的主子式非负（顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的）
 
SVD分解的应用
 
 
参考链接
 
中文维基 奇异值分解
中文维基 可对角化矩阵
博客园 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
知乎 矩阵对角化与奇异值分解
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 如何在Markdown中写公式

相似矩阵的定义
 
A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$,则称A相似于B，记作$A \sim  B$。 
 特殊的，如果$A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵$, 则称A可以相似对角化。$\Lambda$是相似标准形。
 
矩阵可相似对角化的充要条件
 
n阶矩阵A可对角化 $\Longleftrightarrow$ A有n个线性无关的特征向量。
 
  
 
   
注意这里说的不是A的秩为满，也不是$\lambda E - A$矩阵秩满时，可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程$|\lambda E - A| = 0$可以取得n个特征值。 
 一个特征值下有多少无关的特征向量呢？需要代入方程$(\lambda E - A)x = 0$计算。
 
  
不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关（相同特征值还有重数的概念）。即，若$\lambda_1 \neq \lambda_2,$则A的对应于$\lambda_1$和$\lambda_2$的特征向量线性无关。
 
  
 
   
由此引出的推论是：若A有n个互不相同的特征值，那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化，且主对角线元素是n个特征值。
 
  
 
如果，A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话，将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。
 
$\lambda_i$是n阶矩阵A的$r_i$重特征值，则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于$r_i$个。
 
 
 
推论：每一个$r_i$重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时，等价于n阶矩阵A可以相似对角化。
 
 
综合上面可以看到，矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值，这些特征值不必各个不同，可以部分相同，相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数，二者比较，可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。
 
也就是说，充要条件的限制很大，或者说可选的范围很小。也因此，必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。
 
矩阵相似的必要条件
 

 $$A \ sim B = \begin{cases}
\Longrightarrow (1) |\lambda E - A| = |\lambda E - B|, \\
\Longrightarrow (2) r(A) = r(B),\\
\Longrightarrow (3) A和B有相同的特征值,\\
\Longrightarrow (4) |A| = |B| = \prod_{i = 1}^n\lambda_i,\\
\Longrightarrow (5) \sum_{i=1}^na_{ii} = \sum_{i=1}^nb_{ii} = \sum_{i=1}^n\lambda_i 
\end{cases}$$ 
 
值得注意的是，当两个矩阵相似时，不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。
 
初等行变换后，特征值一般会变化。这也是值得注意的点。
 
基本上我们常常研究的秩，行列式，特征值，特征方程都相同，但也只是必要条件。

对角化：若方阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P和对角矩阵D，有，则称A可对角化。
 
可对角化的充要条件：
 
n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。
 
充分性证明：
 
设A的n个线性无关的特征向量为，对应的特征值为，特征向量构成矩阵P=[].则：
 
 
将对角矩阵记为D，则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关，所以P=[]可逆，所以，即A可对角化。
 
必要性证明：
 
A可对角化，即，可得AP = PD.
 
设P的列元素为，即P=[]，设对角矩阵D为.
 
则：
 
；
 
；
 
由AP = PD得：.因为P可逆，显然都不为0，所以是A的特征值，是A的特征向量且线性无关。得证。
 

 
 


 
 

参考资料：David.C.Lay《线性代数及其应用》