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  • R语言产生各种类型的矩阵矩阵运算R语言产生一般的矩阵R语言产生单位R语言产生次对角阵R语言矩阵的常见运算 R语言产生一般的矩阵 # 依行排列,产生3行5列的矩阵 A = matrix(c(1:15),3,5,byrow=T) R语言产生单位...

    R语言产生一般的矩阵

    # 依行排列,产生3行5列的矩阵
    A = matrix(c(1:15),3,5,byrow=T)
    

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    R语言产生单位阵

    #产生对角线元素为1的6x6的单位阵
    A = diag(6)
    #产生对角线元素为5的6x6的单位阵
    A = diag(6)*5
    #产对角线元素为1:6的6x6的对角阵
    B = diag(c(1:6))
    

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    R语言产生次对角阵

    #产生次对角线元素为1的6x6的矩阵阵
    A = diag(6)*0
    diag(A[-1,-6]) = 1#使第一行和最后一列去掉后的方阵的对角线为1
    

    注:思路是为去掉某行某列的矩阵对角线赋值

    R语言矩阵的常见运算

    A = matrix(c(1:16),4,4,byrow=T);B = A
    # 提取对角线元素、提取部分行,列,删除部分行列
    diag(A)
    A[1,];A[,2]
    A[-1,];A[,-2]
    # 提取下(上)三角矩阵的元素
    A[lower.tri(A)]
    A[upper.tri(A)]
    # 矩阵四则运算
    A+B					#加法
    A-B					#减法
    3*B					#数乘
    A%*%B				#矩阵相乘
    solve()			    #求逆函数
    

    矩阵的运算还有很多需要我们大家一起探索!!!

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  • 假设 n×nn \times nn×n 矩阵 AAA has nnn 线性无关的特征向量x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}x1​,…,xn​ ,将这n个特征向量组成特征向量矩阵 SSS. 那么 S−1ASS^{-1} A SS−1AS 是特征值矩 Λ\LambdaΛ。 S−1AS=...

    假设 n × n n \times n n×n 矩阵 A A A n n n 线性无关的特征向量 x 1 , … , x n x_{1}, \ldots, x_{n} x1,,xn ,将这n个特征向量组成特征向量矩阵 S S S. 那么 S − 1 A S S^{-1} A S S1AS 是特征值矩 Λ \Lambda Λ
    S − 1 A S = Λ = [ λ 1 ⋱ λ n ] S^{-1} A S=\Lambda=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} & \\ & \ddots \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right] S1AS=Λ=λ1λn

    证明:
    A S = A [ x 1 ⋯ x n ] = [ λ 1 x 1 ⋯ λ n x n ] A S=A\left[\begin{array}{lll}x_{1} & \cdots & x_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} x_{1} & \cdots & \lambda_{n} x_{n}\end{array}\right] AS=A[x1xn]=[λ1x1λnxn]

    S Λ = [ x 1 ⋯ x n ] [ λ 1 ⋱ λ n ] = [ λ 1 x 1 ⋯ λ n x n ] S\Lambda=\left[\begin{array}{lll}x_{1} & \cdots & x_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} & \\ & \ddots \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\lambda_{1} x_{1} & \cdots & \lambda_{n} x_{n}\end{array}\right] SΛ=[x1xn]λ1λn=[λ1x1λnxn]

    因此 A S = S Λ AS=S\Lambda AS=SΛ,即 S − 1 A S = Λ S^{-1} A S=\Lambda S1AS=Λ

    附:矩阵(方阵)能完全对角化的条件是n个线性无关的特征向量。若矩阵有n个完全不同的特征值,则一定可以对角化。

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  • 矩阵对角化:A=SΛS−1A=S \Lambda S^{-1}A=SΛS−1 AT=(S−1)TΛSTA^{\mathrm{T}}=\left(S^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \Lambda S^{\mathrm{T}}AT=(S−1)TΛST 如果 A=ATA=A^{\mathrm{T}}A=AT, SΛS−1=(S−1)TΛSTS...

    矩阵对角化: A = S Λ S − 1 A=S \Lambda S^{-1} A=SΛS1

    A T = ( S − 1 ) T Λ S T A^{\mathrm{T}}=\left(S^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \Lambda S^{\mathrm{T}} AT=(S1)TΛST

    如果 A = A T A=A^{\mathrm{T}} A=AT
    S Λ S − 1 = ( S − 1 ) T Λ S T S \Lambda S^{-1}=\left(S^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \Lambda S^{\mathrm{T}} SΛS1=(S1)TΛST

    Λ = S − 1 ( S − 1 ) T Λ S T S \Lambda=S^{-1}\left(S^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \Lambda S^{\mathrm{T}}S Λ=S1(S1)TΛSTS

    Λ = ( S T S ) − 1 Λ S T S \Lambda=(S^{\mathrm{T}}S)^{-1}\Lambda S^{\mathrm{T}}S Λ=(STS)1ΛSTS
    因此: I = S T S I=S^{\mathrm{T}}S I=STS

    注:任意对阵矩阵一定可以对角化!!!

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  • 循环矩阵傅里叶对角

    万次阅读 多人点赞 2016-03-15 14:10:30
    “任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化”这个概念常常出现在论文中,本文对其做简单解释。

空空如也

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对角矩阵是方阵