特征值的界估计

最小范数解 和 最小二乘解

广义逆

特征值的界估计

复数矩阵

厄米特矩阵:      共轭转置矩阵 和 原矩阵的关系 特征值是实数

反厄米特矩阵:  共轭转置矩阵 和 原矩阵的关系 特征值是虚数

正规矩阵:

与自己的共轭转置矩阵对应的    复系数方块矩阵
正规矩阵 ------> 经过一个酉变换 ----> 对角矩阵，
所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵

什么是酉矩阵; 酉矩阵的特征值都是 模为1 的复数

下图中的* 代表的是矩阵的共轭转置矩阵






圆盘定理
行盖尔圆: 的求法

特征值和盖尔圆的关系

连通部分
谱半径的估计
复数域上的任意n阶方针的谱半径都不超过A的任一范数(1, 无穷, 2)

2范数: 复数矩阵 * 其共轭转置矩阵 的 最大特征值 再开方
若A 是n阶正规矩阵, 那么谱半径等于矩阵A的2范数
广义逆矩阵 与 线性方程组的解

{1}-广义逆 (广义逆矩阵)


A: mn

G: nm

G是A 的广义逆

AX = B(B 是任意给定的 m*1的矩阵) 有解, 那么就称为 X = GB 也一定是方程组的解

判定的充要条件: AGA = A, 则称为G为A的 {1}-广义逆

一般性: 矩阵A为mn, 且 rankA = r, 则 A的{1} - 广义逆可以表示为



这里的Er为r维的单位矩阵 A1 A2 A3为任意矩阵,但是要满足整个矩阵为nm
m = n = r, 当矩阵A 是可逆的时候, A 的广义逆为 A的逆矩阵
A的广义逆存在, 当方程组AX = B有解的时候, 通解可以表示为
AX = B中的最小范数解和最小二乘解

广义逆 的类别


若 G 满足 (1), 则为 {1}-广义逆






广义逆矩阵A+
对于任意一个矩阵A m*n 的. 其广义逆矩阵 A+ 存在且唯一 ==> 其他三类都是存在的
若A是可逆的, 那么A 的广义逆矩阵 = A 的{1}-广义逆 = A的逆矩阵
AX = B的极小最小二乘解 为 X = 广义逆矩阵 * B
summary
m = n = r:

若A是可逆的, 那么A 的广义逆矩阵 = A 的{1}-广义逆 = A的逆矩阵

当矩阵A 是可逆的时候, A 的广义逆为 A的逆矩阵

在图论里常谈到邻接矩阵，表示节点之间的邻接关系。今天看到了一点拉普拉斯矩阵的东西，可理解为其由邻接矩阵发展而来，具体的定义为：如果不是对角线上的元素，则拉普拉斯矩阵是原邻接矩阵对应元素的相反数；如果是对角线元素，则拉普拉斯矩阵对角线上的元素是原邻接矩阵对应行除对角线元素外其余元素之和；下面来个图

将一个矩阵以对角线划分，可分为上三角矩阵和下三角矩阵
一个矩阵中 非三角矩阵 的部分为常数或0，存在数组压缩机构的最后一个索引位置；

在上三角矩阵中：第m行的元素个数为n-m个；

在上三角矩阵中sa[k] 与 a[i][j]的关系为：（a为原矩阵数组，sa为压缩矩阵数组）
k = i*(2n-i+1)/2 + j-1;(当i<=j)
k = n*(n+1)/2(当i>j)

在下三角矩阵中sa[k] 与 a[i][j]的关系为：（a为原矩阵数组，sa为压缩矩阵数组）
k = i*(i+1)/2 +j (当i>j)
k = n*(n+1)/2   (当i<j)

此处所说的张量不是相对论或黎曼几何里的张量，黎曼几何的张量好多论文都叫张量场了。也不是数学界还没研究明白的对矩阵进行扩展的高阶张量，主要是张量分解。这里的结构张量就是一个矩阵，一个对图像像素进行组织的数据结构而已。 

像素组织而成的矩阵如下：



这个公式太常见了，在harris角点检测中就用到了。其中Ix，Iy就是原对原图像在x和y方向求得的偏导。然后求矩阵E的行列式K和迹H。然后根据K和H的关系就能区分图像的区域模式了。 

模式分以下三类： 

平坦区域：H=0; 

边缘区域：H>0 && K=0; 

角点区域：H>0 && K>0; 

harris角点检测就用到了第三类判断。 

当然，在实际应用的时候H和K的值肯定都不会是理想，所以我用的都是近似判断。



    clear all; close all; clc;  

    img=double(imread('lena.jpg'));  
    [m n]=size(img);  
    imshow(img,[])  

    [Ix Iy]=gradient(img);  
    Ix2=Ix.^2;  
    Iy2=Iy.^2;  
    Ixy=Ix.*Iy;  

    k=1;  
    lambda=zeros(m*n,2);  
    for i=1:m  
       for j=1:n   
            st=[Ix2(i,j) Ixy(i,j);Ixy(i,j) Iy2(i,j)];   %结构张量  
            K=det(st);                          %求行列式  
            H=trace(st);                        %求迹  
           %所有的判断都是近似的  
           % if H<50                            %认为是平坦区域  
           % if H>50 && abs(K)<0.01*10^(-9)     %认为是边缘区域  
            if  H>50 && abs(K)>0.01*10^(-9)     %认为是角点区域  
                img(i,j)=255;  
            end  

           lambda(k,:)=[K H];  
           k=k+1;  
       end  
    end  

    figure;  
    plot(lambda(:,1),lambda(:,2),'.');  
    ylabel('trace');xlabel('det');  

    figure;  
    imshow(img,[])