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  • 5对角化与Jordan标准型

    2019-12-08 11:52:50
    对角化与Jordan标准型1正规矩阵1.1实对称矩阵与厄米矩阵1.2正交矩阵酉矩阵1.3正交相似变换酉相似变换1.4正规矩阵1.5相似矩阵具有相同的特征多项式→\rightarrow→相同的特征值、迹、行列式2酉对角化2.1...

    1正规矩阵

    1.1实对称矩阵与厄米矩阵

    实对称矩阵:实矩阵AA AT=AA^T=A
    厄米矩阵:复矩阵AA AH=AA^H=A
    实反对称矩阵:实矩阵AA AT=AA^T=-A
    反厄米矩阵:复矩阵AA AH=AA^H=-A

    1.2正交矩阵和酉矩阵

    正交矩阵:实矩阵 ATA=AAT=I   (A1=AT)A^TA=AA^T=I\ \ \ (A^{-1}=A^T)
    酉矩阵:复矩阵 AHA=AAH=I   (A1=AH)A^HA=AA^H=I\ \ \ (A^{-1}=A^H)

    1.3正交相似变换和酉相似变换

    PP为正交矩阵,AA为实矩阵,P1APP^{-1}AP为对AA的正交相似变换
    PP为酉矩阵,AA为复矩阵,P1APP^{-1}AP为对AA的酉相似变换

    1.4正规矩阵

    实矩阵AA,若满足ATA=AATA^TA=AA^T,则称其为实正规矩阵
    复矩阵AA,若满足AHA=AAHA^HA=AA^H,则称其为复正规矩阵
    显然,实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵;
    厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

    1.5相似矩阵具有相同的特征多项式\rightarrow相同的特征值、迹、行列式

    det(λIP1AP)=det(λP1IPP1AP)=det(P1(λIA)P)=det(P1)det(λIA)det(P)=det(λIA)det(\lambda I-P^{-1}AP)=det(\lambda P^{-1}IP-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(\lambda I-A)P)=det(P^{-1})det(\lambda I-A)det(P)=det(\lambda I-A)

    2酉对角化

    2.1SchurSchur引理

    设数λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nnn阶方阵AA的特征值,则存在酉矩阵UU,使
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    证明:UU化为AA特征向量组成的矩阵,可以自然的证明出来
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    进一步的,我们思考,任意一个满秩的方阵可以化为上三角矩阵,那么什么形式的矩阵可以更进一步,化为对角矩阵呢?

    2.2定理

    nn阶方阵AA,酉相似于对角阵的充要条件是:AA为正规阵(实或复)。
    利用AA是正规矩阵,求上三角矩阵ΛΛHΛHΛ\Lambda\Lambda^H和\Lambda^H\Lambda相等,便可得知上三角的其余值均为0
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    3JordanJordan标准型

    简述求法,原理就不细说了

    1. 求不变因子di(λ)d_i(\lambda):求出Di(λ),D_i(\lambda),(i阶行列式最大公因式),则di(λ)=Di(λ)Di1(λ),d_i(\lambda)=\frac{D_i(\lambda)}{D_{i-1}(\lambda)},di1(λ)d_{i-1}(\lambda)di(λ)d_i(\lambda)的因式。将不变因子化为初等因子。比如
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    2. 写出各Jordan块矩阵(一个初等因子对应一个Jordan块矩阵)
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    3. 合成Jordan矩阵
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  • 第28讲 相似矩阵若尔当标准型Similar matrices and Jordan form网易公开课​open.163.com本讲介绍相似矩阵,这些内容以及奇异值分解是线性代数最核心的概念。正定矩阵 若矩阵A满足任意向量x0均有,则称矩阵为...

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    第28讲 相似矩阵和若尔当标准型

    Similar matrices and Jordan form

    网易公开课open.163.com
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    本讲介绍相似矩阵,这些内容以及奇异值分解是线性代数最核心的概念。

    • 正定矩阵

    若矩阵A满足对任意向量x0均有

    ,则称矩阵为正定矩阵,可以通过特征值、主元和行列式的办法来判断矩阵的正定性。

    正定矩阵来自于最小二乘问题。有大量的实际问题用到了长方形矩阵,而最小二乘问题中用到了长方形矩阵的积

    ,它是正定矩阵。

    正定矩阵A是对称矩阵,它的逆矩阵

    也是正定矩阵,逆矩阵的特征值是原矩阵的倒数,因此也都是正数。若矩阵
    AB都是正定矩阵,则A+B也是正定矩阵:
    ,则有

    如果A是一个mxn长方形矩阵,则

    是对称方阵。通过讨论
    的正负可以确认它是正定矩阵:
    。当且仅当
    Ax=0时,表达式为0。当矩阵A的各列线性无关时,即矩阵为列满秩r=n,A的零空间只有零向量,即此条件下仅有零向量,满足
    。因此矩阵列满秩时,
    是正定矩阵。正定矩阵将之前的知识点串联起来。
    • 相似矩阵 Similar matrices

    AB均是nxn方阵,若存在可逆矩阵M,使得

    ,则
    AB为相似矩阵。
    • 特征值互不相同 Distinct eigenvalues

    若矩阵A具有n个线性无关的特征向量,可以对角化得到

    ,则
    A相似于Λ,这里的M是特征向量矩阵S。如果将M取其它可逆矩阵,可以得到和A相似的另一矩阵B,实际上这样可以定义一类矩阵,Λ是其中最简洁的一个。

    例:A=

    ,则
    Λ=
    ,而取另一M,则有
    B=

    相似矩阵最重要的特性是:相似矩阵具有相同的特征值。事实上,所有特征值为3和1的二阶矩阵都是A的相似矩阵。

    证明矩阵A的相似矩阵

    ,具有和矩阵
    A相同的特征值:

    矩阵A具有的特征值

    ,即存在特征向量
    x满足
    。则有:

    即矩阵具有特征值

    ,且特征向量为

    因此,相似矩阵具有相同的特征值,并且线性无关的特征向量的个数相同,但是特征向量往往不同。如果矩阵A的特征值互不相等

    ,而与另一个矩阵
    B的特征值完全相同
    ,则它们与相同的对角矩阵
    Λ相似。
    • 重特征值 Repeated eigenvalues

    如果矩阵有重特征值,则可能无法进行对角化。

    例:二阶矩阵有重特征值

    第一类:

    只与自己相似,
    。这个系列的相似矩阵仅包含其自身。

    第二类包含其它所有的重特征值为4的矩阵:其中最简洁的是

    ,元素1的位置换上其它数值仍然是相似矩阵。这个最优形式称为若尔当(Jordan form)标准型。有了这个理论,就可以处理不可对角化的矩阵,完成近似的“对角化”转化为若尔当标准型进行处理。

    相似的矩阵,迹为8,行列式为16,因此我们可以构造出很多相似矩阵:
    ……它们都不能对角化(因为若可以对角化则按照特征值可知结果为4
    I,而4I只与自己相似)。
    • 若尔当标准型 Jordan form

    更复杂的情况,一个四阶矩阵具有重特征值0,

    A=

    ,它的秩为2,因此其零空间的维数为4-2=2,而零空间的向量就是矩阵的特征向量,满足
    Ax=0x,所以矩阵A只有两个特征向量。若尔当指出上对角线每增加一个1,矩阵就减掉一个特征向量,本例中特征向量数为4-2=2。

    矩阵B=

    与矩阵
    A=
    为相似矩阵。

    但矩阵C=

    A=
    并不是相似矩阵,两者具有不同的若尔当块。若尔当块形如
    J i=
    ,对角线上为重特征值
    ,上对角线为1,其它位置的元素均为0,每个若尔当块只有1个特征向量。若干个若尔当块可以拼成一个若尔当矩阵。

    若尔当矩阵:J=

    两个矩阵具有相同的特征值和特征向量个数,但是其若尔当块的尺寸不同,两者也并不是相似矩阵。如前述矩阵AC并不相似。

    若尔当理论:任意n阶矩阵A都与一个若尔当矩阵J相似。若尔当矩阵中的每一个若尔当块对应一个特征向量。若矩阵具有n个不同的特征向量,则可以对角化,此时其若尔当标准型J就是对角矩阵Λ。若出现重特征值,则特征向量个数变少。


    说到了
    和最小二乘问题就要解释一下,G.Strang举得曲线拟合的例子,都是线性公式y=ax+b,但实际上最小二乘法也处理非线性方程,因为这里所谓的非线性是对x而言,而只要对于所求的参数是线性方程就可以。比如下面的例子中x的方幂组成的矩阵
    X只是一个系数矩阵,对于所求的参数β这仍是个线性方程组。

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  • 矩阵化约当标准型和对角型的方法

    千次阅读 2020-11-25 10:20:45
  • 我们最理想的矩阵就是可相似对角化的矩阵,直接可以分解成两个酉矩阵一个对角矩阵的形式,那么如果一个矩阵不符合可相似对角化的条件应该怎么解决呢?这里提出Jordan分解,提供了对不可相似对角化矩阵分解的解决...

    前言

    之前介绍过几种矩阵分解方法,都可以有效的提升矩阵方程的数值求解问题,其中LU分解尤其适合于中小型、稠密矩阵的求解问题。我们最理想的矩阵就是可相似对角化的矩阵,直接可以分解成两个酉矩阵和一个对角矩阵的形式,那么如果一个矩阵不符合可相似对角化的条件应该怎么解决呢?这里提出Jordan分解,提供了对不可相似对角化矩阵分解的解决方案。

    一、Schur标准型定义

    给定一个矩阵A,可以通过相似正交变换成一个上三角矩阵(任意n阶方阵),其实可以将LU分解中的L进行施密特正交化。

    ,其中R是上三角矩阵,U是酉矩阵。

    上面将X分解为UR,其中U是酉矩阵,R是上三角矩阵。那么我们可以得出Schur分解的定义。Schur分解

    任意n阶方阵,酉相似于一个以其特征值为对角元的上三角矩阵R。

    2. 特殊矩阵的特征系统

    由Schur定理可以自然想到,什么样的矩阵会酉相似于对角矩阵呢?答案是正规矩阵。

    正规矩阵

    ,若

    ,则称

    为正规矩阵。

    H这里表示共轭,类比于实数矩阵的转置的概念,因为矩阵中会包含虚数,所以使用H表示共轭。

    Hermite矩阵:

    斜Hermite矩阵:

    酉阵:

    对于上面这四种特殊的矩阵,对应的R各有不同,这里直接可以记忆结论:A为正规矩阵,R是对角矩阵。

    A为Hermite矩阵时,R是实对角矩阵。

    A为斜Hermite矩阵时,R是纯虚对角阵。

    A为酉矩阵,R对角元的模为1

    二、代数重数与几何重数

    先来了解特征值的代数重数和几何重数的概念。对任意一个矩阵,我们都可以写出其特征值的表达形式,

    ,则其中

    就被称为特征值

    的代数重数,与之对应的线性无关特征向量的个数,即子空间

    的维数,称为

    的几何重数。

    代数重数与几何重数的关系

    对任何一个n阶方阵A的特征值

    对应的几何重数

    和代数重数

    ,总有

    半单与亏损

    设A为n阶方阵,

    为其特征值,

    分别为其代数重数和几何重数,如果总有

    ,那么我们称这个特征值是半单的,否则如果几何重数小于代数重数,则称这个特征值是亏损的。

    我们还可以引申出几条基本概念:代数重数为1的特征值一定是半单的。

    不同特征值对应的特征向量是线性无关的。

    每个特征值都是半单的矩阵等价于相似对角化。

    存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵等价于不可相似对角化。只要有一个特征值说亏损的就代表该方阵不可相似对角化。

    由上面的定理和推论,我们知道一般的矩阵可以分为,可以相似对角化和不可相似对角化矩阵,那么对于不可相似对角化的矩阵我们就提出了Jordan分解,接下来了解一下具体什么是Jordan分解。

    三、Jordan分解定义及Jordan标准块、Jordan标准型Jordan块

    我们称如下形式的矩阵为Jordan块,Jordan块

    2. Jordan标准型

    简单来说,由若干个Jordan块构成的矩阵就是Jordan标准型。严谨的定义如下所示,Jordan标准型

    特别注意的一点是,如果不计Jordan块的顺序,则Jordan标准型唯一。

    那么如何才能求解得到Jordan标准型呢?

    四、Jordan分解求解方法

    Jordan标准型的基本特点:

    ① Jordan标准型是一个块对角矩阵,对角元是矩阵A的特征值

    ②对于特征值

    ,他的代数重数是Jordan标准型中以

    为特征值的Jordan块的阶数之和。

    ③对于特征值

    ,它的几何重数,即与

    对应的线性无关的特征向量的个数,恰为以

    为特征值的Jordan块的个数。

    通过下面这张图片,更加清晰了解这个Jordan标准型的样貌。Jordan标准型

    直观来讲,如果有一个三阶矩阵,其三个特征值都相同,代数重数为3,几何重数为2,那么Jordan标准型如何呢?Jordan标准型

    那么其实对于该三阶矩阵来说其实Jordan标准型是唯一的(不考率Jordan块的顺序)。

    但是,很容易我们想到4阶矩阵,就存在问题,如果代数重数是4,几何重数为2,那么存在两种可能的Jordan标准型。两种可能的Jordan标准型

    那么我们还记得上面的概念提到过,如果不考虑Jordan块的顺序,则Jordan标准型唯一,那么我们如何确定到底哪个是正确的呢?

    这里引入一个判定公式:阶数判定公式

    为了计算上的简便,我们从一阶Jordan块开始计算,计算其阶数,如果其阶数为0,则我们就知道Jordan块是两个2阶的Jordan块。

    通过上面的过程我们可以确定J的形式,那么如何确定T的形式呢?

    求解变换矩阵T:

    根绝

    ,继而我们有

    ,假设

    ,推导过程如下,

    详细求解过程,可以参考下面的例题,例题

    Jordan分解的计算还是一如既往需要不断通过题目进行锤炼。

    归纳一下计算步骤:

    1.计算Jordan标准型计算矩阵的全部特征值

    计算特征值的代数重数

    计算特征值的几何重数

    利用定理确定每个Jordan块的阶数(从1阶开始计算)

    2.计算变换矩阵T求得Jordan标准型

    计算每个Jordan块对应的Jordan链若Jordan块阶数为1,直接计算特征向量

    若阶数大于1,则先计算特征向量,利用特征向量的线性组合得到链首,保证线性方程组有解,即

    五、Hamilton-Cayley定理及其应用

    利用Jordan变换,可以得到很重要的定理,Hamilton-Caylay定理,Hamilton-Caylay定理

    其应用非常广泛,可以通过这个定理简化矩阵计算。例题例题

    上面的

    的计算有两种方式,一种是多项式带余除数法,另一种是待定系数法。其中待定系数法,可以参看第三小问的求解方式,不论是这里还是之后的求解,都非常推荐使用待定系数法,降低计算量,提升计算的准确度。

    总结

    Jordan分解是非常重要的一种矩阵分解,应用非常广泛,无论是为了应试还是实际科研编程都是矩阵计算的利器,之后介绍的矩阵函数计算会再次使用到Jordan分解。

    下一节,介绍同样非常重要的奇异值分解。

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对角型和标准型