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  • 做三次样条曲线时,需要解三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)。常用解法为Thomas Algorithm,又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元的算法, 分为两个阶段:向前消元forward ...

    做三次样条曲线时,需要解三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)。常用解法为Thomas Algorithm,又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元法的算法, 分为两个阶段:向前消元forward elimination和回代backward substitution。本文以一个6乘6矩阵为例,介绍一下使用TDMA的求解过程。

    1.范例求解

    步骤1: 将矩阵变为上三角矩阵

    首先要把上面公式中的系数矩阵变为一个上三角矩阵。

    第一行:

    将上式除以b1:

    可写作:

    所以矩阵方程可写为:

    第二行:


    将变换后的第一行乘以a2,再与第二行相减,即可消去x1,得:

    所以新的矩阵方程为:

    同理可推,

    第三行:

    第四行:

    第五行:

    第六行:

    最后得到新的上三角矩阵公式为:

    步骤2:求解

    x逆序可以求出,如下:

    2. 一般性公式:

    注意:

    使用TDMA求解,系数矩阵需时diagonally dominant, 即:

    3. 实现代码(C语言)

    void tdma(float x[], const size_t N, const float a[], const float b[], float c[]) 
    {
            size_t n;
     
            c[0] = c[0] / b[0];
            x[0] = x[0] / b[0];
    
            for (n = 1; n < N; n++) {
                    float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);
                    c[n] = c[n] * m;
                    x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;
            }
     
            for (n = N - 1; n-- > 0; )
                    x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];
    }

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/01/25/2877411.html

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  • 三次样条插值之三对角矩阵算法

    千次阅读 2018-04-08 20:46:37
    做三次样条曲线时,需要解三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)。常用解法为Thomas Algorithm,又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元的算法, 分为两个阶段:向前消元forward ...

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    做三次样条曲线时,需要解三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)。常用解法为Thomas Algorithm,又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元法的算法, 分为两个阶段:向前消元forward elimination和回代backward substitution。本文以一个6乘6矩阵为例,介绍一下使用TDMA的求解过程。

    1.范例求解

    步骤1: 将矩阵变为上三角矩阵

    首先要把上面公式中的系数矩阵变为一个上三角矩阵。

    第一行:

    将上式除以b1:

    可写作:

    所以矩阵方程可写为:

    第二行:

    将变换后的第一行乘以a2,再与第二行相减,即可消去x1,得:

    所以新的矩阵方程为:

    同理可推,

    第三行:

    第四行:

    第五行:

    第六行:

    最后得到新的上三角矩阵公式为:

    步骤2:求解

    x逆序可以求出,如下:

    2. 一般性公式:

    注意:

    使用TDMA求解,系数矩阵需时diagonally dominant, 即:

     

    3. 实现代码(C语言)

    复制代码
    void tdma(float x[], const size_t N, const float a[], const float b[], float c[]) 
    {
            size_t n;
     
            c[0] = c[0] / b[0];
            x[0] = x[0] / b[0];
    
            for (n = 1; n < N; n++) {
                    float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);
                    c[n] = c[n] * m;
                    x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;
            }
     
            for (n = N - 1; n-- > 0; )
                    x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];
    }
    复制代码
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  • 矩阵对角

    万次阅读 2015-10-16 16:52:47
    一、矩阵对角化的理论 一个映射或者一个线性变换,都有一个矩阵和它相对应。矩阵或者映射是不是可以对角化,对工程应用来说比较重要,因为对角化后的矩阵,乘积简单,经过多次变换的话,相当于矩阵的多次方。矩阵...

    一、矩阵对角化的理论
    一个映射或者一个线性变换,都有一个矩阵和它相对应。矩阵或者映射是不是可以对角化,对工程应用来说比较重要,因为对角化后的矩阵,乘积简单,经过多次变换的话,相当于矩阵的多次方。矩阵能不能对角化,取决于它的特称向量能否构成矩阵的一个基。
    1.在域 F 上的 n × n 矩阵 A 是可对角化的,当且仅当它的特征空间的维度等于 n,它为真当且仅当存在由 A 的特征向量组成的Fn的基。如果找到了这样的基,可以形成有基向量作为纵列的矩阵 P,而 P-1AP 将是对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 A 的特征值。
    2. 线性映射 T : V → V 是可对角化的,当且仅当它的特征空间的维度等于 dim(V),它为真当且仅当存在由 T 的特征向量组成的 V 的基。T 关于这个基将表示为对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 T 的特征值。
    另一个特征化: 矩阵或线性映射在域 F 上可对角化的,当且仅当它的极小多项式在 F 上有不同的线性因子。

    下列充分(但非必要)条件经常是有用的。
    1. n × n 矩阵 A 只在域 F 上可对角化的,如果它在 F 中有 n 个不同的特征值,就是说,如果它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。
    2. 线性映射 T : V → V 带有 n=dim(V) 是可对角化的,如果它有 n 个不同的特征值,就是说它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。
    3. 在域 F 上的 n × n 矩阵 A,如果重根的维数等于其线性无关的特征向量的个数,则矩阵A可以对角化。
    4.
    二、矩阵对角化过程
    下面例子中,矩阵A是对称的,它可以进行对角化,虽然它只有2个不同的特征值,但是有4个线性无关的特征向量,所以能进行对角化。
    给定矩阵A,求它的特征值、特征向量,并对它进行对角化。
    (1)求特征多项式,matlab命令p= poly(A);
    (2)求解特征多项式,求出特征值,solve(P);
    (3)分别将特征值带入齐次方程组,求出基础解系
    (4)针对每个特征值下的基础解系,进行正交化。
    (5)对正交化后的向量单位化

    例子:已知这里写图片描述

    求出一正交矩阵 使 成对角形.
    解:先求出的 特征值.由这里写图片描述

    即得的特征值为 (三重), .
    其次,求属于1的特征向量.把 代入这里写图片描述
    (*)
    求得基础解系为

    把它们正交化,得这里写图片描述

    再单位化,得这里写图片描述
    这里写图片描述

    这是属于三重特征值 三个标准正交的特征向量.
    再求属于 的特征向量.用代入(*)式求得其基础解系为 .
    把它单位化,得.
    特征向量 构成的一组标准正交基,所求的正交矩阵为这里写图片描述
    .
    这里写图片描述
    .
    三、matlab实现过程
    (1)求特征多项式和特征值

    clc
    clear all
    A=[0 1 1 -1;1 0 -1 1 ;1 -1 0 1;-1 1 1 0]
    p=poly(A)
    % p = 1.0000 0 -6.0000 8.0000 -3.0000
    p1=poly2str(p,’x’)
    % p1 = x^4 - 6 x^2 + 8 x - 3
    p2=sym(‘x^4 - 6 x^2 + 8 x - 3’) %怎样引用前面的平p1
    s1=solve(p2) %查看 s1 =-3
    1
    1
    1
    (2)求1的特征向量
    B=1*eye(4,4)-A
    c=rref(B);

    % c =

    % 1 -1 -1 1
    % 0 0 0 0
    % 0 0 0 0
    % 0 0 0 0
    %相当于 x1-x2-x3+x4=0
    %4个未知数,一个方程,有三个自由变量,自行设置 x1=1 ,x2=1,x3=0,de x4=0
    x1=1 ,x2=0,x3=1,de x4=0
    x1=-1 ,x2=0,x3=0,de x4=1
    %得一个基础解系
    a1=[1 1 0 0];
    a2=[1 0 1 0];
    a3=[-1 0 0 1];
    %对上面的3个向量正交化
    b1=a1;
    b2=a2-a2.*b1/sqrt(b1.*b1);
    b3=a3-a3.*b1/sqrt(b1.*b1)-a3.*b2/sqrt(b2.*b2);
    format rat %分数显示
    jie=[b1;b2;b3]’

    %jie =

    1.0000    0.5000   -0.0000
    1.0000   -0.5000    1.0000
         0    0.5000    1.0000
         0   -0.5000    2.0000
    

    jie(abs(jie)<0.0001)=0;
    %单位化
    format short
    d1=jie(:,1)/norm(jie(:,1));
    d2=jie(:,2)/norm(jie(:,2));
    d3=jie(:,3)/norm(jie(:,3));

    format rat %分数显示

    D=[d1,d2,d3]
    format rat %分数显示
    D =

    0.7071    0.5000   -0.0000
    0.7071   -0.5000    0.4082
         0    0.5000    0.4082
         0   -0.5000    0.8165
    

    % D’*D

    ans =

    1.0000    0.0000    0.2887
    0.0000    1.0000   -0.4082
    0.2887   -0.4082    1.0000
    

    这时第1个列向量和第三个列向量内积不为0,有误差,难道前面的正交化过程有误?

    尝试改进一下
    b1=a1;
    b2=a2 -(a2*b1’/(b1*b1’))*b1;
    b3=a3-(a3*b1’/ (b1*b1’))*b1-(a3*b2’/ (b2*b2’))*b2;
    format rat %分数显示
    jie=[b1;b2;b3]’
    jie =

    1.0000    0.5000   -0.3333
    1.0000   -0.5000    0.3333
         0    1.0000    0.3333
         0         0    1.0000
    

    d1=jie(:,1)/norm(jie(:,1));
    d2=jie(:,2)/norm(jie(:,2));
    d3=jie(:,3)/norm(jie(:,3));
    D =

    0.7071    0.4082   -0.2887
    0.7071   -0.4082    0.2887
         0    0.8165    0.2887
         0         0    0.8660
    

    D’*D

    ans =

    1.0000         0         0
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000
    

    (3)求-3的特征向量
    B2=(-3)*eye(4,4)-A
    C2=rref(B2)

    %C2 =

     1     0     0    -1
     0     1     0     1
     0     0     1     1
     0     0     0     0
    

    有1个自由变量,取x1=1 得x4=1;x2=-1;x3=-1;
    cc=[1 -1 -1 1]
    cc=cc/norm(cc);

    (4) T=[D,cc]
    (5) T=[D,cc’]

    T =

    0.7071 0.4082 -0.2887 0.5
    0.7071 -0.4082 0.2887 -0.5
    0 0.8165 0.2887 -0.5
    0 0 0.8660 0.5

    T’*A*T
    ans =

    1.0000         0         0         0
         0    1.0000   -0.0000         0
         0         0    1.0000    0.0000
         0         0         0   -3.0000
    

    三 使用matlab函数分解

    clc
    clear all
    A=[0 1 1 -1;1 0 -1 1 ;1 -1 0 1;-1 1 1 0]

    [U,S,V]=svd(A,0)
    U =

    0.5000         0    0.8660   -0.0000
    

    -0.5000 -0.0000 0.2887 0.8165
    -0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082
    0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082

    S =

    3.0000         0         0         0
         0    1.0000         0         0
         0         0    1.0000         0
         0         0         0    1.0000
    

    % 特征值前面是-3,在这是3;这个影响大不大?
    V =

    -0.5000 0 0.8660 0
    0.5000 0 0.2887 0.8165
    0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082
    -0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082

    [m,n] = size(A);
    if m > 1, s = diag(S);
    elseif m == 1, s = S(1);
    else s = 0;
    end
    tol = max(m,n) * max(s) * eps(class(A));
    r = sum(s > tol);
    Q = U(:,1:r);
    Q =

    0.5000         0    0.8660   -0.0000
    

    -0.5000 -0.0000 0.2887 0.8165
    -0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082
    0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082
    Q’*Q

    ans =

    1.0000         0   -0.0000   -0.0000
         0    1.0000         0   -0.0000
    

    -0.0000 0 1.0000 -0.0000
    -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
    U*S*V’

    ans =

    0.0000    1.0000    1.0000   -1.0000
    1.0000   -0.0000   -1.0000    1.0000
    1.0000   -1.0000   -0.0000    1.0000
    

    -1.0000 1.0000 1.0000 -0.0000
    U-Q

    ans =

     0     0     0     0
     0     0     0     0
     0     0     0     0
     0     0     0     0
    

    Q*S*Q’

    ans =

    1.5000   -0.5000   -0.5000    0.5000
    

    -0.5000 1.5000 0.5000 -0.5000
    -0.5000 0.5000 1.5000 -0.5000
    0.5000 -0.5000 -0.5000 1.5000

    Q*S*V’

    ans =

    0.0000    1.0000    1.0000   -1.0000
    1.0000   -0.0000   -1.0000    1.0000
    1.0000   -1.0000   -0.0000    1.0000
    

    -1.0000 1.0000 1.0000 -0.0000
    Q*S*V’= U*S*V’,需要注意的是,U和V虽然十分相似,但符号不同,所以U和V不能互相代替。

    展开全文
  • 线性代数笔记8:矩阵对角

    万次阅读 多人点赞 2018-04-02 21:33:36
    定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性无关的特征向量x1,...,xnx1,...,xnx_1,...,x_n,令S=(x1,...,...

    本文主要讲矩阵对角化的证明及应用。

    矩阵对角化条件

    • 定义一:若存在可逆矩阵S,使得S1AS为对角矩阵,则称为矩阵A是可对角化的(diagonalized)。

      • n×n矩阵有n个线性无关的特征向量x1,...,xn,令S=(x1,...,xn),则:

      AS=A(x1,...,xn)=(λ1x1,...,λnxn)=(x1,...,xn)(λ1...λn)

      AS=SΛS1AS=Λ

    • 定义二:n×n矩阵A可对角化的充要条件是An个线性无关的特征向量。

      那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢?

    • 定义三:λ1,..,λn是矩阵A的互异特征值,x1,...,xn是相应的特征向量,则x1,...,xn线性无关。

      • 可利用vandermonde行列式证明
      • 可用反证法证明
      • 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。
    • 定义四:n×n矩阵有n个互异的特征值,则矩阵可以对角化。

      • 但若矩阵有相同的特征值,也可能可以对角化。

    相似矩阵性质

    1. n阶矩阵AB相似,则AB特征多项式相同。
    2. 相似矩阵特征值相同。
    3. 相似矩阵行列式相同。
    4. 具有相同的可逆性。

    几何重数与代数重数

    1. 定义:det(AλI)=(λ1λ)n1...(λkλ)nk,称ni为特征值λi的代数重数(algebraic multiplicity),记做AM(λi)=ni,称dimN(AλiI)为特征值λi的几何重数(geometric multiplicity),记做GM(λi)=dimN(Aλ+iI)

      从直观上看,代数重数就是对应的特征值的次数,几何重数是特征向量的维数,探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

    2. 任意复方阵相似于上三角阵,且对角元为上三角矩阵的特征值。

    3. GM(λ)AM(λ)

      由定理2,A相似于上三角矩阵T,则AT有相同的特征值,且对于任意特征值λiGMA(λi)=GMT(λi)

      因此,不妨设A是上三角阵,即A=(a11...ann)

      因此AλiI为对角线上对应的特征值为0,但这一行不一定为0(最多矩阵的特征值少1),因此新的矩阵r(AλiI)nAM(λi)

      所以GM(λi)=nr(AλiI)AM(λi)

    4. 若复方阵A可对角化对任意特征值λiGM(λi)=AM(λi)

      因为若GM(λi)=AM(λi),则矩阵有n个线性无关的特征向量。

    矩阵对角化判断

    1. 求出矩阵的所有特征值。
    2. 对于每个特征值,计算特征向量,并检查r(AλiI)=nAM(λi)是否成立。
    3. 若都成立,则计算特征向量(基础解系)。
    4. 最后将特征向量与特征值对应起来,就可以写出P1AP=Λ

    注意:使矩阵对角化的特征向量不是唯一的(可以乘上常数倍)。

    矩阵对角化的应用

    1. 可快速计算Ak

    2. 可计算Markov过程中的平稳分布π

      可得到方程:πP=ππ1=1

    3. 计算Fibonacci数列。

    4. 差分方程uk+1=Auk描述的离散动力系统的长期行为

      A可对角化,即存在可逆矩阵S=(x1,...,xn),使得S1AS=Λ

      S1u0=(c1,...,cn)T,即u0=c1x1+...+cnxn

      uk=Aku0=SΛkS1u0=c1λ1kx1+...+cnλnkxn

      可以看出,uk的增长因子λik支配,因此系统的稳定性依赖于A的特征值。

      当所有特征值|λi|<1时,是稳定的;

      当所有特征值|λi|1时,是中性稳定的;

      当至少有一个特征值|λi|>1时,是不稳定的;

    同时对角化

    1. 定理:AB有相同的特征向量矩阵P,使得P1AP=Λ1,P1BP=Λ2,则AB=BA
    2. 逆命题也成立:若AB都可对角化,并且AB=BA,则AB可同时对角化。

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对角矩阵求法步骤