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  • 对角化矩阵

    2010-07-13 18:37:00
     2010-07-13 在做数学建模的时候,遇到了点困难。谨记。...  V为矩阵M的相似对角化后求得。 下面是如何求矩阵P:(最后V也求出来了--最后)     <br /> <br

     2010-07-13

    在做数学建模的时候,遇到了点困难。谨记。

     

    给你个矩阵,怎么求它的N次幂呢?

    思路如下:

                 矩阵M的N次幂=P*V的N次幂*p的﹣1次幂

                 其中P为M的相似对角矩阵。

                      V为矩阵M的相似对角化后求得。

    下面是如何求矩阵P:(最后V也求出来了--最后)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

           

     矩阵V=

     

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  • 矩阵对角化,SVD分解

    千次阅读 2019-09-20 12:18:39
    - [矩阵对角化](#矩阵对角化) - [SVD分解](#svd分解) - [参考链接](#参考链接) 矩阵对角化 矩阵的相似 设 A\boldsymbol{A}A、 B\boldsymbol{B}B 为两个nnn阶矩阵,若存在可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P,使得...

    矩阵对角化

    矩阵的相似

    A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B 为两个 n n n阶矩阵,若存在可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P,使得
    P − 1 A P = B \boldsymbol{P}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} P1AP=B
    则称 A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B 相似。特别的,如果 B \boldsymbol{B} B 为对角形矩阵,则称 A \boldsymbol{A} A 可(相似)对角化

    n n n阶矩阵 A A A可对角化的充要条件: A \boldsymbol{A} A n n n个线性无关的特征向量 X 1 , X 2 , . . . X n \boldsymbol{X_{1}},\boldsymbol{X_{2}},...\boldsymbol{X_{n}} X1,X2,...Xn。具体的证明我们不在此展开,只做几点说明:

    1. n n n 阶矩阵 A \boldsymbol{A} A m m m 个不同特征值(方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 \left | \lambda \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A}\right |=0 λEA=0 m m m 个不同实根),则不同特征值对应的特征向量线性无关
    2. 存在 A \boldsymbol{A} A 属于某个特征值的线性无关特征向量
    3. P − 1 A P = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) \boldsymbol{P}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}) P1AP=diag(λ1λ2...λn) 时, d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . λ n ) diag(\lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}) diag(λ1λ2...λn) n n n个主对角元是 A \boldsymbol{A} A n n n个特征值(含重根); A \boldsymbol{A} A 分别属于 λ 1 , λ 2 , . . . λ n \lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n} λ1λ2...λn 的线性无关特征向量 X 1 , X 2 , . . . X n \boldsymbol{X_{1}},\boldsymbol{X_{2}},...\boldsymbol{X_{n}} X1,X2,...Xn 构成了可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 的列向量

    实对称矩阵的对角化

    考虑实对称矩阵的对角化,有如下结论:

    1. n n n阶实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值都是实数(证明思路:对表达式 A X = λ X \mathbf{AX=\lambda X} AX=λX 左乘复特征向量的共轭转置 X ˉ T \mathbf{\bar{X}^{T}} XˉT,推出 λ \lambda λ 为实数)
    2. 实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 不同特征值对应的特征向量正交(证明思路:列出 A \boldsymbol{A} A 两组不同的特征方程,分别左乘另一个复特征向量的共轭转置,两端取转置后方程相减)
    3. 属于 A \boldsymbol{A} A 的同一个特征值的一组线性无关特征向量不一定正交,但可用施密特正交方法将其正交化
    4. 一定存在正交矩阵 Q \mathbf{Q} Q (满足 Q − 1 = Q T \mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^{T} Q1=QT),使得 Q − 1 A Q \boldsymbol{Q}^{^{-1}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} Q1AQ 为对角形矩阵
    5. n n n阶实对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 存在 n n n个正交的单位特征向量

    SVD分解

    特征值分解只能用于可逆方阵,奇异值分解(SVD)适用于任意 m × n \mathit{m}\times\mathit{n} m×n 矩阵,定义如下:

    A \boldsymbol{A} A 是一个 m × n \mathit{m}\times\mathit{n} m×n 矩阵,则存在一个分解,使得
    A = U Σ V ∗ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*} A=UΣV
    其中 U \boldsymbol{U} U m × m m\times m m×m 酉矩阵(满足 U − 1 = U ∗ \boldsymbol{U^{-1}}=\boldsymbol{U}^{*} U1=U), Σ \Sigma Σ m × n m\times n m×n 非负实对称矩阵, V ∗ \boldsymbol{V}^{*} V V \boldsymbol{V} V 的共轭转置,是 n × n n\times n n×n 酉矩阵.

    求解 U \boldsymbol{U} U, Σ \Sigma Σ, V \boldsymbol{V} V 矩阵

    给定一个 A m × n \boldsymbol{A_{m\times n}} Am×n 的奇异值分解,有:
    A ∗ A = V Σ ∗ U ∗ U Σ V ∗ = V ( Σ ∗ Σ ) V ∗ \boldsymbol{A^{*}A}=\boldsymbol{V}\Sigma^{*}\boldsymbol{U}^{*}\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*}=\boldsymbol{V}(\Sigma^{*}\Sigma)\boldsymbol{V}^{*} AA=VΣUUΣV=V(ΣΣ)V
    A A ∗ = U Σ V ∗ V Σ ∗ U ∗ = U ( Σ Σ ∗ ) U ∗ \boldsymbol{AA^{*}}=\boldsymbol{U}\Sigma\boldsymbol{V}^{*}\boldsymbol{V}\Sigma^{*}\boldsymbol{U}^{*}=\boldsymbol{U}(\Sigma\Sigma^{*})\boldsymbol{U}^{*} AA=UΣVVΣU=U(ΣΣ)U
    关系式右边描述了关系式左边的特征值分解,于是:

    • A ∗ A \boldsymbol{A^{*}A} AA n n n个特征向量(右奇异向量)组成了 V \boldsymbol{V} V 的列向量
    • A A ∗ \boldsymbol{AA^{*}} AA m m m个特征向量(左奇异值向量)组成了 U \boldsymbol{U} U 的列向量
    • Σ \Sigma Σ 的非零对角元(非零奇异值)是 A ∗ A \boldsymbol{A^{*}A} AA A A ∗ \boldsymbol{AA^{*}} AA 的非零特征值(为啥相同?)的平方根,即 Σ = [ σ 1 0 0 0 0 σ 2 ⋯ 0 0 0 ⋱ σ r ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] m × n \Sigma=\begin{bmatrix} \sigma_{1}& 0& 0& 0 \\ 0& \sigma_{2}& \cdots& 0 \\ 0& 0& \ddots& \sigma_{r} \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \end{bmatrix}_{m\times n} Σ=σ1000σ20000σrm×n,其中 r = r a n k ( A ) r=rank(\boldsymbol{A}) r=rank(A)(思考为什么?)且 m > r \mathit{m}>\mathit{r} m>r σ i = λ i ( i = 1 , 2 ⋯ r ) \sigma _{i}=\sqrt{\lambda _{i}}(i=1,2\cdots r) σi=λi (i=1,2r)

    补充1: A A T \boldsymbol{AA^{T}} AAT 性质

    • 对称性: ( A T A ) T = A A T (\boldsymbol{A^{T}A})^{T}=\boldsymbol{AA^{T}} (ATA)T=AAT
    • 半正定性:对任意非零向量 x n × 1 x_{n\times1} xn×1 ,有 x T ( A T A ) x = ( A x ) T ( A x ) ⩾ 0 \boldsymbol{x^{T}}(\boldsymbol{A^{T}A})\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{Ax})^{T}(\boldsymbol{Ax})\geqslant 0 xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)0

    补充2:奇异值分解 Vs.特征值分解
    SVD_EigenDecomposition

    补充3:正定和半正定矩阵的性质

    • 正定矩阵的行列式恒为正;
    • 实对称矩阵 A A A正定当且仅当 A A A与单位矩阵合同;
    • 对于 n n n阶实对称矩阵 A A A,下列条件是等价的:正定矩阵=一切主子式均为正=一切顺序主子式均为正=特征值均为正;
    • 对于 n n n阶实对称矩阵 A A A,下列条件是等价的:半正定矩阵=所有的主子式非负(顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的)

    SVD分解的应用
    SVD-application

    参考链接

    1. 中文维基 奇异值分解
    2. 中文维基 可对角化矩阵
    3. 博客园 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
    4. 知乎 矩阵对角化与奇异值分解
    5. Markdown语言教程
      Markdown 插入链接
      Markdown 编辑器语法指南
      MarkDown 插入数学公式实验大集合
      如何在Markdown中写公式
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  • 相似矩阵矩阵的相似对角化

    万次阅读 多人点赞 2016-10-19 19:12:47
    若存在可逆矩阵P,使得P−1AP=BP^{-1}AP=B,则称A相似于B,记作A∼BA \sim B。 特殊的,如果A∼Λ,Λ是角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵可相似对角化...

    相似矩阵的定义

    A,B都是n阶矩阵。若存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B ,则称A相似于B,记作 AB
    特殊的,如果 AΛ,Λ , 则称A可以相似对角化。 Λ 是相似标准形。

    矩阵可相似对角化的充要条件

    • n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。

      注意这里说的不是A的秩为满,也不是 λEA 矩阵秩满时,可以得到A有n个线性无关的特征向量。而是方程 |λEA|=0 可以取得n个特征值。
      一个特征值下有多少无关的特征向量呢?需要代入方程 (λEA)x=0 计算。

    • 不相等的特征值对应的特征向量一定无关。而相同特征值下的特征向量不一定无关(相同特征值还有重数的概念)。即,若 λ1λ2, 则A的对应于 λ1 λ2 的特征向量线性无关。

      由此引出的推论是:若A有n个互不相同的特征值,那么就可以得出A有n个无关的特征向量。从而得出A可以相似对角化,且主对角线元素是n个特征值。

    如果,A有n个线性无关特征向量只有这一种情况的话,将会无聊得太多了。幸而实际上不是。同样的特征值也有可能得出多个无关向量。

    • λi 是n阶矩阵A的 ri 重特征值,则其对应的线性无关特征向量的个数小于等于 ri 个。

    推论:每一个 ri 重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于该特征值的重数时,等价于n阶矩阵A可以相似对角化。

    综合上面可以看到,矩阵相似对角化的核心是可以得到矩阵A有n个线性无关的特征向量。已知A可以求出A的特征值,这些特征值不必各个不同,可以部分相同,相同的个数称之为对应的特征值的重数。再根据这个特征值求得的特征向量个数,二者比较,可以得出是不是有n个线性无关的特征向量。

    也就是说,充要条件的限制很大,或者说可选的范围很小。也因此,必要条件就很多。这也成为了解题的一大依据。

    矩阵相似的必要条件

    A simB=(1)|λEA|=|λEB|,(2)r(A)=r(B),(3)AB,(4)|A|=|B|=ni=1λi,(5)ni=1aii=ni=1bii=ni=1λi

    值得注意的是,当两个矩阵相似时,不要认为主对角线秩积等于特征值之积。。。

    初等行变换后,特征值一般会变化。这也是值得注意的点。

    基本上我们常常研究的秩,行列式,特征值,特征方程都相同,但也只是必要条件。

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  • 矩阵相似对角化

    2013-05-26 17:04:33
    矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。相似矩阵有很多应用。例如:利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性;两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系;。
  • 矩阵对角化的充要条件及证明

    万次阅读 2018-08-04 22:37:04
    对角化:若方阵A相似于角矩阵,即存在可逆矩阵P角矩阵D,有,则称A可对角化。 可对角化的充要条件: n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。 充分性证明: 设A的n个线性无关的...

    对角化:若方阵A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P和对角矩阵D,有A = PDP^{-1},则称A可对角化。

    可对角化的充要条件

    n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    充分性证明

    设A的n个线性无关的特征向量为\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},对应的特征值为\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n},特征向量构成矩阵P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}].则:

    AP = A[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}] = [A\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}] = [\lambda _{1}\alpha _{1},\lambda _{2}\alpha _{2},...,\lambda _{n}\alpha _{n}] = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}

    将对角矩阵\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}记为D,则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关,所以P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]可逆,所以A = PDP^{-1},即A可对角化。

    必要性证明

    A可对角化,即A = PDP^{-1},可得AP = PD.

    设P的列元素为\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},即P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}],设对角矩阵D为\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}.

    则:

    PD = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}= [\lambda _{1}\alpha _{1},\lambda _{2}\alpha _{2},...,\lambda _{n}\alpha _{n}]

    由AP = PD得:A\alpha _{1} = \lambda _{1}\alpha _{1},A\alpha _{2} = \lambda _{2}\alpha _{2},...,A\alpha _{n} = \lambda _{n}\alpha _{n}.因为P可逆,显然\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}都不为0,所以\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}是A的特征值,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}是A的特征向量且线性无关。得证。

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    多谢打赏

    参考资料:David.C.Lay《线性代数及其应用》

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    2019-02-26 23:14:00
    转载自:https://blog.csdn.net/LSGO_MYP/article/details/68483934 转载于:https://www.cnblogs.com/TAL2SCB/p/10440897.html
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空空如也

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