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  • 对角矩阵是方阵
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    2021-05-07 04:30:13

    关于matlab中的diag函数(矩阵对角元素的提取和创建对角阵)

    diag函数功能:矩阵对角元素的提取和创建对角阵

    设以下X为方阵,v为向量

    1、X = diag(v,k)

    当v是一个含有n个元素的向量时,返回一个n+abs(k)阶方阵X,向量v在矩阵X中的第k个对角线上,k=0表示主对角线,k>0表示在主对角线上方,k<0表示在主对角线下方。

    例1:

    v=[1 2 3];

    diag(v, 3)

    ans =

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 2 0

    0 0 0 0 0 3

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0

    注:从主对角矩阵上方的第三个位置开始按对角线方向产生数据的

    例2:

    v=[1 2 3];

    diag(v, -1)

    ans =

    0 0 0 0

    1 0 0 0

    0 2 0 0

    0 0 3 0

    注:从主对角矩阵下方的第一个位置开始按对角线方向产生数据的

    2、X = diag(v)

    向量v在方阵X的主对角线上,类似于diag(v,k),k=0的情况。

    例3:

    v=[1 2 3];

    diag(v)

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    不是所有的对角矩阵都是方阵,长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。

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    S − 1 A S = Λ = [ λ 1 ⋱ λ n ] S^{-1} A S=\Lambda=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} & \\ & \ddots \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right] S1AS=Λ=λ1λn

    证明:
    A S = A [ x 1 ⋯ x n ] = [ λ 1 x 1 ⋯ λ n x n ] A S=A\left[\begin{array}{lll}x_{1} & \cdots & x_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} x_{1} & \cdots & \lambda_{n} x_{n}\end{array}\right] AS=A[x1xn]=[λ1x1λnxn]

    S Λ = [ x 1 ⋯ x n ] [ λ 1 ⋱ λ n ] = [ λ 1 x 1 ⋯ λ n x n ] S\Lambda=\left[\begin{array}{lll}x_{1} & \cdots & x_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} & \\ & \ddots \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} x_{1} & \cdots & \lambda_{n} x_{n}\end{array}\right] SΛ=[x1xn]λ1λn=[λ1x1λnxn]

    因此 A S = S Λ AS=S\Lambda AS=SΛ,即 S − 1 A S = Λ S^{-1} A S=\Lambda S1AS=Λ

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