R语言产生各种类型的矩阵及矩阵运算
 
R语言产生一般的矩阵
R语言产生单位阵
R语言产生次对角阵
R语言矩阵的常见运算
 

 
R语言产生一般的矩阵
 
# 依行排列，产生3行5列的矩阵
A = matrix(c(1:15),3,5,byrow=T)
 
 
R语言产生单位阵
 
#产生对角线元素为1的6x6的单位阵
A = diag(6)
#产生对角线元素为5的6x6的单位阵
A = diag(6)*5
#产对角线元素为1：6的6x6的对角阵
B = diag(c(1:6))
 

 
 
R语言产生次对角阵
 
#产生次对角线元素为1的6x6的矩阵阵
A = diag(6)*0
diag(A[-1,-6]) = 1#使第一行和最后一列去掉后的方阵的对角线为1
 
注：思路是为去掉某行某列的矩阵对角线赋值
 
 
R语言矩阵的常见运算
 
A = matrix(c(1:16),4,4,byrow=T);B = A
# 提取对角线元素、提取部分行，列，删除部分行列
diag(A)
A[1,];A[,2]
A[-1,];A[,-2]
# 提取下（上）三角矩阵的元素
A[lower.tri(A)]
A[upper.tri(A)]
# 矩阵四则运算
A+B					#加法
A-B					#减法
3*B					#数乘
A%*%B				#矩阵相乘
solve()			    #求逆函数
 
矩阵的运算还有很多需要我们大家一起探索！！！

假设 $n\times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 线性无关的特征向量$x_1,\dots ,x_n$ ，将这n个特征向量组成特征向量矩阵 $S$. 那么 $S^{-1}AS$ 是特征值矩 $\Lambda$。
 $S^{-1}AS=\Lambda =\left[\begin{array}{lll}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]$
 
证明：
 $AS=A\left[\begin{array}{lll}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{\lambda }_1{x}_1& \cdots & {\lambda }_n{x}_n\end{array}\right]$
 
$S\Lambda =\left[\begin{array}{lll}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{\lambda }_1{x}_1& \cdots & {\lambda }_n{x}_n\end{array}\right]$
 
因此 $AS=S\Lambda$,即 $S^{-1}AS=\Lambda$
 
附：矩阵（方阵）能完全对角化的条件是n个线性无关的特征向量。若矩阵有n个完全不同的特征值，则一定可以对角化。

矩阵对角化：$A=S\Lambda S^{-1}$
 
$A^{\mathrm{T}}={\left(S^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}\Lambda S^{\mathrm{T}}$
 
如果 $A=A^{\mathrm{T}}$，
 $S\Lambda S^{-1}={\left(S^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}\Lambda S^{\mathrm{T}}$
 
$\Lambda =S^{-1}{\left(S^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}\Lambda S^{\mathrm{T}}S$
 
$\Lambda =(S^{\mathrm{T}}S{)}^{-1}\Lambda S^{\mathrm{T}}S$
 因此： $I=S^{\mathrm{T}}S$
 
注：任意对阵矩阵一定可以对角化！！！