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  • (这两个最不特殊了,线代中学过不过有点忘)1、对角矩阵: 对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(a1,a2,...,an) 。...对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘...

    (这两个最不特殊了,线代中学过不过有点忘)
    1、对角矩阵:
          对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(a1,a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种,值得一提的是:对角线上的元素可以为 0 或其他值,对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且结果仍为对角阵。
    两个运算规则:i.数与对角阵的乘积仍为对角阵。
    ii.同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵,且它们的乘积是可交换的:

    n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
    若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必能相似于对角矩阵。

    说明:当A的特征方程有重根时.就不一定有n个线性无关特征向量,从而未必能对角化
    证明过程:
    (1)必要性。设有可逆矩阵P,使得
                                                                    

    令矩阵P的n个列向量为  ,则有

                               

    因而  ,因为P为可逆矩阵,所以   为线性无关的非零向量,它们分别是矩阵A对应于特征值

      的特征向量。
    (2)充分性。
    由必要性的证明可见,如果矩阵A有n个线性无关的特征向量,设它们为   ,对应的特征值分别为  ,则有  ,以这些向量为列构造矩阵  ,则P可逆,且,其中C为:

                                                                             

        即  。
    2、上下三角矩阵:
    主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。
    i、  上三角矩阵的行列式对角线元素相乘;
    ii、 上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵;
    iii、 上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵;
    iiii、上三角矩阵的逆矩阵也仍然是上三角矩阵。
    严格上(下)三角矩阵:若上(下)三角矩阵对角线元素全是1,则称为严格上(下)三角矩阵。
    初次见:
    3、正态分布随机矩阵
    (例3-23)
    4、魔方矩阵:魔方矩阵又称幻方,有相同的行数和列数,并在每行每列、对角线上的和都相等的矩阵魔方矩阵中的每个元素不能相同。能构造任何大小(除了2x2)的魔方矩阵。
    每行、每列及对角线之和被称为魔术常量或魔法总和M。

                                                                                                    n为阶数。

     最简单的魔方就是平面魔方,还有立体魔方、高次魔方等。
    平面魔方的定义:将自然数 1 到 N^2, 排列 N 行 N 列的方阵,使每行、每列及两条主对角线上的 N 个数的和都等于N (N^2+1)/2,这样的方阵称为 N 阶幻方。
    构造方法:
             分为三种情况:N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)

    N 为奇数时
    (1) 将1放在第一行中间一列;
    (2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放:
          按 45°方向行走,如向右上
         每一个数存放的行比前一个数的行数减1,列数加1
    (3) 如果行列范围超出矩阵范围,则回绕。
          例如1在第1行,则2应放在最下一行,列数同样加1;
    (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数,或上一个数是第1行第n列时,
         则把下一个数放在上一个数的下面。
    构造一个三阶魔方:

    8 1 6
    3 5 7
    4 9

    2

     

    N为4的倍数时 
    采用对称元素交换法。    
    首先把数1到n×n按从上至下,从左到右顺序填入矩阵
    然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上的数关于大方阵中心作中心对称交换(注意是各4×4子方阵对角线上的数), 即a(i,j)与a(n+1-i,n+1-j)交换,所有其它位置上的数不变。(或者将对角线不变,其它位置对称交换也可)
    N 为其它偶数时
    当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时:首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。
    按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值
    左子阵最小(i),下右子阵次小(i+v),下左子阵最大(i+3v),上右子阵次大(i+2v)
    即4个子方阵对应元素相差v,其中v=n*n/4
    四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③ ④ ②
    然后作相应的元素交换:a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2),
    注意其中j可以取零。
    a(t-1,0)与a(t+u-1,0);a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
    其中u=n/2,t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。
    Matlab中自动生成魔方矩阵的函数:   magic(n) n是矩阵维数

    // 交换
    void Exchange(int **pj, int tr, int tc, int n) {
        n++;
        if (1 <= tr && tr <= n / 2 && 1 <= tc && tc <= n) {
            pj[tr][tc] += pj[n - tr][n - tc];
            pj[n - tr][n - tc] = pj[tr][tc] - pj[n - tr][n - tc];
            pj[tr][tc] -= pj[n - tr][n - tc];
        }
    }
    int main(){
        int n, i = 0, j = 0, **pj;
        int tr, tc;
        printf("输入魔方矩阵的阶层:");
            scanf("%d",&n);
        // 初始化二维数组
        pj = (int**)malloc(sizeof(int **) * (n + 1));
        for (i = 0; i < (n + 1); i++)
            pj[i] = (int*)malloc(sizeof(int *) *  (n + 1));
    
        // n为奇数时
        if (n % 2 == 1) {
            // 1.将1放至第一行中间
            i = 1; j = n / 2 + 1;
            pj[1][n / 2 + 1] = 1;
    
            // 2.沿右上45°,依次放置剩下的数
            for (int k = 2; k <= n * n; k++) {
                // 行数上移,列数右移,即右上45°移动
                tr = i - 1; tc = j + 1;
    
                // 条件一:若超出,则回绕
                if (tr < 1) tr = n;
                if (tc > n) tc = 1;
                // 条件二:若有数据,则放在上一个数字之下
                if (0 < pj[tr][tc] && pj[tr][tc] <= n * n) {
                    tr = i + 1; tc = j;
                    if (tr < 0) tr = n;
                }
                pj[tr][tc] = k;
                i = tr; j = tc;
            }
    
        }
        // n为4的倍数时
        else if (n % 4 == 0) {
            i = 1; j = 1;
    
            // 1.先将数据从上到下,从左到右填入
            for (int k = 1; k <= n * n; k++) {
                pj[i][j++] = k;
                if (j > n) { j = 1; i++; }
            }
    
            // 2.将方阵的所有4*4子方阵中的两对角线上的数
            // 关于大方阵中心作中心对称交换
    
            i = 1; j = 1;
            for (size_t r = 0; r < n / 4 + 1; r++) {
                for (size_t c = 0; c < n / 4 + !(r % 2); c++) {
                    tr = 2 * r + i;
                    tc = 4 * c + r % 2 * 2 + j;
    
                    Exchange(pj, tr, tc, n);
                    Exchange(pj, tr - 1, tc, n);
                    Exchange(pj, tr, tc - 1, n);
                    Exchange(pj, tr - 1, tc - 1, n);
                }
            }
    
        }
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            for (j = 1; j <= n; j++)
                printf("%d\t", pj[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }

    Hilbert 矩阵 :矩阵的一种,其元素H(i,j)=1/(i+j-1),i,j分别为其行标和列标。
                         5阶的:
                             

    希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵,正定,且高度病态(即,任何一个元素发生一点变动,整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化),病态程度和阶数相关。Matlab中生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n);求希尔伯特矩阵的逆的函数是invhilb(n),其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。(使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。)
    Toeplitz 矩阵 :
    托普利兹矩阵的主对角线上的元素相等,平行于主对角线的线上的元素也相等;矩阵中的各元素关于次对角线对称,即T型矩阵为次对称矩阵。简单的T形矩阵包括前向位移矩阵和后向位移矩阵。在数学软件Matlab中,生成托普利兹矩阵的函数是:toeplitz(x,y)。它生成一个以 x 为第一列,y 为第一行的托普利兹矩阵,这里x, y均为向量,两者不必等长。
    设  ,如果 ,即:

                                                                 

    则称  为托普利兹矩阵(Toeplitz matrix)
    (1)托普利兹矩阵完全由其第1行和第1列的2n一1个元素确定。
    (2)托普利兹矩阵沿平行主对角线的每一对角线上的元素是相等的,是关于交叉对角线对称的。显然,有:  ,其中            为反向单位矩阵 
    (3)除第一行第一列外,其他每个元素都与左上角的元素相同。 
    (4)矩阵中的各元素关于次对角线对称,即T型矩阵为次对称矩阵。
    这个托普利兹矩阵的这几个性质有些看了百科...不懂  百科
     

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  • 对角矩阵的压缩存储  对角矩阵是指所有非零元素全部集中在中心条对角线上的矩阵。下面以三对角矩阵(所有非零元素集中在中心三条对角线上)为例描述对角矩阵的压缩存储方法。图2-8是一个三对角矩阵,使用一维...

    三对角矩阵压缩存储--注意对角元素的下标

    对角矩阵压缩存储
      对角矩阵
    是指所有非零元素全部集中在中心几条对角线上的矩阵。下面以三对角矩阵(所有非零元素集中在中心三条对角线上)为例描述对角矩阵压缩存储方法。图2-8是一个三对角矩阵,使用一维数组a[m]来压缩存储矩阵信息,则数组中的元素依次为a11,a12,a21,a22,a23,a32,...,am

      其中,矩阵元素aij下标i、j与其存储在数组中的位置下标k(从0开始计数)存在如下的对应关系:当i=1时,k=j-1(1≤j≤2);当i>1时,k=2×i+j-3(|i-j|≤1)。推导方法如下:
      ① 当i=1时,j的取值就是矩阵元素aij在数组中的存储次序,数组中存储下标为次序减1,故k=j-1。
      ② 当i>1时,在矩阵元素aij之前已经存储了i-1行矩阵元素和第i行的j-i+1个元素,又已知矩阵的第1行需要存储2个元素,第2~i-1行均需要存储3个元素,故矩阵元素aij之前一共存储元素数有2+(i-1-2+1)×3+(j-i+1)=2×i+j-3。故aij的存储下标为2×i+j-3。
      例如,矩阵元素a33存储在一维数组中的位置为k=2×i+j-3=2×3+3-3=6,即一维数组中的第7元素

    对角线上方那条有j-i=1,主对角线有j-i=0,下方有j-i=-1,以行为索引 
    所以自然可得k=(3i-2)+(j-i);=> k=2i+j-2 
    反之当i=j时,k=3i-2=3(i-1)+1,当i=j+1时(下方那条),k=3i-1=3(i-1)+2,当i=j-1时,k=3(i-1) 

    所以用k除3取余,设商为x,余为y,y=0则B[k]=a[x+1][x],y=1,B[k]=a[x+1][x+1],y=2,B[k]=a[x+1][x+2]

    3.

     i, j   k 
    1,0   0 
    1,1   1 
    1,2   2 

    2,1   3 
    2,2   4 
    2,3   5 

    3,2   6 
    3,3   7 
    3,4   8 
    k   =   (i+j)+(i-2)   =   2*i+j-2 
    i   =   k/3取整+1 
    j   =   k/3取整+k%3

     

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  • 如果一个方阵 相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵 使得 是对角矩阵,则就被称为可以相似对角化的。下面,我们就通过矩阵的相似对角化:来简单从数学角度解释下面个问题:为什么要进行矩阵的相似对角化?...
    相似对角化是线性代数中最重要的知识点之一。如果一个方阵
    相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵
    使得
    是对角矩阵,则
    就被称为可以相似对角化的。

    下面,我们就通过矩阵

    的相似对角化:

    来简单从数学角度解释下面几个问题:

    • 为什么要进行矩阵的相似对角化?
    • 什么样的矩阵可以相似对角化?
    • 如何进行矩阵的相似对角化?
    • 矩阵的相似对角化的几何理解。

    在这之前你必须了解之前的推送内容:

    • 如何理解线性变换
    • 线性变换的矩阵
    • 如何理解等价关系?
    • 如何理解相似矩阵
    • 如何理解特征值与特征向量

    1 为什么要进行矩阵的相似对角化

    1.1 相似对角化使得同一个线性变换表达方式变的简单

    一个矩阵可以看作是一个线性变换在某组基下的矩阵(线性变换的矩阵 ),如果矩阵中非零元素过多,那么线性变换的表现形式就相对复杂。用本文开头的

    矩阵举例:

    eb7a1db1b4ad51443c3220cee5c973c6.png

    而如果能选取不同基,使线性变换的矩阵变成对角矩阵。那么,线性变换的形式就会变得相对简单。注意:相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表现(详情点击如何理解相似矩阵)。用本文开头的

    的对角矩阵举例:

    05f59a1ea09d9263314c2445bf684c1a.png

    是不是能感觉到在选择了对角矩阵之后,线性变换的表现形式变得更加简单了。用 (如何理解相似矩阵)推送中的语言来说的话,对角矩阵一定是观看演出时的“最佳视角”。

    1.2 一些特殊矩阵的对角化可以解决不同的实际问题。

    例如实对称矩阵的相似对角化,可以解决一些二次型的图像问题(后期会详细介绍,敬请期待)。在物理学、图像处理方面都有应用。让我们继续用开头的矩阵,看看实对称矩阵的相似对角化是如何帮助我们了解这个二次型的图像吧。

    一般情况下,是不容易确定一个带有交叉项的二次方程的图像的,例如

    的图像(注意这里的矩阵就是文章开头的矩阵哦)。但通过相似对角化(实际为坐标轴旋转)可以消去二次型中的交叉项,并得到新的坐标系(

    坐标系)。从而利用新的坐标系中对角矩阵所对应的二次型得到原方程的图像(更多详情,敬请期待):

    9a8838b4fa439495615d6e6299168591.gif

    1.3 相似对角化是可对角化矩阵的方幂运算的工具

    计算一个对角矩阵的任意次方幂是简单的,只需要将对角元素做方幂运算即可。然而对于一般矩阵进行方幂运算并不是一件容易的事情。相似对角化给了一个可对角化矩阵算方幂的办法:

    从而,可以轻松得到:

    1.4 期待你的更多相似对角化的应用

    .....

    2、什么样的矩阵可以对角化

    并不是所有矩阵都可以对角化。一个

    阶矩阵
    可以对角化当且仅当
    个线性无关的特征向量。因此,最大可能多的找出这个矩阵的线性无关的特征向量,是能否使这个矩阵相似对角化的主要途径。来看看下面几个例子:

    2.1 可以对角化的例子

    继续用文章开头的矩阵为例,(其它更多例子可点击如何理解特征值与特征向量了解)。 下面两个矩阵所对应的线性变换都可以轻松找到两个线性无关的特征向量,因此是可以相似对角化的。

    f99ddcc21ed76732590a3322e861c88d.gif

    88ad62e352c58915f32c4e28e88bfd23.gif

    2.2 不能对角化的例子

    下面的线性变换中,仅仅有一个线性无关特征向量,从而不能相似对角化(更多详情,点击如何理解特征值与特征向量了解)。

    0be5583a3b10f7adce09d857b8b9e40e.png

    2.3 对角化还需要注意线性空间的基域的选择。

    考虑下面的线性变换:平面上的逆时针旋转90度的变换:

    a7e1eabb440957414efcb7f4adfffa6b.png

    从图中可以看出这个旋转变换没有实特征向量,然而这个矩阵是可以对角化的。因为,它存在两个线性无关的复特征向量。因此,把这个矩阵看作复数域上的二维线性空间的变换,他是可以相似对角化的:

    3、如何进行矩阵的相似对角化

    如果一个

    矩阵
    可以对角化,这
    个线性无关的特征向量便构成了一个相似变换矩阵
    ,特征值按照相应的位置排列,即构成了相似对角矩阵

    需要注意的是,相似变换矩阵

    并不是唯一的,因为对应一个特征值的特征向量的选择有无数多个。而在实对称矩阵情况下,相似变换矩阵往往会选择为正交矩阵,因为正交矩阵有更好的性质(更多详情,敬请期待)。

    4 矩阵的相似对角化的几何理解

    如何理解相似矩阵中,我们已经讨论过相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的矩阵。而对角矩阵则是所有这些相似等价类中,最简单的代表(更多内容,点击如何理解等价关系?)

    下面我们用前面两个可对角化的矩阵所对应的线性变换为例,一起来从变换的角度看看,相似对角矩阵是如何使线性变换看起来更容易的:

    f99ddcc21ed76732590a3322e861c88d.gif

    dc6c7c257ecc3ba92d15a9a3f145f1dc.png

    88ad62e352c58915f32c4e28e88bfd23.gif

    d93273fc59d580eb727b63e6f22f7780.gif

    下面再把对角化前后放到一起来看看:

    f98693914ac68566373ff1213cb80a9e.png

    其实,可以看到对角矩阵对应的线性变换就是将网格线做平行移动即可。 希望这篇文章能帮助你理解相似对角化的意义。

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  • 我们研究了具有对角优势属性变体的几矩阵之间的关系,并确定了构成不可比类对的那些类。 对于具有对角优势属性变体的矩阵类的不可比较对(X1,X2),我们还研究了为{i,j} = {1,2的Xi中的矩阵提供足够的条件的问题...
  • 这次我们来研究在代数学上同样重要的几种特殊的复矩阵。这里 表示 的共轭转置在介绍之前,先介绍一个命题定理1:设 ,则 的行列式 ,也就是 与 互为共轭复数定理1可以用行列式的定义直接证明出来。这里 1.Hermite矩阵...

    之前我们接触过一些特殊的实矩阵,例如:正交矩阵,实对称矩阵,正定矩阵等。这次我们来研究在代数学上同样重要的几种特殊的复矩阵。这里

    表示
    的共轭转置

    在介绍之前,先介绍一个命题

    定理1:

    ,则
    的行列式
    ,也就是
    互为共轭复数

    定理1可以用行列式的定义直接证明出来。这里

    1.Hermite矩阵

    定义1:

    ,若
    ,则称
    Hermite矩阵,或者为自共轭矩阵,或者为埃尔米特矩阵

    显然,实对称矩阵为Hermite矩阵,除此之外,矩阵

    等也是Herimte矩阵

    事实上,Hermite矩阵的对角线上的元素全为实数

    2.酉矩阵,酉相似,酉对角化

    之前在我自己的文章“酉空间——欧几里得空间在复数域上的推广(一)”中曾提到了酉矩阵。这里我再复述一下酉矩阵的定义

    定义2:

    是n阶复方阵,若
    ,则称
    酉矩阵

    实际上,实正交矩阵就是酉矩阵,除此之外,矩阵

    等也是酉矩阵

    事实上,由

    为酉矩阵知
    ,从而
    的模为1,从而
    为单位复数

    事实上,两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。

    事实上,

    阶酉矩阵当且仅当它的列向量组是
    的标准正交基

    事实上,由

    为酉矩阵知
    ,由此我们定义酉相似

    定义3:

    ,若存在酉矩阵
    满足
    ,则称
    酉相似,也称
    酉相似
    。若
    酉相似于对角矩阵,则称
    可以
    酉对角化

    事实上,酉相似是一类特殊的相似,并且酉相似同样满足自反性,对称性,传递性

    那么,什么样的矩阵可以酉对角化?注意到复对角矩阵

    不一定满足
    ,从而不一定为Hermite矩阵,但一定满足
    ,由此我们引入新类型的矩阵。

    3.正规矩阵

    定义4:

    ,若
    ,则
    正规矩阵

    事实上,酉矩阵,Hermite矩阵,对角矩阵等都是正规矩阵

    为探究正规矩阵是否可对角化,我们先证明几个引理

    引理1:

    ,其中
    均为方阵,若
    为正规矩阵,则
    均为正规矩阵。由此可得一个上三角矩阵是正规矩阵当且仅当它是对角矩阵

    证:此时

    ,则

    则由

    ,从而
    ,而
    ,故
    .注意到
    各个元素的模的平方和,故有

    此时

    ,

    从而

    均为正规矩阵

    引理2:

    ,且
    酉相似于
    。若
    是正规矩阵,则
    是正规矩阵。

    证:此时存在酉矩阵

    满足

    我们用数学归纳法证明正规矩阵可以酉对角化

    定理2:正规矩阵可以酉对角化

    证:我们对正规矩阵

    的阶数
    作归纳法

    时显然

    假设在

    时命题成立。对于
    阶正规矩阵
    ,设
    的一特征值,对应的单位特征向量为
    ,则

    事实上,单位向量

    可以扩充为
    的标准正交基

    ,则
    是酉矩阵

    。由引理1,
    ,
    阶正规矩阵。由归纳假设,存在
    阶对角矩阵
    以及
    阶酉矩阵
    使得

    ,则
    为酉矩阵,且
    为对角矩阵,故
    可以酉对角化

    由引理2,定理3以及对角矩阵是正规矩阵立马可得

    定理3:一个矩阵是正规矩阵当且仅当它可以酉对角化

    我们再来看几个引理

    引理3:

    是正规矩阵,则线性方程组
    与线性方程组
    同解

    证:若

    的解,则

    从而

    同理可证反过来的情形

    引理4:

    是正规矩阵,
    ,则
    也是正规矩阵

    证:

    与实对称矩阵类似,我们同样有

    定理4:

    是正规矩阵,则
    中属于
    的不同特征值的特征向量必正交

    证:设

    的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为
    ,则

    则由引理3,引理4,

    此时

    从而

    ,但
    ,故

    注意到对于复数

    ,
    等价于
    ,我们可以得到

    引理5:

    是对角矩阵,则
    是Hermite矩阵当且仅当它是
    实对角矩阵

    由引理5以及Hermite矩阵只能酉相似于Hermite矩阵立马可得

    定理5:

    是正规矩阵,则
    是Hermite矩阵当且仅当
    酉相似于
    实对角矩阵.

    由定理5立马可得

    定理6:Hermite矩阵的特征值全为实数

    这里可以根据Hermite矩阵酉相似于实对角矩阵立马可得

    下面提供定理6的另外一种证法

    设Hermite矩阵

    的特征值为
    ,对应的非零特征向量为

    ,故
    ,从而

    下一节我们将继续探究Hermite矩阵,并研究几种特殊的Hermite矩阵以及反Hermite矩阵

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空空如也

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对角矩阵的几