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  • 相似对角化与二次型的标准化联系
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    2019-09-27 16:39:29

    n元二次型化标准形,具体解题步骤:
    1、写出二次型矩阵A
    2、求矩阵A的特征值(λ1,λ2,…,λn)
    3、求矩阵A的特征向量(α1,α2,…,αn)
    4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1,γ2,…,γn
    5、构造正交矩阵P=(γ1,γ2,…,γn)
    则经过坐标变换x=Py,得
    xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+…+λnyn²
    相似对角化,具体解题步骤:
    1、求矩阵A的特征值 (λ1,λ2,…,λs,设λi是ni重根)
    2、求矩阵A的每一个特征值λi,求(λiE-A)x=0的基础解系(设为Xi1,Xi2,…,Xini)
    (上面两步来判断A是否可以对角化)
    3、构造P=(X11,X12,…,X1n1,X21,X22,…,X2n2,…,Xs1,Xs2,…,Xsns),则
    P-1AP=diag(λ1,…,λ1,λ2,…,λ2,…,λs,…,λs)
    其中有ni个λi(i=1,2,…,s)
    显然易知二者的区别。
    都是先求特征值,再特征向量。
    正交变换,需要改造特征向量,使其满足正交化的特征。
    相似对角化可以直接用特征向量,对于实对称矩阵相似的正交矩阵,则过程一样。
    实际上二次型是实对称矩阵 !!!
    二次型的正交化就是实对称矩阵用正交矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵的过程。
    它是一种特殊矩阵的相似化过程。

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    对角化与Jordan标准型1正规矩阵1.1实对称矩阵与厄米矩阵1.2正交矩阵酉矩阵1.3正交相似变换酉相似变换1.4正规矩阵1.5相似矩阵具有相同的特征多项式→\rightarrow→相同的特征值、迹、行列式2酉对角化2.1...

    1正规矩阵

    1.1实对称矩阵与厄米矩阵

    实对称矩阵:实矩阵 A A A A T = A A^T=A AT=A
    厄米矩阵:复矩阵 A A A A H = A A^H=A AH=A
    实反对称矩阵:实矩阵 A A A A T = − A A^T=-A AT=A
    反厄米矩阵:复矩阵 A A A A H = − A A^H=-A AH=A

    1.2正交矩阵和酉矩阵

    正交矩阵:实矩阵 A T A = A A T = I     ( A − 1 = A T ) A^TA=AA^T=I\ \ \ (A^{-1}=A^T) ATA=AAT=I   (A1=AT)
    酉矩阵:复矩阵 A H A = A A H = I     ( A − 1 = A H ) A^HA=AA^H=I\ \ \ (A^{-1}=A^H) AHA=AAH=I   (A1=AH)

    1.3正交相似变换和酉相似变换

    P P P为正交矩阵, A A A为实矩阵, P − 1 A P P^{-1}AP P1AP为对 A A A的正交相似变换
    P P P为酉矩阵, A A A为复矩阵, P − 1 A P P^{-1}AP P1AP为对 A A A的酉相似变换

    1.4正规矩阵

    实矩阵 A A A,若满足 A T A = A A T A^TA=AA^T ATA=AAT,则称其为实正规矩阵
    复矩阵 A A A,若满足 A H A = A A H A^HA=AA^H AHA=AAH,则称其为复正规矩阵
    显然,实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵;
    厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

    1.5相似矩阵具有相同的特征多项式 → \rightarrow 相同的特征值、迹、行列式

    d e t ( λ I − P − 1 A P ) = d e t ( λ P − 1 I P − P − 1 A P ) = d e t ( P − 1 ( λ I − A ) P ) = d e t ( P − 1 ) d e t ( λ I − A ) d e t ( P ) = d e t ( λ I − A ) det(\lambda I-P^{-1}AP)=det(\lambda P^{-1}IP-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(\lambda I-A)P)=det(P^{-1})det(\lambda I-A)det(P)=det(\lambda I-A) det(λIP1AP)=det(λP1IPP1AP)=det(P1(λIA)P)=det(P1)det(λIA)det(P)=det(λIA)

    2酉对角化

    2.1 S c h u r Schur Schur引理

    设数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n λ1,λ2,...,λn n n n阶方阵 A A A的特征值,则存在酉矩阵 U U U,使
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    证明: U U U化为 A A A特征向量组成的矩阵,可以自然的证明出来
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    进一步的,我们思考,任意一个满秩的方阵可以化为上三角矩阵,那么什么形式的矩阵可以更进一步,化为对角矩阵呢?

    2.2定理

    n n n阶方阵 A A A,酉相似于对角阵的充要条件是: A A A为正规阵(实或复)。
    利用 A A A是正规矩阵,求上三角矩阵 Λ Λ H 和 Λ H Λ \Lambda\Lambda^H和\Lambda^H\Lambda ΛΛHΛHΛ相等,便可得知上三角的其余值均为0
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    3 J o r d a n Jordan Jordan标准型

    简述求法,原理就不细说了

    1. 求不变因子 d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ):求出 D i ( λ ) , D_i(\lambda), Di(λ),(i阶行列式最大公因式),则 d i ( λ ) = D i ( λ ) D i − 1 ( λ ) , d_i(\lambda)=\frac{D_i(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)}, di(λ)=Di1(λ)Di(λ), d i − 1 ( λ ) d_{i-1}(\lambda) di1(λ) d i ( λ ) d_i(\lambda) di(λ)的因式。将不变因子化为初等因子。比如
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    2. 写出各Jordan块矩阵(一个初等因子对应一个Jordan块矩阵)
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    3. 合成Jordan矩阵
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    展开全文
  • 矩阵对角化10.2.1. 预备知识10.2.2. 具体操作10.3. 若尔当(Jordan)标准形10.3.1. 若尔当标准形介绍10.3.2. jordan命令10.4. 矩阵的反射与旋转变换10.4.1. 两种变换介绍10.4.2. 豪斯霍尔德(Householder)变换10.4.3. ...


    矩阵运算是线性代数重要运算,本章学习求解矩阵的特征值与特征向量,对角化,反射与旋转变换

    10.1. 特征值与特征向量

    10.1.1. 标准特征值与特征向量问题

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    实例–矩阵特征值与特征向量


    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    实例:矩阵特征值

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    10.1.2. 广义特征值与特征向量问题

    广义特征值这个概念实际上我们并没有接触过,矩阵论中的概念
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    实例:广义特征值与广义特征向量在这里插入图片描述

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    10.1.3. 部分特征值问题

    在一些工程及物理问题上,通常我们只需要求出矩阵A的按模最大的特征值,也就是A的主特征值和相应的特征向量,这种求部分特征值可以使用eigs命令来实现
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    实例–按模最大与最小特征值

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    实例–最大与最小的两个广义特征值

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    10.2. 矩阵对角化

    矩阵对角化是matlab中的较为重要的内容,在实际应用中可以大大简化矩阵的各种运算

    10.2.1. 预备知识

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    根据我们上面所言,在矩阵对角化之前,我们要判断一个矩阵是否可以对角化,下面我们编写一个函数来判断矩阵是否可以对角化
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    实例–矩阵对角化

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    10.2.2. 具体操作

    上一小节我们主要讲了对角化理论中的一些基本知识,并给出了如何判断一个矩阵是否可以对角化,本节主要讲对角化的具体操作
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    10.3. 若尔当(Jordan)标准形

    若尔当标准形在工程计算尤其是控制理论有着重要的作用

    10.3.1. 若尔当标准形介绍

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    10.3.2. jordan命令

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    实例–若尔当标准形及变换矩阵

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    实例–若尔当标准形

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    10.4. 矩阵的反射与旋转变换

    无论是在矩阵分析,还是在各种工程实际中,矩阵变换都是重要的工具

    10.4.1. 两种变换介绍

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    10.4.2. 豪斯霍尔德(Householder)变换

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    10.4.3. 吉文斯(Givens)旋转变换

    givens变换作用巨大,在工程运算中,我们要有选择的消去矩阵或者向量中的一些元素,这个变换就是解决这个问题

    利用这个变量可以很轻松的将一个向量的某个指定分量化为0
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    实例–吉文斯变换

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    实例–下海森伯格矩阵下三角矩阵变换

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    10.5. 综合实例–帕斯卡矩阵

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