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  • 关于matlab中的diag函数(矩阵对角元素的提取和创建对角阵)
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    2021-05-07 04:30:13

    关于matlab中的diag函数(矩阵对角元素的提取和创建对角阵)

    diag函数功能:矩阵对角元素的提取和创建对角阵

    设以下X为方阵,v为向量

    1、X = diag(v,k)

    当v是一个含有n个元素的向量时,返回一个n+abs(k)阶方阵X,向量v在矩阵X中的第k个对角线上,k=0表示主对角线,k>0表示在主对角线上方,k<0表示在主对角线下方。

    例1:

    v=[1 2 3];

    diag(v, 3)

    ans =

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 2 0

    0 0 0 0 0 3

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0

    注:从主对角矩阵上方的第三个位置开始按对角线方向产生数据的

    例2:

    v=[1 2 3];

    diag(v, -1)

    ans =

    0 0 0 0

    1 0 0 0

    0 2 0 0

    0 0 3 0

    注:从主对角矩阵下方的第一个位置开始按对角线方向产生数据的

    2、X = diag(v)

    向量v在方阵X的主对角线上,类似于diag(v,k),k=0的情况。

    例3:

    v=[1 2 3];

    diag(v)

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    通过java语言编程实现输出二维数组主对角线上的最大值

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    输出二维数组主对角线上元素中, if(i == j) prin很简单,就是在主对角线的下标都相等的时候,肯定就是主对角线上的元素了,判断对了,就输出来了啊,。

    c语言中如何输出二维数组a[5][5]的对角线元素

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  • 对角占优矩阵的性质.doc

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    对角占优矩阵的性质

    唐山师范学院本科毕业论文

    题 目 对角占优矩阵的性质

    学 生

    指导教师

    年 级 2010级数本2班

    专 业 数学与应用数学

    系 别 数学与信息科学系

    唐山师范学院数学与信息科学系

    2014年5月

    郑重声明

    本人的毕业论文(设计)是在指导教师王朝霞的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明。

    毕业论文(设计)作者(签名):

    年 月 日

    目 录

    标题1

    中文摘要1

    1 预备知识1

    2 对角占优矩阵的性质3

    3 对角占优矩阵奇异性判定定理5

    4 (广义)对角占优矩阵的判别条件8

    5 结束语13

    参考文献14

    致谢15

    外文页16

    对角占优矩阵的性质

    刘萌

    摘 要 对角占优矩阵具有广泛的应用,本文以高等代数中的矩阵知识为基础,研究特殊的矩阵——对角占优矩阵,将给出对角占优矩阵的定义、研究对角占优矩阵的性质以及判别条件,并进而推广到广义对角占优矩阵,从而得出一些重要结论.

    关键词 对角占优矩阵 广义对角占优矩阵 不可约矩阵 非奇异矩阵 对角均势主子阵

    在《高等代数》教材中,已经对对角占优矩阵的定义有所了解,但是教材并没有进行进一步研究.对角占优矩阵有非常广泛的实际背景,在信息论、系统论、程序设计、数学物理和控制论等领域中有很多重要的应用.但是一些比较实用的判别条件并不多,这就给具体应用带来诸多不便.这就促使笔者研究对角占优矩阵的性质和简捷实用的判别条件.

    1、预备知识

    定义1 设,若对任意都有,则称为对角占优矩阵,记;若对任意都有,则称为严格对角占优矩阵,记.

    定义2 设,若存在正对角矩阵,使得,则称为广义对角占优矩阵(广义严格对角占优矩阵),记.

    定义3 设是一个的矩阵,如果且,则称是一个的置换矩阵,其中是阶单位方阵.

    引理1 当时,一个的矩阵为置换矩阵的充要条件是的每一行恰有一个,每一列至多一个.

    定义4 设,如果存在置换矩阵,使得

    =

    其中和分别是阶的方阵, ,则称为可约矩阵;否则称为不可约矩阵.

    定义5 设满足条件:为对角占优矩阵;为不可约矩阵;严格不等式至少对一行标成立,则称为不可约对角占优矩阵.

    定义6 设不可约,若存在正数,使得

    且上式中至少有一严格不等式成立,则称为不可约广义对角占优矩阵.

    定义7 设,矩阵中满足的行称为对角占优行;而的行称为非对角占优行.

    定义8 设,若对任意,如果成立,则称为行对角均势矩阵;如果成立,则称为行对角占优矩阵.

    同理,可定义列对角均势矩阵.本文中对角均势矩阵一般指的是行对角均势矩阵.

    定义9 设,如果的阶主子阵

    为对角均势矩阵,则称为的对角均势主子阵,称其行列式为的对角均势主子式.

    引理2 若齐次线性方程组

    的系数矩阵,那么方程组有非零解,即系数矩阵奇异.

    定义10 设,,若的各阶顺序主子式全为正数,则称为矩阵.

    定义11 对任意,表示的比较矩阵,其中

    引理3 设,则是广义严格对角占优矩阵当且仅当是非奇异矩阵.

    引理4 设,为广义严格对角占优矩阵,如果中有个正数,个负数,且.则的全部特征值中恰有个为正,个为负.

    定义12 表示矩阵的列向量所生成的子空间.

    2、对角占优矩阵的性质

    性质1 若为广义严格对角占优矩阵,则必存在对角占优行.

    证明 (反证法)假设中不存在对角占优行,则,,对任何,,设,则.根据定义2知不存在正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.因此这与为广义严格对角占优矩阵相矛盾,所以必存在对角占优行.

    性质2 若为广义严格对角占优矩阵,则只有零解.

    证明 因为为广义严格对角占优矩阵,根据定义2知存在正对角矩阵使成立.设为的一非零解,其中至少有一个,

    令 ,,

    则至少有一

    所以

    设||,由知,即,

    所以

    这与为严格对角占优矩阵矛盾,所以只有零解.

    性质3 设且为对角占优矩阵,如果有如下的分块形式:

    ,为阶方阵

    则,.

    证明 下证.

    记,,为列向量.只需证 可由 线性表示即可.

    如果中的,则.

    如果,则在中第一个元素为.

    如果 则中的第一、二两个元素为零.否则在和中的第一、二两个元素为零.

    一直进行下去可将列全部变为零.

    这就意味着存在数,使得即可由线性表示.

    性质4 设=,,则对于矩阵其中,

    若为对角占优

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    本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。

    矩阵对角化条件

    • 定义一:若存在可逆矩阵 S S ,使得S1AS为对角矩阵,则称为矩阵 A A 是可对角化的(diagonalized)。

      • n×n矩阵有 n n 个线性无关的特征向量x1,...,xn,令 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ,则:

      AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)λ1...λn A S = A ( x 1 , . . . , x n ) = ( λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( λ 1 . . . λ n )

      AS=SΛS1AS=Λ A S = S Λ ⇒ S − 1 A S = Λ

      • 定义二: n×n n × n 矩阵 A A 可对角化的充要条件是A n n 个线性无关的特征向量。

        那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢?

      • 定义三:λ1,..,λn是矩阵 A A 的互异特征值,x1,...,xn是相应的特征向量,则 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性无关。

        • 可利用vandermonde行列式证明
        • 可用反证法证明
        • 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。
      • 定义四: n×n n × n 矩阵有 n n 个互异的特征值,则矩阵可以对角化。

        • 但若矩阵有相同的特征值,也可能可以对角化。

      相似矩阵性质

      1. n阶矩阵 A A B相似,则 AB A 与 B 特征多项式相同。

      2. 相似矩阵特征值相同。
      3. 相似矩阵行列式相同。
      4. 具有相同的可逆性。
      5. 几何重数与代数重数

        1. 定义: det(AλI)=(λ1λ)n1...(λkλ)nk d e t ( A − λ I ) = ( λ 1 − λ ) n 1 . . . ( λ k − λ ) n k ,称 ni n i 为特征值 λi λ i 的代数重数(algebraic multiplicity),记做 AM(λi)=ni A M ( λ i ) = n i ,称 dimN(AλiI) d i m N ( A − λ i I ) 为特征值 λi λ i 的几何重数(geometric multiplicity),记做 GM(λi)=dimN(Aλ+iI) G M ( λ i ) = d i m N ( A − λ + i I )

          从直观上看,代数重数就是对应的特征值的次数,几何重数是特征向量的维数,探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

        2. 任意复方阵相似于上三角阵,且对角元为上三角矩阵的特征值。

        3. GM(λ)AM(λ) G M ( λ ) ≤ A M ( λ )

          由定理2, A A 相似于上三角矩阵T,则 A A T有相同的特征值,且对于任意特征值 λi λ i GMA(λi)=GMT(λi) G M A ( λ i ) = G M T ( λ i )

          因此,不妨设 A A 是上三角阵,即A=(a11...ann)

          因此 AλiI A − λ i I 为对角线上对应的特征值为0,但这一行不一定为0(最多矩阵的特征值少1),因此新的矩阵 r(AλiI)nAM(λi) r ( A − λ i I ) ≥ n − A M ( λ i )

          所以 GM(λi)=nr(AλiI)AM(λi) G M ( λ i ) = n − r ( A − λ i I ) ≤ A M ( λ i )

        4. 若复方阵 A A 可对角化对任意特征值 λi λ i GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i )

          因为若 GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) ,则矩阵有 n n 个线性无关的特征向量。

        矩阵对角化判断

        1. 求出矩阵的所有特征值。
        2. 对于每个特征值,计算特征向量,并检查r(AλiI)=nAM(λi)是否成立。

        3. 若都成立,则计算特征向量(基础解系)。
        4. 最后将特征向量与特征值对应起来,就可以写出 P1AP=Λ P − 1 A P = Λ

        注意:使矩阵对角化的特征向量不是唯一的(可以乘上常数倍)。

        矩阵对角化的应用

        1. 可快速计算 Ak A k

        2. 可计算Markov过程中的平稳分布 π π

          可得到方程: πP=ππ1=1 π P = π π 1 = 1

        3. 计算Fibonacci数列。

        4. 差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为

          A A 可对角化,即存在可逆矩阵S=(x1,...,xn),使得 S1AS=Λ S − 1 A S = Λ

          S1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n

          uk=Aku0=SΛkS1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n

          可以看出, uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配,因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。

          当所有特征值|λi|<1时,是稳定的;

          当所有特征值 |λi|1 | λ i | ≤ 1 时,是中性稳定的;

          当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时,是不稳定的;

        同时对角化

        1. 定理: AB A 、 B 有相同的特征向量矩阵 P P ,使得P1AP=Λ1,P1BP=Λ2,则 AB=BA A B = B A
        2. 逆命题也成立:若 AB A 、 B 都可对角化,并且 AB=BA A B = B A ,则 AB A 、 B 可同时对角化。

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空空如也

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对角的定义