-
2021-05-07 04:30:13
关于matlab中的diag函数(矩阵对角元素的提取和创建对角阵)
diag函数功能：矩阵对角元素的提取和创建对角阵
设以下X为方阵，v为向量
1、X = diag(v,k)
当v是一个含有n个元素的向量时，返回一个n+abs(k)阶方阵X，向量v在矩阵X中的第k个对角线上，k=0表示主对角线，k>0表示在主对角线上方，k<0表示在主对角线下方。
例1：
v=[1 2 3];
diag(v, 3)
ans =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
注：从主对角矩阵上方的第三个位置开始按对角线方向产生数据的
例2：
v=[1 2 3];
diag(v, -1)
ans =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
注：从主对角矩阵下方的第一个位置开始按对角线方向产生数据的
2、X = diag(v)
向量v在方阵X的主对角线上，类似于diag(v,k),k=0的情况。
例3：
v=[1 2 3];
diag(v)
更多相关内容 -
输出二维数组对角线上的数 c语言 二维数组 对角线相加
2021-05-20 01:00:541．编写程序，把下面的数据输入到一个二维数组中： 25 36 78 13 12 26 8我自己编的，用VISUAL C++6.0 ...i输入4行4列的二维数组,CSS布局HTML小编今天和大家分享计算主对角线各元素之和,2 3 5 8 1 0 1 2 4 5 7 6 1 ...展开全文1．编写程序，把下面的数据输入到一个二维数组中： 25 36 78 13 12 26 8我自己编的，用VISUAL C++6.0 测试过了 #include"stdio.h" void Print(int a[4][4]) { int i,j; for(i=0;i
输入4行4列的二维数组,CSS布局HTML小编今天和大家分享计算主对角线各元素之和,2 3 5 8 1 0 1 2 4 5 7 6 1 0 2 3 i=0 to 3 j=0 to 3 if(i==j) sum=su#include int main(void) { int a[4][4]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}; int i,j,sum1,sum2;//定义sum1,sum2,分别存放两条对线元素的和； sum1=sum2=0; for(i=0;i
C语言编程题：定义一个5╳5的矩阵，CSS布局HTML小编今天和大家分享对角线上的元要CSS布局HTML小编今天和大家分享：1)5╳5的矩阵是一个整型二维数组。 2)对角线上交叉的元素只加一次。
#include #include #include void main() { int a[4][4],i,j,s1=0,s2=0,sum=0; srand(time(NULL));//生成随机种子 for(i=0;i
CSS布局HTML小编今天和大家分享一个5行5列的整型二维数组对角线元素之和(数组#include int main() { int i,j,sum=0; int arr[5][5]; printf("请输入数组元素的值:\n"); for(i=0;i
CSS布局HTML小编今天和大家分享二维数组对角线之和的C++程序。
用C++编一个程序，要CSS布局HTML小编今天和大家分享输入一个4*4矩阵对角线之和，并CSS布局HTML小编今天和大家分享其最大最小值，简述思路吧 定义一个存放最大值的变量max 定义一个存放最小值的变量Min 定义一个存放对角线之和变量sum 遍历二维数组所有元素 for(i=0;i
c语言 二维数组 对角线相加
通过java语言编程实现输出二维数组主对角线上的最大值
import java.util.Scanner;public class max { public static void main(String[] args) { Scanner stdIn = new Scanner(System.in); int rows, cols; // 行数与列数 System.out.print("Enter number of rows" + " for the matrix: "); rows = s
输出二维数组主对角线上元素中， if(i == j) prin很简单，就是在主对角线的下标都相等的时候，肯定就是主对角线上的元素了，判断对了，就输出来了啊，。
c语言中如何输出二维数组a[5][5]的对角线元素
/* * Date: 2015/12/18 */#include #include int main(int argc, char *argv[]){ int a[5][5] = { {1, 2, 3, 4, 5}, {6, 7, 8, 9, 10}, {11,12,13,14,15}, {16,17,18,19,20}, {21,22,23,24,25} }; int i; for ( i = 0; i < 5; i++ ) { printf("%
-
对角占优矩阵的性质.doc
2020-12-22 04:52:10对角占优矩阵的性质唐山师范学院本科毕业论文题 目 对角占优矩阵的性质学 生指导教师年 级 2010级数本2班专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文...展开全文对角占优矩阵的性质
唐山师范学院本科毕业论文
题 目 对角占优矩阵的性质
学 生
指导教师
年 级 2010级数本2班
专 业 数学与应用数学
系 别 数学与信息科学系
唐山师范学院数学与信息科学系
2014年5月
郑重声明
本人的毕业论文(设计)是在指导教师王朝霞的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明。
毕业论文(设计)作者(签名)：
年 月 日
目 录
标题1
中文摘要1
1 预备知识1
2 对角占优矩阵的性质3
3 对角占优矩阵奇异性判定定理5
4 (广义)对角占优矩阵的判别条件8
5 结束语13
参考文献14
致谢15
外文页16
对角占优矩阵的性质
刘萌
摘 要 对角占优矩阵具有广泛的应用，本文以高等代数中的矩阵知识为基础，研究特殊的矩阵——对角占优矩阵，将给出对角占优矩阵的定义、研究对角占优矩阵的性质以及判别条件，并进而推广到广义对角占优矩阵，从而得出一些重要结论.
关键词 对角占优矩阵 广义对角占优矩阵 不可约矩阵 非奇异矩阵 对角均势主子阵
在《高等代数》教材中，已经对对角占优矩阵的定义有所了解，但是教材并没有进行进一步研究.对角占优矩阵有非常广泛的实际背景，在信息论、系统论、程序设计、数学物理和控制论等领域中有很多重要的应用.但是一些比较实用的判别条件并不多，这就给具体应用带来诸多不便.这就促使笔者研究对角占优矩阵的性质和简捷实用的判别条件.
1、预备知识
定义1 设，若对任意都有，则称为对角占优矩阵，记；若对任意都有，则称为严格对角占优矩阵，记.
定义2 设，若存在正对角矩阵，使得，则称为广义对角占优矩阵(广义严格对角占优矩阵)，记.
定义3 设是一个的矩阵，如果且，则称是一个的置换矩阵，其中是阶单位方阵.
引理1 当时，一个的矩阵为置换矩阵的充要条件是的每一行恰有一个，每一列至多一个.
定义4 设，如果存在置换矩阵，使得
=
其中和分别是阶的方阵， ，则称为可约矩阵；否则称为不可约矩阵.
定义5 设满足条件：为对角占优矩阵；为不可约矩阵；严格不等式至少对一行标成立,则称为不可约对角占优矩阵.
定义6 设不可约，若存在正数，使得
，
且上式中至少有一严格不等式成立，则称为不可约广义对角占优矩阵.
定义7 设，矩阵中满足的行称为对角占优行；而的行称为非对角占优行.
定义8 设，若对任意，如果成立，则称为行对角均势矩阵；如果成立，则称为行对角占优矩阵.
同理，可定义列对角均势矩阵.本文中对角均势矩阵一般指的是行对角均势矩阵.
定义9 设，如果的阶主子阵
为对角均势矩阵，则称为的对角均势主子阵，称其行列式为的对角均势主子式.
引理2 若齐次线性方程组
的系数矩阵，那么方程组有非零解，即系数矩阵奇异.
定义10 设，，若的各阶顺序主子式全为正数，则称为矩阵.
定义11 对任意，表示的比较矩阵，其中
引理3 设，则是广义严格对角占优矩阵当且仅当是非奇异矩阵.
引理4 设，为广义严格对角占优矩阵，如果中有个正数，个负数，且.则的全部特征值中恰有个为正，个为负.
定义12 表示矩阵的列向量所生成的子空间.
2、对角占优矩阵的性质
性质1 若为广义严格对角占优矩阵，则必存在对角占优行.
证明 (反证法)假设中不存在对角占优行，则，，对任何，，设，则.根据定义2知不存在正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.因此这与为广义严格对角占优矩阵相矛盾，所以必存在对角占优行.
性质2 若为广义严格对角占优矩阵，则只有零解.
证明 因为为广义严格对角占优矩阵，根据定义2知存在正对角矩阵使成立.设为的一非零解，其中至少有一个，
令 ，，
则至少有一
所以
设||，由知，即，
所以
这与为严格对角占优矩阵矛盾，所以只有零解.
性质3 设且为对角占优矩阵，如果有如下的分块形式:
，为阶方阵
则,.
证明 下证.
记，，为列向量.只需证 可由 线性表示即可.
如果中的，则.
如果，则在中第一个元素为.
如果 则中的第一、二两个元素为零.否则在和中的第一、二两个元素为零.
一直进行下去可将列全部变为零.
这就意味着存在数，使得即可由线性表示.
性质4 设=，，则对于矩阵其中，
若为对角占优
-
线性代数笔记8：矩阵的对角化
2018-04-02 21:33:36定义一：若存在可逆矩阵SSS，使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵，则称为矩阵AAA是可对角化的（diagonalized）。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性无关的特征向量x1,...,xnx1,...,xnx_1,...,x_n，令S=(x1,...,...展开全文本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。
矩阵对角化条件
定义一：若存在可逆矩阵 S S ，使得为对角矩阵，则称为矩阵 A A 是可对角化的（diagonalized）。
- 设矩阵有 n n 个线性无关的特征向量，令 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ，则：
AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟ A S = A ( x 1 , . . . , x n ) = ( λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( λ 1 . . . λ n )AS=SΛ⇒S−1AS=Λ A S = S Λ ⇒ S − 1 A S = Λ定义二： n×n n × n 矩阵 A A 可对角化的充要条件是有 n n 个线性无关的特征向量。
那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢？
定义三：是矩阵 A A 的互异特征值，是相应的特征向量，则 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性无关。
- 可利用vandermonde行列式证明
- 可用反证法证明
- 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。
定义四：若 n×n n × n 矩阵有 n n 个互异的特征值，则矩阵可以对角化。
- 但若矩阵有相同的特征值，也可能可以对角化。
相似矩阵性质
- 若阶矩阵 A A 与相似，则 A与B A 与 B 特征多项式相同。
- 相似矩阵特征值相同。
- 相似矩阵行列式相同。
- 具有相同的可逆性。
几何重数与代数重数
定义：设 det(A−λI)=(λ1−λ)n1...(λk−λ)nk d e t ( A − λ I ) = ( λ 1 − λ ) n 1 . . . ( λ k − λ ) n k ，称 ni n i 为特征值 λi λ i 的代数重数（algebraic multiplicity），记做 AM(λi)=ni A M ( λ i ) = n i ，称 dimN(A−λiI) d i m N ( A − λ i I ) 为特征值 λi λ i 的几何重数（geometric multiplicity），记做 GM(λi)=dimN(A−λ+iI) G M ( λ i ) = d i m N ( A − λ + i I ) 。
从直观上看，代数重数就是对应的特征值的次数，几何重数是特征向量的维数，探究的就是特征值和特征向量之间的关系。
任意复方阵相似于上三角阵，且对角元为上三角矩阵的特征值。
GM(λ)≤AM(λ) G M ( λ ) ≤ A M ( λ )
由定理2， A A 相似于上三角矩阵，则 A A 和有相同的特征值，且对于任意特征值 λi λ i ， GMA(λi)=GMT(λi) G M A ( λ i ) = G M T ( λ i ) 。
因此，不妨设 A A 是上三角阵，即。
因此 A−λiI A − λ i I 为对角线上对应的特征值为0，但这一行不一定为0（最多矩阵的特征值少1），因此新的矩阵 r(A−λiI)≥n−AM(λi) r ( A − λ i I ) ≥ n − A M ( λ i )
所以 GM(λi)=n−r(A−λiI)≤AM(λi) G M ( λ i ) = n − r ( A − λ i I ) ≤ A M ( λ i ) 。
若复方阵 A A 可对角化对任意特征值 λi λ i ， GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) 。
因为若 GM(λi)=AM(λi) G M ( λ i ) = A M ( λ i ) ，则矩阵有 n n 个线性无关的特征向量。
矩阵对角化判断
- 求出矩阵的所有特征值。
- 对于每个特征值，计算特征向量，并检查是否成立。
- 若都成立，则计算特征向量（基础解系）。
- 最后将特征向量与特征值对应起来，就可以写出 P−1AP=Λ P − 1 A P = Λ 。
注意：使矩阵对角化的特征向量不是唯一的（可以乘上常数倍）。
矩阵对角化的应用
可快速计算 Ak A k 。
可计算Markov过程中的平稳分布 π π 。
可得到方程： πP=ππ1=1 π P = π π 1 = 1 。
计算Fibonacci数列。
差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为
设 A A 可对角化，即存在可逆矩阵，使得 S−1AS=Λ S − 1 A S = Λ
设 S−1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n 。
uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n可以看出， uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配，因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。
当所有特征值时，是稳定的；
当所有特征值 |λi|≤1 | λ i | ≤ 1 时，是中性稳定的；
当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时，是不稳定的；
同时对角化
- 定理：若 A、B A 、 B 有相同的特征向量矩阵 P P ，使得，则 AB=BA A B = B A 。
- 逆命题也成立：若 A、B A 、 B 都可对角化，并且 AB=BA A B = B A ，则 A、B A 、 B 可同时对角化。
欢迎关注我的个人博客。
-
MATLAB生成（对角线上元素相同的）三对角矩阵的实例
2018-03-16 18:49:12一、生成对角矩阵的基本用法 1、diag(a) 使用diag(a)命令生成对角矩阵，a为某个向量，如下所示： 2、diag(a,i) 使用diag(a,i)命令生成，a为某个向量，i为a向量相对主对角线偏移的列数（向上为正，向下为负）。... -
线性变换的矩阵表示——线性变换对角化和其矩阵对角化的关系
2020-10-06 23:28:43可对角化的线性变换的定义 定理1：线性变换可对角化等价于其在某一组基下的矩阵可对角化 线性变换A‾\underline{A}A可对角化 ⟺ \iff⟺ 存在一组基，使得线性变换A‾\underline{A}A在这组基下的矩阵为... -
矩阵相似对角化与不能对角化的解释
2020-11-01 09:17:50本文从矩阵为什么要对角化讲到为什么不能对角化，解释不能对角化是什么意思可参看视频，主要思想表述如下： 矩阵相似对角化与不能对角化的解释 矩阵相似对角化的进一步理解，几何加本质 对一般矩阵的研究转化... -
输入4行4列的二维数组,求计算主对角线各元素之和,计算副对角线各元素之和。
2020-12-21 00:43:10展开全部#include<stdio.h>int main(void){int a[4][4]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,...//定义sum1,sum2,分别存放两条对线元素的和；sum1=sum2=0;for(i=0;i<4;i++){for(j=0;j<4;j++)printf("%... -
线性代数 矩阵相似对角化的理解
2021-03-24 22:44:23线性代数 矩阵相似对角化的理解 矩阵的相似对角化，是一种基变换，或者说是坐标系变换，本质上是将线性变换在原坐标系（标准坐标系）中的表示变换为在新的坐标系下的表示，而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组... -
线性代数笔记23——矩阵的对角化和方幂
2018-12-29 15:08:57最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积，这个对角矩阵就是特征值矩阵，用Λ表示： 没有人关心线性相关的特征向量，上式有意义的前提是S由n个线性无关的特征向量组成，这意味着S可逆，等式两侧... -
「线性代数」求可逆矩阵P，使得相似矩阵对角化
2020-12-30 20:10:59在讨论今天的主题之前，我们先给出三类矩阵的定义，分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。相似矩阵：在线性代数中，相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵，设A、B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B。... -
matlab求主副对角线元素
2017-12-06 20:06:00A = randi(5,5); % 随机生成每个元素1-5整数范围内的一个5*5的方阵 diag(A); %取主对角线上的元素 diag(A(1:end,end:-1:1)); % 取副对角线上的元素 -
【Java】求二维数组对角线元素之和
2019-06-21 21:20:53求二维数组对角线元素之和 分析: 只要行列相等，即就是对角元素了。 代码实现： import java.util.Scanner; public class 二维数组对角元素 { public static int Sum(int[][] array) { int sum = 0; for ... -
相似矩阵、矩阵的相似对角化
2016-10-19 19:12:47特殊的，如果A∼Λ,Λ是对角矩阵A \sim \Lambda, \Lambda 是对角矩阵, 则称A可以相似对角化。Λ\Lambda是相似标准形。矩阵可相似对角化的充要条件 n阶矩阵A可对角化 ⟺\Longleftrightarrow A有n个线性无关的特征向 -
java计算二维数组对角线和/四条边和
2019-04-02 09:53:06// 计算第一条对角线的和 int sum=0; for(int i=0;i;i++) { sum+=array[i][array.length-1-i]; } System.out.println(sum); System.out.println("---------"); // 计算第二条对角线的和 for(int ... -
【矩阵论笔记】线性变换的对角化
2020-05-24 20:15:39定义 例题 例二 -
求解矩阵两条对角线上的元素之和
2019-02-27 22:31:16//求解矩阵两条对角线上的元素之和 #include #define N 10// using namespace std; void main() { int num; cout<<“请输入对角矩阵的大小”<<endl; cin>>num; int a[N]... -
求二维数组对角线之和
2021-05-05 16:36:49#define N 4 //宏定义二维数组的大小 int main() { int a[N][N]; printf("请输入："); int i,j,sum; for(i=0;i<N;i++){ for(j=0;j<N;j++){ scanf("%d",&a[i][j]); } } for(i=0;i<N;i++){ ... -
python如何生成一个对角线为0的矩阵
2021-03-25 16:47:00python如何生成一个对角线为0的矩阵 1.首先利用numpy库先生成一个n * n的随机方阵 np.random.randint(low,high,size,dtype) #（最小，最大，矩阵的大小n*m） 2.然后将对角线的元素全都设置为0即可，这里提供两种... -
Julia 构建对角矩阵 diag matrix
2019-08-27 07:40:11注意，julia中没有diag函数，如果想要定义4*4的对角矩阵，可以使用下面方法： 1. 使用Matrix函数 using LinearAlgebra Matrix{Float64}(I,4,4) 注意，Matrix{Float64}(I,4,4)中是字母I，而不是数字1 ... -
C#习题——数组之对角线之和
2020-11-23 22:27:322.2 编写一个控制台应用程序，定义一个行数和列数相等的二维数组，并对数组进行初始化，然后计算数组两条对角线上的元素值之和并输出。 class Program { static void Main(string[] args) { int i, j;int sum = ... -
10 ，对称矩阵，对角矩阵，相似矩阵，对角化 ：
2020-06-09 11:32:361 ，对称矩阵 ： 定于 ： 1 ，如果 ：矩阵 A = A 的转置 2 ，那么 ：A 为对称矩阵 如图 ： 2 ，对角矩阵 ： 定义 ： 1 ，主对角线的元素不为 0 ...定义 ： ...定义 ： ...5 ，对角化 ： ...2 ，则称这个过程是对角化 -
Python编程之求矩阵主对角线元素和
2019-03-30 08:44:35问题描述：求一个3*3矩阵主对角线元素之和。 程序分析：利用双重for循环控制输入二维数组，再将a[i][i]累加后输出。 源代码： #!/usr/bin/python # -*- coding: UTF-8 -*- if __name__ == '__main__': a = ... -
1.求数组主对角线上元素的和。2.求出辅对角线上元素的积。3.找出主对角线上最大的值及其位置
2019-05-12 17:47:28C语言 输入一个5行5列的数组。1.求数组主对角线上元素的和。2.求出辅对角线上元素的积。...就是和主对角线相对应的对角线，从矩阵的右上角到左下角，也叫次对角线 代码： #include <stdio.h&... -
从键盘输入一个4*4矩阵,并求这个4*4矩阵主对角线元素之和,并输出.球C语言程式设计
2021-05-19 12:26:38从键盘输入一个4*4矩阵,并求这个4*4矩阵主对角线元素之和,并输出.球C语言程式设计以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容，让我们赶快一起来看一下吧！从键盘输入一个4*4... -
求矩阵两条对角线元素之和
2019-05-25 13:53:00#include <stdio.h> #include <stdlib.h> ...//定义一个二维数组，三行三列，a[0][0],a[0][1],a[0][2],a[1][0],a[1][1],a[1][2],a[3][0],a[3][1],a[3][2] int i,j,sum=0; printf(... -
C++(数据结构与算法):16---特殊矩阵的实现(对角矩阵、三对角矩阵、下三角矩阵、上三角矩阵、对称矩阵)
2019-11-26 22:54:44对角矩阵：M是一个对角矩阵，当且仅当i!=l时，M(i,j)=0 三对角矩阵：M是一个三对角矩阵，当且仅当|i-j|>1时，M(i,j)=0 下三角矩阵：M是一个下三角矩阵，当且仅当i<j时，M(i,j)=0 上三角矩阵：M是一个上... -
求矩阵主对角线元素的和
2019-10-07 20:15:00编写一个方法，求 nxn 的 double 类型矩阵中主对角线上所有数宇 的和，使用下面的方法头： public static double sumMajorDiagonal (double[][] m) 编写一个测试程序，读取一个矩阵，然后显示它的主对角线上的所有... -
C语言：求矩阵对角线元素的和
2020-03-31 09:28:43/*求矩阵对角线元素的和,以3阶矩阵为为例*/ #include <stdio.h> int main(){ int a[3][3]={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}; int i,j,sum=0; for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<3;j++) if(i==j||i+j==3-1) /... -
C语言用数组求方阵对角线的和
2020-10-29 13:09:26输入一个M行M列的二维数组，分别计算两条对角线元素的和。 并分别输出两条对角线的和和对角线的和。 #include <stdio.h> #define M 3 //M的值可以修改 int main(int argc, char **argv) { int f[M][M],sum...
