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2021-05-07 04:30:13
关于matlab中的diag函数(矩阵对角元素的提取和创建对角阵)
diag函数功能:矩阵对角元素的提取和创建对角阵
设以下X为方阵,v为向量
1、X = diag(v,k)
当v是一个含有n个元素的向量时,返回一个n+abs(k)阶方阵X,向量v在矩阵X中的第k个对角线上,k=0表示主对角线,k>0表示在主对角线上方,k<0表示在主对角线下方。
例1:
v=[1 2 3];
diag(v, 3)
ans =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
注:从主对角矩阵上方的第三个位置开始按对角线方向产生数据的
例2:
v=[1 2 3];
diag(v, -1)
ans =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
注:从主对角矩阵下方的第一个位置开始按对角线方向产生数据的
2、X = diag(v)
向量v在方阵X的主对角线上,类似于diag(v,k),k=0的情况。
例3:
v=[1 2 3];
diag(v)
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学 生
指导教师
年 级 2010级数本2班
专 业 数学与应用数学
系 别 数学与信息科学系
唐山师范学院数学与信息科学系
2014年5月
郑重声明
本人的毕业论文(设计)是在指导教师王朝霞的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明。
毕业论文(设计)作者(签名):
年 月 日
目 录
标题1
中文摘要1
1 预备知识1
2 对角占优矩阵的性质3
3 对角占优矩阵奇异性判定定理5
4 (广义)对角占优矩阵的判别条件8
5 结束语13
参考文献14
致谢15
外文页16
对角占优矩阵的性质
刘萌
摘 要 对角占优矩阵具有广泛的应用,本文以高等代数中的矩阵知识为基础,研究特殊的矩阵——对角占优矩阵,将给出对角占优矩阵的定义、研究对角占优矩阵的性质以及判别条件,并进而推广到广义对角占优矩阵,从而得出一些重要结论.
关键词 对角占优矩阵 广义对角占优矩阵 不可约矩阵 非奇异矩阵 对角均势主子阵
在《高等代数》教材中,已经对对角占优矩阵的定义有所了解,但是教材并没有进行进一步研究.对角占优矩阵有非常广泛的实际背景,在信息论、系统论、程序设计、数学物理和控制论等领域中有很多重要的应用.但是一些比较实用的判别条件并不多,这就给具体应用带来诸多不便.这就促使笔者研究对角占优矩阵的性质和简捷实用的判别条件.
1、预备知识
定义1 设,若对任意都有,则称为对角占优矩阵,记;若对任意都有,则称为严格对角占优矩阵,记.
定义2 设,若存在正对角矩阵,使得,则称为广义对角占优矩阵(广义严格对角占优矩阵),记.
定义3 设是一个的矩阵,如果且,则称是一个的置换矩阵,其中是阶单位方阵.
引理1 当时,一个的矩阵为置换矩阵的充要条件是的每一行恰有一个,每一列至多一个.
定义4 设,如果存在置换矩阵,使得
=
其中和分别是阶的方阵, ,则称为可约矩阵;否则称为不可约矩阵.
定义5 设满足条件:为对角占优矩阵;为不可约矩阵;严格不等式至少对一行标成立,则称为不可约对角占优矩阵.
定义6 设不可约,若存在正数,使得
,
且上式中至少有一严格不等式成立,则称为不可约广义对角占优矩阵.
定义7 设,矩阵中满足的行称为对角占优行;而的行称为非对角占优行.
定义8 设,若对任意,如果成立,则称为行对角均势矩阵;如果成立,则称为行对角占优矩阵.
同理,可定义列对角均势矩阵.本文中对角均势矩阵一般指的是行对角均势矩阵.
定义9 设,如果的阶主子阵
为对角均势矩阵,则称为的对角均势主子阵,称其行列式为的对角均势主子式.
引理2 若齐次线性方程组
的系数矩阵,那么方程组有非零解,即系数矩阵奇异.
定义10 设,,若的各阶顺序主子式全为正数,则称为矩阵.
定义11 对任意,表示的比较矩阵,其中
引理3 设,则是广义严格对角占优矩阵当且仅当是非奇异矩阵.
引理4 设,为广义严格对角占优矩阵,如果中有个正数,个负数,且.则的全部特征值中恰有个为正,个为负.
定义12 表示矩阵的列向量所生成的子空间.
2、对角占优矩阵的性质
性质1 若为广义严格对角占优矩阵,则必存在对角占优行.
证明 (反证法)假设中不存在对角占优行,则,,对任何,,设,则.根据定义2知不存在正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.因此这与为广义严格对角占优矩阵相矛盾,所以必存在对角占优行.
性质2 若为广义严格对角占优矩阵,则只有零解.
证明 因为为广义严格对角占优矩阵,根据定义2知存在正对角矩阵使成立.设为的一非零解,其中至少有一个,
令 ,,
则至少有一
所以
设||,由知,即,
所以
这与为严格对角占优矩阵矛盾,所以只有零解.
性质3 设且为对角占优矩阵,如果有如下的分块形式:
,为阶方阵
则,.
证明 下证.
记,,为列向量.只需证 可由 线性表示即可.
如果中的,则.
如果,则在中第一个元素为.
如果 则中的第一、二两个元素为零.否则在和中的第一、二两个元素为零.
一直进行下去可将列全部变为零.
这就意味着存在数,使得即可由线性表示.
性质4 设=,,则对于矩阵其中,
若为对角占优
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矩阵对角化条件
定义一:若存在可逆矩阵 S S ,使得为对角矩阵,则称为矩阵 A A 是可对角化的(diagonalized)。
- 设矩阵有 n n 个线性无关的特征向量,令 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ,则:
AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟ A S = A ( x 1 , . . . , x n ) = ( λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( λ 1 . . . λ n )AS=SΛ⇒S−1AS=Λ A S = S Λ ⇒ S − 1 A S = Λ定义二: n×n n × n 矩阵 A A 可对角化的充要条件是有 n n 个线性无关的特征向量。
那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢?
定义三:是矩阵 A A 的互异特征值,是相应的特征向量,则 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性无关。
- 可利用vandermonde行列式证明
- 可用反证法证明
- 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。
定义四:若 n×n n × n 矩阵有 n n 个互异的特征值,则矩阵可以对角化。
- 但若矩阵有相同的特征值,也可能可以对角化。
相似矩阵性质
- 若阶矩阵 A A 与相似,则 A与B A 与 B 特征多项式相同。
- 相似矩阵特征值相同。
- 相似矩阵行列式相同。
- 具有相同的可逆性。
几何重数与代数重数
定义:设 det(A−λI)=(λ1−λ)n1...(λk−λ)nk d e t ( A − λ I ) = ( λ 1 − λ ) n 1 . . . ( λ k − λ ) n k ,称 ni n i 为特征值 λi λ i 的代数重数(algebraic multiplicity),记做 AM(λi)=ni A M ( λ i ) = n i ,称 dimN(A−λiI) d i m N ( A − λ i I ) 为特征值 λi λ i 的几何重数(geometric multiplicity),记做 GM(λi)=dimN(A−λ+iI) G M ( λ i ) = d i m N ( A − λ + i I ) 。
从直观上看,代数重数就是对应的特征值的次数,几何重数是特征向量的维数,探究的就是特征值和特征向量之间的关系。
任意复方阵相似于上三角阵,且对角元为上三角矩阵的特征值。
GM(λ)≤AM(λ) G M ( λ ) ≤ A M ( λ )
由定理2, A A 相似于上三角矩阵,则 A A 和有相同的特征值,且对于任意特征值 λi λ i , GMA(λi)=GMT(λi) G M A ( λ i ) = G M T ( λ i ) 。
因此,不妨设 A A 是上三角阵,即。
因此 A−λiI A − λ i I 为对角线上对应的特征值为0,但这一行不一定为0(最多矩阵的特征值少1),因此新的矩阵 r(A−λiI)≥n−AM(λi) r ( A − λ i I ) ≥ n − A M ( λ i )
所以 GM(λi)=n−r(A−λiI)≤AM(λi) G M ( λ i ) = n − r ( A − λ i I ) ≤ A M ( λ i ) 。
若复方阵 A A 可对角化对任意特征值 λi λ i , GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) 。
因为若 GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) ,则矩阵有 n n 个线性无关的特征向量。
矩阵对角化判断
- 求出矩阵的所有特征值。
- 对于每个特征值,计算特征向量,并检查是否成立。
- 若都成立,则计算特征向量(基础解系)。
- 最后将特征向量与特征值对应起来,就可以写出 P−1AP=Λ P − 1 A P = Λ 。
注意:使矩阵对角化的特征向量不是唯一的(可以乘上常数倍)。
矩阵对角化的应用
可快速计算 Ak A k 。
可计算Markov过程中的平稳分布 π π 。
可得到方程: πP=ππ1=1 π P = π π 1 = 1 。
计算Fibonacci数列。
差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为
设 A A 可对角化,即存在可逆矩阵,使得 S−1AS=Λ S − 1 A S = Λ
设 S−1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n 。
uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n可以看出, uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配,因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。
当所有特征值时,是稳定的;
当所有特征值 |λi|≤1 | λ i | ≤ 1 时,是中性稳定的;
当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时,是不稳定的;
同时对角化
- 定理:若 A、B A 、 B 有相同的特征向量矩阵 P P ,使得,则 AB=BA A B = B A 。
- 逆命题也成立:若 A、B A 、 B 都可对角化,并且 AB=BA A B = B A ,则 A、B A 、 B 可同时对角化。
欢迎关注我的个人博客。
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