精华内容
下载资源
问答
  • 对角矩阵求法步骤
    千次阅读
    2020-12-30 20:10:59

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

    更多相关内容
  • 利用递归方法,将高阶分块周期三对角矩阵逆转化为低阶分块周期三对角矩阵逆,给出了分块周期三对角矩阵的逆矩阵的一种新算法。通过算法的计算量的比较,新算法比直接逆算法的计算量小。新算法的算法...
  • 解三对角矩阵

    2018-09-27 08:56:54
    解三对角矩阵,样条曲线解法中的关键步骤。C++实现。易于学习和复制。
  • 矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式...

    设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。

    相关结论

    1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

    2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

    3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

    4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。

    5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。

    6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

    7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A)=0。

    8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

    9.若A的n个特征值互不相同,则A可对角化。

    10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量,则A可对角化。

    11.若A有k重特征值μ,齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k,则A可对角化。

    12.若A有k重特征值,矩阵A−μE的秩为n−k,则A可对角化。

    13.若A是对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量正交。

    14.若A是对称矩阵,则A必可对角化。

    矩阵A对角化的步骤

    1.求可逆矩阵P,使得

    P^−1AP=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

    2.若A对称,求正交矩阵Q,使得

    Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化;

    ④将所有n个特征向量单位化;

    ⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn,写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

    典型例子

    8632947afd37260651408175744e6487.png
    df60c7cff9397e6c697e75c5420902ab.png
    f4d3a95c93b7071f082e750259fe124a.png
    097bdbd54556897e1daf96b8a1d31b4d.png
    71271a4519a6232c53baaaedf96a10f3.png
    展开全文
  • 在考研中,我们一定要重点掌握会一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称...

    对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

    实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

    实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化:

    (1)实对称矩阵的特征值全部是实数;

    (2)实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化;

    (3)实对称矩阵必相似于对角矩阵。

    求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤:

    27beb2126b6f11205f5fad0b3c6b8dfe.png

    求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤

    题型一:实对称矩阵的正交相似对角矩阵

    例1:

    2efe9936bae9eec8d8d7f3dc7e7b0835.png

    解题思路:(1)非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.

    (2)利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解

    解:

    1703861e2f4c8ac732cb6b4ed3006463.png

    题型二:相似对角矩阵的应用

    例2:设A是n阶矩阵,有特征值1,2,3,....,n,求|3E+A|

    分析:可以利用特征值和行列式的性质的计算。

    解:

    d875e4649b52c9e4460d516024447183.png
    展开全文
  • Birkhoff用代数的方法证明了如果一个矩阵是双随机矩阵,则它能表示成置换矩阵的凸线性组合.设G是具有两分类(X,y)的二部图,则G中含有饱和X中的所有顶点的匹配M的充分必要条件为:■S■X,有dG(S)≥|S|....
  • 采用 MATLAB 语言不选主元和列主元 Gauss 消去编写成通用的子...步骤一、 采用程序生成方程组的矩阵A和向量 b,并用命令xlswrite(filename) 将其保存为 excel文件,在使用时用xlsread 命令读取文件获取数据; A=xls

    采用 MATLAB 语言不选主元和列主元 Gauss 消去法编写成通用的子程序;然后用编写的程序求解 下列84阶方程组。

    在这里插入图片描述

    问题描述:求解的所有步骤及程序请详细见数值线性代数\Linear Equation Direct Solution_1\Computer_problem1.m 这里仅说明伪代码算法和求解结果,步骤如下:

    1. 步骤一、 采用程序生成方程组的矩阵A和向量 b,并用命令xlswrite(filename) 将其保存为 excel文件,在使用时用xlsread 命令读取文件获取数据;
      A = x l s r e a d ( ′ t e s t d a t a 1. x l s x ′ ) ; b = x l s r e a d ( ′ t e s t d a t a 1 b . x l s x ′ ) ; A = xlsread('testdata1.xlsx'); b = xlsread('testdata1_b.xlsx'); A=xlsread(testdata1.xlsx);b=xlsread(testdata1b.xlsx);
    2. 步骤二、调用不选主元的Gauss 消去法的通用子程序 GaussDirectLU.m,具体如下:
      % 方法1: 采用不选主元的高斯消去法,对方程组进行求解:
      [ L , U ] = G a u s s D i r e c t L U ( A ) ; [L,U] = GaussDirectLU(A); [L,U]=GaussDirectLU(A);
      % 让 Ux = y则,Ly = b; 其中L、U分别为下三角矩阵和上三角矩阵
      % 对方程 Ly=b、Ux=y 分别采用前代法和回代法
      y = F o r m e r S o l u t i o n ( L , b ) ; x 1 = B a c k S o l u t i o n ( U , y ) ; y = FormerSolution(L,b); x1 = BackSolution(U,y); y=FormerSolution(L,b);x1=BackSolution(U,y);
    3. 步骤三、调用列主元 Gauss 消去法的通用子程序 ColumnGaussian.m,具体如下:
      % 方法2: 采用列主元的高斯消去法,对方程组进行求解:
      x2 = ColumnGaussian(A,b) % 得到方程的解为:86*1的向量
    4. 步骤四、计算的结果与方程组的精确解进行比较,由步骤二、三分别求得的解为 x1、x2
      ,且不难得到方程组的精确解为 x = ones(1,86);
      对比精确解 x 与求得 x1、x2 之差的 2 范数
      采用不选主元的 Gauss 消去法得到的解与精确解的二范数为: 2903750665.613814
      采用列主元的 Gauss 消去法得到的解与精确解的二范数为: 0.000015
      查找 x1 的病态解即x(i)> 100的最小 i :
      从62 个解开始不选主元的高斯消去法开始出现病态解其为 256.984367
      在这里插入图片描述

    将精确解 x 与求得 x1、x2 直观地展示在二维的图表中:
    在这里插入图片描述

    从图表中我们可以清晰的看出,采用不选主元的高斯消去法、列主元高斯消去法求的结果和精确解之间的对比,列主元高斯消去法的解和精确解基本吻合,不选主元的高斯消去法与精确解随着求解过程中误差的传递、积累,导致后面的解与精确解完全不吻合,且出现较大的波动,其中x(86) = 2147352577, 可以看出列主元高斯消去法的效果较好,且相较于全局选主元法计算量小,精度符合运算要求。
    附其中的调用程序:

    
    clear  %清理数据
    clc   %清理输出窗口
    %    读取题目所需数据
    A = xlsread('testdata1.xlsx');
    b = xlsread('testdata1_b.xlsx');
    x = ones(86,1);
    fprintf('====================== 第一章 上机习题1 ====================== \n');
    %%
    % 方法1: 采用不选主元的高斯消去法,对方程组进行求解:
    [L,U] = GaussDirectLU(A);
    % 让 Ux = y则,Ly = b; 其中L、U分别为下三角矩阵和上三角矩阵
    % 对方程 Ly=b、Ux=y 分别采用前代法和回代法
    y = FormerSolution(L,b);
    %norm(b - L*y,1)
    x1 = BackSolution(U,y);
    %norm(y - U*x1,1)
    %%
    %鉴于之前数据存在被修改的风险,再次读取数据
    A = xlsread('testdata1.xlsx');
    b = xlsread('testdata1_b.xlsx');
    % 方法2: 采用列主元的高斯消去法,对方程组进行求解:
    x2 = GaussianColumn1(A,b); % 得到方程的解为:86*1的向量
    %norm(b-A*x2,1)
    %%
    % 将精确解 x 与求得 x1、x2 展示在二维的图表中:
    figure
    i = 1:1:86;
    plot(i,x,i,x1,'--',i,x2,'r*');
    grid on;
    legend('Exact Solution','Direct Guass Solution','Column Gaussian ');
    title('\bf The Comparison of Solution');
    xlabel('\bf The Variables x');
    ylabel('\bf Solution of Equation');
    %%
    % 精确解 x 与求得 x1、x2 之差的 2 范数
    z1 = x - x1;
    z2 = x - x2;
    loss1 = norm(z1,2);
    loss2 = norm(z2,2);
    fprintf('采用不选主元的 Gauss 消去法得到的解与精确解的二范数为: %f\n',loss1);
    fprintf('采用列主元的 Gauss 消去法得到的解与精确解的二范数为: %f\n',loss2);
    %%
    % 查找 x1 的病态解即x(i)> 100的最小 i
    for i = 1:86
        if x1(i)>100
            fprintf('从%d个解开始不选主元的高斯消去法开始出现病态解其为 %f \n',i,x1(i));
            break;
        end
    end
    
    
    展开全文
  • 矩阵的相似对角

    千次阅读 2022-04-02 00:00:17
    矩阵相似的定义
  • 【Python练习题 028】一个3*3矩阵对角线元素之和-----------------------------------------------------这题解倒是解出来了,但总觉得代码太啰嗦。矩阵这东西,应该有个很现成的方法可以直接计算才对…… 啰嗦...
  • 对角矩阵压缩详解

    千次阅读 多人点赞 2020-04-02 13:46:46
    对角矩阵压缩详解 首先我们要明白,什么是对角矩阵,他是对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,也就是他是沿着主对角线左右扩展的矩阵,他的规律就在他的主对角线中。 这个一行最大个数为3个的对角矩阵,...
  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...
  • 文章目录相似矩阵矩阵对角化对称矩阵对角化对称阵A对角化的步骤 相似矩阵 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P−1AP=B,P^{-1}AP=B,P−1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P−1APP^{-1...
  • 线性代数笔记8:矩阵对角

    万次阅读 多人点赞 2018-04-02 21:33:36
    定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性无关的特征向量x1,...,xnx1,...,xnx_1,...,x_n,令S=(x1,...,...
  • 矩阵化为三对角形式的Lanczos方法,保留其特征值的同时,使用类似的计算方式,实际上与共轭梯度相关联。 在这种方法中,变换矩阵[P]是用相互正交的向量构造的。通常我们对称矩阵的特征值由下式开始: 确保[P]...
  • 矩阵求逆四种方法

    千次阅读 2022-03-21 18:13:20
    A行列式结果,再A伴随矩阵,最后再A逆矩阵 |A| != 0 则 A­­ˊ¹=A*/|A| 注:图片中detA就是|A| 二、初等变换 [A|E]初等变换->[E|A­­ˊ¹] 三、定义 AB=E A­­ˊ¹=B 四、分块矩阵法 ...
  • 采用置换矩阵行列和矩阵分块,提出了一个拟五对角 Toeplitz 矩阵行列式的快速计算方法:先右乘于适当的置换矩阵,然后进行矩阵分块,再利用 Schur定理计算。同时给出其算法的实现步骤设计,并对算法的运算量进行了分析...
  • 分块矩阵求逆(推导)

    千次阅读 2022-03-17 16:58:54
    关于分块矩阵逆,其中对角矩阵比较简单,我看很多人都写了,并且很详细。 但关于AUVD的分块矩阵我没看到太让我明白的,可能我get不到点,数学基础差,我就自己写了详细的步骤。 我写的这个条件是A可逆,如果A,D...
  • 这次来实现三对角线方程组的追赶,追赶的本质还是高斯消元,而且是没选主元的高斯消元,只是因为Ax=b中系数矩阵A非常特殊,所以就可以采用相对特殊的方法来解方程组。同样,按照常规的步骤,先分析什么是...
  • 实对称矩阵的相似对角

    万次阅读 2020-05-18 10:11:28
    实对称矩阵化为对角矩阵步骤: 1.找出全部特征值 2.找出每个特征值对应的方程组,的基础解系,如果为k重根,那么基础解系必定有k个线性无关的特征向量。 3.如果2中,存在某个特征值对应的多个特征向量不正交,...
  • 正规矩阵总能对角分解: 分解流程: 满秩分解 最后一步其实就相当于P^-1取前r列,Q^-1取前r行。其中r为A的秩。 行最简型就是各行第一个为1,且所在列其他行为0,列同理。 QR分解 QR分解就是分解成酉矩阵(单位正交...
  • 将实对称矩阵正交对角化的流程

    千次阅读 2020-11-15 16:45:21
    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52
  • 做三次样条曲线时,需要解三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)。常用解法为Thomas Algorithm,又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元的算法, 分为两个阶段:向前消元f...
  • c语言一个3×3的整型矩阵对角线元素之和步骤如下:1、打开Dev-c++软件,点击“新建源代码”。2、具体程序如下:#include int main(){int a[3][5]={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};int i,j,sum,m=0,sum1=0,sum2=0;printf...
  • 对称矩阵对角

    万次阅读 2019-03-29 09:32:22
  • 矩阵对角化的条件

    万次阅读 2020-05-29 21:04:36
    总结:对于任意方阵,如果没有重根,矩阵总是可以对角化。麻烦的是重根问题 如果有重根,那么需要验证所谓几何重数,与代数重数相等。 那么对于有重根,不能对角化的矩阵怎么办?这就引入了Jordan标准型的故事。 ...
  • 3)当 λ 是矩阵 A 的特征值时, λ 的几何重数是 n-r(λ E-A),所以,通过验证每一个特征值是不是“代数重数=几何重数”,就可判断特征向量是不是线性无关->可以相似对角化。第三步,来验证k重根是不是具备k个线性...
  • 想要求出矩阵C,可以构造(A,E)矩阵当把它A转化成了对角矩阵Λ,E就变成了C',这样就出了矩阵C。 注:(A,E)需要就行成对的初等行变化和初等列变化,例如一次变化c1+c2,还需要r1+r2(第二列加到第一列,第二行...
  • 矩阵对角

    万次阅读 多人点赞 2015-10-16 16:52:47
    一、矩阵对角化的理论 一个映射或者一个线性变换,都有一个矩阵和它相对应。矩阵或者映射是不是可以对角化,对工程应用来说比较重要,因为对角化后的矩阵,乘积简单,经过多次变换的话,相当于矩阵的多次方。矩阵...
  • 特征向量对角化一个矩阵:3、假设n×nn\times n矩阵有nn个线性无关的特征向量,如果这些向量是矩阵SS的列,那么S−1ASS^{-1}AS是一个对角矩阵Λ\Lambda,AA的特征值在Λ\Lambda的对角线上: S−1AS=Λ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢...
  • 从机器学习、量子计算、物理到许多数学和工程的问题,都可以通过找到一个矩阵的特征值和特征向量来解决。根据定义(标量λ、向量v是特征值、特征向量A):视觉上,Av与特征向量v位于同一直线上。这里有些例子。然而,Ax...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 46,191
精华内容 18,476
热门标签
关键字:

对角矩阵求法步骤