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  • 对角化矩阵p
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    2020-11-12 22:12:50

    不一定,可以直接用一般矩阵的方法求其对角阵,即可以不用正交单位化,直接用【p逆Ap=A的对角阵】来做,书上一上来就说用正交阵来对角化就是单纯为了体现这个方法而已,但是还是有好处的,比如正交单位化后,要求p逆只需要将p转置一下就好了

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    千次阅读 2022-04-02 00:00:17
    矩阵相似的定义

    矩阵相似的定义

    设 A与B都是N阶方阵,若是\exists一个可逆的N阶矩阵P,使得P^{-1}AP=B,则称A与B相似,记作A\sim B,P成为由A到B的相似变换矩阵

    相似矩阵的性质

    1、A\sim A \because E^{-1}AE=A

    矩阵A与它自身相似

    2、若A\sim B,则B\sim A

    如果A与B相似,那么B与A也相似

    证明:\because A\sim B

    \therefore P^{-1}AP=B\rightarrow PBP^{-1}=A

    所以P^{-1}为B到A的相似变换矩阵

    3、若A\sim B,B\sim C,则A\sim C

    相似具有传递性

    证明:\because A\sim B,B\sim C

    \therefore P^{-1}AP=B , Q^{-1}BQ=C

    将A代换B

    Q^{-1}P^{-1}APQ=C\rightarrow (PQ)^{-1}A(PQ)=C

    其中PQ为A到C的相似变换矩阵

    4、若A\sim B,则A\cong B

    如果A和B相似,那么A与B等价

    因为等价的定义是 PAQ=B,存在P、Q使得A经过有限次的初等变换,成为B,那么称A与B等价

    所以上述明显成立

    也意味着,A和B两个矩阵的秩是一样的

    5、若A\sim B,则\left | A-\lambda E \right |=\left | B-\lambda E \right |,意味着如果两个矩阵相似,那么他们的特征值相同,因为特征值相同,所以两个矩阵的迹+行列式都相同

    证明:\because A\sim B

     \therefore P^{-1}AP=B\rightarrow \left | A-\lambda E \right |\rightarrow \left | P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P \right | \rightarrow \left | P^{-1}(A-\lambda E) P \right |\rightarrow \left | P^{-1} \right |\left | P \right |\left | (A-\lambda E) \right |\rightarrow 1*\left | (A-\lambda E) \right |

    6、 若A\sim BA^{-1}\sim B^{-1}

    如果A、B相似,那么A的逆和B的逆也相似

    证明:P^{-1}AP=B\rightarrow A=PBP^{-1}\rightarrow A^{-1}=PB^{-1}P^{-1}\rightarrow P^{-1}A^{-1}P=B^{-1}

    所以,A^{-1}\sim B^{-1}

    7、 若A\sim BA^{*}\sim B^{*}

    如果A、B相似,那么A的伴随矩阵和B的伴随矩阵也相似

    证明:\left | A \right |A^{-1}=A^{*}

    因为A、B相似,那么A、B的行列式相同

    由6可知,A的逆与B的逆也相似

    P^{-1}\left | A \right |A^{-1}P=\left | A \right |B^{-1}=\left | B \right |B^{-1}

    P^{-1}A^{*}P=B^{*}

    所以A的伴随跟B的伴随也相似

    8、  若A\sim B ,kA\sim kB

    如果A、B相似,那么kA与kB也相似

    证明:这个很简单

    A\sim B\rightarrow P^{-1}AP=B\rightarrow P^{-1}(kA)P=(kB)

    9、 若A\sim B ,A^{k}\sim B^{k}

    如何A、B相似,那么A的k次方与B的k次方也相似

    证明:

    P^{-1}AP=B

    B^{k}=(P^{-1}AP)^{k}=\underset{k}{\underbrace{P^{-1}APP^{-1}AP...P^{-1}AP}}=P^{-1}A^{k}P

    \therefore P^{-1}A^{k}P=B^{k}

    10、 若A\sim B ,f(A)\sim f(B),其中f(x)为多项式

    如果A矩阵与B矩阵相似,那么A矩阵的多项式与B矩阵的多项式也相似

    证明:

    f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}....+a_{2}x^{2}+a_{1}x

    根据8+9的性质,就能证明该性质

    11、 若A\sim B ,A^{T}\sim B^{T}

    如果A、B相似,那么A的转置和B的转置也相似

    证明:

    P^{-1}AP=B

    B^{T}=P^{T}A(P^{T})^{-1}

    A=PBP^{-1}\rightarrow A^{T}=\rightarrow (P^{T})^{-1}P^{-1}APP^{T}

    PP^{T} A^{T}(P^{T})^{-1}P^{-1}=\rightarrow A

    将之代入到B^{T}=P^{T}A(P^{T})^{-1}

     B^{T}=P^{T}PP^{T} A^{T}(P^{T})^{-1}P^{-1}(P^{T})^{-1}

    P^{T}PP^{T} A^{T}(P^{T}PP^{T})^{-1}=B^{T}\rightarrow ((P^{T}PP^{T})^{-1})^{-1}A^{T}(P^{T}PP^{T})^{-1}=B^{T}

    矩阵的相似对角化定义

    其实就是P^{-1}AP=B中的B为对角矩阵(diag),或者称之为\Lambda如果不存在矩阵P使得A可以变成对角矩阵,那么就称A不能相似对角化

    两个问题,什么样的A可以相似对角化?A如果可以相似对角化,那么\Lambda是多少?

    P^{-1}AP=\Lambda

    其中\Lambda = \begin{vmatrix} \lambda _{1}& & & \\ & \lambda _{2}& & \\ & & ...& \\ & & & \lambda _{n} \end{vmatrix}

    P=\begin{vmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & ...& \alpha _{n} \end{vmatrix},其中\alpha _{1},\alpha _{2}...\alpha _{n}n维的列向量

    代入等式

    P^{-1}AP=\Lambda\rightarrow AP=P\Lambda

    A\begin{vmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & ...& \alpha _{n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & ...& \alpha _{n} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \lambda _{1}& & & \\ & \lambda _{2}& & \\ & & ...& \\ & & & \lambda _{n} \end{vmatrix}

    \begin{vmatrix} A\alpha _{1} & A\alpha _{2} & ...& A\alpha _{n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \alpha _{1}\lambda _{1} & \alpha _{2}\lambda _{2} & ...& \alpha _{n}\lambda _{n} \end{vmatrix}

    \therefore A\alpha _{1}=\alpha _{1}\lambda _{1}

    A\alpha _{2}=\alpha _{2}\lambda _{2}

    ...

    A\alpha _{n}=\alpha _{n}\lambda _{n}

    这不就是特征值和特征向量么

    如果两个矩阵相似,那么他们的特征值相同,所以如果A可以相似对角化,\Lambda里的值就是特征值(见5的证明),P是特征值对应的特征向量,并且P需要可逆

    P如果可逆的话,那么P满秩,秩为N,那么\alpha _{1},\alpha _{2}...\alpha _{n}线性无关

    意味着A如果正好能找到N个线性无关的特征向量,那么A就能相似对角化

    而A里可能有很多特征值是相同的

    意味着,我们只需要查找A的多重特征值里,恰好有对应数的线性无关的特征向量的话,那么A就能相似对角化

    推论:如果A的特征值各不相同,那么A一定可以对角化

    展开全文
  • (果断挖坑) 定理: 对于 n n n 阶矩阵 A A A ,存在一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 是一个对角矩阵的充要条件是, A A A 有 n n n 个线性无关的特征向量。 设 A A A 的特征向量为 ε 1 , ε...

    理论上的证明我这里就暂时不写了(懒),直接上结论和例题,理论证明等以后在补充吧。(果断挖坑)

    定理:

    对于 n n n 阶矩阵 A A A ,存在一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 是一个对角矩阵的充要条件是, A A A n n n 个线性无关的特征向量。

    A A A 的特征向量为 ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n ε1,ε2,,εn 对应的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn。取 P = [ ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n ] P=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n] P=[ε1,ε2,,εn] P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 是一个对角矩阵,对角线上的元素为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn

    光说定理也太乏味了,来个例题加深一下理解吧

    例题

    A = [ 0 1 2 1 2 1 2 1 0 ] A=\begin{bmatrix} 0&1&\sqrt{2}\\ 1&\sqrt{2}&1\\ \sqrt{2}&1&0\end{bmatrix} A=012 12 12 10

    1. A A A 的特征值和特征向量
    2. 找到一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 是一个对角矩阵
    3. A n A^n An 的表达式

    参考答案

    ∣ λ E − A ∣ = λ ( λ + 2 ) ( λ − 2 2 ) = 0 |\lambda E-A| = \lambda(\lambda+\sqrt{2})(\lambda-2\sqrt{2})=0 λEA=λ(λ+2 )(λ22 )=0

    得到 A A A 的特征值为

    λ 1 = − 2 , λ 2 = 2 2 , λ 3 = 0 \lambda_1=-\sqrt{2},\lambda_2=2\sqrt{2},\lambda_3=0 λ1=2 ,λ2=22 ,λ3=0

    对于特征值 λ 1 = − 2 \lambda_1=-\sqrt{2} λ1=2 ,有特征向量 ε 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) T \varepsilon_1=(1,0,-1)^{T} ε1=(1,0,1)T
    对于特征值 λ 2 = 2 2 \lambda_2=2\sqrt{2} λ2=22 ,有特征向量 ε 2 = ( 1 , 2 , 1 ) T \varepsilon_2=(1,\sqrt{2},1)^{T} ε2=(1,2 ,1)T
    对于特征值 λ 3 = 0 \lambda_3=0 λ3=0,有特征向量 ε 3 = ( 1 , − 2 , 1 ) T \varepsilon_3=(1,-\sqrt{2},1)^{T} ε3=(1,2 ,1)T

    • 令:

      P = [ ε 1 , ε 2 , ε 3 ] = [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] P =[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3]= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & \sqrt{2} &-\sqrt{2}\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} P=[ε1,ε2,ε3]=10112 112 1

      根据前文提到的定理

      P − 1 A P = [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} P1AP=2 00022 0000

      A n = P [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] n P − 1 = [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] n [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] − 1 = 1 4 [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] [ ( − 2 ) n 0 0 0 ( 2 2 ) n 0 0 0 0 ] [ 2 0 − 2 1 2 1 1 − 2 1 ] = 2 n 4 [ 2 ( − 1 ) n + 2 n 2 ⋅ 2 n ( − 1 ) n + 1 2 + 2 n 2 n 2 2 n + 1 2 n 2 ( − 1 ) n + 1 2 + 2 n 2 ⋅ 2 n ( − 1 ) n 2 + 2 n ] \begin{aligned}A^n &= P\begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^nP^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix}^{-1}\\ &=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-\sqrt{2})^n&0&0\\ 0&(2\sqrt{2})^n&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&-2\\ 1&\sqrt{2}&1\\ 1&-\sqrt{2}&1 \end{bmatrix}\\ & = \frac{\sqrt{2}^n}{4} \begin{bmatrix} 2(-1)^n+2^n&\sqrt{2}\cdot2^n&(-1)^{n+1}2+2^n\\ 2^n\sqrt{2}&2^{n+1}&2^n\sqrt{2}\\ (-1)^{n+1}2+2^n&\sqrt{2}\cdot 2^n&(-1)^n2+2^n \end{bmatrix} \end{aligned} An=P2 00022 0000nP1=10112 112 12 00022 0000n10112 112 11=4110112 112 1(2 )n000(22 )n000021102 2 211=42 n2(1)n+2n2n2 (1)n+12+2n2 2n2n+12 2n(1)n+12+2n2n2 (1)n2+2n


    2021年11月25日21:40:16

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  • 相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A...

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

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对角化矩阵p