我们的自由思想的数学将从三角形的面积公式开始谈起，将陆续为读者推导出近百个三角形的面积公式，本文先从最常用最基本的公式讲起。

在开始之前，先约定一下与三角形相关的一些量的符号记法，在以后的文章中，在没有特殊说明的情况下，这些记号都是表达相同的意思。

如上图所示，三角形ABC，记a，b，c为三边的长，A，B，C为三个对应的三个内角的大小，R表示外接圆半径，r表示内切圆半径，p表示周长的一半，即

，

表示其面积，

，

，

表示对应边上的高，

，

，

表示对应边上的中线长，

，

，

表示对应角的角平分线长。

如上面的三角形高线图所示，首先，我们能够想到的三角形面积公式是底乘高的一半，即

我们记为公式一。

公式一在小学的课本上就知道了，它是这么得来的。面积的概念既是数学上的，也是物理上的，其定义大致就是物体所占的平面图形的大小。并定义边长为1的正方形的面积为一个单位面积，以此来衡量其它平面图形的面积大小。因此，很自然地就能知道正方形的面积就是边长的平方，长方形的面积是长乘以宽，平行四边形的面积可以通过割补形成等价的长方形，于是面积就是底乘以高，而两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，于是其面积自然就是底乘以高的一半。

利用三角函数可以将高用边和角的三角函数求出，很明显，

，这样就会有

我们记为公式二。

在探讨下一个三角形的面积公式之前，我们顺便证明一下正弦定理。

如上图所示，AD为直径，所以∠ACD=90°，由同弧所对圆周角相等，所以∠B = ∠D，从而有，

，同理有

，于是就有

，这便是正弦定理。

实际上，正弦定理压根底不需要额外的工具来证明，在高中课本里，为了表达向量的作用，使用了向量来证明，其实要得到正弦定理，由公式二便可以直接得到了，因为在推导公式二时，我们已经得到了

，所以

，所以

，同理有：

，我们之所以给出上面的证明，目的在于引出其中的几何意义以及三角形外接圆半径R。

三角形的外接圆是由它三条边上的垂直平分线交于一点得来的，并且在初中我们就已经证明了，任何一个三角形都有唯一一个外接圆，这样，外接圆就成了与三角形绑定的一种特性，是三角形几何中必不可少的重要组成元素，直接由它就联系了三角形与圆这两种几何图形。外接圆，以及后面将要说到的内切圆，给我们的启示是：一个事物原本的属性可能会联系着另一个事物的属性，更可能惊奇地发现它们之间存在一种类似于函数的对应关系。如果把三角形看做是自变量，外接圆或者是内切圆看成是因变量，这种对应关系和函数关系一样。我们传统中的函数定义，自变量是数，因变量也是数，那么这种几何图形与几何图形的对应关系，或许可以有一个专业的名词，叫做“泛函”，确切的来说，应该只能用“映射”一词，以免和数学中专业的泛函概念产生误解。学过编程的读者或许知道，在C#、Java中就有泛型这一概念，而“泛”这个字的含义就是广泛、泛化的意思，于是泛型就是可以代表许多类型的意思，而不只是一种类型的变量，那么泛函也就是这个意思，泛函的自变量和因变量理论上可以是任何对象，可以是数，也可以是几何图形，更有可能是函数本身。关于泛函的问题，尤其是几何图形与几何图形之间的对应关系的问题，日后，我们还会在别的文章里详细说明，本文就不再多说了。

将正弦定理

带入公式二中，消去

，则有：

记为公式三。

将正弦定理带入到公式二中，消去a，b，于是有：

记

为公式四。

如上面的三角形ABC内切圆图所示，对三角形ABC进行分割，其面积可以分成三个小三角形面积之和，即：

记

为公式五。

在内切圆图中，有

，

，

，带入公式五中，则有：

记为公式六。

内切圆是由三角形的三条角平分线的交点所得来的，它和外接圆一样是一个三角形唯一的一个属性，因此也就成了与边长和角度一样重要的量。利用内切圆的圆心和圆的半径垂直于切线的性质，将三角形分割为三个可求解面积的小三角形，这种分割法求面积是最常用的求解方法之一，基本思想就是将未知的图形面积转化为已知图形的面积，将大图化小图，将大问题分解为小问题，直到我们可以求解为止，这样的思想并不局限于几何求面积，也不局限与数学问题，在生活中，这都是一个很重要的方法。

对公式五带入正弦定理有：

记为公式七。

利用余弦定理我们可以将角转化为边，由

，可以得到

所以

记

为公式八，此式又称为秦九韶公式。

我们对秦九韶公式进行一些变换：

（平方差公式）

当我们遇到三角形三边和与差的问题时，记住这个变形的公式，往往会给解题带来新的思路和便捷。

秦九韶公式还可以经过变换得到一个形式很整齐的公式，叫做海伦公式，形式如下：

即是半周长。我们将此式子记为

为了完整，我们逆向证明一下这个公式。

由于

由余弦定理

，代入上式得：

=

上式结果为公式二，证毕。

将秦九韶公式完全展开整理可得：

。

由于三角形就是三条线段所围成的图形，也是平面几何，乃至立体几何中，都是属于最简单的一种封闭图形，因此它的地位可以说是几何的基石。既然三条线段就可以决定了一个三角形的形状（关于三角形形状的确定，我将会在另外的文章里详细说明），那么它的面积自然就一定可以用三条边长来给出，于是秦九韶公式就很自然地成为研究对象了，但是到具体应用的时候，往往需要变形得到新的公式，虽然秦九韶公式和海伦公式本质上是一样的，但是到了具体求解问题时，它们却会有着不同的用途，因此，我们需要有一种变形变通的能力，对应于生活也一样，同一件事物，或者本质一样的事物，其表现形式不同，也会有不同的用处，或者是不同的解决方案。

由公式一和公式二，

于是

记为公式九。

对比公式三和公式五，可以得出

，带入上式，便有：

记为公式十。

类似于公式十这样的公式，看起来好像没用，因为其中包含了a、b、c、A、B、C全部的量，若要是知道了这么多的量，面积早就由公式二、公式八得出了，哪里还需要这个？其实不然，公式十表达的意思是：当我们知道了三边的乘积，三边的和，以及三个角的正弦值之和，这三个量时，我们就可以直接求解面积了，而不需要知道边长和角度的具体值。

总结：以上公式所涉及的量都是三角形中最为常用的量，即边长和角度，所推导出的三角形面积公式也是常用的公式，其中公式一、公式二、公式五、公式七最为常用，而公式四和公式六将会在日后的文章里表现出特别的意义。

有部分答案(初中学生，学习中的数学问题，我们可以在评论区留言，有时间我会回复的。

两个目的：

一是希望对开始数学不理想，现在想学的好数学的学生提供一个帮助

一是发发文章

此讲义适合有一些基础的学生(初中鲁教版七上)，指的是对定义类题型做着还可以但对不行理解不好的的学生准备的。(望大家看清楚后再做决定)

需要什么样的讲义可以将学生的特点发给我，我可以针对性的做一个出来内容暂定初中数学。

一、知识梳理：

角平分线的特点(分两角相等)，只是给三角形全等增加了一个条件，用多了就有了很多的特殊情况总结一下就成了性质

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

对于角平分线在等腰三角形中的应用其实和角平分线的应用是一样的道理。

二．考点分类

考点一：角平分线的上边的关系可以自己总结下，都是捎带手的事(做下边习题的时候)

点到直线距离演变：(注：将直线看成由无数个点经过特定排列组成的集合体，那么对于特定点与这个集合上所有的连线)

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为(　　)

A．1.5 B．2 C．3 D．4

(理解方法，从点到距离所有可能的中的规律出发，增加规律性探索，并延伸知识)

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为(　　)

A．3cm B．2cm C．1cm D．4.5cm

(两种做法一种为角平分线的性质，一种为构建三角形全等，建议用的二种方法。一切的思考和知识点都是从实践中总结出来的)

3．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7

(面积公式，要写出面积算法公式熟练之后就可以不用写了，但是对；面积题感到困难的几乎都是面积公式运用有问题，任何问题都要从最基本公式除法。此题为将三角形面积分成两部分计算，再利用角平分线性质)

4．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=(　　)

A．28 B．21 C．14 D．7

(易错选项为A面积公式要熟悉，利用已有条件解决问题和生活中的问题解决方法没什么区别)

5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是(　　)

A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm

(对点到直线距离演变的复习，因为这写成对出现的线中只有垂线是单独出现的也是最短的。)

6．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

(思路推荐：符合角平分线定义的线都可以看做角平分线，所有此题∠ADC与角∠ABC公用一个角平分线可利用三角形全等连接)

【由距离相等而演变的性质运用】：

7、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．

(思路推荐：角平分线的性质到这就不需要证明了，可以直接用OD=OE了，证明三角形全等就行了，简单的为△BOD与△COE(AAS)，另一种为△AOC与△AOB)

8．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

(思路推荐：将三角形面积分成两部分计算，记得熟悉面积公式，面积公式不熟，会了这道题也没用，重点不在这道题，在面积公式的理解。利用角平分线性质DE=DF可求DE=3.5建议用分数。有条件复习一下等腰三角形三线合一的性质。)

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

(1)求证：CF=EB；

(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

(思路推荐：利用点到直线的距离演变出发更能看清△CDF与△DEB全等的本质，角平分线的上边的关系可以自己总结下，都是捎带手的事)

10、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． (1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．

(3)CD、AB、AD间？直接写出结果

(思路推荐：对角平分线性质的综合运用，根据辅助线去证明就好了，看完全题再做每一道小题，可以说是大局观也可以说是看看题中是否有借鉴性的东西，此题不明显中考题中比较长见到)

11.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上．

(思路推荐：角平分线性质的逆定理或者角平分线定理的证明。过点P向三边作垂线利用角平分线性质和等量代换去证明)

(思路推荐：角平分线证明是利用直角三角形中的HL证明的)

12..已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

(思路推荐：第一步得到垂线相等利用AAS，第二步角平分线证明是利用直角三角形中的HL证明)

13．如图3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )

①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等

④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

(思路推荐：前边的思路都已提到，自己想)

14．已知：AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，证：∠B＝∠C.

(思路推荐：直角三角形全等HL，角平分线性质)

15．三角形中到三边距离相等的点是(　　)

A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点　

C、三条中线的交点　 D、三条角平分线的交点

(思路推荐：定义，如果能画图证明并总结就更有意思了)

转【化之后的另一种形式：面积】

16．(2015•湖州)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于(　　)

10　　　 B． 7 　　　　　C． 5 　　　　　D． 4

(思路推荐：角平分性质与面积公式)

17. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？

(思路推荐：将三角形面积分为三部分来看，整体去算，利用角平分线性质。此处要熟悉三角形周长公式的变形或者定义)

18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为(　　)

A．6.5 B．5.5 C．8 D．13

(思路推荐：面积的整体加减)

19.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

(思路推荐：第一步利用面积相等得到垂线相等，第二步证明角平分线)

20.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，

求△ABC的面积．

(思路推荐： 将三角形面积分成两部分计算，别忘记了单位)

21. 已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC．

(思路推荐：自己搞一搞就行了此题为对前边的熟练题型送分题)

22．(2014•长春)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为　　　　　　．

(思路推荐：送分题)

23．如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于(　　)

A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5

(思路推荐：送分题)

答案：1.C 2.A 3.D 4.C 5D 10.AD=AB+CD 13.D 15.D 16.C 17.33 18.D

20.15平方厘米 22.15 23.C